Упругость по Грину

Иногда его называют упругостью по Грину в противоположность определению упругого поведения материалов, задаваемому в п. 2.3.1, которое называется упругостью по Коши. [c.54]

Если процесс деформации обратимый, то поведение материала упругое. Работа внутренних сил не зависит от пути, и величину = О можно истолковывать как упругий потенциал. Как было показано в п. 2.3.3, зная и, можно получить соотношения между напряжениями и деформациями (упругость по Грину), а именно справедливо равенство [c.78]

Различают упругость по Коши, когда постулат о существовании потенциально энергии не выдвигается, и упругость по Грину, когда этот постулат принят ). Упругий по Грину материал по предложению Трусделла называют гиперупругим , но многие авторы не видят необходимости в этом разделении. Следуя им, мы принимаем, что упругий материал гиперупруг . [c.104]

Это следует из того, что О (лг, у) и Ту 0 (лг. У) относительно точки лг удовлетворяют уравнениям упругости (по определению первого тензора Грина и согласно теореме 1 3 гл. I). Покажем, что функциональное уравнение (10./б,) разрешимо. [c.355]

Приведенный выше пример показывает, что решение простых задач теории упругости методом одной гармонической функции связано с более громоздкими вычислениями по сравнению с методом комплексного переменного. Этот недостаток может быть в значительной мере компенсирован при решении сложных задач, решение которых не выражается через элементарные функции, для областей, где легко определяется регулярная часть функции Грина уравнения Лапласа. Как видно из примера, итерационный ряд (6) достаточно быстро сходится. [c.11]

В частном случае сплющенного эллипсоида — щели (когда с = 0) решение этой задачи значительно упрощается, если использовать результаты исследований А. И. Лурье [52] и Л. А. Галина [20] (см. книгу [23]) по теории потенциала. Следует отметить также работу М. К- Кассира и Г. С. Си [128], в которой получены результаты, аналогичные результатам Л. А. Галина [20]. Независимо от работ [20, 52] А. Е. Грин и И. Н. Снеддон [123] дали решение задачи о растяжении упругого тела с плоской трещиной эллиптической формы в плане, используя математическую аналогию этой задачи с проблемой обтекания плоской эллиптической пластины несжимаемой идеальной жидкостью. Решение этой задачи хорошо известно [130]. Д. Р. Ирвин [126] вычислил коэффициент интенсивности напряжений в задаче Д. Е. Грина к И. Н. Снеддона, используя их решение. [c.175]

Автор повсеместно подчеркивает большое значение достижения высокой точности в эксперименте и умения правильно оценивать ее уровень. При этом он считает важными и такие экспериментальные исследования, в которых не наблюдаются новые явления, но существенно повышается точность измерений, что способствует более глубокому пониманию явления и более правильной оценке его практического значения. В качестве примера экспериментаторов, значение работ которых состояло в основном в повышении точности результатов, автор книги приводит Герберта Томлинсона. Интересно отметить, что значительную роль в повышении точности измерения деформаций сыграли многочисленные эксперименты по определению значения коэффициента Пуассона для разных материалов, которые в обилии ставились в связи с дискуссией по поводу числа независимых постоянных упругости у изотропного тела. Хотя исследования Грина давали исчерпывающий ответ на этот вопрос, многие ученые в XIX веке не считали его решенным. С позиций XX века дискуссия была излишней, однако она явилась причиной постановки тончайших опытов, представляющих самостоятельный интерес в части достижения высокой точности измерения деформаций. [c.12]

Соотношения (1.17) используются для определения давления р(г, 9) на каждом пятне контакта и радиуса а пятна контакта. Затем по известным давлениям на границе упругого полупространства определяется напряжённое состояние в приповерхностных слоях. Для определения напряжений в полупространстве в качестве функций Грина можно воспользоваться решением Буссинеска (см., например, [96]). [c.26]

Необходимо заметить, что теорема взаимности Бетти по своей сути связывает решение двух различных краевых задач для одной и той же области. Она является следствием линейности уравнений равновесия и закона Гука- Само фундаментальное решение, которое базируется на рассмотрении задачи о сосредоточенной силе в бесконечной упругой среде, может быть интерпретировано как функция Грина для бесконечно упругой среды или функции влияния. [c.52]

