Уравнение бифуркационное

Уравнения бифуркационной потери устойчивости конечного элемента оболочки (уравнения по отысканию нагрузки выпучивания оболочки) следуют непосредственно из равенства (33), если его правую часть приравнять нулю. Прн этом варьирование в функционалах осуществляется по перемещениям в бесконечно близкой, но отличной от основного, осесимметричного, деформированного состояния оболочки. Так, если при осесимметричных нагрузках перемещения в пределах конечного элемента оболочки вращения описываются согласно выражениям (24), когда параметр волнообразования п—О, то в точке бифуркации на исходное осесимметричное поле перемещений накладывается дополнительное бесконечно малое (неосесимметричное. пфО) поле перемещений и варьирование в функционалах равенства (33) осуществляется именно по этим дополнительным перемещениям. Для нахождения точек бифуркации на кривой нагрузка—перемещение основное поле перемещений оболочки представим в виде [c.288]

И УРАВНЕНИЯ БИФУРКАЦИОННОГО ТИПА [c.158]

Наконец, заметим, что не должно вызывать недоумения включение в дальнейший материал расчетов на основе физически линейной уп1 гости. Это делается ради простейшей иллюстрации методов решения и качественного сравнения различных трактовок, уравнений бифуркационного типа. [c.184]

Через его козффициенты йг,. .., й , которые являются функциями параметра ц, уравнения бифуркационных поверхностей и Ыа могут быть записаны соответственно в виде [c.102]

Это соотношение дает уравнение бифуркационной кривой, неособым точкам которой (т. е. значениям (Я , Я2) точек этой кривой, для которых (dA /d%i) + дА /дК2) Ф 0) соответствуют системы (Ах), имеющие двукратное состояние равновесия седло-узел. [c.191]

Особенно простое уравнение бифуркационной кривой будет при Я = я (при этом характеристика (7) становится разрывной) [c.448]

Подставляя различные решения Ь 1) и 1 1) системы (6.2) в выражение для энергии (6.1), получаем уравнения бифуркационных кривых Е = = Н Ц1),1 1),1). [c.430]

Уравнение (3.9) представляет зависимость Уо = f (г/ ), а величины х , и 3 считаются фиксированными. Возможные варианты вида бифуркационных диаграмм при различных значениях Хд и закрепленных значениях А, и р показаны на рис. 3.7. Число состояний равновесия в системе [c.55]

Для решения системы уравнений (15.10), (15.11) можно воспользоваться методом Бубнова — Галеркина, который приводит задачу к решению системы однородных алгебраических уравнений относительно неопределенных коэффициентов Атп, бтп- Приравнивая нулю определитель, составленный из коэффициентов этой системы, находим условие для определения бифуркационных значений параметра нагрузки N. Иногда это условие можно получить непосредственной подстановкой выражений (15.13), (15.14) в уравнения бифуркации (15.10), (15.11). [c.326]

Представленная на рисунке 1.9 бифуркационная диаграмма является универсальной, так как применима ко всем процессам, испытывающим удвоение периода. В этом случае эволюция системы с дискретными временными интервалами, отвечающих неравновесным фазовым переходам описывается уравнением (1.24). Оно отражает общую закономерность характерную для эволюции систем с обратной связью. [c.71]

Бифуркационный критерий устойчивости, рассмотренный в 4.4, как мы выяснили там, не всегда дает ответ на вопрос об устойчивости или неустойчивости равновесия. Неполнота этого критерия связана с тем, что он устанавливает возможность иди невозможность смежного состояния равновесия, тогда как при потере устойчивости, вообще говоря, может наступить не новое состояние равновесия, а состояние движения системы. Поэтому естественная постановка задачи устойчивости состоит именно в изучении возможных движений механической системы. Возвращаясь к проблеме устойчивости сжатого стержня, напишем уравнение колебаний такого стержня следующим образом [c.205]

