Частоты пластинок — Уравнения

На рис. 3—5 показано влияние на собственные частоты колебаний кольцевой пластинки каждого из параметров, за исключением параметра характеризующего расположенный на внешнем контуре шпангоут. Влияние этого параметра обусловлено инерцией вращения шпангоута, расположенного на свободно опертом внешнем контуре. Для оценки этого воздействия и определения наибольшего значения параметра 1 зд, которое он может достигать, исследования были проведены при различных сочетаниях размеров пластинки и шпангоутов. Сопоставление значений параметров собственных частот полученных из уравнения (27) при наибольшем возможном значении параметра г 5л и при пренебрежении инерцией вращения внешнего шпангоута (т. е. г )л = 0), показы- [c.25]

Уравнения (9)—(11) представляют собой уравнение колебаний, граничные условия и соотношения непрерывности для пластинки, показанной на рис. 1(b), изгибные цилиндрические жесткости которой Pxi, H i, D yi и Dll определяются из уравнения (12). Жесткость единицы длины упругой сопротивляющейся среды на сторонах л = Оил =аи у = О п у = Ь также находится из уравнения (13). Таким образом, можно заключить, что собственная частота колебаний пластинки, показанной на рис. 1(a), совпадает с собственной частотой колебаний пластинки, показанной на рис. 1(b), при условии существования соотношений между обеими пластинками, определяемых уравнениями (12) и (13). Вывод показывает, что обобщенный метод преобразования, предложенный для пластинки постоянной толщины [6, 7], также может быть применен для пластинки переменной толщины, показанной на рис. 1. Из этого метода непосредственно вытекают три следующих факта. [c.160]

Как и уравнение Релея — Лэмба для пластинки, это уравнение имеет три переменные. Допустимые значения каждой из переменных определяются значениями двух других. Этими тремя переменными в безразмерной форме, которая часто используется при анализе, являются коэффициент Пуассона о, угловая частота 0 а/7 и постоянная распространения уа. [c.167]

Последнее уравнение есть уравнение частот пластинки. Из этого уравнения следует, что [c.355]

Нормальные волны в пластинках, плоскость колебаний которых перпендикулярна плоскости пластинки и параллельна направлению распространения волны, носящие название волн Лэмба. Для волн Лэмба характерно наличие продольных и поперечных компонент смещения, так что частицы тела совершают сложное колебательное движение в плоскости колебаний. Для заданной частоты колебаний в пластинке может существовать несколько типов волн Лэмба с разными скоростями распространения и распределениями колебаний. Для низших симметричной и антисимметричной волн критические частоты равны нулю. Уравнение для определения скоростей распространения волн имеет вид [c.63]

Задача об определении собственных частот колебаний пластинки в полярной системе координат сводится к рассмотрению дифференциального уравнения вида [c.349]

Корни уравнения (4.53) составляют спектр частот рассматриваемой пластинки. Наименьшая частота называется частотой основного тона, остальные—частотами высших порядков (обертонов). Каждой частоте соответствует функция у)—собственная функ- [c.117]

В последнем случае можно предположить, что пластинка свободно колеблется с частотой основного тона со как система с одной степенью свободы и ее состояние определяется одной обобщенной координатой q r), а прогиб определяют уравнением [c.118]

Для определения частот собственных колебаний широких лопаток составляется дифференциальное уравнение (или интегральное уравнение) пластинки по двум координатам. [c.424]

Постоянные а и 6 находятся из условий закрепления края пластинки. Для диска без отверстия таких условий будет два, и они в каждом случае закрепления приводят к системе однородных уравнений относительно-постоянных а и Ь. После исключения а и Ь получается одно трансцендентное уравнение относительно k, корни которого, найденные по таблицам функций Бесселя, определяют частоты свободных колебаний диска. [c.8]

Подстановка его в разложение (е) немедленно приводит к результату (134). Для прямоугольных пластинок, у которых оперты лишь два противоположных края, а условия по двум другим краям произвольны, функции влияния можно получить подобным же образом. Однако в этом случае возникает необходимость вычислить предварительно значения А. из трансцендентного уравнения частот. Следующим объектом, для которого функцию влияния можно получить в виде ряда, является круглая пластинка, для которой формы колебаний, поддающиеся представлению в функциях Бесселя, хорошо известны. [c.373]

