Разрешающие уравнения в перемещениях и напряжениях

РАЗРЕШАЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ В ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ И НАПРЯЖЕНИЯХ [c.75]

При использовании деформационной теории, согласно которой связь между напряжениями и деформациями является конечной нелинейной, полная система уравнений может быть приведена к разрешающим уравнениям в перемещениях или напряжениях, аналогичным уравнениям Ламе или Бельтрами — Мичелла в теории упругости. Для решения конкретных задач с успехом применяются различные варианты метода последовательных приближений. Возможна, например, следующая схема этого метода (метод дополнительных нагрузок). Напряжения, выраженные через деформации по формуле (10.15) [c.745]

Идею минимизации среднеквадратической ошибки для решения задач расчета РТИ с успехом можно использовать также и следующим образом подлежащие определению функции перемещений или напряжений ищут в виде суммы функций с неопределенными коэффициентами. Функции выбираются такими, чтобы они удовлетворяли уравнениям равновесия. Это достаточно просто, если пользоваться общими решениями и разрешающими функциями, описанными в гл. П1. Для определения неизвестных коэффициентов требуется наилучшее выполнение граничных условий. Наилучшее выполнение в данном случае можно понимать в среднеквадратическом смысле. Трудность при таком варианте решения возникает, когда граничные условия записаны и в перемещениях и в напряжениях, так как ошибки в перемещениях и напряжениях имеют разные размерности. Эту трудность обходят обычно, накладывая дополнительные ограничения на выбор самих функций. Их выбирают так, чтобы они удовлетворяли одной группе граничных условий (или в перемещениях, или в напряжениях). Коэффициенты определяют, минимизируя сумму среднеквадратических ошибок по однотипным граничным условиям. Точность решения увеличивается, если удается точно выполнить ту группу граничных условий, которая охватывает большую часть поверхности детали. [c.95]

Для формирования разрешающей системы интегральных уравнений метода компенсирующих нагрузок и при определении перемещений и напряжений в пластине необходимы аналитические выражения ядер потенциалов, которые получаются при подстановке (1.2.8) в краевые условия (1.2.2) - (1.2.4) или в соотношения (1.2.5). [c.12]

В методе перемещений за основные неизвестные принимаются три функции и, V, W — компоненты перемеш,ений точек тела, а в качестве разрешающих уравнений — три уравнения равновесия I. Их преобразуют так, чтобы вместо напряжений в них входили перемещения. [c.46]

Помимо двух основных рассмотренных методов решения задач теории упругости в напряжениях и в перемещениях часто используется смешанная форма решения, когда разрешающие уравнения составляются частично относительно перемещений, а частично относительно напряжений. Такой прием рассмотрим ниже в задаче расчета оболочек (см. гл. 7). [c.46]

Расчет напряжений и смещений в винте выполнен вариационно-разностным методом (ВРМ) в перемещениях на основе разностной схемы, изложенной в работе [9]. Выбор метода расчета был продиктован тем, что при одинаковых параметрах системы разрешающих конечно-разностных уравнений (число уравнений, ширина полосы ленточной матрицы) и одинаковом расположении узловых точек ВРМ может дать лучшую аппроксимацию уравнений теории упругости, чем метод конечных элементов (МКЭ). [c.129]

В результате решения системы разрешающих уравнений МКЭ в перемещениях находят значения перемещений в узлах расчетной сетки. Выбирая перемещения узлов, относящихся к г конечному элементу qr, и, перемножая их на матрицу направляющих косинусов г конечного элемента, получим вектор значений степеней свободы г конечного элемента в собственной системе координат— qr - Зная г, Кг и фг, легко построить все компоненты напряженно-деформированного состояния г конечного элемента [c.105]

Операторная форма записи разрешающих уравнений и граничных величин эффективно используется при формировании различных вариантов уравнений термостатики, основанных на гипотезе Дюамеля—Неймана. Это уравнения метода сил, метода перемещений, в комплексных усилиях. Последние используются для выявления температурных полей, не вызывающих напряжений, а также для расчета НДС в корпусе винтового компрессора. [c.458]

