Суперпозиция решений в задаче о теле

Суперпозиция решений в задаче о теле со щелью 515 [c.566]

Покажем, что суперпозиция потенциалов (4.1) с различными значениями угла в дает решение задачи о входе звездообразного тела в жидкое полупространство, если последовательность углов 61 соответствует четному числу симметрично расположенных по кругу лепестков. Обозначим обгцее число лепестков через п, тогда угол между ними будет 2тг/п, а углы 61 образуют последовательность [c.281]

Примеры и замечания. Рассмотрим задачу входа в сжимаемую жидкость по нормали к ее поверхности с постоянной скоростью Уо циклически-симметричного тонкого пространственного тела с плоскими гранями и четным числом циклов [5]. Общее линейное решение указанной задачи представляет собой угловую суперпозицию решений линейной задачи входа конического тела с тонким ромбовидным профилем в поперечном сечении (рис. 1). [c.664]

При построении решения задачи (2.8) также целесообразно использовать один из двух подходов, описанных в главе 5 при изучении колебаний тел конечных размеров. При первом подходе, основанном на методе суперпозиции, исходят из требования полноты систем функций для выполнения неоднородных граничных условий как на торце, так и на боковых поверхностях. При этом можно непосредственно использовать представления (2.2) главы 5. Заменяя в них ряд интегралом Фурье, получаем следующие выражения для компонентов вектора смещений [c.250]

Рассмотрим определение коэффициента Ь из условия минимального перепада температуры в активном элементе на примере пластины. Нахождение поля температур можно представить как суперпозицию решений двух задач задачи с внутренними источниками тепла при постоянной температуре хладагента и задачи по определению температуры тела, помещенного в среду, температура которой меняется по указанному [c.165]

Осесимметричная задача разработана наиболее полно по сравнению с другими задачами пространственной термоупругости. Характерные математические трудности, связанные с решением этой задачи, можно установить при исследовании тепловых напряжений в толстостенной сферической оболочке и в коротком сплошном цилиндре. Задача о тепловых напряжениях в толстостенной сферической оболочке является типичной задачей, решаемой с помощью классических методов разложения переменных и представления величин, входящих в граничные условия, в виде рядов по полной ортогональной системе функций. Задача о тепловых напряжениях в коротком цилиндре вводит читателя в круг идей, реализуемых при исследовании тела вращения, для которого невозможно представить граничные значения искомых величин в рядах по полной ортогональной системе функций на всей его поверхности. Применяются в основном два метода решения такой задачи метод однородных решений, разработанный А. И. Лурье (1947) и В. К. Прокоповым, и метод суперпозиции решений для более простых граничных задач, истоки которого содержатся в работах Л яме (1861) и Матье (1890). Использование второго метода в нашей книге позволило изучить термоупругое напряженное состояние тела вращения конечных размеров во всей его области, включая и особые точки. [c.9]

Если принять, что одно из тел неподвижно и на участке контакта соприкасающихся тел действует нормальное давление р (х) и кулоново трение q (х) = кр (х), ж воспользоваться принципом суперпозиции для обобщенных перемещений, то решение задачи нелинейной теории ползучести с учетом сил трения сведется к решению сингулярного интегрального уравнения Фредгольма первого рода следующего вида [c.199]

Рассмотрим теперь возможные варианты граничных интегральных уравнений на поверхностях трещин й. Как правило, поверхности трещин в твердых телах свободны от нагрузки. Граничная задача с заданной нагрузкой на берегах трещины получается, например, если исходная задача для тела с трещинами, берега которых свободны от нагрузки, представляется в виде суперпозиции двух задач для тела без трещин и для тела с трещинами, к берегам которых приложена нагрузка полученная из решения первой задачи, взятая с обратным знаком (см. разделы 3.2 и 3.3). Нагрузка на берегах трещин возникает также при учете контактного взаимодействия берегов трещин. В первом случае на берегах трещин задаются граничные условия в напряжениях (вторая краевая задача), во втором — условия с ограничениями в виде неравенств (5.6) (задачи типа Синьорини). Ниже будет показано, что решение задачи Синьорини приводит к последовательности граничных задач в напряжениях. Учитывая это, предположим, что на берегах трещин задана поверхностная нагрузка и граничные условия имеют вид [c.126]

Решение обобщенной плоской задачи о динамике плоской трещины в линейно-упругом теле, так же как и в статике, можно представить суперпозицией решений трех основных задач (см. задачи I, П, III). Каждая из таких задач является смешанной на части границы полупространства задана одна из компонент перемещения, на остальной части - соответствующая компонента напряжения (еще одна компонента напряжения задана на всей границе)-см. условия (2.1.10)- [c.194]