На основе классической теории деформации пластинок исследуются свободные осесимметричные колебания кольцевых пластинок переменной толщины. Для решения дифференциального уравнения, определяющего поперечное движение таких пластинок, применен метод коллокаций. Перемещение элемента пластинки аппроксимируется полиномом Чебышева в функции от радиальной координаты. В качестве примера рассматриваются две первые формы колебаний пластинки с линейным законом изменения толщины, для которой частоты и формы свободных колебаний были получены при различных значениях постоянных в функции от изменения толщины и отношения внутреннего и наружного радиусов пластинки. [c.7]

Представим граничные условия на внешнем крае пластины как шпангоут нулевой жесткости для случая шарнирного опирания и как шпангоут бесконечной жесткости — для защемления. Аналогично нулевой параметр массы и нулевая жесткость на внутренней границе означают свободный край, а бесконечная жесткость с конечной массой соответствует жесткому включению. Собственные частоты колебаний для таких предельных случаев граничных условий на краях кольцевых пластинок определяются аналогичным образом из уравнения (27). Результаты, полученные авторами при различных значениях отношения Ь/а, согласуются с результатами работ [6—8]. [c.27]

В статье изложен метод решения задачи о колебаниях прямоугольной пластинки с эксцентрическим круговым вырезом. Задача на собственные значения для такой пластинки решается с использованием точного решения уравнения движения, удовлетворяющего граничным условиям на внутреннем контуре (контуре выреза). Граничные условия на внешнем контуре удовлетворяются с помош,ью метода разложения в ряд Фурье. Вычисления проведены для различных сочетаний граничных условий на внешнем и внутреннем контурах пластинки для ряда частных случаев приводятся значения безразмерных собственных частот колебаний. [c.69]

В статье изложен метод решения задачи о колебаниях прямоугольных пластинок с эксцентрическим круговым вырезом. Получено уравнение частот собственных колебаний и проведены вычисления для различных сочетаний внешних и внутренних граничных условий. Отмечено, что влияние эксцентриситета внутреннего контура на собственные частоты колебаний увеличивается по мере того, как жесткость внутреннего края возрастает, и в общем случае этими эффектами пренебрегать нельзя. Сходимость процесса вычислений хорошая, и результаты удовлетворительной. точности были [c.81]

Итак, как было установлено выше, уравнение (19) представляет собой уравнение частот колебаний, решение которого дает собственные частоты колебаний пластинки. В качестве примера рассмотрим квадратную пластинку с защемленными или шарнирно опертыми внешними краями при различных значениях коэффициента Пуассона. Для этого случая =/з = / (или /ii = Ла)- Ограничиваясь л = 4 членами в решении (5), получаем восемнадцать неизвестных. На внешних границах прямоугольной пластинки выберем шестнадцать точек М = 16) в результате получим тридцать два уравнения относительно восемнадцати неизвестных. Таким образом, уравнение (19) представляет собой основное уравнение восемнадцатого порядка, и значения ю, при которых определитель этой системы равен нулю, дают собственные частоты колебаний пластинки. [c.104]

П.ри помощи метода Крылова и Боголюбова интегральное уравнение заменяется конечной суммой, а граничные условия разрывности удовлетворяются методом подобластей. Для примера приводится численное решение задачи. Изменение собственных частот колебаний для пластинок с трещинами различной длины и относительное распределение момента вдоль не содержащих трещины участков представлены в виде графиков. [c.131]

Как было указано, для определения собственных частот колебаний задачи необходимо только найти собственные значения X, которые являются корнями частотных уравнений (29) и (31). Все собственные значения для пластинки с фиксированным значением коэффициента а/Ь и различными длинами трещины должны лежать между известными [c.137]

Примем для пластинки, показанной на рис. 2(b), коэффициент Пуассона v равным 0,3. Из уравнения (16) видно, что постоянные Bj (/ = 1, 2, 3) можно определить для различных соотношений размеров по трем видам собственных частот колебаний одной и той же формы, но не всегда можно получить точно описывающую формулу, используя только три собственные частоты колебаний, о чем детально было описано в предыдущей работе [6]. Для результатов, приведенных в настоящей статье, при определении Bj (/ = 1, 2, 3) было использовано 15 собственных частот колебаний. [c.162]

Эйлер заключает Этим уравнением и выражается природа кривой ЛтпВ, и из него же, если применять его к представившемуся случаю, определится и длина I (эквивалентного маятника) а зная ее, мы узнаем и самое колебательное движение ). После этого он интегрирует уравнение (f) и, используя принятые условия на концах пластинки, находит уравнение частот, из которого представляется возможным вычислять частоты для ряда последовательных форм колебаний. [c.49]

