Принцип наименьшего действия Мопертюи

Принцип наименьшего действия Мопертюи — Лагранжа [c.127]

Переходим теперь к установлению принципа наименьшего действия Мопертюи — Лагранжа. Поскольку уравнения (8) [c.130]

Вариационный принцип (18) носит название принципа наименьшего действия Мопертюи — Лагранжа ). [c.132]

В качестве примера рассмотрим сравнение оптического принципа Ферма с принципом наименьшего действия Мопертюи—Лагранжа ). [c.132]

Принцип наименьшего действия Мопертюи 271 [c.271]

ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ МОПЕРТЮИ [c.271]

Примечание 1. Теорема п. 352 в форме следствия п. 354 соответствует принципу наименьшего действия Мопертюи. Чтобы выразить точно отношение к этому принципу, мы должны выражаться так же, как в п. 350. [c.533]

Характерно, что принцип наименьшего действия, даже после того, как он был полностью узаконен в механике Лагранжем, не оказал никакого существенного практического влияния на научный прогресс. Его рассматривали скорее как математический курьез, как интересный, но излишний придаток к ньютоновым законам движения. Еще в 1837 г. Пуассон смог назвать его лишь бесполезным правилом . Только после исследований Томсона и Тэта, Г. Кирхгофа, К. Неймана, Л. Больцмана и др., когда оказалось, что принцип наименьшего действия является инструментом, отлично используемым для разрешения проблем гидродинамики и теории упругости, в то время как другие математические методы частью оказались более неуклюжими, частью вовсе отказывали, был подготовлен перелом и начали ценить эвристическое значение принципа. Томсон и Тэт сказали об этом (1867 г.) знаменитый принцип наименьшего действия Мопертюи до сих пор рассматривался скорее как странное и несколько запутанное свойство движения, чем как полезное руководство в кинетических исследованиях. Но мы твердо убеждены, что ему придадут гораздо более глубокое [c.585]

Принцип наименьшего действия Мопертюи — Лагранжа менее общий, чем принцип Гамильтона. Он применим только к системам, у которых связи не зависят явно от времени, а силы обладают силовой функцией, не зависящей явно от времени. [c.502]

Требование (9.248) представляет собой принцип наименьшего действия Мопертюи. [c.454]

Это есть принцип наименьшего действия Мопертюи, обобщенный для произвольного лагранжиана его нужно понимать следующим образом уравнение (79) позволяет исключить производные по времени выражая их через [c.678]

В настоящее время этот принцип называется принципом наименьшего действия Мопертюи—Лагранжа. (Прим. ред.) [c.342]

Обращаясь к принципу наименьшего действия Мопертюи — Эйлера — Лагранжа (см. 17, гл. IV), Якоби замечает, что почти во всех учебниках, даже и в лучших, как Пуассона, Лагранжа и Лапласа, этот принцип представлен так, что, по моему мнению, его нельзя понять ([38], шестая лекция). Упрек Якоби относится, главным образом, к тому, что в изложении того времени была неясной связь принципа наименьшего действия с теоремой живых сил (с интегралом энергии). Кроме того, Якоби указывает на неудачное название самого принципа и связанное с этим неправильное понимание его сущности. [c.257]

Л. Эйлер впервые строго доказал принцип Мопертюи для случая движения материальной точки, находящейся под действием центральной силы (1744 г.). Наконец, Ж. Лагранж распространил принцип наименьшего действия на широкий класс задач динамики системы. [c.201]

Телеологические взгляды Мопертюи несколько задержали научное исследование принципа наименьшего действия . Телеологический — целенаправленный.) Критика взглядов Мопертюи приведена в конце этого параграфа. [c.201]

В этом случае строгое решение задачи, основанное на волновой теории, практически не отличается от решения, найденного методом геометрической (лучевой) оптики. Установив, как зависит показатель преломления от свойств среды, т. е. от силовых полей, в которых движется электрон, мы можем рассчитать его движение по правилам геометрической оптики. С другой стороны, можно рассчитать движение электрона по обычным законам механики, зная силы, действующие на электрон. На возможность рассмотрения механической задачи с оптической точки зрения указывалось уже давно. Более 100 лет назад Гамильтон (около 1830 г.) показал, что уравнениям механики можно придать вид, вполне аналогичный уравнениям геометрической оптики. Первые можно представить в виде соотношения, выражающего принцип наименьшего действия (принцип Мопертюи, из которого можно получить уравнения ньютоновой механики), а вторые — в виде соотношения, выражающего принцип наименьшего оптического пути (принцип Ферма, из которого следуют законы геометрической оптики, см. 69). Оба эти принципа имеют вполне тождественное выражение, если подходящим образом ввести понятие показателя преломления. Блестящим результатом современной теории является то обстоятельство, что устанавливаемый ею показатель преломления связан с параметрами, характеризующими силовые поля, в которых движется частица, именно так, как требуется для отождествления принципа [c.358]

