Оператор наследственной упругости

Аналогия между упругим и наследственно-упругим телами может быть распространена и на задачу отыскания напряженно-деформированного состояния. А именно, если требуется решить такого рода задачу для наследственно-упругого тела, то следует сначала решить эту же задачу для упругого тела, а затем в решении заменить все упругие модули на соответствующие операторы наследственной упругости (принцип Вольтерра). В частности, если решение упругой задачи не зависит от упругих постоянных материала, то оно без изменений переносится на случай наследственно-упругого тела. Простейшие примеры применения этого принципа будут рассмотрены в главах XI и X I, посвященных изгибу и кручению. [c.767]

При решении многих краевых задач линейной теории вязкоупругости применяют принцип Вольтерра, состоящий в том, что решение таких, задач получают из соответствующих упругих решений заменой упругих постоянных временными операторами (операторами наследственной упругости). Принцип Вольтерра является в настоящее время (особенно в нашей стране) одним из основных методов в решении задач квазистатической теории вязкоупругости. [c.68]

Следуя [146], считаем, что основные соотношения плоской теории вязкоупругости получаются из соответствующих выражений теории упругости заменой упругих постоянных операторами наследственной упругости и имеют вид (3.9) и (3.13). [c.69]

При наличии функций Грина доказательство применимости принципа Вольтерра имеет везде одну и ту же структуру, поскольку центральным местом этого доказательства является установление критериев коммутативности действия оператора наследственной упругости (агрегата операторов в более сложных случаях) и операции интегрирования по областям приложения внещней нагрузки. [c.74]

В связи с этим в работах [125, 199] практически одновременно для приближенного решения уравнений движения трещин в вязко-упругих средах была предложена следующая аппроксимация интегрального оператора наследственной упругости [c.103]

Ниже исследуем область применимости аппроксимации Д15.1) для операторов наследственной упругости с ядром Абеля, экспоненциальным и дробно-экспоненциальным ядром, а также проведем уточнение этой аппроксимации для большого диапазона параметров указанных ядер. [c.103]

Здесь / — оператор обычного интегрирования, ядра операторов K ll и Г / соответственно — это проинтегрированные один раз ядра К я Т. Теперь закон наследственной упругости может быть записан следующим образом [c.588]

Для анизотропного тела вводятся тензор-операторы четвертого ранга, заменяющие упругие константы в законе Гука. Соответственно закон наследственной упругости записывается в одной из следующих форм [c.593]

Здесь с = Е/р. Для волн расширения в неограниченной среде Е заменяется на ь + 2[г, для волн искажения на р,, таким образом, математическая теория оказывается совершенно тождественной. Заменяя Е через наследственно-упругий оператор, получим следующее интегро-дифференциальное уравнение [c.608]

Исследования напряженно-деформированного состояния вязкоупругого тела с трещиной, ведутся, как правило, с применением принципа Вольтерра, состоящего в том, что решение таких задач получают из соответствующих решений для упругого тела заменой упругих постоянных временными операторами (операторами наследственной теории упругости). [c.299]

До сих пор мы рассматривали только одноосную деформацию, В общем случае напряженного состояния для описания наследственно-упругих свойств изотропного тела необходимо знание, кроме Е, еще одного оператора, например, v, аналогичного коэффициенту Пуассона. Можно использовать и два каких-либо других оператора, например, G и К, соответствующих модулям сдвига и объемной деформации. По аналогии с законом Гука, для наследственной упругости имеем [c.767]

Отметим, что к настоящему времени совершенно не разработаны методы исследования кинетики роста трещин в телах сложной реологической структуры, когда раскрытие берегов трещины описывается с помощью функции от интегральных операторов наследственной теории упругости, В связи с этим нет исследований по такой практически важной проблеме, как длительное разрушение анизотропных вязко-упругих тел с трещинами, которая может служить основой для оценки длительной прочности вязко-упругих композиционных материалов. [c.23]

Далее будем рассматривать операторы наследственной теории упругости разностного типа [c.75]

Сравнивая значения Qi(q) и Я2(я)у оценим погрешность аппроксимации (15.1) для некоторых типов операторов наследственной теории упругости. [c.104]