На базе асимптотического метода В. В. Болотиным (1963, 1966) изучены плотности собственных частот пластинок и пологих оболочек им показано суш ествование точек сгущения спектра изгибных колебаний, причем у оболочек неотрицательной кривизны имеется одна такая точка, а у оболочек отрицательной кривизны — две. Точки сгущения спектра собственных колебаний находятся при частотах СО1 = с Яа и а = = 1 с Щ I (при последней только в случае оболочек отрицательной кривизны) в этих выражениях с — скорость распространения волн сжатия растяжения в оболочке координатная сетка на срединной поверхности установлена так, что -йа I < I 1> причем Др — главные радиусы кривизны. Эмпирические данные, извлеченные из анализа сферических и круговых цилиндрических оболочек, подтверждают теоретические результаты. Тем не менее любопытно, что при указанных частотах характеристические линии уравнений безмоментных изгибных колебаний являются кратными однако кратные характеристики появляются и у оболочек положительной кривизны при частотах 0)1 и 0)3 (у сферической оболочки эти значения совпадают). Вопрос о связи между этими явлениями еще ждет ответа. Отметим здесь, что впервые исследования об асимптотическом поведении собственных частот колебаний цилиндрических и пологих оболочек проводились С. А. Терсеновым (1955). [c.251]

Нао и Миндлин 30] распространили расчеты по определению расположения ветвей сиоктра частот, даваемого дисперсионным уравнением, на дисперсионное уравнение для изгибных нормальных волн с ге = 1. Одним из интересных различий мен<ду пластинкой и цилиндром, раскрытым в работе Пао [33], является то, что для цилиндра некоторые из ветвей в мнимой плоскости идут к нулевому значению частоты. Таким образом, не все нормальные волны более высоких порядков требуют использования комплекс- [c.170]

Мы приходим таким образом к урав. нению частот пластинки в форме леркина. Из этого уравнения можа найти п значений наименьшее которых даст приближенное знач первой частоты с избытком. [c.364]

Корни уравнения (5.53) составляют спектр частот рассматриваемой пластинки. Наименьшая частота называется частотой основного тона, остальные — 4a foTaMH высших порядков (обертонов). Каждой частоте озтп соответствует функция Umn (х, у) — собственная функция, определяющая форму изогнутой поверхности (гармонику). [c.179]

Получение решения уравнения (5.49) в форме (5.55) сопряжено с большими затруднениями, и полностью задача решена только для прямоугольной свободно опертой пластинки (см. задачу 5.10). Так как для прикладных задач главный интерес представляют частоты основных тонов, то для пх определения можно пользоваться приближенным методом, например, методом Рэлея — Ритца. [c.180]

Точного решения уравнения (1.65) не существует. Рассмотрим 1фиближенный способ определения частот собственных колебаний в шисимости от амплитуд применительно к расчету пластинок и оболочек при сравнительно небольших прогибах (сопоставимых с толщинами). [c.33]

Вопрос о влиянии начальных усилий на частоты и формы собственных колебаний конструкций рассматривался и ранее (см., например, [15,34,49], Исследовались, однако, конкретные конструкции (пластинки, оболочки определенной формы и т.п.). Влияние же начальных перемещений, возникающих при действии статических нагрузок, на динамические, характеристики тонкостенных конструкций практически не изучено. В первой главе выведены уравнения, пригодные для расчета частот и форм собственных колебаний конструкций любых типов (одно-, двух- и трехмерных) с учетом их напряженно-деформированного состояния (уравнение (1.63)). Ния рассматривается реализация этого уравнения для пространственных тонкостенных подкрепленных конструкций произвольной конфигурацтаК Класс тонкостенных конструкций выбран по той причине, что именно в h№ i как следует из предшествующих исследований (см. цитированные выШ работы), влияние стагических нагрузок оказывается наиболее значительным. [c.122]

В начале XIX в. большой интерес возбудили наглядные опыты Э. Хлац-ни, демонстрировавшего узловые линии колеблющихся пластинок. В связи с этим внимание было привлечено к теории колебаний пластинок, которая была вынесена в качестве премиальной темы Парижской академии. Уравнение колебаний было найдено Ж. Лаграижем и Д. Пуассоном Обширные вычисления частот колебаний пластинок в различных случаях были проведены Кирхгофом. Адекватную теорию колебаний оболочек разработали в конце века А. Ляв, Э. Матье и Рэлей. [c.60]

