Интегралы первые 139 их применение

Два других первых интеграла получим применением общих теорем динамики. [c.488]

При применении обычного обозначения для эллиптического интеграла первого рода (.Статика, 127) мы имеем [c.98]

Первые два интеграла подсчитываются после применения теоремы Гаусса — Остроградского к объему dV , ограниченному поверхностью dS<, i + dSi. При этом сразу видно, что первый интеграл равен нулю, а второй равен [c.78]

Можно выделить различные аспекты использования МКЭ в задачах механики разрушения [165, 166]. Первое — это расчет тарировочных зависимостей параметров, контролирующих разрушение (коэффициентов интенсивности напряжений, контурного /-интеграла и т. д.) для областей различной формы. Второе, весьма многообещающее направление применения МКЭ,— моделирование процессов разрушения или поведения тел с неподвижной [c.82]

Эти четыре первых интеграла совпадают с теми, которые мы нашли непосредственно (л. 407) путем применения общих теорем. Два первых выражают, что горизонтальная проекция центра тяжести совершает прямолинейное и равномерное движение третий показывает, что составляющая г мгновенной [c.370]

Если бы этот новый интеграл был всегда отличен от (р и ф и от остальных новых интегралов, уже полученных применением этой теоремы, то достаточно было бы знать только два интеграла, чтобы вывести из них шаг за шагом все остальные интегралы. Это, однако, может иметь место лишь в исключительных случаях. Скобка Пуассона может дать уже найденный интеграл или привести к постоянной. Теорема Пуассона, хотя и не имеет такого значения, которое ей можно было бы приписать с первого взгляда, может тем не. менее оказать большие услуги. Особенно интересную форму получает эта теорема, когда Н не содержит переменной I. [c.254]

Свойство инвариантности является основным для практического применения теории множителя. Предположим, что известны к —2 независимых первых интеграла системы дифференциальных уравнений (1) [c.320]

Для того чтобы можно было надеяться получить из двух первых интегралов много или даже все первые интегралы, недостающие для построения общего интеграла, надо, чтобы хотя бы один из двух известных исходных первых интегралов был характерен для рассматриваемой частной задачи, чтобы он как можно полнее отражал физическую сущность именно данной задачи. Если за исходные первые интегралы брать интегралы, вытекающие из основных, общих для всех систем теорем динамики, то вряд ли в общем случае можно надеяться на эффективное применение теоремы Якоби-Пуассона. [c.337]

Метод, которым пользуюсь я, представляет собой замечательный пример применения метода неопределенных множителей в теории максимумов и минимумов, а также пример того, как эти множители вполне определяются при помощи граничных условий. Этот метод, кроме того, имеет то преимущество, что обе функции Т и V здесь непосредственно вводятся в вычисления из них- первая представляет собой половину суммы живых сил, а другая — интеграл суммы количеств движения. [c.167]

По поводу различных задач, относящихся к движению системы материальных точек и рассмотренных до сего времени, можно сделать одно важное и интересное замечание Во всех случаях, когда силы являются функциями только координат движущихся точек и когда задачу удалось свести к интегрированию дифференциального уравнения первого порядка с двумя переменными, оказывается также возможным свести эту задачу к квадратурам. Мне удалось превратить это замечание в общее положение, которое, как мне кажется, дает новый принцип механики. Этот принцип, так же как и другие общие принципы механики, дает возможность получить интеграл, но с той разницей, что другие принципы дают только первые интегралы дифференциальных уравнений динамики, тогда как новый принцип приводит к последнему интегралу. Этот принцип обладает общностью, более высокой, нежели другие принципы, потому что он применим к случаям, когда аналитические выражения сил, а также уравнения, выражающие структуру системы, содержат координаты движущихся точек в любой форме. С другой стороны, принципы сохранения живых сил, сохранения площадей и сохранения центра тяжести во многих отнощениях имеют преимущество перед новым принципом. Прежде всего, эти принципы дают конечное уравнение между координатами движущихся точек и составляющими их скоростей, тогда как интеграл, получаемый на основании нового принципа, требует еще квадратур. Во-вторых, применение нового принципа предполагает, что уже найдены все интегралы, кроме одного, предположение, которое осуществляется лишь в очень небольшом количестве задач. Но это обстоятельство не может уменьшить- ценности нового принципа, в чем, я надеюсь, убедит применение его к нескольким примерам. [c.294]