Бифуркационные диаграммы главных семейств (3= ).. Множество особых точек полей любого из семейства (3= ) образует гладкое подмногообразие в произведении фазового-пространства на пространство параметров. Бифуркационная диаграмма для главного семейства (3 ) (множество значений параметра, при которых особые точки семейства сливаются) — это множество коэффициентов многочленов степени р+1, имеющих кратные корни. При р=1 это множество — одна точка, при j, = 2 — полукубическая парабола, при ц = 3 — ласточкин хвост (рис. 5). Деформации векторных полей на прямой с вырожденной особой точкой возникают в теории релаксационных колебаний, как уравнения медленных движений в окрестности точки на складке медленной поверхности ( 2, гл. 4). В п. З.Г указаны только топологические нормальные формы таких деформаций. Для приложений существенны также гладкие нормальные формы они исследуются в 5 главы 2 и оказываются очень похожими на главные семейства (3= ). [c.24]

Рис. 7. Бифуркационная диаграмма главного семейства (4 ) при v=2. Каждой неточечной компоненте бифуркационной диаграммы на рисунке сопоставлено число — количество циклов в уравнении главного семейства, соответствующем набору параметров из этой компоненты

Рис. 19. Бифуркационная диаграмма семейства диффеоморфизмов (7) и соответствующего семейства дифференциальных уравнений. Жирной линией выделены база однопараметрического семейства и вещественная ось

По предположению реле должно переключаться точно через половину периода. Это означает, что интервалы времени между смежными моментами прохождения фазовой траектории через поверхность А равны я. Данное условие нарушится, когда изображающая точка, сойдя с поверхности А в момент времени Тд, вновь коснется плоскости переключений в момент т < Tq - - я. Из условия касания находится еще одна бифуркационная поверхность (о), Р, (х). Уравнение громоздко, и мы его не приводим. Заметим лишь, что при некотором значении параметров возможны лишние переключения реле, т. е. более сложные режимы. [c.238]

В работе [200] показано, что в области бифуркационной неустойчивости система уравнений (123) может быть сведена к системе уравнений реакционно-диффузионного типа [c.116]

Т2 - -pR, S 0=0. Для не слишком коротких оболочек простое и надежное решение дает полубезмоментная теория оболочек (см. п. 9.6.3), Рассмотрев условия равновесия элемента оболочки в отклоненном от начального состояния и удерживая только первые степени бифуркационных перемещений, можно вместо разрешающего уравнения (9.6.17) получить однородное линеаризованное уравнение [c.212]

Рассмотрим равновесие элемента стержня в искривленном, отклоненном от исходного, состоянии (рис. 7.1, в), причем бифуркационные поперечные прогибы w и углы г) наклона касательной будем считать бесконечно малыми. Поэтому при составлении уравнений равновесия искривленного элемента стержня можно положить sin tj = ij), ф = w, sin ( + d-ф) л1) -f (Ц->, os (л[ -Н (1ф) = 1. [c.184]

Теперь для получения однородных линеаризованных уравнений устойчивости достаточно в общих линейных уравнениях, описывающих изгиб цилиндрической оболочки, положить Рг = Ргф. Ра = о, Рф = 0. Так, например, для изотропной оболочки, используя систему уравнений (6.46). .. (6.48), получим систему однородных уравнений относительно бифуркационных перемещений [c.222]

Для замкнутой в окружном направлении цилиндрической оболочки в соответствии с порядком полученной системы уравнений на каждом из торцов должно быть задано по четыре граничных условия два граничных условия относительно нормального прогиба w и его производных и два граничных условия относительно тангенциальных перемещений и и и их производных. Следует подчеркнуть, что входящие в систему уравнений (8.11) бифуркационные перемещения и, V, w описывают отклонения срединной поверхности оболочки от начальной до-критической формы равновесия. Поэтому однородные граничные условия для этих перемещений непосредственно не связаны с граничными условиями начального докритического состояния и должны формулироваться независимо от.них (примеры формулировки граничных условий будут рассмотрены в следующих параграфах при решении конкретных задач устойчивости оболочек). [c.223]