Для пояснения процедур формирования разрешающей системы линейных алгебраических уравнений МКЭ рассмотрим трактовку МКЭ, соответствующую методу перемещений при решении задач теории упругости. Будем считать, что конечные элементы взаимодействуют лишь в узловых точках. Мысленно выделим отдельные конечные элементы и в узловых точках приложим реакции отброшенных частей. В пределах конечных элементов, эле-пользуя аппроксимации перемещений, получим уравнения равновесия элементов и определим связи реакций с обобщенными перемещениями узлов элементов и внешними нагрузками. Далее соединим в узлах элементы и запишем условия равновесия отдельных узлов. Для этого приравняем нулю для каждого узла сумму сил реакций от отдельных элементов, примыкающих к рассматриваемому узлу. Полученная система алгебраических уравнений позволит определить неизвестные узловые обобщенные перемещения, через которые в дальнейшем можно вычислить деформации и напряжения в элементах. [c.281]

Разрешающую систему уравнений (22.2), (22.3), (22.6) целесообразнее свести к системе уравнений относительно обобщенных смещений, так как напряжения в оболочке (22.5), в элементах композиции (2.3), (2.7), (2.8) с учетом (22.4) и ряд краевых условий (например, (22.7)) определяются через смещения. Исключая из системы (22.2), (22.3), (22.6) усилия и моменты, получим основную систему дифференциальных уравнений относительно пяти обобщенных перемещений и,з, Uai [c.133]

На основании решения вспомогательной краевой задачи для наращиваемого клина (см. п. 1) выводятся разрешающие интегральные уравнения. Для каждого основного этапа кусочно-непрерывного наращивания клина (до начала, в процессе и после остановки роста) получается свое интегральное уравнение. От соотношений классических контактных задач механики деформируемого твердого тела эти уравнения отличаются тем, что связывают не контактные напряжения и кинематические характеристики штампа, а некоторые другие величины, по которым истинные контактные давления и перемещение штампа определяются с использованием формул (3). [c.613]

Как было сказано в гл. 2, задача об упругом равновесии отдельного участка кольцевого элемента сводится к определению значений компонентов вектора Т(2п) из системы разрешающих уравнений. Зная Г,-, можно довольно просто, используя в основном только алгебраические выкладки, приведенные в гл. 2, определить напряжения и упругие перемещения в любой точке элемента. Полагаем, что компоненты Г,- удовлетворяют условию (1.7) и что система разрешающих уравнений представлена в виде (1.3), а также, что решения системы уравнений [c.39]

Задачу о напряженно-деформированном состоянии. корпуса барабана под действием указанных нагрузок можно решить двумя способами. В первом случае нагрузки и перемещения представляют рядами, удовлетворяющими системе уравнений (48) — (50), откуда определяют соотношения между компонентами разложения нагрузки и перемещений. Однако эту задачу легче решить, если воспользоваться полубезмоментной теорией оболочек средней длины с разрешающим уравнением (51). [c.100]

В случае смешанного метода, когда искомыми являются функция напряжений (р (а, р) и функция перемещений ю а, р), система разрешающих уравнений представится так [c.196]

Метод расчета напряженно-деформированного состояния цилиндрических складчатых систем разработал проф. В.З. Власов [24]. К недостаткам метода В.З. Власова следует отнести сложную логику формирования разрешающей системы уравнений, необходимость решать дифференциальные уравнения для каждого элемента конструкции, ограничения на торцевые условия опирания элементов складчатых систем (они должны быть одинаковыми), относительную сложность реализации алгоритма на вычислительных машинах. Позже были разработаны другие эффективные методы расчета складчатых систем. Отметим метод перемещений, основанный на решениях М. Леви (изгиб) и Л. Файлона (плоская задача) для прямоугольных пластин с шарнирным опиранием по торцам [2] и различные модификации метода перемещений и смешанного метода [46, 104]. Метод перемещений устраняет многие недостатки метода В.З. Власова в части реализации алгоритма на персональных компьютерах. Однако он привносит в методику расчета недостатки, связанные с природой метода перемещений. В частности, формирование матрицы реакций требует привлечения матричных операций, образование основной системы привносит недостатки, связанные с ее использованием, необходимы промежуточные вычисления для перехода от перемещений узлов к напряженно-деформированному состоянию во внутренних точках элементов системы. [c.232]