Далее рассматриваются работы, посвященные колебаниям прямоугольных двусвязных либо многосвязных пластинок. Внутренний контур таких пластинок имел форму прямоугольника или круга. Изложенные авторами исследования осуществлялись либо численными, либо аналитическими методами. В некоторых работах результаты, полученные различными методами, сопоставляются между собой. Одна из статей сборника, выполненная Линном и Кумбасаром, посвящена изучению собственных частот колебаний шарнирно опертых прямоугольных пластинок с узкими трещинами, параллельными внешнему контуру. Для осуществления исследования пластинка разбивалась на две части вдоль линии трещины. Используя в полученных пластинках для представления перемещений функции Грина и возвращаясь затем к исходной непрерывной пластинке, авторы показали, что уравнение собственных частот колебаний является задачей на собственные значения, описываемой интегральным уравнением Фредгольма первого рода. [c.5]

Таким образом, собственные частоты и формы свободных поперечных колебарий кольцевых пластинок. с шарнирно опертым внешним и свободным внутренним контурами при наличии кольцевых шпангоутов могут быть полностью исследованы и определены из уравнения (27). Две первые формы колебаний, полученные при 6/а =1/2 и различных значениях других параметров, представлены на рис. 3, 4. На рис, 5 показано влияние отношения размеров радиусов Ь/а на собственные частоты колебаний. Анализ представленных результатов показывает, что шпангоуты даже относительно небольшой жесткости оказывают значительное влияние на собственные частоты колебаний системы. Так, в частности, увеличение массы и безразмерного момента инерции приводит к их ощутимому снижению, а пренебрежение инерцией вращения шарнирно опертого внешнего контура со шпангоутом вызывает увеличение собственных частот колебаний в среднем не менее чем на 1 %. При отношении радиусов Ъ/а 1/2 результаты исследований предельных случаев, включая край бесконечной жесткости, близки к результатам для шпангоутов средней жесткости. Для осесимметричной формы колебаний крутильная жесткость шпангоутов не оказывает влияния [c.27]

Используемая здесь физическая модель впервые была предложена Виттевеном [1] для изгиба пластинок с резко меняющейся жесткостью. Однако при этом влиянием поперечной деформации пренебрегалось. Но, как было установлено, основываясь на тех же самых принципах, можно математически преобразовать конечно-разностные уравнения, которых учитывается влияние поперечной деформации. За-дача устойчивости, колебаний и изгиба таких пластинок была решена в работах [2—4]. В этой работе, посвященной задаче о свободных колебаниях, при использовании сеточной модели разработаны соответствующие операторы для угловых точек, узловых точек и точек, соседних с углами вырезов. Представлены результаты численных расчетов для иллюстрации сходимости метода, а также показаны влияния поперечной деформации ц и размеров вырезов на значения основных частот свободных колебаний и частот колебаний, высших форм. [c.53]

Лучшие результаты можно получить уменьшением размера сетки или применением экстраполяционного метода Ричардсона. Погрешность в значениях основных частот колебаний, полученных методом конечных разностей, является всегда меньшей, чем в результатах, полученных методом Рэлея — Ритца. На рис. 3 сопоставлены результаты, полученные для квадратных пластинок с круювыми вырезами Андерсоном и др. [7], использовавшими метод конечных элементов, а также результаты, полученные в этом исследовании для квадратных вырезов с целью установления характера поведения и проверки использованного здесь приближенного метода исследования влияния вырезов различных размеров на частоты свободных колебаний квадратных пластинок. Как видно из табл. 2, значения основных собственных частот свободных колебаний, полученных соответственна при помощи метода сеток и метода Неймарка [6], очень близки друг другу. Влияние коэффициента Пуассона ц изменялосй примерно от 7 до 10% при [а = 0,3. Предложенная формулировка задачи является более простой, и число решаемых уравнений гораздо меньше по сравнению с методом конечных элементов. Однако этот метод - пригоден только для квадратных или прямоугольных вырезов и не может быть использован в случае произвольных границ.. [c.58]

Линн и Кумбасар [28] исследовали свободные колебания шарнирно опертых пластинок, также имеющих сквозные прямолинейные трещины. Они показали, что решение уравнения частот колебаний эквивалентно решению однородного уравнения Фредгольма первого рода. В их работе выявлено, что частоты свободных колебаний пластинки монотонно уменьшаются по мере увеличения длины трещины. Стал и Кир [29] исследовали свободные колебания и изгиб шарнирно опертой пластинки со сквозной трещиной и показали, что решение включает однородные интегральные уравнения Фредгольма второго рода. Они также показали, что наличие трещины снижает собственные частоты колебаний Пластинки. [c.96]