Тем самым мы подробно обосновали принцип наименьшего действия в форме Мопертюи. [c.275]

Мопертюи считал свой принцип наиболее общим из всех законов природы. В настоящее время мы скорее склонны признать эту всеобщность за принципом наименьшего действия Гамильтона. Мы уже упоминали на стр. 246 о том, что Гельмгольц положил этот принцип в основу своих исследований по электродинамике. С тех пор интегральные принципы в форме Гамильтона нашли применение в самых различных областях физики. [c.277]

Отметим, что в интеграле (3) полностью исключено время, и принцип (4) содержит только геометрические элементы. В такой форме принцип Мопертюи-Лагранжа впервые был представлен Якоби. Поэтому приведенную выше формулировку принципа Мопертюи-Лагранжа часто называют принципом наименьшего действия Якоби. [c.484]

Названные исследователи сначала применили принцип наименьшего действия лишь к механике весомых тел и представляли при помощи этого принципа либо движение системы совершенно свободных материальных точек, либо системы материальных точек, подчиненных жестким связям. Физические предположения, из которых они исходили, в основном заключались в законах движения Ньютона и том способе, каким обычно в механике в соответствии с опытом определяли действие неизменяемых связей, наложенных на материальные точки. Однако позже, когда научились правильно обращаться с интегралом Мопертюи, выяснилось, что нужна также предпосылка о справедливости закона сохранения энергии ). Сначала это казалось существенным ограничением области пригодности принципа наименьшего действия, пока новейшие физические исследования не показали, что закон сохранения энергии имеет всеобщую значимость, так что упомянутое кажущееся ограничение на деле ничего не ограничивает. Нужно только для исследуемого явления знать полностью все формы, в которых проявляются эквиваленты энергии, чтобы включить их в расчеты. С другой стороны, казалось спорным, могут ли быть подведены под принцип наименьшего действия другие физические процессы, которые не сводятся непосредственно к движению весомых масс и ньютоновым законам, процессы, в которых, однако, фигурируют известные количества энергии. [c.430]

Отсюда ясно уже теперь, что область применимости принципа наименьшего действия расширилась далеко за пределы механики весомых тел и что большие надежды Мопертюи на его всеобщность приближаются, как кажется, к осуществлению, как бы ни были скудны механические доказательства и как бы ни были полны противоречий метафизические умозрительные рассуждения, которые сам автор сумел привести в пользу своего нового принципа. [c.433]

Подобные общие принципы, в которых выставляется требование, чтобы интеграл некоторой функции состояния, распространенный на время, в течение которого происходит изменение состояния, имел экстремальное значение, иногда обязательно минимальное, выдвигались неоднократно. Эти принципы имели различную форму, соответствующую тем или другим условиям, налагаемым на варьирование, но при правильном выполнении требуемых варьирований все эти принципы приводят к одним и тем же дифференциальным уравнениям для рассматриваемых процессов. Первым из этих интегральных принципов был предложенный Мопертюи принцип наименьшего действия, в котором утверждалось, что при всех происходящих в природе явлениях среднее значение живой силы имеет минимальное значение. Условия варьирования, имеющие при этом место для механических задач, найдены только Лагранжей, и тем самым этот принцип был только им научно обоснован. Эти условия с современной точки зрения могут быть выражены требованием, чтобы полная энергия варьированного движения оставалась равной полной энергии действительного движения. Впрочем, к тем же результатам приводит принцип Гамильтона, при котором имеет место другое условие, а именно, что время не затрагивается варьированием. Это последнее условие имеет то преимущество, что мы имеем возможность присоединить к Я добавочные члены, относящиеся к внешним силам. Поэтому мы оставляем форму Гамильтона, которая теперь при сохранении прежнего условия варьирования гласит [c.465]

Этот интеграл, взятый таким образом в независимой от времени форме, снова оказывается минимумом. В данном случае — это принцип наименьшего действия в форме Мопертюи. Если бы й не было равно нулю, то следовало бы только заменить Р на Р — Л. [c.500]