В первом случае структурная схема уравнений выражает все элементарные математические операции и связи между ними, свойственные рассматриваемой системе дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений движения машинного агрегата. Такие схемы универсальны в своем применении для машинных агрегатов любой сложности, содержащих механические, электрические, гидравлические и другие звенья. Условные обозначения для математических операций, используемые при составлении структурных схем уравнений приведены в табл. 16. [c.326]

Из табл. 1 видно, что вычисления по формулам (22) и (26) удовлетворительно согласуются с расчетами Г. Шу. Кроме того, сравнение с точным решением Г. Шу косвенно доказывает, что примененный метод последовательных приближений при решении дифференциальных уравнений (17) и (18) удовлетворительно сходится, а приближенное вычисление интеграла в первой части уравнения (14) имеет Достаточно высокую степень точности. [c.241]

С помощью выделения составляющих X игр из известного точного или приближенного аналитического решения исходной системы уравнений (1) и вычисления интеграла (8). Найденные выражения для W в этом наиболее простом случае могут быть полезны, во-первых, для использования при приближенном решении более сложных задач, чем исходная, и, во-вторых, для лучшей интерпретации полученных результатов. Можно также решать систему уравнений (4)—(5) или непосредственно исходную систему (() на ЭВМ, затем вычислять интеграл (8) и аппроксимировать с учетом теории подобия и размерностей соответствующую функцию U7 (X, X, t) подходящим аналитическим выражением (последнюю операцию часто удобно выполнять также с применением ЭВМ). [c.243]

Использование / -интеграла, определенного, как в (2.49), для произвольного пути интегрирования Г, предполагает включение интеграла по объему, в связи с чем примененное выше представление о независимости от пути интегрирования многим кажется бесполезным. Эта точка зрения тем не менее отличается излишней традиционностью. В самом деле, вычисление (2.49) требует предельного перехода при определении интеграла по объему, включающему в себя вершину трещины, а отсюда при поверхностном подходе создается впечатление о необходимости знания характера полей у вершины трещины, в котором нет необходимости для так называемого /-интеграла статических задач теории упругости [когда в (2.49) й = й = 0]. Во-первых, из (2.49) очевидно, что использование этого уравнения не требует знания распределения полей напряжений и деформаций у вершины трещины, необходимы сведения о полях перемещений, скоростей и ускорений. Во-вторых, из сравнения (2.49) (при интегрировании по внешней поверхности 5) с (2.21) оказывается, что [c.141]

В своей первой работе по применению простого релаксационного метода Клеменс [121] учитывал К-процессы, предполагая, что они устраняют расходимость эффективного времени релаксации при малых д время релаксации для фононов при д < kйT Ьv равно времени релаксации при д = kъT Ьv = д . Теплопроводность определяется выражением (4.9) или (4.11) с учетом этого изменения, так что интеграл разбивается на две части для значений д от 0 до да время релаксации постоянно, но от да до макс оно зависит от д обычным образом. [c.65]

Применение формулы Мора значительно упрощается если один из подинтегральных моментов выражается уравнением первой степени, т. е. если одна из эпюр прямолинейна, а жесткость балки V постоянна. Заметим, что в прямолинейном стержне эпюра моментов от единичной силы всегда будет состоять из прямолинейных участков. К каждому такому участку - применимо преобразование интеграла (144), предложенное в 1925 г. А. К. Верещагиным и излагаемое ниже. [c.198]

Критерий оптимальности оценивания в случае (5.5) включает в себя только гладкие функции, поэтому шаг At может быть достаточно большим (поскольку шаг At не связан с периодом колебания измеряемых функций (5.1)) и согласования фаз измеряемых функций не требуется. Затраты машинного времени на решение задачи идентификации при этом существенно сокращаются, так как в случае (5.3) значение интеграла вычисляется один раз для всего мерного интервала а в случае (5.4) уменьшение объёма вычислений достигается за счёт применения усреднённых уравнений движения. Если количество независимых функций Hk равно числу измерений в каждый момент времени ti, то есть р = т, то точность интегрального метода будет соответствовать точности МНК. Если же это условие не выполняется и р < т, то точность интегрального метода будет ниже. Однако здесь надо учитывать следующие обстоятельства. Во-первых, есть случаи, когда не может быть обеспечена достаточная для МНК частота измерений. Например, при входе по крутой траектории в плотные слои атмосферы частота собственных колебаний тела, а следовательно и частоты колебаний измеряемых угловых скоростей и перегрузок могут достигать величин, превышающих частоту работы существующих измерительных систем. Тогда МНК, в отличие от интегрального метода, не даст сколько-нибудь достоверных результатов. Во-вторых, при р < т повышение точности оценивания по интегральному методу можно достичь путём увеличения мерного интервала t , что нельзя сделать при использовании традиционного метода, поскольку с ростом tY, увеличивается сдвиг фаз между измеренными и расчётными функциями. [c.146]