Для изотропных и ортотропных вязко-упругих тел (деформирование которых описывается ограниченными операторами наследственной теории упругости) с макроскопическими трещинами нормального разрыва для обеих концепций существует безопасный коэффициент интенсивности напряжений Ki , определяемый через мгновенные и длительные постоянные материала такой, что при Ki Ki нет докритического роста трещин. [c.146]

В этих условиях можно воспользоваться принципом соответствия, сформулированным Вольтерра. Он состоит в том, что для решения любой задачи наследственной упругости следует решить прежде всего аналогичную задачу классической упругости. В решении будут содержаться различные комбинации упругих постоянных, причем в виде рациональных выражений. Тогда, если операторы, описывающие свойства материала, принадлежат к указанному классу операторов 7 (Х), то можно использовать (18.2) для расшифровки результата, заменив в нем упругие постоянные на операторы. Ситуация слегка осложняется, если упругие константы входят в решение не в алгебраическом виде. Следует отметить что применение к интегральному уравнению Вольтерра преобразования Лапласа приводит к тем же результатам. [c.46]

Как показал В, Вольтерра, временные интегральные операторы О, и V и пространственные операторы дифференцирования и интегрирования по координатам при умножении обладают свойством переместительности. Поэтому любую задачу с учетом влияния фактора времени (наследственной упругости), если в ней границы не изменяются с течением времени, можно решать как задачу обычной теории упругости, и лишь в окончательном результате следует заменить упругие постоянные О, и V соответствующими операторами С, и V. Основная трудность, возникающая при применении принципа Вольтерра, состоит в расшифровке различных функций операторов, появляющихся в результате указанной замены. [c.347]

Решение конкретных задач на основе интегральных уравнений состояния сопровождалось развитием операторных методов. Правила обращения различных интегральных операторов в зависимости от свойств ядер ползучести и релаксации для решения задач линейной теории вязкоупругости развиты в ряде работ, например в теории наследственной упругости [38] (см. Приложение II). [c.46]

Закон наследственной упругости для общего случая пространственного напряженного состояния можно получить, если в физических уравнениях теории упругости заменить упругие константы соответствующими операторами. [c.361]

В случае анизотропного тела число независимых интегральных операторов теории наследственной упругости равно числу независимых упругих постоянных. [c.362]

Таким образом, в результате применения принципа Вольтерра, задача наследственной упругости приводится к задаче расшифровки функций интегральных операторов. [c.362]

В рамках теории упругости наследственные модели деформируемых тел рассматривались в механике по предложению Л.Больцмана с конца XIX века [50]. Их основу составляет идея Больцмана о том, что уравнения состояния твердых тел, определяющие связь между локальными напряжениями и деформациями, должны выражаться соотношениями, учитывающими, например, историю деформирования в окрестностях данной точки упругой (наследственно-упругой) среды. В общем такая связь в линейном случае может быть представлена с помощью введения некоторого интегрального оператора в виде [51] (также см. ссылку на монографии [64]вЧ.1) [c.152]

Соотношение (17.3.4) совершенно сходно по форме с (17.1.7), но, в отличие от него, представляет собою не символическое, а обычное алгебраическое равенство. В задачах наследственной теории упругости ряд авторов применяет технику преобразования Лапласа, здесь мы будем следовать другой системе изложения, а именно, примем за основу изложенную в 17.2 теорию резольвентных операторов. Однако преобразование Лапласа нам понадобится для выяснения асимптотических свойств введенных выше дробно-экспоненциальных функций. Вычислим сначала преобразования Лапласа функции /а. Вспоминая определение гамма-функции, находим [c.583]

Уже в ранних работах Вольтерра было отмечено, что при решении задач наследственной теории упругости операции, связанные с решением дифференциальных уравнений, аналогичных обычным уравнениям теории упругости, и операции интегрирования по времени, связанные с вычислением операторов Вольтерра, могут выполняться в произвольном порядке. Отсюда вытекает следующее правило, которое можно назвать принципом Вольтерра. [c.598]

Для решения задачи наследственной теории упругости нужно построить решение задачи обычной теории упругости и в окончательном результате заменить упругие постоянные операторами, расшифровав полученные комбинации операторов по известным правилам. [c.598]