Дифференциальные уравнения (7.13.6) совместно с краевыми условиями (7.13.9), (7.13.10) дают формулировку однородной краевой задачи условия существования ее нетривиальных решений определяют бифуркационные значения параметра р наименьшее из них представляет критическое давление. Аналогичные вычисления позволяют сформулировать краевую задачу, относящуюся к разысканию критического наружного давления в случае полого круглого цилиндра. [c.797]

Рассмотрим критерии подобия в задачах упругой устойчивости оболочек при аффинном соответствии модели и натуры. С этой целью воспользуемся дифференциальными уравнениями устойчивости, которые следуют из энергетического критерия (7.2) при независимом варьировании бифуркационных смещений и использовании гипотез Кирхгофа—Лява совместно с допущениями теории пологих оболочек. Эти же уравнения могут быть получены путем линеаризации уравнений нелинейной теории пологих оболочек относительно дополнительных перемещений и носят название линеаризованных уравнений. Указанные уравнения имеют вид 122, 59] [c.139]

Таким образом, при пошаговом интегрировании уравнений (6.2) или (6.4) по достижении некоторых нагрузок (собственного состояния или бифуркационных) может наступить момент времени, когда касательная матрица жесткости вырождается, т. е. выполняется равенство (7.4), при этом появляются нулевые элементы на главной диагонали матрицы D в разложении (6.8). Число этих элементов соответствует числу линейно независимых собственных векторов задачи (7.3) . Выполнение достаточного критерия единственности (устойчивости) означает положительную определенность квадратичной формы [c.213]

В результате решения уравнений равновесия оболочки в пространстве нагрузка—перемещения в выбранных пределах изменения внешней нагрузки находим кривую, представляющую равновесные состояния оболочки. При этом на полученной кривой отыскиваем точки (если такие имеются), соответствующие верхней и нижней критическим нагрузкам оболочки. Вместе с тем в процессе нагружения оболочек (как и других тонкостенных конструкций) нередки случаи, когда при определенной нагрузке (нагрузке бифуркации) происходит разветвление равновесных форм оболочки, т. е. на исходное поле перемещений оболочки накладывается по меньшей мере одно дополнительное, бесконечно малое поле перемещений, которое в процессе его эволюции приводит к выпучиванию оболочки. В случае осесимметричного деформирования оболочки вращении при бифуркационной нагрузке появляется, как правило, одно дополнительное, вообще неосесимметричное поле перемещений (возможны также случаи выпучивания по нескольким формам). [c.288]

Поскольку любая реальная конст )укция всегда имеет начальные несовершенства, то этот подход в принципе обладает наибольшей общностью при определении работоспособности конструкции. Однако его, реализация встречает значительные трудности. С одной стороны, проблематичным является правильный учет формы начальных неправильностей, а также и их происхождения, что может быть существенно для сложных сред. С другой — в противоположность проблемам бифуркационного типа, приходится иметь дело с нелинейными уравнениями, упрощение которых может сильно исказить результат. [c.37]

Как здесь, так и вообще решение бифуркационной проблемы для кусочно-однородных докритических состояний, как правило, сводится к сложным трансцендентным уравнениям. Поэтому часто прибегают к приближенным методам решения некоторые из них изложены ниже. [c.45]

По принятому в предыдущем правилу знаков поперечная сила считалась положительной в направлении отсчета прогиба, а кривизна, по величине обратная R и представляемая в соотношении (1.8) членом Айу", как явствует из этого соотношения, положительна, если центр кривизны расположен со стороны положительных z и, следовательно, Aw. В связи с этим при использовании бифуркационных уравнений (1.12) в качестве р надо взять значение (6.26) с обратным знаком и использовать формулу [c.61]

В зависимости от назначения проектируемой конструкции в качестве предельной нагрузки Р может рассматриваться верхняя Р в или нижняя Р н критическая нагрузка потери устойчивости, а также нагрузка первичной бифуркации Р . Нагрузки и Р н могут быть определены численно, в результате построения диаграммы нагрузка—прогиб на основе рещений уравнений равновесия в приращениях (в частном случае осесимметричного деформирования конструкции — методом последовательных нагружений). Нагрузка Р б определяется также численно, из рещения задачи на собственные значения для линеаризованных уравнений бифуркационной теории потери устойчивости. В общем виде соответствующие уравнения с необходи.мыми пояснениями к их выводу приведены в приложении, поэтому на обсуждении этих вопросов останавливаться не будем. [c.245]

