А-диффеоморфизм семейство

Теорема 3. а) Рассмотрим семейство векторных полей в особой точке (ростков диффеоморфизмов в неподвижной точке, периодических векторных полей на цикле). Для каждого нату- [c.70]

В семействе (2 ) при переходе параметра слева направо через О происходит мягкая потеря устойчивости. А именно, при е 0 неподвижная точка О ростка fe устойчива. При е>0 она теряет устойчивость, но возникает устойчивый цикл периода 2 пара точек, близких к Уе, переставляемых диффеоморфизмом /е. Для диффеоморфизма каждая из этих точек неподвижна и устойчива. Этой перестройке соответствует мягкая потеря устойчивости предельным циклом (в предположении, что при 6 0 все остальные мультипликаторы по модулю меньше 1). При е>0 исходный цикл сохраняется, но становится неустойчивым, а рядом с ним на расстоянии порядка Уе появляется устойчивый предельный цикл примерно вдвое большего периода (рис. 18. ) [c.45]

Теорема. Типичной гладкой трехпараметрической деформации ростка диффеоморфизма прямой / (R, 0)- (R, 0), х х- -а ..., афО, соответствует функциональный инвариант однопараметрическое семейство классов эквивалентных диффеоморфизмов окружности отношение эквивалентности такое же, как п. 5.8. Для (i-параметрических деформаций ростка х [c.77]

Замечания. 1. Теорема о ж,есткости навязывает некоторую гладкость сопрягающему отображению, которое по определению было лишь гомеоморфизмом. Поэтому для отображений, осуществляющих лишь топологическую, а не гладкую эквивалентность семейств диффеоморфизмов, удалось провести те же построения, что и для гладких отображений в п. 5.9. [c.78]

Можно считать, что при е = 0 поверхность F=0 и поле направлений на ней уже нормализованы. Семейство поверхностей, получаемое деформацией поверхности у=х в пространстве (х, у, z), расслоенным диффеоморфизмом, гладко зависящим от параметра деформации, переводится вблизи нуля в постоянное семейство у=х . Это позволяет нормализовать поверхность F = 0 при малых е. Поля направлений, описанные в теореме, получаются малым возмущением одного из стандартных. Требования типичности, налагаемые на поля направлений при доказательстве теоремы п. 2.5, выделяют открытое множество в соответствующем функциональном пространстве. Поэтому все поля, близкие к нормализованным полям, задаваемым. формулами (4), (5), (6), приводятся к нормальным формам того же вида нормальная форма (6) содержит параметр а, зависящий от нормализуемого поля. Диффеоморфизмы, нормализующие поля, получаемые гладкой деформацией нормализованных полей, можно выбрать гладко зависящими от параметра деформации это легко вывести из рассуждений п.п. 2.5— [c.186]

Пример. Пусть N = 2. Тогда многообразие — это поверхность, а поле гиперплоскостей — поле прямых. Такое поле в окрестности точки устроено всегда одинаково и весьма просто, а именно так, как поле касательных к семейству параллельных прямых на плоскости. Точнее, одним из основных результатов локальной теории обыкновенных дифференциальных уравнений является возможность превратить любое гладкое поле касательных прямых па многообразии в поле касательных к семейству параллельных прямых евклидова пространства при помощи диффеоморфизма в достаточно малой окрестности любой точки многообразия. [c.315]

V. Чтобы завершить доказательство теоремы 6.2.8, осталось только проверить, что в гиперболическом случае устойчивое и неустойчивое подмногообразия имеют такую же гладкость, как и диффеоморфизм. На самом деле мы докажем более сильное утверждение, а именно, что если в теореме 6.2.8 /х 1, то семейство состоит из многообразий, [c.260]

В случае более высоких размерностей структурно устойчивые локальные бифуркации возникают, когда одно из собственных значений дифференциала диффеоморфизма равно 1 или -1, а остальные лежат вне единичной окружности. В качестве простого примера мы опишем семейство, получающееся как прямое произведение отображений (7.3.2) с линейным сжимающим отображением. Возникающие в результате бифуркации называются бифуркациями типа седло — узел. Притягивающие и отталкивающие неподвижные точки, которые возникали в одномерном примере (7.3.2), теперь являются седлом и фокусом соответственно (см. 1.2). При приближении параметра к нулю они сливаются, и для значений параметра т > О неподвижные точки отсутствуют. Таким образом, мы получаем следующую картину (см. рис. 7.3.4). [c.309]