Полученные следствия из вариационного принципа типа Рейс-нера носят, конечно, достаточно тривиальный характер. Эти уравнения можно было получить из обычных уравнений изгиба балки простой зз]меной модуля упругости соответствующим оператором. Но можно представить себе более сложный случай, когда Е и К представляют собою функции координаты у. Так будет, например, если балка неравномерно нагрета по толщине ядро наследственности в сильной степени зависит от температуры. Уравнение (17.11.6) в этом случае сохраняет силу, только вместо i/E и К нужно подставить приведенные величины, а именно. [c.606]

Заметим, что вариационные принципы наследственной теории упругости допускают и иную трактовку. Вследствие принципа Вольтерра можно применять любой метод для решения задачи обычной теории упругости, и лишь в окончательном результате упругие константы следует заменить операторами. Отсюда следует, в частности, что для нахождения точного или приближенного решения задачи теории упругости может быть применен любой из известных вариационных методов, если в результате решения в окончательном результате появится некоторая комбинация упругих констант, ее можно заменить такой же комбинацией из операторов и расшифровать по известным правилам. [c.606]

Согласно принципу Вольтерра операции, связанные с решением дифференциальных уравнений, и операции интегрирования по времени, связанные с вычислением операторов Вольтерра, могут выполняться в произвольном порядке [155]. Поэтому, чтобы получить решение задачи наследственной теории упругости, нужно сначала построить решение обычной задачи и В окончательных результатах заменить упругие постоянные операторами, расшифровав полученные комбинации операторов по известным правилам. Основное ограничение для применения принципа Вольтерра состоит в том, чтобы вид граничных условий сохранялся неизменным. [c.266]

ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ СТЕПЕНИ СПЕЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА И ЕГО ПРИЛОЖЕНИИ К РЕШЕНИЮ УПРУГО-НАСЛЕДСТВЕННЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ [c.128]

Оператор наследственной упругости 767 Опыт макроскопический 223, 255 Оси главные тензоров иапряжениП и деформаций 386, 416, 422, 425, 426. 442, [c.826]

В работе Г. А. Бойченко [9] рассматривалась задача о сопротивлении перекатыванию в предположении медленного равномерного качения цилиндра достаточно большого радиуса по границе полупространства. Предполагалось, что материалы катка и полупространства обладают наследственной упругостью участок контакта разделялся на две зоны скольжения и сцепления. На основании символического метода Вольтерра задача свелась к соответствующей задаче плоской теории упругости, сингулярные интегральные уравнения которой решены в конечной форме, после чего реализацией операторов наследственной упругости получено решение поставленной задачи. [c.403]

В задачах наследственной теории упругости приходится вводить несколько операторов Вольтерра и выполнять некоторые операции, состоящие в решении интегральных уравнений, ядра которых представляют некоторые комбинации исходных ядер и их резольвент. Правило умножения операторов и соотношения (17.1.7) позволяют записать и выполнить промежуточные операции преобразований по правилам алгебры, однако заключительный этап будет состоять в решении интегрального уравнения. Ряд Неймана при этом скорее указывает на принципиальную возможность решения интегрального уравнения, чем служит эффективным средством для такого решения. На практике положение облегчается тем фактом, что ядра наследственности, характеризующие свойства материала, выбираются в результате обработки опытных данных, а опытные данные лежат внутри некоторой полосы разброса. Поэтому, как правило, оказывается возможным искать операторы наследственности внутри некоторого класса, достаточно широкого для удовлетворительного воспроизведения опытных данных, с одной стороны допускающего явное выполнение обращения (17.1.7), с другой. Выберем некоторый оператор К, который будем называть порождающим оператором. Тогда оператор Г (Х) будем называть резольвентным оператором, порождаемьш оператором К. Из (17.1.7) следует такое явное выражение для резольвентного оператора Г ( .) [c.579]

Единственное условие, которому должны удовлетворять тензоры наследственно-упругих операторов, состоит в том, что работа при произвольном пути деформирования должна быть неотрицательна. Выразим напряжение через деформации по первой из формул (17.7.6). Функции Giju t — x) определены только для положительных значений аргумента, нам будет удобно доопределить их для отрицательных значений следующим образом [c.594]