Мы видели, что Эйлер в своем выводе дифференциального уравнения упругой линии использовал выражение энергии деформации изогнутого бруса (см. стр. 45). Грин, обсуждая вопрос о необходимом числе упругих постоянных, полагает, что энергию деформации можно выразить однородной функцией от компонент деформации (см. стр. 264). Ламе в своей книге по теории упругости ) приводит теорему Клапейрона, констатирующую, что работа, произведенная внешними действующими на упругое твердое тело силами при его деформировании, равна накопленной в этом теле энергии деформации (см. стр. 145). [c.346]

Применение метода интегральных уравнений, или метода потенциала, для получения решения некоторых дифференциальных уравнений в частных производных уходит своими корнями в классический анализ. Многие обозначения и терминология в этой области связаны с развитыми в девятнадцатом веке представлениями для сил притяжения в ньютоновских гравитационных полях. Параллельно разрабатывались методы решения задач о нагруженных упругих телах. Для частных конфигураций были найдены функции Грина, позволяющие находить явные решения интегральных уравнений. Вслед за классической работой Фредгольма появилось большое число исследований по теории потенциала, посвященных построению всевозможных доказательств существования и единственности применительно к конкретным частным типам математических задач. [c.9]

Кратко рассматриваются Теоретические основы линейной механики разрушения для введения понятий коэффициентов интенсивности напряжений и скорости освобождения упругой энергии. В работе установлено, что метод граничных интегральных уравнений (ГИУ), применяющийся для решения задач теории упругости, является эффективным и точным средством, позволяющим вычислять значения коэффициентов интенсивности напряжений и скорости освобождения упругой энергии в двух- и трехмерных задачах механики разрушения. Рассматриваются основные представления метода ГИУ и описывается распространение метода на задачи механики разрушения, В двумерном случае представлены численные результаты, полученные при помощи построения специальной функции Грина для задач о трещинах. В трехмерном случае приводятся результаты для поверхностной трещины, найденные путем стандартного решения по методу ГИУ. Указываются некоторые задачи и цели дальнейших исследований. [c.46]

Представление упругого потенциала в виде скалярной функции меры деформации Коши-Грина X = x(G ) дает возможность представить тензор Пиола в виде производной функции х по мере деформации. В этом случае закон состояния материала среды имеет вид [c.20]

При наличии функций Грина доказательство применимости принципа Вольтерра имеет везде одну и ту же структуру, поскольку центральным местом этого доказательства является установление критериев коммутативности действия оператора наследственной упругости (агрегата операторов в более сложных случаях) и операции интегрирования по областям приложения внещней нагрузки. [c.74]

Известно, что если и, V, да суть компоненты упругого смещения, то имеем по формуле Грина [c.134]

Во многих книгах по сопротивлению материалов и теории упругости плоской деформацией называют состояние с плоским полем коэффициентов длины (тензоров Коши или Грина), когда это поле одно и то же во всех плоскостях, перпендикулярных к направлению нулевого главного удлинения. Для плоской деформации, перпендикулярной к оси Хд, вектор перемещения является функцией только XI и Хг. Соответствующие компоненты перемещения для этого случая обозначим так [c.132]

Функцию Грина можно построить путем отображения полосы на единичный круг, как было показано в книге автора по упругим пластинкам (см. стр. 313). [c.318]

Аналогичные формулы для т), С) и гг ( , т], С) можно получить, предполагая, что сосредоточенная сила в точке 5, тг], С имеет направление оси У или В правой части (4) содержатся только известные массовые силы и заданные поверхностные перемещения. Поэтому если при любом положении точки 1Г1, С найдены функции а, V, которые мы назовем функциями Грина, то решение основных уравнений при заданных массовых силах и поверхностных перемещениях можно получить в квадратурах по формуле (4). Обшая задача определения решения уравнений теории упругости при заданных на поверхности перемещениях сводится таким образом к специальной задаче построения функций Грина. [c.137]