Пусть д(1 5 — 5. 4 6 [а, 6]. — такое семейство диффеоморфизмов, что набор их поднятий иа К представляет собой семейство целых функций, зависящее от г непрерывно. Предположим, что диффеоморфизм не является поворотом для любого 4 и что числа вращения т д ) не постоянны. Докажите, что существует несчетное множество таких чисел t, что диффеоморфизмы д топологически сопряжены с поворотом на иррациональный угол и их инвариантные меры сингулярны. [c.419]

Число вращения как функция параметров. Рассмотрим семейство диффеоморфизмов окружности на себя с параметрами а и е [c.50]

Диффеоморфизм имеет анизотропную гладкость — число его производных по фазе А больше, чем по частоте . Гладкость по —это гладкость отдельного инвариантного тора, а гладкость по — собственно гладкость семейства торов. [c.199]

Соединим его гладким однопараметрическим семейством диффеоморфизмов с тождественным отображением А- А. Интегрируя связность вдоль этого однопараметрического семейства, мы получим поднятие исходного диффеоморфизма до диффеоморфизма расслоения когомологий Зёг - А [. Этот диффеоморфизм расслоения однозначно определяется исходным диффеоморфизмом базы и гомотопическим классом однопараметрического семейства в силу интегрируемости связности Гаусса—Манина. [c.105]

Доказательство леммы 2. Попытаемся найти требуемое семейство диффеоморфизмов как семейство зависящих от времени I преобразований, определённых зависящим от времени семейством векторных полей Для Уг мы получаем гомологическое уравнений, а именно [c.14]

Доказательство. Аналогичное утверждение для марковских разбиений базисных множеств диффеоморфязмов было доказано в [4]. Из марковости семейства Ж следует, что при малых t отображение Пуанкаре Р Nx- N(j (x) и покрытия прямоугольниками Jfx и u) удовлетворяют в соответствующих окрестностях точек х и ср((л ) таким же условиям, каким удовлетворяют ограничение некоторого А-диффеоморфизма на его базисное множество / Qs s н марковское разбиение в окрестностях точек х и f x). Отсюда следует, что доказательство из [4] дает иам требуемый результат при малых I. При больших t рассмотрим последовательные моменты д , (х), ф, (л ), Ф (х), где —/ >0 мало, н воспользуемся тем, что отношение является частичным порядком. [c.120]

Бифуркации орбит диффеоморфизмов в главном семействе (1+) изобр1ажены на рис. 17. При отклонении е вправо от нуля неподвижная точка исчезает, а при отклонении влево распадается на две гиперболические притягивающую н отталкивающую. Этой перестройке в соответствующем семействе дифференциальных уравнений на плоскости отвечает столкновение двух предельных циклов — устойчивого и неустойчивого с образованием на мгновение полуустойчивого цикла и последующим его исчезновением при е>0. [c.44]

В каждом из главных Zg-эквнвариантных семейств при некоторых значениях параметров, образующих линии на плоскости е, возникают сепаратрисные многоугольники. Сдвиг по фазовым кривым поля семейства за единицу времени приближает -ю степень преобразования монодромии предельного цикла, теряющего устойчивость с прохождением пары мультипликаторов через сильный резонанс. Особым точкам полей семейства соответствуют неподвижные точки -й степени преобразования монодромии и 2я9-периодические циклы периодического уравнения входящим и выходящим сепаратрисам седел — устойчивые и неустойчивые многообразия неподвижных точек. Две сепаратрисы особых точек, раз пересекшись, должны совпадать на всем своем протяжении. Не так обстоит дело с инвариантными кривыми неподвижных точек диффеоморфизмов. Эти кривые пересекаются, вообше говоря, трансверсально, а для диффеомор- [c.60]

При еег диффеоморфизму соответствует функциональный инвариант — класс эквивалентных диффеоморфизмов окружности на себя. А именно, росток диффеоморфизма ft в каждой из двух его полуустойчивых неподвижных точек порождается ростком векторного поля росток диффеоморфизма является сдвигом за единичное время по фазовым кривым поля. Росток каждого из порождающих полей однозначно определен диффеоморфизмом /е- Оба поля разносятся с помощью ft на весь интервал между неподвижными точками диффеоморфизма, п на всём этом интервале порождают fe. Тем самым, построены два векторных поля на интервале, перестановочные с диффеоморфизмом интервала на себя без неподвижных точек. Такая пара полей порождает диффеоморфизм окружности на себя, определенный с точностью до сдвига в образе и в прообразе, как это описано в п. 5.8. Два диффеоморфизма окружности эквивалентны, если они имеют вид причем ф(<- -а) =ij5( )+fe для некоторых а и Ь. Семейство таких классов эквивалентных диффеоморфизмов окружности, построенных для отображений при ебГ, и образует функциональный инвариант деформации /e ee(R3, 0) . [c.78]

