Главные семейства

В обзоре систематически используется связь теории бифуркаций с теорией особенностей. Решение многих, в основном, локальных, проблем теории бифуркаций состоит в том, чтобы предъявить и исследовать так называемое главное семейство — своего рода топологическую нормальную форму для семейств исследуемого класса. Теория особенностей позволяет угадать и частично исследовать главные семейства. Она описывает также бифуркации положений равновесия, особенности медленной поверхности, медленные движения в теории релаксационных колебаний и т. д. [c.10]

Типичные и главные семейства. Начнем с определения. Рассмотрим семейство векторных полей v -, г). Топологическая орбитальная эквивалентность или слабая эквивалентность определяет разбиение пространства параметров на классы. ЭтО" разбиение называется бифуркационной диаграммой семейства. Если не сказано, какое отношение эквивалентности использовано при построении бифуркационной диаграммы, то подразумевается обычная эквивалентность. [c.18]

Выписываются главные семейства, соответствующие Данному классу. Это — стандартные семейства, играющие роль топологических нормальных форм для деформаций. типичных ростков изучаемого класса. Росток, топологически эквивалентный деформируемому, соответствует в главном семействе нулевому значению параметров. [c.19]

Соответствующие простейшим классам типичные ростки, главные семейства, их бифуркационные диаграммы и фазовые портреты описаны в прилагаемой ниже таблице. [c.19]

Типичные ростки и главные семейства. [c.20]

Бифуркационные диаграммы главных семейств (3= ).. Множество особых точек полей любого из семейства (3= ) образует гладкое подмногообразие в произведении фазового-пространства на пространство параметров. Бифуркационная диаграмма для главного семейства (3 ) (множество значений параметра, при которых особые точки семейства сливаются) — это множество коэффициентов многочленов степени р+1, имеющих кратные корни. При р=1 это множество — одна точка, при j, = 2 — полукубическая парабола, при ц = 3 — ласточкин хвост (рис. 5). Деформации векторных полей на прямой с вырожденной особой точкой возникают в теории релаксационных колебаний, как уравнения медленных движений в окрестности точки на складке медленной поверхности ( 2, гл. 4). В п. З.Г указаны только топологические нормальные формы таких деформаций. Для приложений существенны также гладкие нормальные формы они исследуются в 5 главы 2 и оказываются очень похожими на главные семейства (3= ). [c.24]

Рис. 5. Бифуркационные диаграммы главных семейств (3 ) при v = 2 и v = 3 а. Полукубическая парабола. 6. Ласточкин хвост.

Рис. 7. Бифуркационная диаграмма главного семейства (4 ) при v=2. Каждой неточечной компоненте бифуркационной диаграммы на рисунке сопоставлено число — количество циклов в уравнении главного семейства, соответствующем набору параметров из этой компоненты

Бифуркации в главном семействе (5 ) получаются из описанных изменением знаков t и дсг- [c.27]

Замечания. 1. Топологическое различие главных семейств (9) при а =—1 и п=—3 наблюдается только при нулевом значении параметра см., с одной стороны, рис. 13 и, с другой стороны, рисунки- 14 6, 14 е, отличающиеся структурой множества 0-кривых. [c.30]

Теорема. Росток в нуле типичного 2-параметрического семейства трудного типа приводится к нормальной форме — трудному главному семейству [c.35]

Уравнения трудного главного семейства имеют не более одного цикла в некоторой окрестности нуля, общей для всех уравнений семейства. Здесь /2 — однородный многочлен второй степени от трех переменных с коэффициентами, зависящими от Ь и с точный вид его указан ниже. [c.35]

Область пространства (х, у, е), в которой существуют предельные циклы главного локального семейства (13), подходит к нулю узким языком. Замена времени, координат и параметров превращает трудное главное семейство , рассматриваемое в этой области, в малое возмущение интегрируемого уравнения. Выпишем эту замену и это возмущение при Ь<0, с<0, А>0. В этом случае интересующий нас язык на плоскости параметров расположен в полуплоскости ei<0. [c.37]

Теорема. Типичное [ -параметрическое семейство векторных полей на прямой в окрестности каждой вырожденной особой точки заменой переменных и параметров приводится к одному из главных семейств (20) при v+l jx или к семейству [c.74]

Главные семейства. Построим сначала главные семейства — нормальные формы деформаций векторных полей из п. 3.2 в трехмерном фазовом пространстве этих семейств два. Рассмотрим куб Ко - и векторное по- [c.114]

Доказательство теоремы проводится с использованием техники работ [ИЗ], [32]. Для произвольного п имеет место аналог этой теоремы — главное семейство получается надстройкой гиперболического положения равновесия над или [c.115]

Аналогичные утверждения верны для однопараметрических семейств гладких векторных полей, достаточно С -близких в Ki, 16 1, 2 к главным семействам. [c.131]

Главные семейства векторных полей в R с гиперболическим седлом, у которого ведущее устойчивое и неустойчивое направления одномерны (и, следовательно, вещественны) и при =0 имеется гомоклиническая траектория, получаются из опи- [c.133]