В данной работе предлагается принципиально новый метод расчета цилиндрических складчатых систем, основанный на алгоритме МГЭ для стержневых систем. Теоретической основой метода является вариационный метод Канторовича-Власова. Решение задачи Коши изгиба прямоугольной пластины представлено в 6.2. Его можно использовать для расчета пластинчатых систем в случаях, когда плоским напряженно-деформированным состояниям элементов можно пренебречь. Алгоритм МГЭ устраняет практически все отмеченные выше недостатки существующих методов. Так, для формирования системы разрешающих уравнений типа (1.38) не используются матричные операции, не рассматривается основная система, снимаются ограничения на условия опирания пластин по торцам (граничные условия могут быть любыми, а каждая пластина может иметь смешанные граничные условия и включать как прямоугольные, так и круглые элементы), матрица коэффициентов А сильно разрежена, хорошо обусловлена и может приметаться в задачах статики, динамики и устойчивости, возможен учет ортотропии, ребер жесткости, упругого основания, переменной толщины и т.д. Таким образом, алгоритм МГЭ охватывает практически наиболее общий случай расчета. Перечисленные преимущества сопровождаются, как это бывает всегда, и недостатками. В частности, порядок матрицы А существенно больше порядка матрицы реакций метода перемещений. Однако этот недостаток [c.232]

В настоящее время существует достаточно много методов оценки НДС материала труб, которые могут быть использованы при капитальном ремонте, связанном с необходимостью поднятия или перемещения оси трубопровода. Такая оценка НДС трубопровода может быть проведена по методике [2], где при учете всех действующих факторов определяется НДС трубопровода и подбирается такая конфигурация его продольной оси, которая обеспечивала бы минимальные напряжения. Такая методика хорошо работает для трубопроводов, имеющих прямолинейную продольную ось. Однако для трубопроводов с начально искривленной осью возникает сложность с ее применением, поскольку корректное ее решение требует задания полного комплекса фа-ничных условий, а одним из них является положение фаниц исследуемого участка трубопровода. Кроме того, при оси трубопровода с начальным искривлением существенно усложняется само разрешающее уравнение для определения положения оси трубопровода, поскольку необходимо либо уточнить смысл продольной координаты, либо применять аппарат математического моделирования, связанный с необходимостью повышения размерности задачи (плоский или пространственный изгиб). [c.75]

Решение разрешающей системы уравнений дает возможность установить вектор U узловых перемещений элемента в глобальной системе координат, а следовательно, и вектор узловых перемещений в локальной системе координат Ug = [Г] U. После этого истинные напряжения (4.60) в центре тяжести элемента определяют как сумму результатов, полученных по формулам [c.77]

После компоновки разрешающей системы уравнений и ее решения получаем все компоненты узловых перемещений конструкции, а по ним — любые параметры НДС. В частности, вектор деформаций (4.135) определяем по формуле (4.136), вектор напряжений [c.99]

Для оболочек вращения, обладающих постоянной кривизной меридиана, рассматриваемая задача с помощью статико-геоме-трической аналогии и комплексного преобразования уравнений оболочек сводится к нахождению комплексной разрешающей функции, удовлетворяющей дифференциальному уравнению второго порядка. В случаях конической и сферической оболочек приводятся точные решения в специальных функциях для всех усилий, моментов и перемещений, необходимые для расчета тепловых напряжений. [c.9]

Уравнения (2.41) решаются одним из численных методов, изложенных в п. 4.3 и в работе [20]. В результате получаем параметры Гг, удовлетворяющие системе (2.41) и заданным граничным условиям. Разрешающие параметры определяются с помощью выражений (2.40), а остальные усилия и перемещения — с помощью формул (2.47), (2.49), (2.50) и (10.7). Напряжения в оболочке определяются с помощью формул (2.20), только вместо усилий К и М следует подставлять усилия в оболочке Л юб и Мюб, определяемые выражениями (10.5). Напряжения в ребре вычисляются по формуле (10.2). [c.148]

