Определение периодических решений

Определение периодических решений линейных дифференциальных уравнений. Для определения периодических решений квазилинейных уравнений надо, в первую очередь, знать периодические решения порождающих уравнений. В задачах динамики механизмов порождающее уравнение обычно имеет вид [c.195]

Чтобы свести задачу об определении периодического решения автономного уравнения (10.23) к ранее рассмотренной задаче для неавтономного уравнения (10.18), перейдем к новому независимому переменному /2 так, чтобы периодическое решение уравнения (10.24) имело период не 2n-fY(,L ). постоянный период 2я. Замена переменных производится по соотношению [c.198]

Рассмотрим некоторые особенности построения периодического решения. Для определения периодического решения необходимо вычислить вектор начальных данных Хо и период автоколебаний Т. Как указывалось выше, для автономной системы начало отсчета времени можно выбрать произвольно, например с момента изменения режима. В рассматриваемом случае удобно выбрать за исходный момент времени, предшествующий заклиниванию самотормозящегося механизма. При этом автоколебательный процесс будет с чередующимися переходами от заклинивания к движению в тяговом режиме. За начало отсчета можно принять и момент времени, предшествующий расклиниванию самотормозящегося механизма. [c.345]

При математическом описании процессов вибрационного и ударно-вибрационного погружения и определении периодических решений в основном используют методы гармонического баланса, малого параметра, припасовывания, последовательных приближений. [c.328]

Переходя к определению периодического решения второго уравнения (11), линеаризируем предварительно его правую часть по )з и после упрощений с учетом равенства (3) приведем к безразмерной форме [c.244]

Точные методы сводятся или к решению рассматриваемой задачи по участкам и припасовыванию решений на границах участков, или к определению периодических решений в форме полных рядов Фурье, а переходных процессов в виде суммы реакций линейной части на импульсы, прикладываемые со стороны релейного элемента. [c.4]

Применение точных методов расчета релейных систем, разработанных Я. 3. Цыпкиным [Л. 24] и связанных с определением периодических решений в форме полных рядов Фурье (частотных методов), по-видимому, в рассматриваемом случае невозможно ввиду нелинейности непрерывной части и изменения структуры системы в процессе движения. [c.5]

Как известно, для случая малого ц периодические решения этого уравнения могут быть найдены по методу Пуанкаре [40]. Ван дер Поль разработал для этого случая метод приближенного исследования процесса установления и определения периодических решений [41]. [c.230]

Определение периодических решений [c.474]

Вопрос об определении периодических решении является одним из важнейших в теории колебании. Мы рассмотрим случаи, когда движение системы описывается дифференциальным уравнением [c.474]

Существует несколько методов определения периодического решения периода т. Мы рассмотрим два нз них. [c.474]

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ 475- [c.475]

Определение периодического решения в замкнутой форме. [c.475]

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ [c.477]

Так как определяющее уравнение рассматриваемой системы не имеет корней вида тЛ/, то, как показано в 1, эта система будет иметь единственное, вполне определенное периодическое решение, имеющее такую же структуру, как и функции Xf представляющие свободные члены уравнений. [c.153]

Этот метод хорошо известен в теории нелинейных колебаний. Он предназначен, в частности, для определения периодических решений уравнения [c.127]

Один из методов для описания движения подобных квазилинейных систем состоит в определении периодических решений путем последовательных приближений . [c.148]

Мы предположим, что функции Х зависят от параметра ц (в задаче трех тел в качестве параметра принимают одну из возмущающих масс). Предположим, что при = О дифференциальные уравнения (1) проинтегрированы, и что в этом случае найдено определенное периодическое решение спрашивается, при каких условиях мы имеем право сделать отсюда вывод, что существуют также периодические решения при малых значениях (i [c.416]

Мы получили таким образом два уравнения с тремя неизвестными т, Рь Рз но ввиду того, что уравнения автономны и фаза произвольна, мы можем одно из р зафиксировать, например положить р, равным нулю. Тогда мы получим одно вполне определенное периодическое решение после того как это периодическое решение будет найдено, прибавляя к нему произвольную фазу, мы снова восстановим потерянную произвольность. [c.692]

Отметим, что существуют и другие методы малого параметра, определения периодических режимов, которые не предполагают наличия порождающего решения, а исходят из так называемой гипотезы фильтра [1, 2], которая опирается на наличие у любой реальной системы конечной полосы пропускания частот. [c.119]

Считая, что чисто периодические решения уравнения возможны при определенных сочетаниях параметров а м q, разделяют все решения уравнения (2.224) на устойчивые и неустойчивые найдем эти периодические решения. [c.221]

Если же число Ь целое, то при a t) = О периодического решения уравнения (41), вообще говоря, не существует. Для существования периодического решения следует функцию a t) выбрать вполне определенным образом, именно надо положить, что [c.556]

Если внешнее воздействие F (/) является периодической функцией периода Т, т. е. F t Т) = F (t), то при определенных условиях система уравнений движения машинного агрегата (16. 21) имеет периодическое решение у (t). Подставив это решение в матрицы В (7), С (у) и вектор-функцию 5 (у) системы уравнений (16. 21), получим линейную систему дифференциальных уравнений (18. 7) с периодическими кусочно-постоянными коэффициентами. [c.124]