Важность приложений теории упругости в физике и технике и выяснившаяся большая трудность поставленных задач с точки зрения математического анализа привлекли к этой новой отрасли наук внимание крупнейших исследователей XIX и XX веков. Помимо названных выше основателей теории упругости Коши, Навье и Пуассона, здесь можно назвать таких выдающихся ученых, как М. В. Остроградский, Ламе (выпустивший в 1852 г. первый курс лекций по теории упругости), Клапейрон, Сен-Венан, Грин, Максвелл, В. Томсон (лорд Кельвин), Релей, Мичелл, Матье, Ф. С. Ясинский, С. П. Тимошенко, Г. В. Колосов, Н. И. Мусхелишвили и многие другие. Читателей, желающих ознакомиться с историей возникновения и развития теории упругости, отсылаем к обстоятельному очерку, помещенному во введении к книге А. Лява Математическая теория упругости (ОНТИ, Москва, 1935 г.), а также к книге С. П. Тимошенко История науки о сопротивлении материалов (Гостехиздат, 1957). [c.10]

Ш вают упругим (за рубежом — упругим по Грину, гиперупру-гим). Формально упругий материал можно рассматривать как частный случай квазиупру----гого, отвечающий [c.160]

Исходным является не линейное выражение (2.7), а предположение о существовании удельной потенциальной энергии деформации U гц) с уже рассмотренными выше свойствами dO = оцйгц или ац = дП/дгц, благодаря которому устанавливается упругое поведение материала (упругость по Грину). Для iy(e,/) в окрестности начального состояния (характеризуемого равенством гц = 0) выполняют разложение в степенной ряд по 8,/ с удержанием членов до второй степени включительно. Тогда [c.57]

Лорд Кельвин (Lord Kelvin) дал доказательство существования упругого потенциала Грина, основанное на лервом и втором законах термодинамики. Пользуясь этими законами, он заключает, что когда деформация твердого тела не сопровождается изменением температуры, компоненты напряжения являются частными производными некоторых функций от компонентов деформации по этим компонентам. Можно доказать, что это верно и в том случае, когда деформация происходит столь быстро, что ни в одной части тела не имеет места ни поглощение, ни отдача тепла. [c.25]

Одиако наиболее поразительные данные были получены Фохтом (Voigt) ) при изучении упругих свойств кристаллов. Отсутствие уверенности в изотропии испытываемых материалов перестало быть помехой после того, как он решился производить эксперименты с материалом, заведомо анизотропным ). Одиако затруднения, подлежащие разрешению, являются более глубокими. По Грину материал, имеющий анизотропию самого обП его характера, характеризуется 21 независимей постоянной. Молекулярная гипотеза, которую разработал Коши и поддерживал Сен-Венан, приводит к 15 упругим постоянным, так что если рариконстантная теория верна, то 21 постоянная Грина должна быть связана 6 независимыми соотношениями. Эти соотношения я называю соотношениями Koiun ). [c.27]

Таким образом, вариационное уравнение 65 = О, в интегральной форме выражающее условия равновесия деформированного тела, эквивалентно и включает в себя соответствующие дифференциальные уравнения равновесия теории упругости вместе с условиями равновесия на поверхности тела (граничными условиями). Указанные дифференциальные уравнения служат уравнениями Эйлера функционала Э. При этом если последний будет выражен только через три фукнции перемещений Э = Э (и, v, w), то, следуя по пути, показанному в примере, мы придем к уравнениям Эйлера в форме уравнений Ляме (2.44), т. е. уравнений равновесия, записанных в перемещениях. Отметим, что в этом случае при исключении из уравнения 65 = О частных производных функций би, 8v, би потребуется операция, аналогичная интегрированию по частям — переход от интеграла по объему к интегралу по поверхности по формуле Грина. На этих преобразованиях останавливаться не будем. [c.57]

Итак, компоненты тензора напряжений согласно закону Гука есть линейные функции компонент e тензора деформации и вместе с тем в соответствии в формулой Грина являются частными производными первого порядка упругого потенциала W (в ) по соответствующим компонентам тензора деформации. Отсюда становится очевидным,"что упругий потениил W ( и) представляет собой функцию второго поряд-к а компонент тензора деформации. Общее выражение этой функции можно представить в следующем виде [c.57]