Теория теплопроводности в твердых телах не является предметом этой книги. Полное изложение такой теории и решение большинства необходимых нам задач содержатся в книге [50]. Здесь будут суммированы лишь результаты. Будем интересоваться потоком тепла в полупространство через ограниченную область поверхности. Начнем с отыскания распределения температуры в полупространстве от точечного источника тепла, действующего на его поверхности. Так как уравнение теплопроводности линейное, то распределение температур от произвольного распределения тепла на поверхности можно найти как суперпозицию решений для точечных источников. Это аналогично тому, как распределения упругих напряжений от поверхностных усилий были определены в гл. 2 и 3 по решениям для сосредоточенной силы. [c.425]

Заслуживает также внимания метод определения КИН при известном напряженном состоянии тела без трещины. К поверхностям трещины прикладываются фиктивные усилия, в одном случае раскрывающие трещину, а в другом — сжимающие ее. Распределение этих усилий предполагается таким же, как оно было до появления трещины. Тогда напряженное состояние для тела с трещиной будет определяться суперпозицией поля напряжений от действия внешних сил и сил, сжимающих трещину (первая задача), а также поля напряжений от сил, раскрывающих ее (вторая задача). Так как поле напряжений в теле без трещины эквивалентно полю в случае решения первой задачи и не имеет особенностей, КИН для него равен нулю. Следова- [c.195]

Неподвижный разрез. Методы интегральных преобразований и асимптотических оценок в сочетании с методом Винера — Хопфа позволяют находить решение динамических задач тео-. рии упругости для бесконечного однородного тела с фиксированными плоскими разрезами, имеющими в плане форму круга (или внешности круга), полосы или бесконечного сектора, при задании на разрезе произвольных внешних нагрузок. При этом вследствие принципа суперпозиции основное значение имеет построение аналога решения Лэмба (в задаче о воздействии мгновенного сосредоточенного импульса на границу полупро- странства) для соответствующей конфигурации тела. 2 [c.577]

Естественно, что при решении краевых задач для линейного однородно стареющего вязкоупругого тела при общих граничных условиях можно воспользоваться суперпозицией рассмотренных случаев. [c.35]

Решение исходной задачи можно представить в виде суперпозиции двух упругих полей. В одном из них, соответствующем сплошному телу с заданными объемными силами, в силу симметрии последних относительно плоскости Хз = О на этой плоскости вертикальные смещения м (х1, Х2, 0) и касательные напряжения а з = а з =0. Соответствующие нормальные напряжения обозначим через а з = сто( ь 2)- Второе поле отвечает задаче о трещине с частично налегающими поверхностями, к которым, помимо нагрузок р(хь Х2), приложены дополнительные нормальные нагрузки (-ао(х1,Х2)). [c.109]

Заключение. Разработан подход к решению стационарных динамических внутренних задач гидроупругого взаимодействия для системы, состоящей из жесткой цилиндрической полости, заполненной сжимаемой жидкостью и содержащей конечное число произвольно расположенных сферических включений. Подход основан на использовании теорем сложения специальных функций и соотношений, позволяющих представлять частные решения уравнения Гельмгольца в цилиндрических координатах с помощью его частных решений в сферических координатах, и наоборот. Это дает возможность, используя принцип суперпозиции, записывать общее решение в системе координат каждого тела и тем самым удовлетворять граничным условиям на его поверхности. [c.500]

Прием Бюкнера основан на принципе суперпозиции решений в линейной теории упругости и состоит в следующем. Решение задачи теории упругости для тела с трещиной при заданных внешних нагрузках представляется в виде суммы решений двух задач. Первой - для рассматриваемого тела без трещины при заданных внешних нагрузках и второй - для тела с трещиной при условии, что внешние нагрузки отсутствуют, а на поверхностях трещины действуют напряжения, равные по величине и противонаправленные напряжениям, возникающим на месте трещины в первой задаче. Специфика задачи теории упругости для тела с трещиной проявляется именно во второй задаче, которая обычно и рассматривается. [c.77]

Работа Ирвина [9] уже упоминалась. Кассир (Kassir) и Си [1] рассмотрели решение для неограниченного пространства с плоской эллиптической трещиной, находящейся под действием сдвиговых нагрузок. Путем суперпозиции с решением для случая растяжения, перпендикулярного к плоскости трещины, можно получить решение задачи для неограниченного упругого тела с плоской эллиптической трещиной для нагрузки общего вида. [c.423]