Сформулируем теперь задачу оптимального динамического синтеза. Требуется определить управления Uit) п Au t), минимизирующие функционал (21.17), вычисленный на установившемся движении системы, которому соответствует периодическое решение уравнений (21.14). Покажем, что в рассматриваемом случае задача сводится к определению одного оптимального управления. С этой целью исключим неизвестную jx из уравнений (21.14). Из первого уравнения находим [c.317]

Будем считать вектор-функцию / t) периодической с периодом Т и компонентами, являющимися кусочно-непрерывными ограниченными функциями времени с конечным числом точек разрыва в пределах периода. Указанное необходимо для существования при определенных условиях у системы периодического решения (п. 6.4). Система п линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами имеет решение у t), единственным образом определяемое начальными данными [c.173]

Любой набор величин (8.47) может быть определен, если заданы величины 7о, уо и операторы либо согласно зависимостям (8.47), (8.48). При существовании периодического решения из условий (8.59) следует, что операторы должны быть периодическими по значку q [c.240]

Формулу (8.53) можно рассматривать как выражение общего решения системы дифференциальных уравнений (8.12) с периодическим кусочно-постоянными коэффициентами. Такая система имеет множество периодических решений, каждому из которых соответствует определенный набор величин (8.59). Если считать заданными операторы то начальные данные периодического решения уо. [c.240]

Пункт 3 алгоритма построения периодического решения заключается в определении векторов уо, путем составления и решения уравнений (8.63), причем вектор Хо связан с векторами у , уо зависимостями (8.26), (8.47). Следовательно, в этом пункте алгоритма определяется периодическое решение на каждом шаге итераций. Особенности, связанные с осуществлением такого построения, определяются видом операторов При задании операторов формулами (8.50) вычисления производятся хорошо разработанными методами линейной алгебры [39 59]. [c.253]

Из теории дифференциальных уравнений следует, что при определенных условиях, налагаемых на матрицы В и С, система уравнений (9,5) имеет периодическое решение [72 80]. Когда матрицы В и С постоянные, таким условием является наличие чисто мнимого корня характеристического уравнения. [c.259]

Согласно этим условиям, периодические решения возможны лишь для наборов величин (8.47), фиксируемых операторами удовлетворяющими соотношениям (8.62). В последнем случае периодическое решение имеет смысл частного решения системы дифференциальных уравнений (8.5), у которого набор величин определен операторами и начальные данные которого должны вычисляться из операторного равенства (8.63). [c.260]

Периодическое решение системы уравнений (9.5) может быть получено при помощи алгоритма III (см. п. 8.2). Условия существования и единственности периодического решения устанавливаются при исследовании разрешимости и определении числа возможных решений операторного уравнения (8.63). [c.260]

Уравнение Матье имеет периодические решения только в том случае, если параметры а и q (см. уравнение (2.24)) связаны определенной зависимостью. Эту зависимость между а W q представляют в виде ряда [c.56]

Для проверки устойчивости анализируемого периодического решения необходимо определение зависимости qi = (а). [c.146]

Метод точечных отображений до сих пор не удается сколь-либо эффективно применять к системам, порядок которых выше трех. Это привлекло внимание и силы к решению более частных задач при этом центральной стала проблема определения периодических решений автоколебаний — в автономных системах и вынужденных колебаний в полосе захватывания — в системах, подверженных внешним периодическим воздействиям. Был предложен частотный метод, позволяющий точно в форме полных (без пренебрежения гармониками) рядов Фурье определять периодические движения релейных систем и их устойчивость по отношению к малым возмущениям. Первоначально казалось, что метод этот принципиально пригоден лишь в тех случаях, когда нелинейная характеристика состоит из кусков горизонтальных прямых, и поэтому форма выходных колебаний нелинейного элемента может быть заранее нредоиределена с точностью до неизвестных времен движения по отдельным участкам нелинейной характеристики. Однако позже было показано, что это не так, и был разработан метод определения периодических решений в форме полных рядов Фурье, пригодный для системы, содержащей нелинейные элементы, характеристики которых состоят из кусков двух произвольных прямых. Это последнее ограничение через некоторое время было снято, и таким образом указанная серия работ была завершена разработкой общего метода точного (без пренебрежения гармониками) оиределения периодических движений в системах, содержащих нелинейный элемент с произвольной кусочно-линейной характеристикой. [c.268]

На основании условия (S.27), приведенного в п. 8, можно утверждать, что периодическое решение устойчиво. Полученные зависимости для определения периодического решения системы уравнений движения машинного агрегата с упругими звеньями являются достаточно простыми для численных расчетов. Основная трудоемкость заключается в отыскании корней характеристического полинома и вычетов относительно полюсов передаточных функций соответствующих подыинтегральных выражений. Указанное не является специфической особенностью рассматриваемого метода, а присуще всем точным методам, причем в сравнении с известными методами предложенный отличается наименьшей трудоемкостью. Следует отметить, что отыскание экстремальных значений функций s ep (О и r-i (О представляет собой весьма сложную задачу (особенно для машинных агрегатов со значительным числом масс). В этой связи большой практический интерес представляет метод оценок, позволяющий построить огибающую колебательного процесса [371. Для модуля любой компоненты решения системы уравнений движения машинного агрегата в работе [37 I получены оценки типа (й 1, 2,. . п г 1, 2,. . п — 1) [c.96]