Таким образом, собственные частоты колебаний пр [1Моугольт ной пластинки с центральным круговым вырезом могут быть получены из решения уравнения (19), представляющего со-бой уравнение частот. [c.104]

Как показали Хоффман и Ариман [9], наибольшая точность в решении задач о колебаниях прямоугольной пластинки с кр уговым вырезом при помощи тметода наименьших квадратов достигается при отношении числа уравнений к числу неизвестных, близком к двум. Для подтверждения этого заключения была рассмотрена сплошная квадратная пластинка с шарнирно опертыми краями, для которой существует решение в замкнутой форме однако собственная частота колебаний отыскивалась при помощи метода коллокаций, что Позволяло произвести проверку точности решения. При сохранении числа, точек коллокаций обнаружено, что наилучшие результаты с точки зрения точности решения и трудностей вычислительного характера были получены при п = 4 членах ряда. При п = 4 число точек коллокаций изменялось от 8 [c.104]

Для осуществления исследования пластинка разбивается на две части вдоль линии трещины. Используя для представления перемещений в полученных пластинках функции Грина и затем возвращаясь к исходной непрерывной пластинке, авторы показали, что уравнение собственных частот колебаний является задачей на собственные значения и эквивалентно однородному интегральному уравнейию Фредгольма первого рода. Это уравнение удовлетворяется только вдоль участка пластинки, не имеющего трещины. [c.131]

Рассмотрим изотропную пластинку, показанную на рис. 1( ). Жесткости единицы длины упругой сопротивляющейся среды на сторонах д = 0 х = а, = 0 и у —5 соответственно равны Рхь fix2, Pi/i и ру2 и V — коэффициент Пуассона материала пластинки. Тогда, используя уравнение (15), получим выражение для собственной частоты колебаний изотропной пластинки [c.160]

Уравнения (15), (16) и (20) показывают, что для получения приближенной формулы для ортотропной пластинки достаточно иметь всего три вида собственных частот колебаний (для одной и той же формы колебаний) изотропной пластинки, полученной преобразобанием исходной ортотропной. Однако метод не дает какой-либо информации о точности определенных собственных частот колебаний. Поэтому для каждого случая применения этого метода необходимо проводить оценку точности полученных собственных частот колебаний. [c.161]

На рис. 4 показаны примеры погрешностей уравнения (22). Ошибка стремительно возрастает в области а/Ь 3 и > ,1 = = ADxi, однако она является сравнительно небольшой для остальных областей. Как следует из рис. 4 и табл. 1, уравнение (15) может быть использовано на практике в качестве приближенной формулы для определения собственной частоты колебаний таких пластинок. [c.163]

Согласно изложенному методу, формулу для определения собственной частоты колебаний ортотропной пластинки можно получить исходя из соотношения для собственных частот колебаний изотропной пластинки, в связи с чем отпа1дает необходимость решать сложное дифференциальное уравнение в частных производных, определяющее свободные колебания ортотропной пластинки. Однако в общем невозможно определить ошибку приближенной формулы, в связи с чем точность решения необходимо оценивать в каждом случае. В настоящей статье в качестве примера была рассмотрена прямоугольная пластинка, состоящая из двух частей разной толщины с шарнирно опертыми сторонами. Результаты численных расчетов показали, что предложенная здесь приближенная фор--мула может быть использована в практическом случае. [c.164]

В статье разработан приближенный метод определения основных частот собственных колебаний пластинок со свободными круговыми вырезами. Внешняя граница пластинок предполагается неаначительно отличающейся oV круговой. Приближенные выражения для радиусов каждой ограничивающей кривой выражены через ряды Фурье. Граничные условия, записанные модифицированными рядами для формы кругового кольца, удовлетворяются приближенным образом на внутреннем и внешнем краях пластинки. Приближенное характеристическое уравнение (либо первого, либо второго порядка апйроксимации) получается в результате удовле творения граничным условиям, а основная частота колебаний определяет ся как первый корень соответствующего характеристического уравнения Для демонстрации решения, основанного на аппроксимации второго по рядка, определены приближенные частоты основной формы колебаний за щемленной эллиптической пластинки, квадратной пластинки с круговым вырезом и круговой пластинки с эксцентрическим круговым вырезом. Для последней также получено решение, основанное на аппроксимации первого порядка для основной формы колебаний. [c.165]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...