Преобразуем уравнение (39.23) для некоторых известных ядер операторов наследственной теории упругости и представим зависимость К от /, определяемую этпм уравнением, в более компактной форме. [c.319]

Унифицированность памяти позволяет упростить задачу наследственной упругости, применить без предположения об упругости объемной деформации достаточно простые экспериментальные методы для определения констант материала и ядер операторов, входящих в решение краевых задач. В нелинейной теории эти гипотеза позволяет упростить вид определяющего соотношения без каких-либо дополнительных предположений. [c.96]

Работы последнего периода по рассматриваемой проблеме характеризуются попытками построения расчетных моделей, в которых производится одновременный учет как свойства ползучести грунтового скелета, так и фильтрационной консолидации. В этой связи укажем на работу Ю. К. Зарецкого (1967), в которой сделано обобщение модели фильтрационной консолидации Флорина — Био путем введения линейных наследственных операторов вместо упругих постоянных для грунтового скелета ж на этой основе решен ряд задач. Нужно, однако, отметить, что при построении общей сжстемы уравнений Ю. К. Зарецким вводится физически нереальное предположение о разуплотняющем действии порового давления в жидкости на минеральный скелет, причем этот эффект также наделяется свойством наследственной ползучести. С другой стороны в соотношениях этой модели утрачен ряд существенных особенностей поведения грунта, введенных в рассмотрение еще В. А. Флориным (нелинейные эффекты, порог фильтрации и т, д.). Поэтому неясно, в какой мере подобные обобщения соответствуют реальному поведению грунта. [c.219]

Зевин А. А. О функциях дробно-экспоненциальных операторов теории наследственной упругости.— Прикл. мех. , И969, 5, вып. 11. [c.408]

Уравнение, эквивалентное (3.33), (3.38), было предложено в работах [38, 39]. Оно отличается от уравнений, обычно использовавшихся в задачах наследственной упругости, тем, что соответствующий ему линейный оператор, содержащий старшие производные второго порядка, явно факторизуется, то есть может быть представлен в виде суперпозиции линейных операторов с производными не выше первого порядка. Это значительно облегчает построение и анализ его решений. Здесь мы пришли к данному виду уравнения, отталкиваясь от одноволнового уравнения для линейной волны, бегущей в одном направлении в среде, свойства которой формируют определенный закон дисперсии для этой волны. Этот путь естественным образом приводит к такой факторизуемой форме. Обратим внимание на то, что отношение члена второго порядка по Я к члену первого порядка в частотной области для уравнения (3.33) равно Я . Ясно, что в границах применимости модели распространения линейных волн, удовлетворяющих уравнению (3.33) или его многомерным (по пространственным переменным) аналогам, каким бы малым (в любом разумном смысле) не было значение Я, при достаточно малых со величина этого отношения может стать при а -1 < О сколь угодно большой, и пренебречь в (3.33) членами квадратичными по Я будет нельзя. Это может оказаться существенным для реальной физической системы тогда, когда соответствующие этим частотам длины волн попадают в диапазон масштабов фрактальности. Если в области низких частот эта модель утрачивает свою физическую адекватность, то это, прежде всего, означает, что решения уравнения (3.33) на достаточно больших временах теряют смысл для описания происходящих в ней процессов распространения возбуждений. Тем не менее, эти решения могут быть вполне адекватными для относительно малых времен, прошедших от момента начала возбуждения колебаний в некоторой точке среды, которой достигло возбуждение. Таким образом, при рассмотрении распространения переходных волн в первоначально невозмущенной среде, эта модель может описывать изменения её состояния в зоне конечной ширины позади переднего фронта возмущения, который перемещается со скоростью, обозначенной в (3.27), а в (3.33) и далее, для упрощения выкладок, принятой нами за единицу. [c.143]

Итак, согласно методу Вольтерра, решение задачи линейной наследственной ползучести получается из решения соответствующей задачи теории упругости заменой упругих констант материала соответстеуюи ими временными операторами. [c.98]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...