Фурье метод исследования устойчивости

Фурье метод исследования устойчивости 86 [c.230]

Современные методы теоретического исследования переходных процессов в нелинейных автоматических системах, как уже указывалось, можно, как и методы исследования устойчивости, разделить на четыре группы фазовой плоскости, разностные, припасовывания и применения вещественных и комплексных преобразований Фурье с конечными пределами. Из четвертой группы на практике наиболее широкое применение получил метод гармонического баланса или эквивалентной линеаризации. [c.19]

Исследование устойчивости. Метод гармоник (метод Фурье). Дать строгое обоснование корректности сеточных краевых задач удается не часто. Исследования такого рода составляют скорее исключение, чем правило. Объясняется это рядом причин. В условиях практической расчетной работы задачу приходится упрощать. Если исходная сеточная задача нелинейная, то прежде всего производят линеаризацию, т. е. рассматривают малые возмущения решения и, отбрасывая малые величины высших порядков, получают линейную краевую задачу для малых возмущений. После линеаризации получают линейную краевую задачу (сеточную), обычно с переменными коэффициентами. На этом уровне иногда удается исследовать ее корректность, но, как правило, переходят к уравнениям с постоянными коэффициентами, используя при этом принцип замораживания коэффициентов. Согласно этому принципу, коэффициенты сеточных уравнений заменяют значениями, которые они принимают в произвольной, но фиксированной точке Ро, принадлежащей расчетной области. При этом, вообще говоря, требуется рассматривать всю совокупность уравнений, возникающую при произвольном выборе точки Ро- [c.85]

Для исследования устойчивости схем (3.38) широко используют метод Фурье (метод гармоник). Рассмотрим возмущение специального вида [c.86]

В данном пункте были рассмотрены разностные схемы для одномерных уравнений. Переход к нескольким пространственным переменным не представляет труда. В последующих главах там, где возникает необходимость, для исследования устойчивости многомерных систем будет применяться метод Фурье. [c.88]

С математической точки зрения рассматриваются дифференциально-разностные аппроксимации динамической системы уравнений Ламе, имеющие вид уравнений Ньютона, и устанавливаются условия сходимости данной аппроксимации. Разностные схемы, изученные О. А. Ладыженской в работе [29], не входят в рассматриваемый класс приближений, но при исследовании устойчивости используется предложенный там метод Фурье. [c.239]

Наиболее распространенным является способ исследования устойчивости разностных схем по методу Фурье. Рассмотрим несколько подробнее этот метод. [c.15]

Предположим, что в результате исследования устойчивости схемы (3. 10) по методу Фурье мы получили локальный критерий устойчивости вида [c.20]

Первый шаг есть не что иное, как предиктор по схеме чехарда , а второй — схема (3.285). Данная схема обладает некоторыми интересными характеристиками (см. задачу 3.16). Подобно схеме чехарда , она имеет ошибку второго порядка E=0 Af,Ax ) исследование устойчивости методом фон Неймана показывает, что = 1 при 1, и схема имеет нулевую схемную вязкость как в нестационарном, так и в стационарном случаях. Она также обладает недостатками, присущими схеме чехарда , т. е. требует дополнительных условий на выходной границе потока и дополнительных начальных условий и фурье-компонента с длиной волны Л = 2Ах стационарна. В отличие от схемы чехарда она обладает еще и тем недостатком, что не дает точного решения модельного уравнения при С= 1 однако значительным преимуществом рассматриваемой схемы является отсутствие неустойчивости, связанной с расчленением решения по временным шагам. [c.139]

В настоящее время получить эффективные достаточные условия сходимости даже для относительно простых уравнений, как правило, не удается. Для практики большое значение имеют простые и вместе с тем близкие к достаточным, необходимые условия сходимости и устойчивости. Существующие методы, при помощи которых можно получить такие условия для некоторых классов разностных схем, например методы разделения переменных и интеграяа Фурье, далеко не исчерпывают все многообразие встречающихся схем. В последнее время широкое распространение получили некоторые практические методы исследования устойчивости разностных схем (например, так называемый метод замораживания коэффициентов для разностных уравнений с переменными коэффициентами). Теоретически они или не обоснованы или обоснованы только для частных случаев, но достаточно хорошо проверены на практике. [c.114]

Определение критических чисел из трансцендентных уравнений (6.14), (6.15) требует громоздких вычислений, поэтому в первых исследованиях устойчивости равновесия слоя с твердыми границами использовались приближенные методы решения краевой задачи для нейтральных возмущений. Впервые значения минимального критического числа Рэлея были найдены Джефрисом с помощью метода конечных разностей [ ], а затем, более точно, — методом Фурье Р]. Исследование границы устойчивости на основе точных характеристических уравнений было проведено Лоу [ ] и особенно обстоятельно — в известной работе Пеллью и Саутвелла [ ] ). В последней работе был также предложен вариационный метод нахождения критических чисел Рэлея для плоского слоя. Дальнейшее развитие вариационный метод получил в работах Чандрасекара (см. [ 2]). Весьма эффективным оказался также метод Галеркина (см. 7 и 8). [c.43]

Исследование устойчивости сложных разностных схем по методу Фурье часто оказывается практически невозможным из-за громоздкости выкладок.. Например, часто не удается вычислить коэффициенты характеристического уравнения разностной схемы [6]. Во всех этих случаях весьма полезным оказывается применение символьных преобразований на ЭВМ, или средств компьютерной алгебры. В настояш ее время получили наибольшее распространение следуюш,ие системы компьютерной алгебры (1) Maple V (Канада) (2) Mathemati a 3.0 (США) (3) Redu e 3.4, 3.5, 3.6 (США). [c.28]

Первый из них, изложенный в разд. I, представляет собой итерационный метод Фурье [4] и применяется обычно тогда, когда необходимо тУолучить точные значения коэффициентов напряжений. Второй метод — энергетический [5], излагается в разд. П. Его чаще всего применяют при исследовании задач устойчивости и колебаний, когда одним из определяющих факторов является общая жесткость. Вследствие простоты энергетического метода он может быть применен также, когда для нахождения решений не требуется большая точность, например при исследовании поведения пластинок произвольной формы или пластинок с некруговыми вырезами. [c.193]

В дополнение к результатам интерферометрического исследования фазовой структуры применялся численный метод восстановления фазы 48] пучка в фокальной плоскости первой Фурье-лиизы распределение фазы восстанавливалось по результатам измерения распределения интенсивности во входной м выходной плоскостях, соответственно, фурье-линзы Ь2, в ходе 30 итераций процедуры [48]. Схема экспериментальной установки для получения двух распределений приведена на рис. 6.35. После 30 итераций, среднеквадратичное отклонение экспериментально полученного амплитудного распределения от его оценки на последней итерации составляло менее 17%. Восстановленное фазовое распределение во входной плоскости фурье-линзы представлено на рис. 6.42. Фазовый сдвиг между половинками моды составляет около 0,85 Я, что согласуется с результатами интерферометрии и теоретической оценкой тт. Таким образом, устойчивость амплитудно-фазовой структуры гауссовых мод к фурье-нреобразованию позволяет использовать итеративную процедуру 48], основанную на вычислении прямого и обратного преобразований Фурье, для верификации результатов интерферометрического исследования фазовой структуры сформированного модового пучка (см. рис. 6.39, 6.41, 6.42). [c.448]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...