Сформулированный в конце 2 закон суперпозиции может быть обобщен ввиду линейности дифференциального уравнения (15) и граничных условий для перемещений и усилий. А. именно, для данного тела в данной естественной конфигурации любая линейная комбинация решений также является решением. Поэтому весьма общие задачи могут быть разбиты на более простые задачи, которые можно решить по отдельности, и затем сложение решений этих более простых задач друг с другом даст искомое решение. Например, для того чтобы исследовать задачу о совместном кручении и растяжении цилиндра, мы решаем задачи о кручении й растяжении отдельно и затем складываем решения в силу закона суперпозиции решение комбинированной задачи ёсть сумма решений двух отдельных задач. Таким образом, кручение и растяжение не оказывают влияния друг на друга, в рамках классической теории бесконечно малых деформаций. В частности, бесконечно малое растяжение не изменяет модуль кручения. Как мы видели при рассмотрении задачи. Кулона в Vin.5, ника сое подобное разделение воздействий невозможно, если либо угол закручивания, либо растяжение велики. Хотя закон суперпозиции свидетельствует об аналитической простоте и удобстве классической теории бесконечно малых деформаций, в равной мере oii свидетельствует 66 ограниченности этой теории как модели механического поведения материалов. [c.300]

В общем случае поставленная задача представляет собой пространств, задачу У. т., решение к-рой трудно осуществимо. Точные аналитич. решения имеются лишь для нек-рых частных задач об изгибе и кручении бруса, о контактном взаимодействии двух тел, о концентрации напряжений, о действии силы на вершину конич. тела и др. Т. к. ур-ния У. т, являются линейными, то решение задачи о совместном действии двух систем сил получается путём суммирования решений для каждой из систем сил, действующих раздельно (принцип суперпозиции). В частности, если для к.-н. тела найдено решение при действии сосредоточенной силы в к.-л. произвольной точке тела, то решение задачи при произвольном распределении нагрузок получается путём суммирования (интегрирования). Такие решения получены лишь для небольшого числа тел (неограниченное пространство, полупространство, ограниченное плоскостью, и нек-рые др.). Предложен ряд аналитич. методов решения пространственной задачи У. т. вариационные методы (Ритца, Бубнова — Галёркина, Кастильяно и др.), метод упругих потенциалов, метод Бетти и др. Интенсивно разрабатываются численные методы (конечно-разностные, метод конечных элементов и др.). Разработка общих методов решений пространственной задачи У. т.— одна из н-аиболее актуальных проблем У. т. [c.788]

Метод источников и стоков. Метод источников и стокон широко используют в газовой динамике при решении различных линейных задач, когда может быть применен принцип суперпозиции. Наложение полей течений, соответствующих источникам и стокам различной интенсивности, позволяет получить картину течения при обтекании тел в случае течения в каналах различной формы. В газовой динамике этот метод используют для решения стационарных задач как при дозвуковых, так и при сверхзвуковых скоростях. Поскольку выше для сверхзвуковых скоростей уже приведены некоторые аналитические решения, ограничимся рассмотрением случая течения несжимаемой жидкости, что соответствует малым дозвуковым скоростям. Обычно в рассматриваемом методе используют уравнение для потенциала скорости (2.17), а также точные решения этого уравнения, описывающие течения от источников и стоков. Подбирая системы источников и стоков, можно построить течение в канале заданной формы или около тела заданной формы. Значительно проще обратная задача, позволяющая по заданной системе источников и стоков определить форму поверхностей, которые могут быть приняты за стенки канала или поверхность обтекаемого тела. Рассмотрим, как применяется метод для плоского или осесимметричного течения. [c.71]

Весьма перспективным для изучения трибологаческих процессов является разработка и изучение математических моделей процесса трения, износа и смазки твердых тел (деталей, механизмов и машин) с помощью электронно-вычислительных машин. Для формулировки математических моделей могут быть использованы уравнения, характеризующие процесс течения смазки, контактную и общую деформацию трущихся тел и всего узла трения, тепловые процессы - образование и распространение теплоты, а также явления, связанные с физическими, химическими и механическими фактороми, определяющие в главном процесс поверхностного разрушения деталей при трении. Известно, что широко распространенные методы классической математики часто используют принцип суперпозиции и пригодны в основном для решения линейных задач. Характерная особенность теоретических задач в области трибологии деталей машин заключается в их существенной нелинейности. В качестве примера можно сослаться на систему уравнений, указанных в данной главе. Совместное решение системы нелинейных уравнений представляет значительную математическую трудность, а если учесть также возможность возникновения качественных (и количественных) скачков исследуемых характеристик, например при возникновении процесса заедания при малых и средних скоростях, характеризующихся резким увеличением коэффициента трения скольжения и скорости изнашивания тел, то становятся ясными сложность и необходимость детального исследования адекватных математических моделей с помощью численных методов. В результате получается приближенное решение сложной научно-технической задачи с необходимой точностью. [c.169]

