Аффинное соответствие

При рассмотрении задания плоскости на чертеже Монжа (п. 2.2) было показано, что моделью плоскости является родственное (перспективно-аффинное) соответствие, устанавливаемое между полями горизонтальных и фронтальных проекций точек данной плоскости. При этом были сформулированы его основные свойства, непосредственно вытекающие из свойств параллельного проецирования. Было отмечено, что родство имеет двойную прямую d = /2, называемую осью родства. Она представляет собой совпавшие проекции линии пересечения данной плоскости с биссекторной плоскостью четных четвертей. Отсюда следует широко используемый способ задания родства [c.197]

Рис.36. Перспективно-аффинное соответствие и его проекция на П

Между полями а и а устанавливается перспективно-аффинное соответствие, а проекция этого соответствия из центра 5 на плоскость П является родственным преобразованием между первичной (А В С ) и вторичной (А В С ) проекциями (см. П на рис.36 и рис.37), т.к. проецирующие прямые (АА1), [c.39]

Используя аффинное соответствие, по двум сопряженным диаметрам можно построить и касательную к нему. [c.122]

Из рис. 128 и 129, а видно, что в ортогональных проекциях сохраняется аффинное соответствие эллипса окружности, которое формулируется так ортогональной проекцией окружности является эллипс, большая ось которого равна её диаметру с1 и по направлению параллельна линии уровня плоскости [c.125]

Рис. 3.2.13. Задание перспективно-аффинного соответствия двух точечных полей

Операция разметки в плоскости на пространственном эскизе требует известных навыков работы в аффинных преобразованиях. При необходимости студентам предлагаются специальные задания на построение перспективно-аффинного (родственного) соответствия. Предварительно сообщаются сведения об инвариантах точечного соответствия полей проекций, связанных такой закономерностью. Указывается на сохранение следующих базовых свойств аффинного соответствия коллинеарности, параллельности прямых, простого отношения трех точек прямой. [c.113]

Особое внимание обращается на практические способы задания аффинного соответствия двух полей (точечных структур изображения) совмещенное, определяемое осью родства и парой соответствующих точек, и произвольное точечное, определяемое тремя базовыми инвариантными свойствами (рис. 3.213). [c.114]

Перспективно-аффинное соответствие представляет собой частный случай перспективной коллинеации, когда центром проецирования является бесконечно удаленная точка. [c.11]

В проективной геометрии подробно разработаны основные инварианты любого параллельного проецирования, вопросы об основных свойствах перспективно-аффинного соответствия фигур, о приведении в родственное соответствие плоскостей и основных свойствах точечных полей таких плоскостей, о различии между перспективно-аффинным (родственным) соответствием, с одной стороны, и общим аффинным соответствием, с другой, об эллипсе как фигуре, аффинно соответствующей окружности, и другие положения и теоремы, без знания которых немыслимо решение многих вопросов, встречающихся при исследовании и проектировании строительных и машиностроительных объектов. [c.3]

В проективной геометрии доказывается следующее если две любые фигуры порознь аффинно соответствуют третьей фигуре, то они состоят в аффинном соответствии между собой. Например, если данная фигура состоит в родственном соответствии с одной фигурой и в подобном соответствии с другой, то все эти фигуры в любом сочетании являются аффинно-соответственными [9]. [c.6]

Во введении к данной главе упоминалось, что все параллелограммы (а следовательно, и все разновидности параллелограмма — квадрат, прямоугольники и ромбы) находятся в аффинном соответствии между собой, а потому по одной и той же горизонтальной проекции параллелограмма можно построить фронтальную его проекцию, удовлетворяющую требованию, чтобы проекции его определяли квадрат или любые прямоугольники, ромбы и параллелограммы. Во всех этих случаях необходимо предварительно построить фигуру, подобную искомой (этого нет надобности делать для квадрата). Форму искомой фигуры следует определить теми ее параметрами, пользуясь которыми можно построить фигуру, подобную искомой. [c.23]

Итак, учтя соображения, приведенные при решении предыдущих задач, приходим к весьма существенному теоретическому и практическому выводу фронтальную проекцию любой плоской ломаной и плоской кривой линии или фигуры можно построить по заданной ее горизонтальной проекции при условии, что эта линия или фигура подобна такой и только такой наперед заданной линии или фигуре, которая аффинно соответствует горизонтальной ее проекции. [c.26]

Если фигура, подобная искомой, не задана, то ее следует построить, пользуясь основными инвариантами аффинного соответствия. В 7 сначала строились трапеции, аффинно-соответствующие искомой, а потом по одной из построенных трапеций и горизонтальной проекции искомой трапеции находилась ее фронтальная проекция. [c.27]

Построение фигур, аффинно-соответственных искомой, можно выполнить, исходя из следующих соображений из теории параллельного проецирования известно, что любая пара треугольников, а также и любая пара параллелограммов инвариантны, так как две плоскости, в каждой из которых произвольно расположены три точки, не лежащие на одной прямой, можно привести в такое взаимное положение, при котором три точки одной плоскости будут параллельными проекциями любых трех точек другой плоскости. На этом основании всегда можно по горизонтальной проекции любой фигуры построить бесчисленное множество фигур, аффинно-соответствующих тем, фронтальные проекции которых требуется построить. [c.27]