В формулировках принципа наименьшего действия, обсуждавшихся до сих пор, не уделялось внимания условиям движений, предположенных возможными, и все-таки эти условия имеют такое же значение, как и сама величина действия, так как в зависимости от характера наложенных условий содержание принципа принимает совершенно различное значение. Дело идет не только о признаке, по которому сделан выбор, но и о природе движений, которые подлежат отбору. Однако, пока это обстоятельство, недооценка которого привела ко многим роковым ошибкам, было ясно понято и принцип наименьшего действия получил первую правильную формулировку, прошло длительное время. Если открытие принципа наименьшего действия приурочить именно к этому моменту, то только Лагранжу можно приписать эту заслугу. Между тем такая оценка была бы несправедлива в отношении тех людей, которые подготовили почву и начали работу, впоследствии удачно завершенную Лагранжем. К числу этих людей относятся прежде всего Лейбниц, судя главным образом по его письму 1707 г., оригинал которого утерян, затем Мопертюи и Эйлер. [c.583]

Моро де Мопертюи, назначенный Фридрихом Великим президентом Прусской Академии наук (1746—1759), не только признал существование и значение принципа наименьшего действия, но, напрягая все свои силы, пытался выставить этот принцип в благоприятном свете как в науке, так и за пределами науки. Правда, рвение, граничащее с раздражительностью. [c.583]

Формулировка принципа наименьшего действия, данная Мопертюи, не говорит ничего другого, кроме того, что количество действия, употребленное на происходящие в природе изменения, всегда является минимальным . Следовательно, строго говоря, она вообще не дает никакого заключения о законах изменения. Ибо до тех пор, пока не установлены условия, которым должны быть подчинены возможные изменения, еще ничего не сказано о том, какие изменения должны быть сравниваемы между собой. Мопертюи не хватило аналитической критики для того, чтобы ясно увидеть этот пробел. Этот недостаток станет тем понятнее, что сам Л. Эйлер, который в отстаивании принципа стоял на стороне своего коллеги и друга и, во всяком случае, как математик значительно превосходил Мопертюи, не смог добиться ясной формулировки принципа. [c.584]

Заслуга Мопертюи, собственно, заключалась скорее в том, что он вообще искал принцип минимума, который являлся, в сущности, путеводной звездой его спекуляций. Поэтому он привлек также принцип Ферма, так называемый принцип скорейшего прибытия, хотя с принципом наименьшего действия он находится в весьма косвенной и для тогдашней физики во всяком случае непонятной связи. В основе этого интереса к принципу минимума лежала метафизическая идея о том, что господство божества открывается в природе, что поэтому в основе каждого процесса природы лежит намерение, направленное на достижение определенной цели и знающее, как достичь эту цель наикратчайшим путем, с помощью наипростейших средств. [c.584]

Это и есть принцип наименьшего действия Мопертюи Эйлера— Лагранжа — Якоби) ). Важно отметить, что отрезок о х Ь, параметризующий кривую у, не фиксирован и может быть разным у сравниваемых кривых. Зато одинаковой должна быть энергия (функция Гамильтона). Заметим также, что принцип определяет форму траекторк[и, но не время для определения времени нужно воспользоваться постоянной энергии. [c.216]

Может, правда, показаться, что если почерпнуть истолкование из соединенных вместе теорий, то тогда этому принципу можно будет придать гораздо более широкое распространение. Ведь поскольку Лейбниц полагает, что лучи движутся тем быстрее, чем больше преодолеваемое ими сопротивление, то в этом случае скорость будет пропорциональна сопротивлению, поэтому она может быть применена в качестве его меры. Отсюда трудность, как это установлено Лейбницем, определяется произведением пройденного пути на скорость. И если это положить за наименьшее, мы получим объяснение знам. г-на де Мопертюи, согласно мнению которого количество действия должно быть выражено через то же самое произведение пройденного пути на скорость. Поэтому, поскольку это произведение действительно является наименьшим не только в движении лучей, но решительно во всех движениях и проявлениях природы, то в этом именно и состоит принцип наименьшего действия. Отсюда может показаться, будто этот самый принцип был замечен уже Лейбницем и совпадает с его принципом наиболее легкого пути. Но если бы мы даже допустили, без всякого исключения, теорию Лейбница, в которой ему угодно утверждать, что от увеличения сопротивления скорость возрастает, никто, разумеется, не подумает, что это происходит во всяком движении, чтобы с ростом сопротивления тотчас же возрастала скорость. Скорее наоборот, из бесчисленных случаев ясно видно, что от сопротивления скорость уменьшается. Поэтому следует считать, что здесь лишь случайно получилось, что принцип наиболее легкого пути совпал с принципом наименьшего действия, точно так же, как случайно выходит, что в оптике и катоптрике птолемеев принцип наименьшего пути тоже совпадает с этим принципом, хотя сущность этих явлений следует искать лишь в одном этом принципе. Отсюда сам Лейбниц, когда он выдает принцип наиболее легкого пути за общий закон природы и считает, что трудность пропорциональна произведению пройденного пути на сопротивление, не может допустить принцип наименьщего действия ни в каких других случаях, кроме тех, где скорость возрастает одинаково с сопротивлением. Но такие случаи чрезвычайно редки, а может быть, они и вовсе не существуют. [c.102]

