Фурье устойчивость

В положении асимптотически устойчивого равновесия, то из формул (69) и (73) видно, что вынужденное движение по модулю может быть сделано сколь угодно малым, если внешнее воздействие мало по модулю. Действительно, в формулу (69) входит как множитель амплитуда А внешней силы, а в формулу (73) — величины Л, являющиеся коэффициентами Фурье в разложении [c.252]

Малая по модулю вынуждающая непериодическая сила, представимая интегралом Фурье. Рассмотрим теперь движение стационарной системы, возникающее под действием вынуждающей силы при следующих условиях. Будем предполагать, что вынуждающая сила была равна нулю до некоторого момента времени, принятого нами за нуль отсчета времени, т. е. что до этого момента система находилась в положении устойчивого равновесия и что, начиная с момента / = 0, на систему действует вынуждающая сила, зависящая от времени, но малая по модулю, так что движения, вызванные этой силой, могут быть описаны соответствующими уравнениями линейного приближения. Иначе говоря, предполагается, что все qj = qj = 0 при <0 и что движение возникает лишь благодаря тому, что Q O при />0. Таким [c.252]

Таким образом, движение в окрестности положения устойчивого равновесия может быть найдено в случае, когда внешнее воздействие либо гармоническое, либо периодическое, но не гармоническое, либо, наконец, не периодическое, но представимое интегралом Фурье, Центральным для решения этой задачи являются понятия ком- [c.256]

Две немонохроматические волны от независимых источников не дают интерференции. Однако каждую из них можно представить как совокупность монохроматических волн (метод Фурье). Каждая пара таких монохроматических волн одного периода способна дать устойчивую интерференционную картину. Объяснить, почему наши волны не дают интерференции, хотя все их компоненты попарно интерферируют. (Обратить внимание на результат интерференции двух пар компонент, близких по частоте.) [c.867]

Исследование устойчивости. Метод гармоник (метод Фурье). Дать строгое обоснование корректности сеточных краевых задач удается не часто. Исследования такого рода составляют скорее исключение, чем правило. Объясняется это рядом причин. В условиях практической расчетной работы задачу приходится упрощать. Если исходная сеточная задача нелинейная, то прежде всего производят линеаризацию, т. е. рассматривают малые возмущения решения и, отбрасывая малые величины высших порядков, получают линейную краевую задачу для малых возмущений. После линеаризации получают линейную краевую задачу (сеточную), обычно с переменными коэффициентами. На этом уровне иногда удается исследовать ее корректность, но, как правило, переходят к уравнениям с постоянными коэффициентами, используя при этом принцип замораживания коэффициентов. Согласно этому принципу, коэффициенты сеточных уравнений заменяют значениями, которые они принимают в произвольной, но фиксированной точке Ро, принадлежащей расчетной области. При этом, вообще говоря, требуется рассматривать всю совокупность уравнений, возникающую при произвольном выборе точки Ро- [c.85]

Для исследования устойчивости схем (3.38) широко используют метод Фурье (метод гармоник). Рассмотрим возмущение специального вида [c.86]

В данном пункте были рассмотрены разностные схемы для одномерных уравнений. Переход к нескольким пространственным переменным не представляет труда. В последующих главах там, где возникает необходимость, для исследования устойчивости многомерных систем будет применяться метод Фурье. [c.88]

Фурье метод исследования устойчивости 86 [c.230]

Пусть в газе распространяется плоска ударная волна, причем все величины за и перед волной постоянны. Нас интересует взаимодействие этой волны со слабыми возмущениями (акустическими волнами неоднородностями плотности, покоящимися относительно газа). Поставленная задача представляет практический интерес, поскольку в среде, по которой распространяются ударные волны, всегда существуют слабые (или конечные) неоднородности. Кроме того, данный вопрос тесно связан с проблемой устойчивости ударных волн. Отметим еще одно обстоятельство. Ударная волна — возмущение сугубо нелинейное. Для слабых (линейных) возмущений справедлив принцип суперпозиции. Естественным является вопрос, что произойдет в результате взаимодействия линейного и нелинейного возмущений Вначале ограничимся слабыми возмущениями в виде плоских волн. В самом деле, любое слабое возмущение можно представить в виде суперпозиции плоских волн с помощью преобразования Фурье. Затем будет рассмотрено взаимодействие пространственных возмущений с ударной волной. [c.50]