Следует отметить, что таких наперед заданных кривых линий, подобных искомой, можно построить бесчисленное множество, но, как это мы видели при решении предыдущих задач, совершенно произвольными они быть не могут, каждая из них должна аффинно соответствовать заданной горизонтальной проекции. Для полноты решения задачи предположим, что кривой, подобной некоторой искомой линии, мы не имеем и нам предстоит ее построить. [c.33]

Мы знам, что аффинное соответствие точечных полей двух плоскостей полностью устанавливается заданием пары произвольных, лежащих в них треугольников, соответствующих один другому. Отсюда заключаем, что взаимное однозначное соответствие между точками го- [c.33]

В 1 гл. I говорилось о том, что если две различные фигуры Ф и 02 порознь аффинно соответствуют третьей фигуре Фз> то фигуры [c.37]

Натуральная величина Ф искомой фигуры состоит в аффинном соответствии с фигурой 0j, так как они подобны. Фигура 0з та кже аффинно соответствует фигуре Ф% так как является параллельной проекцией 02- Значит 01 (натуральная величина искомой фигуры) и Фз (горизонтальная проекция фигуры, подобной искомой) должны быть аффинно-соответственными, т. е. они должны удовлетворять инвариантным свойствам аффинного соответствия (сохранение параллельности прямых и простого отношения трех точек соответственных прямых). Без этого необходимого условия задачи не имеют решения. [c.37]

Следует отметить (о чем говорилось уже в решении задачи, иллюстрируемой рис. 39—42), что задачу, поставленную в данном параграфе, можно решить различными способами. Одни способы решения исходят из наличия фигуры, подобной искомой, другие — ограничиваются установлением аффинного соответствия между плоскостями, что обеспечивается заданием в каждой из плоскостей по треугольнику. [c.70]

На рис. 103 дана цилиндрическая поверхность, определяемая горизонтальным следом А—III—IV—В—V—С— VI—VII и направлением ааи а а/ ее образующих. Требуется построить сечение цилиндрической поверхности плоскостью, любые точки Ло, Во и Со (рис. 104) которой аффинно соответствуют произвольно взятым в горизонтальной плоскости проекций точкам а, Ь и с. Точки Ло, Во и Со, как и точки а, Ь и с, должны удовлетворять только одному требованию они не должны лежать на одной прямой. Для простоты построения фигуры, подобной фигуре искомого сечения и, следовательно, аффинно-соответственной горизонтальному следу цилиндрической поверхности, точки а, Ь п с возьмем на горизонтальной проекции следа. [c.117]

При л / — на прямой 1 = 1 устанавливается неинволюционное аффинное соответствие, а при л = —1 — инволюционное. В последнем случае все пары Л . 4 , В В, . .. соответственных точек являются симметричными относительно двоййон точки О. [c.210]

Рассмотрим плос1сие поля П и П, аффинное соответствие которых задано осью родства р и соответственными точками О -> О. Точку О примем за центр окружносп поля П (рис.124,.о). Два диаметра (АВ и СО), каждый из [c.121]

Перечисленные в начале параграфа свойства перспективно-аффинного соответствия прису-ПИ1 и ряду лру ил ючечных преобразований. [c.12]

Соответствие при одноразовом проецировании фигуры пучком параллельных между собой лучей называется перспективно-аффинным или родственным. При многократном проецировании фигуры каждая последующая фигура находится в перспективно-аффинном соответствии с предыдущей. Поэтому последняя фигура обладает инвариантными свойствами не только по отношению к пре-дйдущей фигуре, но и по отношению к первой, исходной фигуре, однако родственной по отношению к исходной фигуре ее назвать нельзя, так как прямые, проходящие через соответственные точки этих фигур, могут быть непараллельными между собой. Такое соответствие между фигурами называют аффинным. [c.6]

Так, все треугольники находятся в аффинном соответствии друг с другом. Фигурой, аффинно соответствующей четырехугольнику, является тоже четырехугольник если данный четырехугольник является трапецией, то и соответственный четырехугольник тоже будет трапецией квадраты, ромбы, прямоугольники и параллелограммы — афинно-соответственные фигуры. Эллипс является кривой, аффинно соответствующей окружности. [c.6]

Другим частным случаем общих аффинных преобразований является гомотетия. Гомотетия преобразует одну фигуру в подобную и подобно расположенную. Таким образом, подобные фигуры являются афинно-соответственными, т. е. они обладают инвариантными свойствами аффинного соответствия. [c.6]