Остановимся еще на вопросе о применении в теории упругости матрицы (тензора) Грина. Определяется она следующим образом. Пусть р — некоторая точка области О и Г(р,д) — соответствующее ей решение Кельвина — Сомильяны. Пусть /(р, (/)—некоторая матрица, каждый столбец которой удовлетворяет уравнениям Ламе (по координатам точки р), а точка р присутствует в элементах этой матрицы как параметр. Тогда можно показать (повторяя фактически все рассуждения, [c.569]

В большинстве работ по исследованию армированной резины, таких, например, как основополагающая работа Адкинса [2, 3], предполагается, что волокна расположены на одной или нескольких поверхностях внутри резины. Волокна считаются непрерывно распределенными по такой поверхности, так что на поверхности нет различия между частицами волокон и частицами матрицы. В противоположность этому материалы, которые мы будем рассматривать в настоящем обзоре, состоят из собственно волокон, а не армированы отдельными их слоями. Б развиваемой теории предполагается, что волокна распределены непрерывным образом по всему объему материала. Математическая идеализация состоит в том, что волокна образуют семейство материальных кривых, причем через каждую точку материала проходит одна кривая данного семейства. Неявным образом мы ограничиваем наше внимание исследованием одного семейства волокон, считая направление волокна непрерывной функцией его координат. Для упругих материалов подобная теория предложена Грином и Адкинсом [15], но использоваться данная теория стала лишь недавно. [c.289]

В разд. VI, А рассматриваются кинематические условия, в разд. VI, Б — уравнения равновесия, а в разд. VI, В мы приводим определяющие уравнения для упругого поведения в форме, предложенной Спенсером [40]. Связь напряжений с деформациями для трансверсально изотропных растяжимых материалов обсуждается в разд. VI, Г соответствующие уравнения, полученные Эриксеном и Ривлином [10], по нашему мнению, можно использовать для получения приближений высшего порядка, учитывающих малую, но отличную от нуля растяжимость волокон. В разд. VI, Д мы приводим перечень задач, которые могут быть решены в явном виде без предположения о нерастяжимости волокон. Читателя, интересующегося подробными решениями, мы отсылаем к книге Грина и Адкинса [15]. [c.345]

В теории изотропных материалов с кинематическими ограничениями, предложенной Адкинсом и Ривлином [5] (см. также Адкинс [2—4], Грин и Адкинс [15]), энергия деформации выбирается в форме, которую она имеет для изотропных упругих материалов, а не для материалов с трансверсальной изотропией. Для изотропного материала W не зависит от /з, следовательно, в выражении для S следует положить = 0. Как отметил Спенсер [40], это предположение приемлемо, по-видимому, лишь тогда, когда материал армирован волокнами, далеко отстоящими друг от друга. Аналогичное предположение было использовано Прагером [28] при иследовании упругопластического поведения. [c.348]

Грина Gif r, ri) для однородной среды сравнения, тензор упругих свойств которой обозначим через Е. Сингулярное приближение по отношению к обобщенному сингулярному приближению является частным случаем, когда JSijmn = ( ijmn)- Функция Гринасреды сравнения удовлетворяет уравнению [c.79]

В том же 1940 г. вышла еще одна пионерская работа по численному решению ГИУ для плоской задачи теории упругости [15]. В ней Ц. О. Левина и С. Г. Михлин рассмотрели плоскость с двумя вырезами. Эта область конформно отображается на круговое кольцо, для которого известна функция Грина. В результате получено ГИУ, решенное численно путем предварительного разложения его ядра в ряд и перехода к близкому уравнению с вырожденным ядром, а последнее решалось сведением к алгебраической [c.267]

Таким образом, можно записать ГИУ и в том случае, когда область ограничена несколькими поверхностями 5о, Si,. ... .., Sk или тело кусочно однородно (см., например, [1—3]). Если известна функция Грина краевой задачи типа Дирихле или Неймана для области, внешней по отношению к поверхности 5j (пусть 5] — внутренняя граница), и в исходной краевой задаче на Si заданы нулевые условия, то, используя при выводе ГИУ не фундаментальное решение дифференциальных уравнений (как обычно делается), а функцию Грина, можно получить ГИУ, в котором интегралы по Si отсутствуют. Именно так в [4] преобразовано ГИУ двумерной задачи теории упругости для тела с трещиной. [c.183]