Здесь весьма достойно внимания также то обстоятельство, что ревностный последователь Лейбница в одно и то же время заставляет нас принять два положения первое, что принцип наименьшего действия соответствует действительности, затем, что его не надо приписывать Лейбницу. А это уже дело удивительной ловкости сл. Кёнига одних он пытается убедить, что принцип знамен, де Мопертюи лишен всякого основания, других же, т. е. тех, кого он не сумел убедить в этом, он старается заставить поверить, что этот принцип открыт самим Лейбницем но во втором Кёниг преуспел не более, чем в первом. [c.103]

У Мопертюи оспаривали приоритет в открытии этого принципа. Г-н Кёниг для доказательства этого сперва привел место из Лейбница, извлеченное из рукописного, письма этого философа это место, напечатанное в Лейпцигских актах , май, 1751 г., содержало грубую ошибку, которая, по уверениям г. Кёнига, является опечаткой, он ее исправил, и, действительно, это переделанное место частично представляет принцип наименьшего действия. Если бы даже письмо Лейбница было подлинным (чего мы отнюдь не предрешаем), оно, не будучи опубликовано, ни в какой мере не умаляет принадлежности этого принципа г. Мопертюи. Г-н Кёниг, видимо, признает это в своем Обращении к публике о решении Прусской академии наук, вынесенном против подлинности этого отрывка. [c.114]

После того как Эйлер доказал этот принцип для случая притяжения к неподвижным центрам, ему не удалось доказать его для взаимных притяжений, для которых было неизвестно значение принципа живой силы поэтому он довольствуется тем заявлением, что для случая взаимных притяжений выкладки были бы слишком длинны, но принцип наименьшего действия должен и здесь иметь место, так как основные положения здоровой метафизики показали, что силы природы всегда обязательно должны производить наименьшее действие (как он думал, благодаря присущей телам инертности). Но этого не показывает ни здоровая и никакая вообще метафизика, и на самом деле Эйлера побудило к такой фразе только неправильное понимание названия наименьшее действие . Мопертюи хотел этим названием выразить, что природа свои действия производит с наименьшей затратой сил, и в этом заключается истинное значение названия prin ipe de la moindre a tion . [c.297]

Говоря в этой статье о принципе наименьшего действия, я хотел бы, чтобы под этим понимали не только первоначальную форму этого принципа, принадлежащую П. де Мопертюи ), которая, между прочим, лишь много позже (это сделал Лагранж) получила точное определение условий варьирования и полное докаэательство. Я хочу под этим названием, как самым старым и наиболее известным, понимать также различные преобразованные формы этого предложения, которые были развиты из принципа Мопертюи У. Гамильтоном ) Последний составил два дифференциальных [c.430]

Ж. Лагранж первый ясно сформулировал принцип наименьшего действия (1760 г.). Среди всех движений, которые приводят систему материальных точек при постоянной полной энергии из определенного исходного положения в определенное конечное положение, действительное движение производит минимальное действие. Следовательно, возможные движения должны удовлетворять принципу сохранения энергии, зато они могут происходить в любое время. В соответствии с этой формулировкой путь одной материальной точки без приложенной движущей силы таков, что она с постоянной скоростью и в кратчайщее время достигнет цели. В качестве кривой пути получается линия кратчайшей длины, т. е. для свободной точки — прямая линия. К. Якоби и У. Гамильтон показали впоследствии, что принцип допускает и совершенно иные формулировки. Особую важность для будущего представляла формулировка, которую предложил Гамильтон. В ней сравниваемые возможные движения не должны обладать постоянной полной энергией, а вместо этого все должны протекать в одно и то же время. Но в таком случае действие, которое для действительного движения принимает минимальное значение, надо выражать не интегралом по времени от кинетической энергии, данным Мопертюи, а интегралом по времени от разности между кинетической и потенциальной энергиями. В применении к указанному выше примеру материальной точки, движущейся без воздействия движущих сил, принцип из всех возможных кривых дает в качестве траектории ту, на которой точка в определенное время с наименьшей скоростью достигает своей цели, следовательно, опять-таки наикратчайшую линию. [c.585]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...