В первом параграфе этой главы рассматривался метод определения периодических решений системы Гамильтона с помощью степенных рядов. В двух предыдущих параграфах были ио.лучепы этим методом периодические решения плоской задачи трех тел, которые имеют значение в теории движения Лупы. В этом параграфе будет рассмотрен третий метод определения периодических решений системы дифференциальных уравнений. Большая часть изложенных ниже результатов имеет место пе только при регулярности, по и при более слабых предположениях все же ради простоты предположепие о регулярности будет в дальнейшем сохранено. [c.185]

Вопрос об определении периодических решений является одним КЗ важнейших в теории колебаний. Мы рассмотрим случай, когда движение системы описывается дифференциальным уравнением (20.28), правая часть которого (возмущающая сила) представляе некоторую периодическую функцию периода т [c.658]

Умножим равенство (5.11) на 5е2п+2(0, 2), а равенство (5.12) на се2п(6, Й1) и проинтегрируем по 0 в пределах от 0 до 2л получим, с учетом ортогональности периодических решений Матье, две бесконечные системы уравнений для определения Ст и От- [c.358]

Квазилинейные уравнения движения механизмов. Метод малого параметра или метод Пуанкаре применяется для исследования тех уравнений движения механизма, которые содержат малый параметр ц и имеют периодическое решение, когда этот параметр равен нулю. Из этих уравнений наибольшее зна-чение имеют квазилинейные уравнения, в которых нелинейные члены входят умноженными на малый параметр i. Происхождение термина связано с тем, что при (х = О уравнение движения обращается в линейное, решение которого при соблюдении определенных условий близко к решению нелинейного уравнения и может быть уточнено путем введения малых поправок. Линейное уравнение, получаемое при ц — О, называется пороЖ дающим. [c.195]

Периодические орбиты. Как правило, уравнения движения динамической системы при произвольных начальных условиях не удается проинтегрировать до конца. Так обстоит дело, в частности, и для задачи трех тел. Мы видели ( 17.10), что даже классификация возможных типов траекторий в общем случае встречает больпше трудности. Однако иногда мы в состоянии найти периодические орбиты или по крайней мере доказать их существование. Пуанкаре в своей классической работе о задаче трех тел придавал особое значение отысканию периодических решений и считал это отправным пунктом для решения общей задачи о классификации и интегрировании ). Траектории могут быть периодическими как в абсолютном смысле (по отношению к неподвижным осям), так и в относительном смысле (по отношению к осям, движущимся определенным образом). Например, в ограниченной задаче трех тел мы говорим о периодических траекториях частиц относительно вращающихся осей. [c.602]

Одним из таких научных методов определения оптимальных решений в самых различных областях управления производством, в том числе машиностроительным, является линейное программирование (см. гл. 2). Во всех моделях линейного типа (они не отражают динамических свойств объектов — предприятие, объединение и т. п.) их влияние на квалификацию, работоспособность и т. д. работн иков аппарата управления не исследуется. Это требует периодической корректировки модели по мере изменения ее основных параметров, т. е. анализа чувствительности — выделение относительно маловажных и значимых факторов не реже одного раза в год. Однако предпочтение следует отдать методу от простого к сложному , т. е. индуктивному. [c.137]

Выше было установлено, что в типовых гидравлических следящих приводах с нелинейностями вида T v ) и p h, q) граничное подведенное давление рпг является границей между областью устойчивости равновесия, для (которой уравнение движения привода не дает периодических решений, и областями автоколебаний и устойчивости в малом , для которых это уравнение дает два периодических решения — устойчивое и неустойчивое, причем при граничном подведенном давлении рт оба периодических решения совладают по величине. Таким образом, граничное подведенное давление рпг может быть найдено в результате определения граничных условий совпадения амплитуды Ау устойчивых и Ан неустойчивых периодических решений уравнения движения гидра1влического следящего привода. Отыскание граничного подведенного давления Рт может быть осуществлено графическим способом по методике, изложенной в работе [71]. Такой способ нахождения решения, однако, громоздок и неудобен. Попробуем найти математическое выражение для граничного подведенного давления Рт привода, построенного по схеме на рис. 3.1 и имеющего управляющий золотник с открытыми щелями в среднем положении, из системы уравнений (3.40), первое из которых является квадратным, а второе — кубическим уравнением относительно амплитуды А периодических перемещений привода. Непосредственное аналитическое определение граничного подведенного давления рт из уравнений (3.40) произвести невозможно в связи с тем, что при отыскании его мы имеем дело с тремя переменными А, Q, рп, а уравнений в системе (3.40) только два. 152 [c.152]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...