Химический состав кобальтовых сплавов подобен таковому главного семейства нержавеющих сталей, а роль легирующих элементов, присутствующих в наибольшей и наименьшей концентрациях, по существу, идентична для всех сплавов этой аустенитной системы. Ключевым элементом является Сг, его вводят в количестве 20—30 % (по массе), чтобы сообщить сплаву необходимое сопротивление окислению и горячей коррозии, а также некоторую степень твердорастворного упрочнения. Если стремятся обеспечить упрочнение карбидными выделениями, образующимися по реакции старения, Сг также играет ведущую роль, участвуя в образовании целой серии карбидов с различным соотношением Сг/С. Поскольку в двойной системе Со-Сг примерно при 58% (ат.) Сг образуется стабильная o -фаза, высокого содержания Сг необходимо избегать. [c.175]

Изучаются бифуркационные диаграммы для главных семейств и фазовые портреты уравнений этих семейств. Для описанных ниже главных семейств некоторая окрестность нуля в базе семейства разбивается на конечное число подмножеств (стратов). Объединение открытых стратов образует дополнение к бифуркационной диаграмме. Любые два поля, соответствующие значениям параметров из одного страта, топологически эквивалентны в некоторой (общей для всех близких к нулю значений параметров) окрестности нуля в фазовом пространстве [c.19]

Клзсс (описание вырождения) V Типичный рос1 Нормализованная струя ГОК требования типичности Нормализованный росток . Главные семейства Бифуркационные диаграммы н Фазовые портреты [c.21]

Классы и встречаются неустранимьш малый шевелением образом в семействах, зависящих от не мейее чём ц параметров. Типичное семейство, содержащее росток класса Л , стабильно (с точностью до надстройки седла) локально топологически эквивалентно (указанному в таблице 1) главному семейству и является, как и оно, версальной деформацией сво- его самого вырожденного поля. Аналогичное утверждение справедливо для семейств, содержащих росток Кл зсса только эквивалентность следует заменить слабой эквивалент-ностью .А [c.23]

Бифуркационные диаграммы (относительно слабой эквивалентности) и фазовые портреты главных семейств (4 ). Исследование бифуркационных диаграмм и перестроек фазовых портретов в главных семействах (4 ) сводится к аналогичной задаче для семейств факторсистем относительно переменнош [c.24]

Опишем бифуркации в главном семействе (5+). Бифуркационная диаграмма разбивает плоскость е= (ei, 2) на четыре части, обозначенных А, В, С, D=DiUD2U a на рис. 10. Фазовые портреты, соответствующие каждой из четырех частей плоскости е, показаны на рис. 10. Ветви бифуркационной диаграммы со- [c.26]

Рис. 15а. Бифуркационные диаграммы и фазовые портреты для легких главных семейств (12) при d>Q. б. Разбиение полунлоскости параметров.

Остановимся подробнее на построении и исследовании трудных главных семейств. Замена переменных и умножение на положительную функцию не меняют топологии фазового портрета. Поэтому в семействе (13) оставлены кубические члены, дополнительные к тем, которые можно уничтожить заменами переменных и времени в системе (И) (Тем же способом построено главное 52-эквивариантное семейство в п. 4.4.) В каж- [c.35]

Рис. 16. а. Бифуркационные диаграммы н фазовые портреты для легких главных семейств (12) при d<0. б. Разбиение полуплоскости параметров (Ь, с), Ь с. в. Линии уровня гамильтониана Н, соответствующие одному из уравнений семейства (12 ) при Ь<0, с<0. г,д. Фазовые портреты уравне-тЪ легких главных семейств, соответствующих нулевому значению параметра г для областей 2, 3 д — для рбластей 2а, За [c.36]

Бифуркации орбит диффеоморфизмов в главном семействе (1+) изобр1ажены на рис. 17. При отклонении е вправо от нуля неподвижная точка исчезает, а при отклонении влево распадается на две гиперболические притягивающую н отталкивающую. Этой перестройке в соответствующем семействе дифференциальных уравнений на плоскости отвечает столкновение двух предельных циклов — устойчивого и неустойчивого с образованием на мгновение полуустойчивого цикла и последующим его исчезновением при е>0. [c.44]

Теорема . В типичных х-параметричесйих семействах ростков диффеоморфизмов в неподвижной точке встречаются только такие ростки с мультипликатором 1 (или —1) и одномерным центральным многообразием, вблизи которых семейства локально слабо эквивалентны надстройке седла над одним из главных семейств (8 ) (соответственно, (9 )) при слу- [c.53]

Определение 4. а) Главным семейством ростков сильно однорезонансных векторных полей в особой точке называется семейство [c.73]

Замечание, -у-параметрические главные семейства параметризуются одним дискретным (равным плюс или минус единице) и одним непрерывным параметром (равным Оо)- Различные главные семейства не являются конечногладко эквивалентными, если сопрягающий диффеоморфизм сохраняет ориентацию. [c.74]

Теорема (о версальности). Росток однопараметрического семейства общего положения векторных полей We) на гомокли-нической траектории негиперболической особой точки—седла по гиперболическим переменным в R —топологически эквивалентен ростку одного из главных семейств О или 0 на гомоклини-ческой траектории поля или V . [c.115]

Главные семейства в и их свойства. В этом пункте строятся топологические нормальные формы семейств в окрестности гомоклинической траектории седла в R . Соответствующие теоремы версальности формулируются в п. 5.5. Семейства строятся с помощью описанных ниже склеек из линей- [c.129]

Для главных семейств существование циклов полей (или, что то же, неподвижных точек отображений последования) исследуется элементарно, поскольку отображения Де сохраняют у-координату лишь при у=0, следовательно, достаточно изучить одномерные отображения Де ,=о. Графики этих отображений и их неподвижные точки показаны на рис. 47. [c.132]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...