Рассмотрим трещину в области с высокой концентрацией напряжений, например трещину, идущую от круглого отверстия в пластине, растягиваемой вдоль некоторой оси (рис. И). Решение этой задачи известно (оно было дано Бови), и, стало быть, его можно применить для оценки точности и пределов применимости упрощенных методик. Согласно этой методике, использующей линейную суперпозицию, коэффициент интенсивности напряжений определяют, исключая поверхностные усилия в неразрушенном теле на месте будущей трещины с тем, чтобы создать свободные от усилий берега трещины. Такие условия приближенно можно осуществить, добавляя к истинной трещине ее зеркальное изображение, что дает возможность получить [c.31]

ВОЗМОЖНОСТЬ непосредственного расчета коэффициентов интенсивности напряжений вдоль фронта дефекта, имеющего произвольную конфигурацию, при комбинированном типе нагружения. Параграф 4 посвящен трехмерной линейно-уиругой механике разрушения, использующей метод граничных элементов, основанный на сингулярных решениях уравнений Навье, описывающих равновесное состояние твердых тел без трещины. Параграф 5 касается методов суперпозиции, применяемых в общем случае для решения трехмерных задач линейной механики разрушения и, в частности, метода альтернирования Шварца — Неймана. Последний подход, используемый в сочетании с методами конечных или граничных элементов для расчета напряжений в твердом теле без трещины, как показано, является наиболее эффективным способом исследования поверхностных дефектов, форму которых можно представить математическими средствами. В главе приведены примеры, иллюстрирующие описанные методы. Глава заканчивается выводами, собранными в 6. [c.183]

Итак, мы получили все определяющие соотношения для задачи линейной теории упругости уравнения равновесия (1.4), соотношения деформации—перемещения (1.5), соотношения напряжения—деформации (1.6) внутри тела V и граничные условия в напряжениях и перемещениях (1.12), (1.14) на границе тела S. Эти соотношения показывают, что мы имеем 15 неизвестных, а именно 6 компонент напряжений, 6 компонент дефотмаций, 3 компоненты перемещения в 15 уравнениях (1.4) и (1. , (1.6). Нашей задачей является решить эти 15 уравнений при граничных условиях (1.12) и (1.14). Поскольку все уравнения линейны, то для построения решений может быть использовано правило суперпозиции. Следовательно, мы получили линейные соотношения между заданными величинами, скажем нагрузками на Si, и неизвестными, какими являются напряжения и перемещения внутри тела. [c.26]

Принцип суперпозиции состоит в том, что напряженное состояние для тела е трещиной при заданных нагрузках складывается из напряженного состояния сплошного гела с заданными нагрузками и напряженного состояния, возникающего в теле с трещиной при нагрузках на берегах противоположного знака (взятых из решения предшествующей задачи). [c.63]

Другой подход к исследованию граничных задач для тел конечных размеров, метод суперпозиции, берет свое начало от идеи, высказанной Ламе [362]. Ламе рассмотрел задачу для параллелепипеда, находящегося под действием нормальных нагрузок. Общее решение Ламе строит в виде суперпозиции трех последовательных частных решений для периодически нагруженного слоя, обладающей необходимым произволом для удовлетворения любых граничных условий. Развитие теории бесконечных систем и появление ЭВМ позволило существенно продвинуться в этом направлении (Б. Л. Абрамян [2, 3, 5] и X. Сайто [372]). [c.9]

Однако впервые, если не считать частного случая [173], такая задача была поставлена и решена И. Я. Штаерманом [258]. Воспользовавшись известным решением о сжатии цилиндра двумя диаметрально противоположными силами [234] и решением аналогичной задачи для внешности кругового отверстия в упругой среде, он применил принцип суперпозиции и нашел радиальиые перемещения, создаваемые распределенной по дуге и нагрузкой р(-0 ). Поскольку сумма этих перемещений легко находится из геометрии соприкасающихся тел, И. Я- Штаерман получил для p f ) интегральное уравнение Фредгольма второго рода и показал, что оно может быть сведено к интегродифференциальному уравнению типа Прандтля [71]. [c.139]

Метод источников и стоков. Этот метод широко используется в газовой динамике при решении различных линейных задач. Наложение полей течений, соответствующих источникам и стокам различной интенсивности, позволяет получать картину течения при обтекании тел и при течении в каналах. В теории сопла метод источников II стоков может быть применен только в случае течения несжимаемой жидкости, когда в силу линейности уравпений для потенциала и функции тока может быть использован принцип суперпозиции. Подбором системы источпиков и стоков и их интенсивностей можно построить течение в канале заданной формы. Однако такая задача весьма сложна. Значительно проще обратная задача, которая позволяет по заданной системе источников и стоков определить формы поверхностей, которые могут быть приняты за стенки сопла. Рассмотрим применение метода для плоского, осесимметричного и пространственного течений. [c.114]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...