Скаляр изотропный

Компоненты тензора, называемого изотропным, остаются неизменными при любом ортогональном преобразовании векторного базиса. Конечно, произведение изотропного тензора на скаляр — изотропный тензор. [c.444]

Трансверсальная изотропия. Скаляр, изотропный в этой группе симметрии, остается неизменным при преобразовании поворота на любой угол ш вокруг фиксированного направления С3. Тензор Q задается в ортонормирован-ном триэдре l, С2, Сз [c.456]

I) Полное напряжение, включающее изотропное давление, может рассматриваться как единственная тензорная переменная. Реологическое уравнение состояния определяет полное напряжение с точностью до произвольного аддитивного изотропного тензора. Скаляр, на который умножается единичный тензор для получения этого изотропного тензора, является в этом случае скалярной переменной, вводимой вместо давления. Это будет разъяснено далее в разд. 1-8. [c.14]

Тензоры, полученные умножением на скаляр единичного тензора, называются изотропными. [c.21]

В качестве общего выражения для свободной энергии деформированного изотропного тела удобно написать вместо (4,1) другое, воспользовавшись указанным разложением произвольной деформации на сдвиг и всестороннее сжатие. Именно, выберем в качестве двух независимых скаляров второй степени суммы квадратов компонент соответственно первого и второго членов в (4,2). Тогда F будет иметь вид ) [c.22]

Для кубических кристаллов и изотропных сред тензор гц (о>) сводится к скаляру, т. е. [c.524]

Дальнейшие упрощения матрицы феноменологических коэффициентов (уменьшение их числа) можно получить при учете симметрии среды. В выражение линейного закона (2.1) входят потоки и силы, из которых одни являются скалярами (в процессах с химическими реакциями, а также с объемной вязкостью), другие — векторами (потоки массы и теплоты), а третьи — тензорами (в процессах со сдвиговой вязкостью). В зависимости от симметрии среды система линейных уравнений (2.1) должна быть инвариантна относительно соответствующих ортогональных преобразований. При преобразованиях компоненты входящих в (2.1) различных величин преобразуются по-разному, в то время как установленная между потоком и силой связь не может изменяться при преобразованиях. Это приводит в случае изотропных систем к сохранению связей лишь между потоками и силами одной тензорной размерности, что выражает принцип Кюри о сохранении симметрии причины в симметрии следствий. Поэтому, хотя согласно линейному закону (2.1) каждая декартова компонента потока / может в принципе зависеть от декартовых компонент всех термодинамических сил, по принципу Кюри в зависимости от структуры (симметрии) среды может оказаться, что компоненты потоков будут зависеть не от всех компонент термодинамических сил и, следовательно, не все причины вызывают перекрестные эффекты, например в результате химической реакции (скалярный процесс) не может возникнуть диффузионный поток (векторный процесс). [c.16]

Коэффициент (т называется проводимостью. Для изотропных проводников проводимость а — скаляр, причем а =, где 7 — [c.391]

Если среда изотропна, то переменные или постоянные физико-химические параметры — скаляры.В этом случае функция/зависит от тензора напряжений только через его инварианты (при = р независимых может быть только три инварианта). Отсюда легко получить соответствующие условия симметрии, которые должны быть присущи области 25р и поверхности текучести 2р для изотропных идеально-пластических материалов. [c.425]

Поскольку равновесное излучение является изотропным, то тензор напряжений излучения (1-93) вырождается в скаляр и давление равновесного излучения на оболочку во всех ее точках будет равно [c.67]

Поскольку для состояний среды, близких к термодинамическому равновесию, распределение интенсивности по различным направлениям стремится к изотропному, то тензор эффективной длины свободного пробега фотонов (6-17) вырождается в скаляр вида [c.187]

Третий член правой части уравнения (295) представляет собой воздействие на частицы потока сил трения, вызываемых вязкостью. В дальнейшем, в процессе интегрирования уравнений (294)—(298), придется найти связь напряжений трения т,-/ с полем скоростей потока. Возвращаясь к формуле (286), можно ее трактовать как закон пропорциональности одной из касательных компонент тензора напряжения компоненте тензора скоростей деформаций. Обобщая закон Ньютона на случай произвольного движения жидкости или газа, будем предполагать, что тензор напряжений в движущейся жидкой или газообразной среде есть линейная функция тензора скоростей деформаций. Для большинства рабочих агентов энергетических машин эта гипотеза хорошо оправдывается на опыте и ее можно было бы назвать обобщенным законом Ньютона. Численное выражение искомой линейной связи можно легко написать, если дополнительно считать движущуюся среду изотропной, т. е. такой, у которой физические свойства не зависят от особых, заданных наперед направлений в пространстве. При этом коэффициенты линейной связи между тензором напряжений Р и тензором скоростей деформаций S должны быть скалярами и искомая связь будет иметь вид [c.167]