Методы нахождения (аналогичные методам нахождения кривых а = О и Д = 0) уравнени11 бифуркационных кривых, соответствующих двукратным циклам или сепаратрисам, ждущим из седла в седло, очевидно, отсутствуют. Действительно, для того чтобы методом, аналогичным методу определения кривых А = О и а = О, найти уравнение бифуркационной кривой, соответствующей двукратному предельному циклу, нужно, очевидно, найтп решение, соответствующее предельному циклу (соответ- [c.192]

Изучаются бифуркационные диаграммы для главных семейств и фазовые портреты уравнений этих семейств. Для описанных ниже главных семейств некоторая окрестность нуля в базе семейства разбивается на конечное число подмножеств (стратов). Объединение открытых стратов образует дополнение к бифуркационной диаграмме. Любые два поля, соответствующие значениям параметров из одного страта, топологически эквивалентны в некоторой (общей для всех близких к нулю значений параметров) окрестности нуля в фазовом пространстве [c.19]

Результаты исследования резюмируются ниже в виде таблиц и рисунков. Размерность фазового пространства уравнений, приводимых в таблицах, равна размерности центрального многообразия деформируемого ростка. В первом столбце таблицы указывается класс деформируемых ростков, во втором — его коразмерность V, в третьем описываются типичные ростки, в четвертом указывается топологическая нормальная форма деформируемого ростка, в пятом — главные деформации. Бифуркационные диаграммы и соответствующие фазовые портреты изображаются на рисунках, номера которых указываются в шестом столбце таблицы. Связь между типичными и главными деформациями для рассмотренных ниже классов такова. [c.19]

Рис. 16. а. Бифуркационные диаграммы н фазовые портреты для легких главных семейств (12) при d<0. б. Разбиение полуплоскости параметров (Ь, с), Ь с. в. Линии уровня гамильтониана Н, соответствующие одному из уравнений семейства (12 ) при Ь<0, с<0. г,д. Фазовые портреты уравне-тЪ легких главных семейств, соответствующих нулевому значению параметра г для областей 2, 3 д — для рбластей 2а, За [c.36]

При использовании бифуркационного критерия потери устойчивости (в условиях мгновенного деформирования или ползучести) на каждом шаге по ведущему параметру решения (прогибу, нагрузке или времени) после определения параметров, описывающих основное состояние оболочки, проверяем возможность перехода оболочки от основной осесимметричной к бесконечно близкой циклически симметричной форме, которой соответствует наличие ненулевых вещественных решений однородного вариационного уравнения (П.58) или системы Ритца (П.38) с коэффициентами (П.63), что имеет место при обращении в нуль определителя системы. Возможность бифуркации и форму потери устойчивости (/) численно фиксируем по перемене знака определителя системы (П.38) на некотором шаге по ведущему параметру для некоторого номера гармоники I, который последовательно выбирается из заранее обусловленного диапазона целых чисел, начиная с нуля. [c.51]

Представленный нелинейш,ш гидродинамический процесс является многопараметрическим, и его численному моделированию должен предшествовать подробный качественный анализ, который и составляет предмет данного исследования. Это тем более оправдано, что практика численных расчетов разрывных течений доставляет, как известно, осциллирующие решения, которые нуждаются в однозначной физической интерпретации. А именно требуется обнаружить существенные черты исходной задачи, являющиеся причинами нелинейных колебаний в гидродинамической системе. Для исследования краевой задачи (3.6)-(3.14) применяем подход, связанный с приближенным описанием течения с помощью конечномерных динамических систем. Воспользуемся методом Бубнова-Галеркина [112], который приводит исходную задачу к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для существенных степеней свободы. Это дает возможность изучрггь бифуркационные ситуации и установить пороги возникновения автоколебаний. [c.88]