Для исследования вопроса о динамической устойчивости обратимся к однородному уравнению, получаемому из (6.7) при Q = 0. Разложим функции G, Р, в ряды Фурье. Поскольку Я = четная функция, a- /i/a = 0,5d/i/d(jp , имеем [c.250]

Эта система представляет собой стохастический аналог уравнений устойчивости панели в потоке газа, описывающих явления флаттера и дивергенции. Для анализа воспользуемся спектральным методом. Стационарный случайный процесс v (t) допускает представление в виде обобщенного интеграла Фурье [c.163]

С математической точки зрения рассматриваются дифференциально-разностные аппроксимации динамической системы уравнений Ламе, имеющие вид уравнений Ньютона, и устанавливаются условия сходимости данной аппроксимации. Разностные схемы, изученные О. А. Ладыженской в работе [29], не входят в рассматриваемый класс приближений, но при исследовании устойчивости используется предложенный там метод Фурье. [c.239]

Отметим, что обыкновенные дифференциальные уравнения возникают не только в задачах статики оболочек вращения, но и в задачах устойчивости и собственных колебаний таких оболочек. Так, представляя решение задачи о собственных колебаниях в форме тригонометрических рядов Фурье и отделяя угловую координату, приходим к линейной краевой задаче на собственные значения для системы обыкновенных дифференциальных уравнений [c.80]

Решение уравнений устойчивости (6.4.9) строим в виде рядов Фурье [c.187]

Итак, характеристики основного равновесного состояния определены и матрица параметрических членов С сформирована, причем ее элементы не зависят от угловой переменной tp. Возвращаясь к задаче устойчивости (8.5.8), (8.5.9), строим ее решение в форме ряда Фурье [c.259]

Исследуем устойчивость равновесия слоистой ортотропной круговой конической усеченной жестко защемленной оболочки, нагруженной неравномерным внешним давлением, интенсивность q s, tp) которого задана в виде тригонометрического ряда Фурье [c.264]

Современные методы теоретического исследования переходных процессов в нелинейных автоматических системах, как уже указывалось, можно, как и методы исследования устойчивости, разделить на четыре группы фазовой плоскости, разностные, припасовывания и применения вещественных и комплексных преобразований Фурье с конечными пределами. Из четвертой группы на практике наиболее широкое применение получил метод гармонического баланса или эквивалентной линеаризации. [c.19]

Смолы на основе производных фурана и их модификации (ФЛ-2, ФЛ-2А, ФЛ-1, ФЛ-4, Ф-10, Ф-9, ФЛ-12, ФЛ-4С, Ф-7Т и др.) применяют для изготовления клеев и лаков антикоррозионного и других назначений. Из них изготовляют кислотно- и щелочестойкие материалы, устойчивые против неокислительных сред, герметики, отвердевающие в толстом слое без вздутий, и т. п. [c.266]

Применяя этот метод, приходится заменять нелинейные члены в граничных условиях линеаризованными членами в смысле теории гармонического баланса или, например, использовать метод периодических решений Пуанкаре (метод малого параметра) в форме Витта [И]. Метод Фурье при указанном его видоизменении позволяет исследовать устойчивость системы, найти условия возникновения автоколебаний, определить амплитуду и частоту автоколебаний и т. д. [c.130]

Покажем теперь метод определения границы области устойчивости на частном, но имею1цем большое значение случае, когда разложение (7.74) функции p(t) в ряд Фурье содержит только два периодических слагаемых самой низкой частоты, т. е. [c.245]