В теории идеальной жидкости Кельвин [31] называл такие тела изотропно геликоидальными. Мы сохраним эту терминологию, хотя ее физическое содержание для течения Стокса совсем иное, чем для потенциального течения. Из анализа следует, что любое тело, обладающее геликоидальной симметрией относительно двух различных осей, геликоидально изотропно. Нужно отличать изотропию этого типа от сферической изотропии, так как в последнем случае Сд = 0. Для полной характеристики гидродинамических свойств геликоидально изотропных тел требуется знание трех скаляров ЛГ, Й и С. Эти три постоянные должны удовлетворять неравенству (5.4.25). По причинам, которые станут понятными в следующем разделе, тела, для которых С < О, — правые, в то время как тела, для которых С >0, — левые. Зеркальное отражение геликоидально изотропного тела относительно любой плоскости также представляет геликоидально изотропное тело, причем оба тела имеют равные значения ЛГ и Q и отличаются только знаком псевдоскаляра С. [c.222]

Изотропным называют тензор, компоненты которого сохраняют неизменные значения во всех координатных системах, получающихся одна по другой преобразованием поворота. Примером изотропного тензора второго ранга может служить произведение скаляра на единичный тензор ХЕ, а произведение скаляра на тензор Леви-Чивита есть изотропный тензор третьего ранга. Можно доказать, что других изотропных тензоров второго и третьего ранга не существует. Наиболее общий вид компонент изотропного тензора четвертого ранга представляется формулой, содержащей три скалярных множителя к, р., v [c.814]

Здесь изотропная тензорная функция, образованная с помощью инвариантного скаляра /(Q), представлена в виде квадратичного полинома (или в эквивалентном виде (1.12.12)) над тензором Q = Q с коэффициентами, являющимися инвариантными скалярами. Это — частный случай представления (1.12.4) изотропной тензорной функции Р — f(Q). [c.833]

В случае изотропной ньютоновской вязкой среды (жидкости или газа), т. е. такой, что ее физические свойства одинаковы во всех направлениях в пространстве, а выражающие эти свойства физические константы представляют инвариантные скаляры, наиболее общим видом линейной связи [c.354]

В отличие от а, скаляр Ъ может быть связан линейным образом с тензорами Р и 5, но в силу изотропности только через скалярные линейные комбинации компонент этих тензоров, т. е. через линейные их инварианты (11.20). [c.354]

Коэффициенты переноса. Как мы видели, при выводе уравнений гидродинамики методами неравновесной статистической механики диссипативные члены в этих уравнениях выражаются через кинетические коэффициенты. Однако в конкретных задачах удобнее записывать кинетические коэффициенты через скалярные коэффициенты переноса коэффициент теплопроводности, коэффициенты вязкости, диффузии и т. д. Основная идея перехода от кинетических коэффициентов к коэффициентам переноса состоит в том, что для изотропной системы корреляционные функции, построенные из векторных или тензорных микроскопических потоков, можно записать в форме скаляров, умноженных на единичные тензоры. [c.173]

Указание. Проверить, что оператор f/, который определяется каноническим преобразованием (8.2.47), не меняет тензорной размерности динамических переменных. Учесть также, что в случае изотропной жидкости все локально-равновесные величины имеют форму скаляров, умноженных на единичные тензоры [c.215]

Соотношение, описывающее изменения корреляционной функции / от времени (или, используя вышеприведенное равенство, от расстояния до решетки), может быть выведено комбинацией уравнений Навье — Стокса со скалярами f, g, к, д я Н, определенными для изотропной турбулентности. Если уравнение для [c.263]

Для изотропных сред (в том числе кубических кристаллов) величина а одинакова по всем направлениям, т. е. является скаляром. Для анизотропных сред (в том числе — кристаллов средних и низших систем) а [так же как и е, см. (VI. 3)] является тензором второго ранга. Приращение поляризационных констант ац под действием электрического поля может быть линейным и квадратичным. Это означает, что пропорционально [c.190]