Как отмечалось выше, решить эту задачу без предварительного определения положения плоскости, в которой лежит треугольник AB , невозможно. Чтобы определить положение плоскости, а также положение, величину и форму лежащей в ней фигуры, заданной горизонтальной проекцией, следует вписать в любом месте плоскости проекций эллипс (определив его осями), который находился бы в перспективно-аффинном соответствии с окружностью, вписанной в искомую плоскость определяемой фигуры. Как будет показано, такую окружность вписать в искомую плоскость определяемой фигуры возможно. Для этого потребуется выполнить некоторые вспомогательные построения, пояснение которых излагается далее. Эти построения вполне точно и однозначно определяют положение плоскости, в которой лежит фигура. Определив положение плоскости и имея горизонтальную проекцию фигуры, лежащ,ей в ней, легко построить фронталь ную проекцию фигуры, определить натуральную ее величину. [c.13]

Рассмотрим зависимость между этими плоскостями. Из основных положений проективной геометрии известно, что две фигуры, порознь аффинно-соответственные третьей фигуре, находятся в аффинном соответствии между собой. Это положение в применении к рассматриваемой задаче выглядит следующим образом горизонтальная проекция аЬс и треугольник AB родственны, так как первая является параллельной проекцией второго с другой стороны, треугольники AiBi i и АБС подобны, отсюда следует, что треугольники AiBi i и [c.13]

Обеспечение цельности каждого из этих чертежей и необходимой их жесткости осуществляется следующим образом продолжим прямую 0 М до пересечения ее со сторонами А В и A i треугольника соответственно в точках li и 2и прямую OiA i —до пересечения ее с продолжением стороны Bi i в точке 5i. Этим построением мы объединили две различные фигуры в одну, единую. Теперь остается построить в горизонтальной плоскости проекций фигуру, ей соответственную (рис. 7). Для этого следует, используя инварианты аффинного соответствия , построить точку 1, делящую отрезок аЬ (см. рис. 7) в том же отношении, в каком точка h на рис. 6 делит отрезок AiBi. Таким образом находим точку 2, лежащую на отрезке ас (см. рис. 7), соответствующую точке 2 на рис. 6, лежащей на отрезке A i. Через точки I VI 2 проводим прямую, на которой находим способом пропорционального деления точки т и О, соответствующие точкам Mi и [c.15]

Если точка делит отрезок прямой, лежащий в одной из аффинно-соответствеи-иых плоскостей, в некотором отношении, то соответствующая ей точка делит соответствующий отрезок прямой, лежащий в другой плоскости, в том же отношении, [c.15]

На рис. 15 и 16 в виде примеров представлены трапеции A2B2 2D2 и A3B3 3D3. удовлетворяющие указанному требованию. Все они находятся в аффинном соответствии с горизонтальной проекцией abed искомой трапеции. Приняв любую из них в качестве подобной искомой трапеции, строим фронтальную проекцию последней. [c.26]

Построение кривой, аффинно-соответствующей искомой и принимаемой за кривую, подобную искомой, можно осуществить различными способами. Наиболее простым будет следующий пересекаем проекцию кривой линии и стороны треугольника аЬс рядом прямых, параллельных какой-нибудь стороне треугольника, например ас строим в плоскости треугольника АаВоСц соответственные им прямые. Для этого сторону AqBq делим на отрезки, пропорциональные отрезкам стороны аЬ треугольника проекции, и через точки деления проводим прямые, параллельные прямой ЛоСо. На параллельных прямых, лежащих в плоскости подобия, строим кривую подобия по отдельным ее точкам. В качестве примера рассмотрим построение точек //о и ///о, соответствующих точкам 2 1 3. Отмечаем точки 4 5 п соответствующие им точки /Vo и Уо на сторонах базисных треугольников, строим точки //о и ///о, делящие отрезок /Vo—Vq в том же отношении, в каком точки 2 и [c.34]

Рассматриваемая фигура AIBII 1II и фигура, ей подобная, аффинно соответствуют друг другу. Фигура, подобная рассматриваемой, и горизонтальная ее проекция находятся в таком же соответствии. В проективной геометрии доказывается если две фигуры порознь аффинно соответствуют третьей фигуре, то они тоже аффинно-соответственны. Поэтому горизонтальная проекция фигуры, подобной рассматриваемой, [c.47]

На рис. 57 изображена цилиндрическая поверхность с произвольным очертанием ее горизонтального следа. Таким образом, искомое сечение должно аффинно соответствовать следу поверхности. То же самое можно сказать и о плоскостях, в которых лежат упомянутые фигуры. Афинное соответствие плоскостей, как известно, вполне точно и однозначно устанавливается парой соответственных треугольников. [c.69]

Связанные друг с другом, аффинно соответствуют искомому сечению и лежащему в его плоскости треугольнику, подобному треугольнику ЛоВоСо, тоже жестко между собою связанными. Поэтому построение искомой плоскости сечения цилиндрической поверхности можно свести к построению плоскости, рассекающей трехгранную призматическую поверхность, направляющей которой является треугольник AB , а ребрами — образующие АА, ВВ и i цилиндрической поверхности, по треугольнику, подобному треугольнику ЛоВоСо. [c.71]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...