Известно, что в реальных условиях температурные неоднородности, возмущения температурого поля затухают во времени, — таковы внутренние свойства рассматриваемого процесса и его математической модели, т. е. дифференциального уравнения теплопроводности Фурье. Чтобы и явная численная схема обладала этим свойством апериодического затухания, необходимо выполнение следующих условий Ро 1/4 т А /4а. Явная схема называется условно устойчивой. [c.36]

Метод точечных отображений до сих пор не удается сколь-либо эффективно применять к системам, порядок которых выше трех. Это привлекло внимание и силы к решению более частных задач при этом центральной стала проблема определения периодических решений автоколебаний — в автономных системах и вынужденных колебаний в полосе захватывания — в системах, подверженных внешним периодическим воздействиям. Был предложен частотный метод, позволяющий точно в форме полных (без пренебрежения гармониками) рядов Фурье определять периодические движения релейных систем и их устойчивость по отношению к малым возмущениям. Первоначально казалось, что метод этот принципиально пригоден лишь в тех случаях, когда нелинейная характеристика состоит из кусков горизонтальных прямых, и поэтому форма выходных колебаний нелинейного элемента может быть заранее нредоиределена с точностью до неизвестных времен движения по отдельным участкам нелинейной характеристики. Однако позже было показано, что это не так, и был разработан метод определения периодических решений в форме полных рядов Фурье, пригодный для системы, содержащей нелинейные элементы, характеристики которых состоят из кусков двух произвольных прямых. Это последнее ограничение через некоторое время было снято, и таким образом указанная серия работ была завершена разработкой общего метода точного (без пренебрежения гармониками) оиределения периодических движений в системах, содержащих нелинейный элемент с произвольной кусочно-линейной характеристикой. [c.268]

В настоящее время получить эффективные достаточные условия сходимости даже для относительно простых уравнений, как правило, не удается. Для практики большое значение имеют простые и вместе с тем близкие к достаточным, необходимые условия сходимости и устойчивости. Существующие методы, при помощи которых можно получить такие условия для некоторых классов разностных схем, например методы разделения переменных и интеграяа Фурье, далеко не исчерпывают все многообразие встречающихся схем. В последнее время широкое распространение получили некоторые практические методы исследования устойчивости разностных схем (например, так называемый метод замораживания коэффициентов для разностных уравнений с переменными коэффициентами). Теоретически они или не обоснованы или обоснованы только для частных случаев, но достаточно хорошо проверены на практике. [c.114]

Алгоритм метода обобщенных определителей Хилла. Для системы с п степенями свободы при сохранении в рядах Фурье (54) и (55) первых Ра р гармоник соответственно размерность матрицы К равна 2п (2/io + 1) (2р + 1). В связи с высокой размерностью могут встретиться затруднения при проверке условий устойчивости. Если система обладает полной и достаточно сильной диссипацией, то следует отдать предпочтение критерию Зубова. Если диссипация отсутствует или она не является полной, то в области устойчивости все или часть характеристических показателей — чисто мнимые. Критерии Рауса — Гурвица и Зубова в этих случаях непригодны. Устойчивость проверяют непосредственным вычислением комплексных корней уравнения (56). [c.130]

На рис. 7.4.9 штриховая линия иллюстрирует применение метода обобщенных определителей Хилла для численного анализа динамической устойчивости консольного стержня, натруженного следящей периодической силой. В разложении Фурье (7.4.9) удержано четыре гармоники. [c.494]

Преобразование параметров и уравнений движения при переходе к иевращающейся системе координат будем называть фурье-преобразованием. Имеется много общего между этим преобразованием координат, рядами Фурье, интерполяцией Фурье и дискретным преобразованием Фурье. Так, общим является периодический характер системы. Фурье-преобразование координат широко применялось в исследованиях, хотя часто лишь на эвристической основе. Оно было использовано, например, в работе [С.77] для представления движения лопасти в плоскости вращения при анализе земного резонанса и в работе [М.121] для представления махового движения лопасти при анализе устойчивости и управляемости вертолета. Среди недавних работ с применением фурье-преобразования координат на более солидной математической основе можно отметить [Н.137]. [c.327]