В первых двух пунктах этого параграфа рассматривается двумерная задача о возбуждении бесконечного диэлектрического слоя. Применение интеграла Фурье приводит к такому же аппарату, что и в задаче 16, и ниже будут описаны только т [c.170]

Уравнения прямого изопериметрического пути, получаемые применением оператора Эйлера-Лагранжа к функции F q,t,q) (8), имеют множитель Л у группы слагаемых, определяемых функцией V q, t, q). Поэтому получаемые уравнения можно рассматривать как некоторое обобщение уравнений движения системы с функцией Лагранжа (5) и обобщённым потенциалом (6) (последние получаются при Л = 1). В частности, если функция Лагранжа и обобщённый потенциал не зависят явно от времени dF dt = 0), то в системе (7), (8) имеется первый интеграл [c.131]

В этой главе будет рассмотрено равновесие упругого слоя, т. е. упругой среды, ограниченной двумя параллельными плоскостями (торцевыми плоскостями). Эта задача, являющаяся развитием и продолжением рассмотренной в предшествующей главе задачи о равновесии упругого полупространства, представляет интерес в нескольких отношениях. Во-первых, результаты решения некоторых частных случаев, например случая упругого слоя, покоящегося на жёстком основании, имеют непосредственное прикладное значение в строительной механике и фундаментостроении. Во-вторых, она интересна и по методу решения, так как даёт применение интеграла Фурье к нетривиальной задаче пространственной теории упругости. В-третьих, она имеет непосредственную связь с важной задачей о деформации толстой плиты, представляющей часть упругого слоя, ограниченного цилиндрической поверхностью с образующими, перпендикулярными к торцам слоя. [c.146]

Расчёты, относящиеся к случаю касательного нагружения ( 8), взяты из работы П. 3. Лифшица Напряжённое состояние в круглом цилиндре, нагружённом по боковой поверхности касательными усилиями > (Публикуется в Известиях ОТН Акад. наук СССР.) О применении метода интеграла Фурье, использованного в 6—8, к задаче о равновесии кругового цилиндра, нагружённого по боковой поверхности, имеется краткое указание на стр. 488—491 книги Э. Кокера и Л. Файлона Оптический метод исследования напряжений (ОНТИ, 1936). Числа первых двух столбцов таблицы 15 взяты из этого труда. Остальные данные таблицы 15, а также таблиц 13 и 14 приведены в указанной работе П. 3. Лифшица. [c.439]

Метод получения полного интеграла уравнений в частных производных первого порядка, состоящий в последовательном применении теоремы 9.4.3, называется методом Имшенецкого разделения переменных. Рассмотрим несколько примеров на применение этого метода. [c.651]

Производная da/dt называется секторной скоростью, а сам первый интеграл (18.14)—интегралом плоп1адей. Формула (18.14), примененная к движению планет вокруг Солнца (см. пример 15.3), представляет второй закон Сеплсра радиус-вектор планеты в равные проме кутки времени описывает равные площади. [c.335]

Этот первый интеграл может быть, очевидно, получен независимо от метода Жильбера, Это интеграл энергии в применении к относительному движению по отношению к осям Охуг. [c.319]

Однако указанные применения носят слишком специальный характер, чтобы на них можни было построить доказательство общего принципа кроме того, они несколько неопределенны и произвольны, что придает некоторую ненадежность и выводам, которые можно было бы сделать на основании их о точности самого принципа. Поэтому мне кажется, было бы неправильно изложенный в таком виде принцип ставить в один ряд с теми принципами, которые были указаны выше. Существует, однако, и другой способ его применения, более общий и более точный, который один только и заслуживает внимания математиков. Первую идею этого принципа дал Эйлер в конце своего сочинения De isoperi-metri is , напечатанного в Лозанне в 1744 г. он показал, что при траекториях, описанных под действием центральных сил, интеграл скорости, умножен- [c.319]