И. Изозавихренные поля. Двумерная гидродинамика резко отличается от трехмерной. Сущность этого различия заключается в различии геометрии орбит коприсоединенного представления в двумерном и трехмерном случае. Именно, в двумерном случае орбиты в некотором смысле замкнуты и ведут себя, примерно, как семейство множеств уровня функции (точнее, нескольких функций в действительности даже бесконечного числа функций). В трехмерном же случае орбиты устроены сложнее, в частности, неограничены (а быть может и плотны). Орбиты коприсоединенного представления группы диффеоморфизмов трехмерного риманова многообразия можно описать следующим образом. Пусть [c.298]

Нужное здесь условие общности положения состоит в том, что касательная плоскость листа в нуле не совпадает с касательной плоскостью ласточкина хвоста в нуле. Всякая гладкая функция, постоянная на линии самопересечения хвоста, имеющая ненулевой дифференциал на касательной плоскости хвоста в нуле, приводится вблизи нуля сохраняющим хвост диффеоморфизмом к виду A,2+ onst, а семейство голоморфных симплектических структур на плоскостях к = onst приводится к виду dkl Д dk голоморфным локальным диффеоморфизмом трехмерного пространства, сохраняющим ласточкин хвост и расслоение на плоскости к = onst (УМН. — 1985. — Т. 40, вып. 5. — С. 236). [c.434]

Предложени51 3.6 — 3.8, а также свойство спецификации (см, стр. 231) На базисном множестве Й , на котором Л-диффеоморфизм I является перемешивающим, вытекают из теоремы Аносова о семействах е траек-торий (см. [20] и [211). [c.75]

Затем, в главе 6, мы получили частичные результаты общего характера, например предложение 6.4.6, утверждающее, что для возмущения / диффеоморфизма / с гиперболическим множеством А существует такая окрестность и множества Л, что любое / -инвариантное подмножество и гиперболично для /. Тогда, однако, не было ясно, существует ля вообще какое-нибудь инвариантное нетривиальное множество в этой окрестности. Теорема о семействах е-траекторий, доказанная в предыдущем параграфе, позволяет доказать существование такого / -инвариантного множества, го-меоморфного А. В то же время опадает топологическое сопряжение. Таким образом, мы получаем структурную устойчивость, более того, даже сильную структурную устойчивость (определение 2.3.4). [c.572]

Большинство близких к повороту гладких (аналитических) диффеоморфизмов окружности гладко (аналитически) эквивалентно повороту. Например, рассмотрим двупараметрическоё семейство у у+а+еб (у), где Ь — гладкая 2я-периориче-ская функция. [c.49]

Отождествление многообразия орбит В с базой версальной деформации Л не однозначно и определено с точностью до диффеоморфизма В - -В , сохраняющего ласточкин хвост Е. Касательное пространство к грулпе таких диффеоморфизмов порождает из операции линеаризованного сворачиваний инвариантов Фо т Х.Т - Т семейство билинейных операций Ь>а Т ХТ - Т, где а Т следующим образом. Рассмотрим инвариант ф В ->-С, для которого <р=а. Линеаризация векторного поля с потенциалом ф (п. 5.4) определяет линейный [c.138]

В окрестности бифуркационной точки клетки Ш коразмерности а /- -1-параметрическое семейство грассмановых расширений можно превратить в семейство кривых в 1а -мерной трансверсали к клетке (при помощи гладко зависящего от ]а1 параметров диффеоморфизма многообразия Грассмана, сохраняющего стратификацию). [c.151]

Автоморфизм А сохраняет лебеговскую меру в Тог тогда и только тогда, когда det = 1. ГУМ и ГНМ получаются проекцией на тор семейств к- и (п— )-мерных плоскостей первые параллельны собственному подпространству, отвечающему собственным значениям Xii с 1Х, [ <С1 (в количестве к штук) вторые— собственному подпространству, отвечающему остальным собственным значениям (в количестве (п—к) штук). Малое возмущение гиперболического автоморфизма в С -топологии представляет собой аносовский диффеоморфизм тора (см. ниже теорему 2.11). Более того, каждый аносовский диффеоморфизм тора топологически сопряжен с некоторым гиперболичес- [c.130]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...