Фурье-преобразование координат, описанное в разд. 8.4, часто рассматривают вместе с обобщенным анализом Флоке линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Действительно, эти направления анализа связаны между собой общим фактором — вращением системы. Однако, поскольку любое из них может потребоваться при анализе несущего винта без использования другого, они различны по существу. Например, фурье-преобразование координат необходимо для представления движения лопасти несущего винта в осевом потоке при возникновении связи с невращающейся системой (движение вала или отклонение управления), но несущий винт при этом остается стационарной системой. С другой стороны, при полете вперед и неподвижном вале винта приемлемо представление движения лопасти во вращающейся системе координат, однако в уравнениях движения появляются периодические коэффициенты, и для оценки устойчивости системы требуется применение анализа Флоке. [c.350]

ФЛ-2 используется как связующее при производстве Электроуглей, ФЛ-1, ФЛ-4 и Ф-10 — в качестве антикоррозионных клеев или покрытий с наполнителями или без них. Наполнителями служат графит, асбест и другие материалы. Фур-фурилфенолформальдегидиые смолы отверждаются при нагревании при 150—160 или на холоду в присутствии кислых катализаторов. Эти клеи обладают хорошей адгезией к металлу, стеклу, бетону, дереву, пластмассам стойки к воде, керосину, бензину, маслам, растворам минеральных солей, ряду органич. растворителей устойчивы к газам, содержащим фтор в небольших концентрациях, нестойки к окислителям. Клей ФЛ-1 и покрытия на его основе стойки в слабощелочных и кислых средах, ФЛ-4—в щелочных и слабокислых средах, Ф-10 — в кислых и слабощелочных средах. Фуриловые клеи ФЛ-1 и ФЛ-4 работают в условиях длительной эксплуатации в диапазоне темп-р от -60° до 4-100°. [c.408]

Рассмотрим задачу об устойчивости равновесия упругой слоистой анизотропной оболочки вращения, нагруженной осесимметричной системой внешних сил, интенсивности которых пропорциональны одному параметру. Докритическое равновесное состояние оболочки определяем на основе линеаризованных уравнений статики, а его устойчивость исследуем в рамках статической концепции Эйлера о разветвлении фop равновесия, позволяющей трактовать (см. параграф 3.3) задачу устойчивости как линейную краевую задачу на собственные значения для системы дифференциальных уравнений с частными производными. Решение этой задачи строим в форме тригонометрических рядов Фурье по угловой координате (см. параграф 3.6) с коэффициентами, зависящими от меридиональной координаты. Отделяя угловую координату и вводя 2х-мерный вектор j>(x) вариаций безразмерных кинематических и силовых характеристик напряженно-деформированного состояния оболочки (см. параграф 3.6), приходим к линейной краеюй задаче на собственные значения для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которую запишем в векторной форме [c.205]

Таким образом, использование сфокусированных спеклограмм открывает возможность реализации нового метода записи оптической информации, сравнимого по информационной емкости (степени миниатюризации информации) с широко разрабатываемыми в настоящее время методами, основанными на регистрации фурье-голограмм. При этом реализация рассматриваемого метода связана с появлением ряда практических достоинств, в частности, возможностью одноэтапной записи информации, практически полным подавлением спекл-шума, устойчивостью к действию шбра- [c.93]

При этом, как правило, в системах с квазисфокусированными голограммами проще достигается более высокое качество изображения по большей части критериев контраст, цветопередача, резкость, зернистость. Однако по отдельным параметрам, например по максимальной яркости малых деталей изображения, устойчивости изображения системы с квази-Фурье голограммами могут иметь преимущества перед системами с квазисфокусированными голограммами. [c.221]