Таким образом в тех случаях, когда остальные принципы сводят задачу к дифференциальному уравнению первого порядка, новый принцип peniaei ее полностью. Сюда принадлеащт задача притяжения точки неподвижным центром, нричем закон притяжения произволен далее следует притяжение к двум неподвижным центрам, в предположении, что имеет место притяжение по закону Ньютона, и наконец, вращение вокруг точки тела, не подверженного действию внешних сил. При притяжении к двум неподвижным центрам, кроме применения старых принципов, совершенно необходим еще интегра.г, найденный Эйлером особым искусственным приемом тфи помощи этого интеграла задача сводится к дифференциальному уравнению первого порядка с двумя переменными. Но это уравнение крайне сложно и его интегрирование есть одно из величайших мастерских творений Эйлера. При помопщ нового принципа множитель этого уравнения получается сам собой. [c.6]

Применения метода. Простейший объект приложения метода С. п.— бесконечная однородная система взаимодействующих по закону Кулона ферми-частнц в массой т, зарядом в и спином (электронов) в присутствии однородного компенсирующего фона противоположного знака заряда. В методе С. п. энергия такой системы в единице объёма равна к р /10п т — е ро /4л, где Ро — (Зл п) /, п — плотность числа частиц, первый член — кинетическая, второй — обменная энергия. Этот результат используют для упрощения интегро-дяф ренц. ур-ния Хартри — Фока (5), заменяя его дифференц. ур-нием Хартри — Фока — Слэтера, где —в [3л я(г)] /л, п(г) - 2па фдР [c.414]

Формулировка Мопертюи принципа наименьшего действия была еще весьма несовершенна. Первая научная формулировка принципа была дана Эйлером в том же 1744 г. в сочинении Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума либо минимума, или решение изопериметрической задачи . Он сформулировал свой принцип следующим образом интеграл J mvds имеет наименьшее значение для действительной траектории, рассматривая последнюю в группе возможных траекторий, имеющих общие начальное и конечное положения и осуществляющихся с одним и тем же значением энергии. Эйлер дает своему принципу точное математическое выражение и строгое обоснование для одной материальной точки, подчиненной действию центральных сил. На протяжении 1746—1749 гг. Эйлер написал несколько работ о фигурах равновесия гибкой нити, где принцип наимень шего действия получил применение к задачам, в которых действуют упругие силы. Дальнейшее продвижение здесь было достигнуто трудами Ж. Лагранжа. [c.185]

В работах русских ученых всесторонне исследована первая вариация интеграла действия Д. К. Бобылев использовал при исследовании метод произвольных постоянных, И. И. Сомов привлек криволинейные координаты, И. Д. Соколов отметил специфические особенности применения метода неопределенных множителей для получения уравнений движения, возникающие в силу особого характера условного уравнения Т— U = onst Г. К. Суслов обобщил принцип Гамильтона — Остроградского на случай неголономных связей. [c.220]

Доулинг [44, 45] сделал первую попытку применения /-интеграла в качестве параметра нелинейной механики разрушения для исследования распространения трещины при малоцикловой усталости. Результаты его работы приведены на рис. 6.36. По оси абсцисс отложены величины циклического /-интеграла А/, при этом, рассматривая деформацию за каждый полуцикл растяжения при циклическом нагружении как независимую направленную деформацию, выразили величину / за соответствующий период как AJ. Предложены различные способы определения AJ. Доу-8 219 [c.219]

Первая половина книги (гл. 1—5) посвящена изложению основных положений теоретической механики разрушения. В них приводятся основные соотношения упругой, уиругопластпческой и динамической механики разрушения, содержится обширный материал по применению не зависящего от пути энергетического интеграла в качестве критериального параметра механики разрушения с учетом нелинейных и динамических эффектов. [c.6]