Аналогичная зависимость наблюдается и при растяжении, где предел прочности линейно зависит от плотности графита в интервале 1,56—1,84 г см и изменяется от 200 до 360 кГ1см [28]. Температурная зависимость предела прочности показывает, что с повышением температуры до 2400—2500° С величина его возрастает, а при более высоких температурах — резко падает. Различные исследователи выдвигают свои гипотезы, объясняющие такое аномальное поведение графита (и некоторых других материалов) при повышении температуры. Мрозовский [108] объясняет эту зависимость тем, что снимаются остаточные напряжения, возникшие вследствие анизотропного изменения размеров отдельных кристаллитов при охлаждении графита после графитизации. Эта теория была дополнена Хо-вом, который, основываясь на различных величинах коэффициента термического расширения по осям сна, показывает возможность заклинивания кристаллитов при повышении температуры. В этом случае структура становится более жесткой. По мнению авторов работ [89, 90], повышение прочности может быть обусловлено дегазацией графита (удалением сорбированных газов) при повышенных температурах. Мартенс и др. [91] связывают повышение прочности с проявлением ресурса пластичности графита при повышении температуры, в связи с чем снижается влияние внутренних напряжений, возникающих в местах структурных неоднородностей, в том числе в порах. Грин [92] объясняет изменение механических свойств графита по аналогии с полимерными материалами, у которых таким же образом возрастает модуль упругости и кривая напряже- [c.47]

В общем случае изучение механических процессов в начально-деформированных телах необходимо проводить в рамках нелинейной теории упругости. Однако, множество процессов, происходящих в начально-деформированных телах, можно рассматривать в рамках линеаризованной теории наложения малых деформаций (возмущений) на конечные деформации (начальное состояние) в предположении, что возмущения малы. Традиционно [30, 41, 42] различают три состояния тела естественное (ненапряженное) состояние (ЕС), начально-деформированное состояние (НДС) и актуальное (возмущенное по отношению к НДС) состояние. При этом особое значение приобретает выбор системы координат, которая может быть связана либо с естественной конфигурацией (система координат Лагранжа или материальная система координат), либо с актуальной конфигурацией (система координат Эйлера) [30, 41, 42]. Линеаризованные уравнения движения существенным образом зависят как от выбора системы координат, так и от выбора определяющих соотношений, поскольку имеет место возможность определения напряженного состояния различными тензорами (Коши, Пиола, Кирхгофа и т.д.) и множественность их представления через меры деформации (Коши-Грина, Фингера, Альманзи) или градиент места. Более детально с особенностями постановки задач для преднапряженных тел можно ознакомиться в монографиях А. И. Лурье [41], А. Лява [42] и А. Н. Гузя [30]. [c.290]

Грин Джордж (Green J., 1793-1841), английский математик, физик труды по интегральному исчислению, теории упругости. [c.45]

Грин (Green J.) Джордж (П93-1Н41) — английский математик. До 40 лет работал мельником, самостоятельно изучал математику. Окончил Кембриджский университет в 1837 г. Основная работа Опыт применения математического анализа к теориям электричества и магнетизма (1828 г.), где ввел понятие потенциала, доказал ряд теорем (в частности, формулы Грина). Работы по теории Электро- и магнетостатики, теории упругости. [c.66]

Так, например, Грин и Тейлор [24] исследовали распределение напряжений в пределах упругости вокруг отверстия в плоской пластинке, нагруженной двухосным напряжением растяжения. Было установлено, что при предельных противоположных случаях ориентировки текстуры материала по отнощению к направлению нагрузок имеют место значительные отклонения от распределения напряжения в аналогичном образце из изотропного материала. В случае направления напряжения растяжения параллельно направлению ориентировки кристаллов, волокон или клеток (например, в дереве), увеличение напряжения в наиболее напряженной точке оказывается приблизительно в 2 раза больше, чем в случае изотропного материала. С другой стороны, при нагрузке, перпендикулярной направлению линий ориентировки зерен или волокон, увеличение максимального напряжения в результате концентрации напряжений оказывается приблизительно на 30% меньше, чем прн изотропном материале, однако одновременное увеличение напряжения сжатня в продольном направлении оказывается больше, чем при изотропном материале. [c.47]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...