Направление вектора Р в изотропной среде, где нет физически выделенных направлений, совпадает с направлением вектора Е. Поэтому коэффициент пропорциональности х(со) между Р и Е, называемый диэлектрической восприимчивостью, в изотропной среде является скаляром . В однородной среде, свойства которой всюду одинаковы, восприимчивость х(ы) не зависит от пространственных переменных. [c.76]

В анизотропной среде направление вектора Р в общем случае не совпадает с направлением напряженности Е электрического поля. Поэтому материальное уравнение (10.5) имеет тензорный характер. Если среда обладает центром симметрии, то в (10.5) все тензоры X нечетных рангов обращаются в нуль. Так будет, например, в изотропной среде или в кубическом кристалле. Поэтому в них невозможны нелинейные эффекты, обусловленные квадратичной восприимчивостью х,и, например генерация второй гармоники. Тем не менее при качественном изучении таких явлений можно воспользоваться упрощенной изотропной моделью нелинейной среды, считая поляризованность Р параллельной напряженности Е и полагая в. материальном уравнении (10.5) восприимчивости всех рангов скалярами [c.485]

Будем предполагать, что среда изотропна. В этом случае упругие и тепловые свойства описываются при помощи скаляров. Так как для тензоров второго ранга независимыми являются инварианты (ец у и, ТО свободная энергия имеет вид [c.338]

Решение. Из компонент симметрического тензора второго ранга можно составить два квадратичных скаляра (гг , и ufi) и три кубических (и Uih itUhl]- Поэтому наиболее общий вид скалярного выражения, содержащего члены второй и третьей степеней по со скалярными же (изотропное тело ) коэффициентами, есть [c.148]

Наконец, сделаем еще следующее замечание по поводу фигурирующих в (36,1) модулей упругости. Поскольку они введены как коэффициенты в свободной энергии, ими определяются изотермические деформации тела. Легко видеть, однако, что те же коэффициенты определяют в нематиках также и адиабатические деформации. Действительно, мы видели в 6, что для твердого тела различие между изотермическими и адиабатическими модулями возникает в силу наличия в свободной энергии члена, линейного по тензору деформации. Для нематиков аналогичную роль мог бы играть член, линейный по производным dutii. Такой член должен был бы быть скаляром и к тому же инвариантным по отношению к изменению знака п. Очевидно, что такой член построить нельзя (произведение п rot п — псевдоскаляр, а единственный истинный скаляр div п меняет знак вместе с п). По этой причине изотермические и адиабатические модули нематика совпадают друг с другом (подобно тому, как это имеет место для модуля сдвига изотропного твердого тела — 6). Эти рассуждения можно сформулировать и несколько иначе в отсутствие линейного члена квадратичная упругая энергия (36,1) является первой малой поправкой к термодинамическим величинам не- [c.194]

В. в п. в отсутствие магнитного поля. В отсутствие внешних электрич. и магн. полей ( 0 = 0, Яа=0) в изотропной холодной плазме существуют две моды собств. колебаний продольные и поперечные волны. (Диэлектрич, проницаемость плазмы е в отсутствие внеш. полей является скаляром.) Причиной продольных колебаний (J f ), наз. ленгмюров-с к и м и (плазменными колебаниями или волнами пространственного заряда), является электрич, иоле, вызываемое разделением зарядов. Частота этих колебаний не зависит от длины волны, т, е. нет дисперсии этих волн, и равна ленгмюровской частоте 1лектронов lXl = a) ,(,= Здесь п — плотность равновесной [c.328]

Абсолютная дгалектричесгая вое приимчивость — величина, характери-зующая свойство диэлектрика поляризоваться в электрическом поле, скаляр, ная для изотропного вещества, равная отношению модуля поляризованности к модулю напряженности электрического поля, и тензорная для анизотропного вещества. Относительная ди-электрическая восприимчивость — от-ношение абсолютной диэлектрической восприимчивости к электрической постоянной [c.586]

Наряду с изотропными материалами, для которых коэффициент теплопроводности во всех направлениях одинаков, в технике находят применение анизотропные материалы, у которых способность передавать теплоту теплопроводностью раалшша в различных направлениях. Это свойство анизотропных материалов обычно связано с особенностями их структуры (кристаллической, волокнистой, слоистой и Т.П.). В анизотропном теле угол между направлениями векторов q и grad 7 может быть меньше я, но всегда остается больше ж/2, что следует из второго закона термодинамики. Коэффициент теплопроводности для такого тела является не скаляром, как в выражении (4.3.1), а симметричным тензором второго ранга, что приводит к соответствутощему обобщению гипотезы Фурье [27, 55] [c.196]