Первые п уравнений определяют обобщенные координаты г/ как функции t и 2п произвольных постоянных а , Подставляя г/А=г/й( > . п. Pi. > Р ) во вторую группу уравнений (41), находим обобщенные имнульсы как функции t ш 2п произвольных постоянных ttft, Pfe. Якоби разработал и алгоритм решения обратной задачи [7, 165] по известному общел1у решению канонической системы (1) можно построить полный интеграл S t у и. .., Уп, tti,. .., а ) уравнения Гамильтона — Якоби (38). Из теоремы Гамильтона — Якоби вытекает, что асимптотические методы решения канонических систем (1) и уравнения (38) эквивалентны с точки зрения полноты и точности их решения. Поэтому их применение в конкретных задачах в большой степени определяется привычкой и желанием исследователя. [c.201]

Гамильтон считал, что главная функция S должна удовлетворять двум уравнениям в частных производных первого порядка (17) и (18). Это обстоятельство уменьшало, видимо, возможности применения метода к частным задачам механики, Якоби показал, что необходимость соблюдения уравнения (18) совершенно излипшя чтобы иметь возможность проинтегрировать уравнения движения по формулам (16), достаточно найти интеграл лишь одного уравнения (17), содержащий надлежаш ее число параметров. Вместе с тем Якоби показал, что этими параметрами могут и не быть начальные значения координат q. Это существенное улучшение результатов Гамильтона имеет особое значение для применения рассматриваемого метода интегрирования канонических уравнений. [c.20]

Второе направление, тесно связанное с первым, представлено работами по теории возмущений небесной механики. Наибольшее значение здесь имели исследования Ж. Лагранжа и П. С. Лапласа. Математический аппарат и методы теоретического исследования тут по сути те же, что и в теории малых колебаний. Однако в идейном отношении существенно то, что рассматривается устойчивость некоторого состояния движения и что само содержание понятия устойчивости в связи с этим изменялось. Сдвиг в сторону динамики демонстрирует нам и еще один важный результат, полученный механикой XVIII в.,— теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия механической системы, соответствующего максимуму силовой (или минимуму потенциальной) функции. Доказательство теоремы, логически проведенное небезупречно, основано на применении интеграла живых сил. [c.119]

Первый интеграл в правой части может быть вычислен путем применения теоремы Гаусса, если учесть, что дф11дп = дх1дп [c.94]

Применение схемы Смита на реальном объекте рассмотрено в работе Люпфера и Оглсби [Л. 14]. Объект характеризовался постоянными времени 13,1 11,1 и 0,5 мин и запаздыванием 9,5 мин. Применение точной импульсной функции, соответствущей уравнению (9-10), либо звена первого порядка позволило вдвое уменьшить интеграл ошибки. [c.255]

Тем более подобные ситуации возможны при распространении метода Гамильтона — Якоби на системы с неголономными связями. Мы проиллюстрировали предложенный нами описанный способ применения метода Гамильтона — Якоби к неголономным системам на примере частного случая задачи Каратеодори — Чаплыгина, а также на примере движения без скольжения однородного шара по горизонтальной плоскости. Для данной задачи уравнение Гамильтона — Якоби было составлено в нормальных неголономных координатах, полный интеграл был найден и с его помощью выявлен один первый интеграл уравнений движения — неизменность проекции угловой скорости шара на вертикаль. Этого было достаточно для решения всей задачи в силу наличия двух дифференциальных уравнений связей, интеграла энергии и вытекавшей из элементарных соображений общей механики прямолинейности движения центра тяжести шара. Наши работы по данному вопросу получили в дальнейшем отклик. В конце сороковых годов итальянский механик Пиньедоли опубликовал статью по данному вопросу с той же методикой. В настоящее время данной проблемой занимались в своих кандидатских диссертациях молодые научные работники (Назнев X. А., Титкова С. И.). [c.8]

Другой способ решения задачи заключается в разыскании параметров Родрига—Гамильтона. Тогда речь будет идти об интегрировании системы четырех дифференциальных уравнений (8.11), допускающих первый интеграл (2.7). Если ввести комплексные комбинации (9.6) параметров Родрига—Гамильтона, т. е. принять за величины, определяющие положение тела, параметры Кейли—Клейна, то система (8.11) примет вид (10.5), а первый интеграл (2.7) — вид (9.4). Применение параметров Кейли—Клейна дает более простую формулировку задачи. Действительно, система (10.5) распадается на две системы линейных уравнений первого порядка совершенно одинаковой структуры. Каждая из них имеет вид [c.128]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...