Для варианта (3.42) получаем Vq > О, когда совместны два неравенства v,+12v,/J<0 (/ )> О. Снова появляется ограничение Vj > 2 / 3. Расположение корней уравнения и(/ ) = 0 показано на рис, 3.10, причем корню Д отвечает знак "минус" перед корнем в (3.45). Значит, бифуркационная ситуация существует для параметров, удовлетворяюпщх (3.42). [c.103]

Тензор представляет линейный дифференциальный оператор над вектором w. При отсутствии добавочных массовых и поверхностных сил (k = О, / = 0) ) задача разыскания w сведется к однородной системе линейных относительно w дифференциальных уравнений второго порядка с однородными краевыми условиями. Это —так называемые уравнения нейтрального равновесия. Они допускают, конечно, тривиальное решение и> = 0. Но могут иметь место решения, отличные от тривиального, когдя наряду с рассматриваемым состоянием равновесия У-объема, нагруженного силами К, F, существуют близкие к нему равновесные состояния. Значения параметров нагружения, для которых уравнения нейтрального равновесия имеют нетривиальное решение, называются бифуркационными. Сформулированная однородная краевая задача позволяет найти бифуркационные [c.725]

Переменные R, О разделяются также в линейных краевых условиях (7.13.9), (7.13.10) подставив в них найденные значения an R), bn R), придем к системе четырех однородных линейных уравнений для постоянных Ап, Вп, Сп, Dn- Приравняв нулю ее определитель, придем к уравнению, определяющему бифуркационные значения параметра р. Последний войдет в это уравнение также и через выражение функции g R), определяемой по (7.13.7), (7.13.4), причем постоянная С нелинейно связана с р соотношением (7.3.10). Критическое давление является минимальным бифуркационным значением р, определяемым надлежащим выбором числа узлов п искомой формы равновесия при заданном отношении RiIRq. [c.798]

При упругопластическом деформировании бифуркационные нагрузки, соответствующие неединственному решению уравнений (6.2) при выполнении равенства (7.4), могут предшествовать нагрузкам собственного состояния, которые характеризуются нетривиальными решениями системы (7.3). Нагрузки собственного состояния тела отвечают границе устойчивых и неустойчи- [c.212]

Переходя к рассмотрению реальных конструкций и исследованию их на основе метода, изложенного в предыдущей главе, особое внимание надо уделить выводу разрешающих уравнений и краевых условий для разностей. параметров основного и побочного процесса, их скоростей, ускорений и т. д. Поскольку эти разности в изучаемых проблемах можно считать как угодно малыми величинами, то допустимы некоторые упрощения, которые для сложных конструкций будут весьма полезными. Здесь имеются в виду не предположения частного порядка, характерные для данной конструкции, а общие для любой деформируемой системы, касающиеся упрощений при учете геометрической нелинейности, допустимых в рам ках бифуркационных и псевдобифуркационных проблем. [c.39]

Что же касается смещения центра элемента, то, как это легко заметить на основе предыдущих примеров вывода уравнений бифуркации (и, в частности, уравнений (1.1) и (1.6)), это смещение при характерных для таких проблем условиях бесконечной малости само по себе в уравнение равновесия не входит и впоследствии возникает при расшифровке угла поворота. Это связано с ррене-брежимой малостью изменения характерных размеров элемента (длины отрезка осевой линии). При написании уравнений равно весия для большинства бифуркационных задач, вообще говоря можно учитывать лишь повороты элемента как жесткого целого Этот минимальный шаг отхода от геометрически линейного при ближения обычно оказывается достаточным для правильной по становки бифуркационной проблемы и, в частности, тех задач, что рассматриваются в дальнейшем. Необходимо, однако, отметить, что в некоторых случаях такое упрощение может оказаться чрезмерным. Так, в рассмотренной выше задаче о стержне, погружаемом в жидкость, неучет изгибания элемента приводит к невозможности отыскания критического параметра. [c.65]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...