Повреждение материалов происходит как в результате механического разрушения разрастающимся мицелием, так и за счет действия на полимеры метаболитов грибов, в первую очередь срганических кислот. Наиболее устойчивы к их действию полиизобутилен, фенопласты и фура-новые смолы. Менее стойки — поливинилхлорид, поли-метилакрилат и полиамидные смолы. [c.482]

Появление единственной преимущественной гармоники Фурье связано только с синусоидальным выходным сигналом. Подобная ситуация соответствует единственному раз-меру фракталя или шага усталостных бороздок в пределах анализируемой фасетки излома. Однако для периодических сигналов более сложной формы, что наблюдается в случае исследований изломов в РЭМ на стадии формирования усталостных бороздок более 2,14 10 м, возникает ряд кратных гармоник Фурье. Это явление даже при устойчивой величине шага усталостных бороздок в пределах анализируемой фасетки может быть обусловлено растрескиванием поверхности, расслаиванием больших усталостных бороздок, а также возможным наложением сигналов от периодов, которые характеризуют отдельно -ширину площадки усталостной бороздки и ее впадину (между площадками) при достаточном разрешении РЭМ. Чтобы исключить ошибки, вносимые этим явлением, анализируют период исследуемой структуры только в ограниченном диапазоне размеров. При этом период может быть определен путем грубой оценки по экрану видеомонитора РЭМ величины шага усталостных бороздок, как средней величины в этом диапазоне с учетом разброса ее значений. [c.238]

Первый из них, изложенный в разд. I, представляет собой итерационный метод Фурье [4] и применяется обычно тогда, когда необходимо тУолучить точные значения коэффициентов напряжений. Второй метод — энергетический [5], излагается в разд. П. Его чаще всего применяют при исследовании задач устойчивости и колебаний, когда одним из определяющих факторов является общая жесткость. Вследствие простоты энергетического метода он может быть применен также, когда для нахождения решений не требуется большая точность, например при исследовании поведения пластинок произвольной формы или пластинок с некруговыми вырезами. [c.193]

Задача устойчивости пологой сферической оболочки с круговым отверстием в геометрически нелинейной постановке при действии равномерно распределенного давления рассматривалась А. А. Киричуком [90]. Исходные соотношения сводились автором к системе обыкновенных дифференциальных уравнений путем разложения разрешающих функций в ру ды Фурье. Нелинейные уравнения решались методом продолжения решения по параметру. В работе изучено влияние размеров отверстия на величину критических нагрузок оболочки при осесимметричных и неосесимметричных формах потери устойчивости. [c.304]

Для решения начальной задачи, позволяющ,ой получить ответ на вопрос об устойчивости распределения, удобно использовать одностороннее преобразование Фурье — Лапласа (ср. (6.5) (6.6)). Тогда из уравнения (6.46) следует [c.42]

Помимо методических, на заседаниях городских семинаров (в частности в Москве) были заслушаны обзорные научные доклады, посвященные вопросам теории устойчивости, теории колебаний, гироскопии, управления движением и др. На заседаниях семинаров обсуждаются также вопросы истории развития механики, заслушиваются в связи с юбилейными датами доклады о жиэни и деятельности классиков меха-никн (Герца, Даламбера, Ляпунова, Фурье и др.). [c.4]

Определение критических чисел из трансцендентных уравнений (6.14), (6.15) требует громоздких вычислений, поэтому в первых исследованиях устойчивости равновесия слоя с твердыми границами использовались приближенные методы решения краевой задачи для нейтральных возмущений. Впервые значения минимального критического числа Рэлея были найдены Джефрисом с помощью метода конечных разностей [ ], а затем, более точно, — методом Фурье Р]. Исследование границы устойчивости на основе точных характеристических уравнений было проведено Лоу [ ] и особенно обстоятельно — в известной работе Пеллью и Саутвелла [ ] ). В последней работе был также предложен вариационный метод нахождения критических чисел Рэлея для плоского слоя. Дальнейшее развитие вариационный метод получил в работах Чандрасекара (см. [ 2]). Весьма эффективным оказался также метод Галеркина (см. 7 и 8). [c.43]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...