Таким образом, проблема статики цилиндрической оболочки, собранной из произвольного числа анизотропных однородных слоев, в рамках технической теории приводится к разрешающей системе двух дифференциальных уравнений (13.15) относительно двух искомых функций ср ( , Р) — функции напряжения и 1Р (а, р) — функции перемещения. [c.180]

После этого в главе IX, посвященной теории упругости, осталось дать лишь разрешающие уравнения в двух вариантах — в перемещениях и напряжениях. В этой же главе приводится минимальный материал, имегадий общее значение типы граничных условий, типы задач, полуобратный метод Сен-Венана, интегрирование уравнений Коцш понятие о простейших задачах. Из отдельных задач теории [c.12]

Теории оболочек исторически предшествовала теория плоских пластин. При этом использовались два основных метода вывода разрешающих уравнений. Первый из них был предложен Коши (2311 и Пуассоном [276], а второй — Кирхгофом [2531. Метод Коши—Пуассона основывается на разложении всех перемещений и напряжений пластины по степеням расстояний точек от средней плоскости (либо по некоторой системе функций этой переменной). При сохранении в названных рядах первых слагаемых можно получить уравнение Софи Жермен-Лаграижа. Если же удерживать большее число слагаемых, то, казалось бы, можно получать все более точные уравнения теории пластин. Метод Коши—Пуассона является, следовательно, универсальным методом теории пластин. Однако вокруг него возникла оживленная полемика. [c.6]

Для исследования распространения изгиб-иых воли ао длине оболочки в уравнениях (3.1), (3.2), (1.102), 0-114) достаточно удерживать моменты нулевого и первого порядка. Однако для учета волн, распространяющихся по толщине оболочки и вызываю-щи.х се высокочастотное колебание, в разрешающих уравнениях удерживали моменты до восьмого порядка включителыш. В этом случае Д 8 = 0,625-10 с. Величины перемещений и напряжений определялись в девяти точках по толщине оболочки. [c.112]

Итак, на этом этапе имеем десять неиэвестных (два перемещения, четыре деформации и четыре напряжения) и девять уравнений (четыре физических соотношения, два уравнения равновесия и три геометрических соотношения, связывающие деформации с перемещениями), т. е. одно лишнее неизвестное. Учитывая аналогию в записи разрешающих уравнений для плоского напряженного состояния и плоской деформации, естественно предположить, что [c.47]

В разд. 1.2 описаны исходные допущения модели и дана постановка задачи. Б разд. 1.3 дан вывод основных уравнений, исходя из принципа возможных перемещений Лагранжа, а также сформулированы граничные условия задачи. Указан способ преобразования исходной системы уравнений к разрешающей системе, основанный на введении функций напряжений с помощью соотношения (1.21). Такой анализ несколько отличается, судя по литературе, от наиболее распространенных подходов и, в частности, от подхода, изложенного в статье [8]. В разд. 1.4 решается задача для пластины с двумя ребрами и различными граничными условиями. Даны численные расчеты. В разд. 1.5 содержится решение системы разрешающих уравнений для случая, когда число ребер произвольное. Использован известный способ решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений, приспособленный к специфике данной системы. В разд. 1.6 рассмотрены частные случаи пластин с пятью и шестью ребрами. Приведены подробные численные расчеты и дан анализ влияния параметров пластины и ребер иа характер напряжений. В разд. 1.7 рассмотрена задача оптимального подкрепления пласти-пы произвольным числом ребер переменного сечения. Закон изменения сечения ребер по их длине определяется из условия, что напряжения в ребрах не меняются по длине каждого ребра. В разд. 1.8 и 1.9 описан метод конечных разностей Лля приближенного расчета напряжений в пластине с ребрами, сечение которых лроизвольно изменяется по длине. Точность метода иллюстрируется а примере. В последнем разделе излагается способ приближенного учета поперечной сжимаемости пластины между ребрами, который улучшает картину напряжений в окрестности угловых точек пластины. [c.7]