Тензор произвольного ранга, матрица которого не меняется щ>и повороте множества координат, назьшается изотропным. Простейшим таким теюором является скаляр. Примером изотропного тензора второго ранга является едштчный тензор [c.241]

Уравнения Максвелла, рассмотренные в разд. 1.1, представляют собой систему дифференциальных уравнений в частных производных. Определенное преобразование этих уравнений позволяет получить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет каждое из векторных полей по отдельности. Ограничимся рассмотрением областей, в которых как плотность заряда р, так и плотность тока J равны нулю. Будем также предполагать в этом разделе, что среда является изотропной, т. е. всмичины е и /х являются скалярами. [c.17]

Развитие флуктуационной теории критических явлений ло Связано с использованием методов квантовой теории по. [118, 119]. Вильсон [120, 121], исходя из аналогии квантов( теории поля и статистической механики фазовых переходе развил метод ренормализационной группы — последовательно сокращения числа степеней свободы системы путем изменен масштаба. Оказалось, что критические показатели завис только от размерности пространства d и числа компонент (ра мерности) параметра порядка п. Переходы с одинаковой ра мерностью параметра порядка относятся к одному классу ун. версальности. Так, жидкости, растворы, бинарные сплав ориентационные фазовые переходы" в кристаллах галогенид аммония, анизотропные ферро- и антиферромагнетики вход, в один класс универсальности с моделью Изинга, поскольку всех этих объектах п= (параметр порядка — скаляр лж. однокомпонентный вектор). В сверхтекучем Не комплексщ параметр порядка — волновая функция — двухкомпонентнь. вектор (п=2), в изотропном ферромагнетике п=3 и т. д. Э другие классы универсальности. Важно отметить, что критич ские показатели зависят только от статистических свойств с стем , т. е. они не выражаются через константы фундаме тальных взаимодействий. Можно сказать, что критические пок затели сами являются своеобразными мировыми постоянным В этом состоит уникальность главного результата совр менной теории критических явлений. [c.88]

Если система изотропна и внешнее магнитное поле отсутствует, то тензор переходит в скаляр.) Мы получили исключительно красивый и общий результат, принадлежащий Кубо. Он свидетельствует о том, что коэффициент электропроводности равен интегралу по времени в пределах omd до оо от равновесной автокорреляционной функции микроскопического потока. Значение этого результата обусловлено его обпщостью при его выводе не было сделано никаких приближений или допущений относительно [c.317]

Здесь s j — Sij — ttij — девиатор активных [4] напряжений Sij — девиатор напряжений. Тензор (добавочных напряжений, остаточных микронапряжений) характеризует смещение поверхности нагружения в девиаторном пространстве напряжений, т. е. направленное (анизотропное) упрочнение. Скаляр С отвечает размеру (радиусу) поверхности нагружения и характеризует изотропное упрочнение. Тензор смещения ttij и радиус С являются функционалами процесса нагружения. [c.88]

Обобщая закон Ньютона (1) на случай произвольного движения жидкости или газа, будем предполагать, что тензор напряжений в движущейся жидкой или газообразной среде представляет линейную функцию тензора скоростей деформаций. Эту, хорошо оправдываемую на опыте для большинства употребительных жидкостей и газов гипотезу можно было бы назвать обобш,енным законом Ньютона. Численное выражение искомой линейной связи можно легко написать, если дополнительно предположить движущуюся среду изотропной , т. е. такой, что физические ее свойства не зависят от каких-либо особых, заданных наперед направлений в пространстве. При этом коэффициенты линейной связи между тензором напряжений Р и тензором скоростей деформаций должны быть скалярами п искомая связь сводится к фор.му.те [c.471]

В кристаллах кубической системы (таких, как каменная соль Na l, флюорит Сар2, алмаз Сит. д.) все три главных направления диэлектрического тензора физически эквивалентны, поэтому главные значения в , Еу и в. одинаковы. Это значит, что тензор b вырождается в скаляр (векторы Е и D всегда совпадают по направлению) и кристаллы кубической системы в отношении оптических свойств ведут себя как изотропная среда. В отношении других свойств, выражаемых тензорами более высокого ранга (например, упругих), кубические кристаллы анизотропны. Оптическая анизотропия кубических кристаллов появляется только при учете очень слабых эффектов пространственной дисперсии, описываемых тензором четвертого ранга (см. 2.9). [c.183]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...