Остановимся кратко на содержании главы. В разд. 2,2 на основе принципа виртуальных перемещений Лагранжа выведены основные соотношения подкрепленной ребрами криволинейной панели. В разд. 22.3 выделено элементарное решение Сопротивления материалов. Преобразование исходных уравнений для плоской панели к системе разрешающих уравнений содержится в разд. 2.4. Далее в разд. 2.5 изучено напряженно-деформированное состояние симметрично подкрепленной панели. Рассмотрена панель как конечной, так и бесконечной длины. Решение представлено в виде быстросходящихся рядов, даны результаты численных расчетов и программы расчета. В разд. 2.6 изучается эффект подкрепления панели на торце дополнительным ребром, работающим только иа изгиб. В разд. 2.7, как и в разд. 2.5, рассмотрена симметрично подкрепленная панель, но при кососимметрнчиом загруженин ребер парой сил. Решение отличается от полученного в разд. 2.5, так как требуется учитывать изгиб панели в ее плоскости. Решение доведено до числа. В разд. 2.8 рассмотрены панели с двумя ребрами разной жесткости для случа.я, когда поперечное перемещение панелн равно нулю или отлично от нуля. В разд. 2.9 на примере бесконечной пластины с полубесконечным ребром дается оценка погрешности решения путем введения гипотезы отсутствия поперечной деформации пластины. Эта оценка выполнена, путем срав неиня решения на основе упомянутой гипотезы с точным решением, полученным иа основе уравнений плоской теории упругости. Результаты этого раздела опубликованы Э. И. Грнголюком и В. М. Толкачевым [5]. В этой работе дана также общая постановка задач включения на основе гипотезы отсутствия поперечной деформации, рассмотрены задачи для пластины и ребра конечных размеров, для полубесконечной пластины с полубесконечным ребром, а также задача для защемленной по боковым сторонам полубесконечной полосы, нагруженной на торце постоянной распределенной нормальной нагрузкой. [c.68]

Управляющая программа исследования НДС осесимметричных конструкций, регламентирующая взаимодействие совокупности составляющих процедур, описанных ранее, имеет имя R00A21. Ее текст приведен в приложении. Она обеспечивает ввод исходной информации во внутреннем или внешнем представлении формирование разрешающей системы линейных алгебраических уравнений метода перемещений решение этой системы методом LDU-факторизации и определение компонент узловых перемещений для заданных вариантов нагружения конструкции вычитание при необходимости (при заданных единичных значениях соответствующих параметров) характеристик напряженного состояния в центрах тяжести конечных элементов и реакций в жестких и упругих опорах вывод на печать исходной информации вывод на печать узловых перемещений и (или) параметров напряженного состояния в центрах тяжести элементов, и (или) реакций в опорах. [c.132]

В.Н. Паймушина и В.Г. Демидова [218], В.Е. Чепиги [324, 325] и др., для каждого слоя в отдельности принимается система кинематических гипотез. Выбор такой системы определяется деформативными и геометрическими параметрами слоя и является достаточно широким — гипотеза о жесткой нормали, гипотеза прямой линии, гипотеза о линейном или нелинейном распределении всех компонент вектора перемещений по толщине слоя и др. В рамках этого подхода удается достаточно точно аппроксимировать поле перемещений для каждого слоя и описать тонкие эффекты [111, 115, 165], связанные с локальными особенностями деформирования отдельных слоев оболочки. Следует отметить, что порядок разрешающей системы дифференциальных уравнений при таком подходе зависит от числа слоев оболочки и быстро растет при увеличении этого числа, что ограничивает возможности ее практического использования. Кроме того, не всеща оказывается возможным удовлетворить условиям межслоевого контакта по поперечным касательным напряжениям. Отметим, наконец, что всякое изменение структуры пакета слоев требует изменения системы гипотез и, следовательно, модификации разрешающей системы дифференциальных уравнений и пересмотра процедуры ее численного интегрирования, что вносит в расчет дополнительные трудности. Возможно, поэтому в литературе практически отсутствуют публикации численных исследований напряженно-деформированного состояния многослойных оболочек (с числом слоев больше трех), выполненных в такой постановке. [c.8]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...