Частота колебаний пластинки

В качестве упражнения рекомендуется построить задачи минимизации, отвечающие другим, не рассмотренным в данном разделе краевым условиям, а также функционал, соответствующий задаче определения собственных частот колебаний пластинки с учетом напряжений в плоскости пластинки. [c.129]

Задача об определении собственных частот колебаний пластинки в полярной системе координат сводится к рассмотрению дифференциального уравнения вида [c.349]

Частота колебаний пластинки зависит от величины сжимающих сил. При увеличении нагрузки частота колебаний уменьшается. Когда силы достигнут некоторого критического значения, частота малых колебаний становится равной нулю пластинка окажется в безразличном равновесии. [c.178]

Рис. 3. Изменение частоты колебаний пластинки в зависимости от it для граничных условий типа (а) S , (Ь) S, (с) SS, (d) СС alb = 0,7 и

Рис. 5, Изменение частоты колебаний пластинки в зависимости от п для а/Ь — 0,9 и V = ОД Граничные условия (а) S , (b) S, (с) SS, (d) СС.

Рис. 6. Зависимость частот колебаний пластинки от коэффициента а для

Традиционным методом при а/Ь = 0,5 для различных значений h в случае граничных условий СС. Значение 82,79 соответствует критической бифуркационной нагрузке (п = 8) для исследуемой пластинки при действии внутреннего растяжения (табл. 1). Такой вариант выбран как типичный пример, иллюстрирующий влияние растягивающих и сжимающих сил. Как можно видеть, поведение пластинки при действии внутреннего растяжения прямо противоположно поведению пластинки при действии внутреннего сжатия а именно, как и предполагалось, для осесимметричной формы собственная частота колебаний пластинки при действий внутреннего растяжения (сжатия) всегда возрастает (падает) с увеличением значений нагрузки однако с увеличением порядка асимметричной формы собственная частота колебаний пластинки при [c.45]

На основе метода коллокаций исследуются свободные колебания упругих шарнирно опертых или защемленных по наружным краям прямоугольных пластинок, имеющих центральный круговой вырез. Результаты исследований представлены в виде графиков, характеризующих изменение собственных частот колебаний пластинок в зависимости от размера выреза при различных значениях коэффициента Пуассона. Поведение кривых, отражающих зависимость частот колебаний от размеров выреза, не является монотонным, и размер выреза, при котором собственная частота колебаний минимальна, как оказалось, зависит не только от вида граничных условий на краях пластинки, но и от коэффициента Пуассона. Эти результаты, как и результаты предыдущих исследований колебаний пластинок с вырезами, по всей видимости, можно объяснить механизмом перераспределения напряжений в районе границ вырезов и уменьшением массы системы. [c.95]

Итак, как было установлено выше, уравнение (19) представляет собой уравнение частот колебаний, решение которого дает собственные частоты колебаний пластинки. В качестве примера рассмотрим квадратную пластинку с защемленными или шарнирно опертыми внешними краями при различных значениях коэффициента Пуассона. Для этого случая =/з = / (или /ii = Ла)- Ограничиваясь л = 4 членами в решении (5), получаем восемнадцать неизвестных. На внешних границах прямоугольной пластинки выберем шестнадцать точек М = 16) в результате получим тридцать два уравнения относительно восемнадцати неизвестных. Таким образом, уравнение (19) представляет собой основное уравнение восемнадцатого порядка, и значения ю, при которых определитель этой системы равен нулю, дают собственные частоты колебаний пластинки. [c.104]

Влияние размера выреза на собственные частоты колебаний пластинок определялось исследованием пластинок, имеющих вырезы различных размеров. Исследовались только пластинки с одним вырезом с использованием одинаковых и неодинаковых интервалов разбиения. На рис. 9 показано влияние размера выреза на основную частоту колебаний шарнирно опертой изотропной пластинки. Как можно видеть, результаты, полученные в исследовании с неравными интервалами, являются более точными по сравнению с результатами исследования с помощью равномерной сетки [3]. Первоначально основная частота колебаний пластинки снижается с увеличением размера выреза, но в дальнейшем с увеличением размера выреза она начинает возрастать. Однако для случая более высоких форм колебаний такое поведение не наблюдается и собственная частота колебаний последовательно уменьшается с увеличением размера выреза. [c.128]

Машинное время, необходимое для определения первых пяти собственных частот колебаний пластинки с вырезом по методу Рэлея, составило примерно 5% от машинного времени, необходимого для вычислений по методу конечных элементов. Как уже упоминалось, метод Рэлея позволяет определять основные формы колебаний пластинок с удовлетворительной точностью, и при более точной аппроксимации формы перемещений пластинки использование метода Рэлея позволит достичь значительной экономии машинного времени и требуемых финансовых расходов. [c.155]

Собственные частоты колебаний пластинок ступенчатой толщины Ы [c.157]

Уравнения (9)—(11) представляют собой уравнение колебаний, граничные условия и соотношения непрерывности для пластинки, показанной на рис. 1(b), изгибные цилиндрические жесткости которой Pxi, H i, D yi и Dll определяются из уравнения (12). Жесткость единицы длины упругой сопротивляющейся среды на сторонах л = Оил =аи у = О п у = Ь также находится из уравнения (13). Таким образом, можно заключить, что собственная частота колебаний пластинки, показанной на рис. 1(a), совпадает с собственной частотой колебаний пластинки, показанной на рис. 1(b), при условии существования соотношений между обеими пластинками, определяемых уравнениями (12) и (13). Вывод показывает, что обобщенный метод преобразования, предложенный для пластинки постоянной толщины [6, 7], также может быть применен для пластинки переменной толщины, показанной на рис. 1. Из этого метода непосредственно вытекают три следующих факта. [c.160]

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСНОВНОЙ ЧАСТОТЫ КОЛЕБАНИЙ ПЛАСТИНОК НЕКРУГОВОЙ ФОРМЫ СО СВОБОДНЫМИ КРУГОВЫМИ ВЫРЕЗАМИ [c.165]

Основная частота колебаний пластинок некруговой формы 167 [c.167]

Теперь из уравнения (14) легко получить приближенное характеристическое уравнение, из которого определяется основная частота колебаний пластинки с круговым вырезом. При использований метода Фурье для задания границ пластинки ее основная частота колебаний определяется как первый корень Я приближенного. характеристического уравнения, получающегося при приравнивании нулю определителя, составленного из коэффициентов матрицы уравнения (14). Определив, таким образом, из уравнения (14) собственное значение Я, теперь можно найти коэффициенты ъА т, гВш, e i и eD rn из уравнения (15), используя для этого правило Крамера. [c.171]

Если определено,, то легко вычислить собственные частоты колебаний пластинки. [c.187]

Вынужденные колебания происходят всегда с той частотой, с которой изменяется внешняя сила. Если мы изменим частоту тока, питающего электромагнит, то изменится и частота колебаний пластинки. Легко убедиться с помощью стробоскопа, что частота колебаний тока равна частоте колебаний пластинки. [c.438]

Другой метод пневматического возбуждения состоит в том, что колеблющееся тело само регулирует подачу воздуха, воздействуя на золотник или клапан или изменяя проходные сечения воздухопровода при колебаниях. В простейшей конструкции упругая пластинка, перекрывающая с малым зазором отверстие воздухопровода, приходит в резонансные колебания, так как при ее перемещении зазор изменяется и давление воздуха пульсирует с частотой колебаний пластинки. [c.385]

В начале XIX в. большой интерес возбудили наглядные опыты Э. Хлац-ни, демонстрировавшего узловые линии колеблющихся пластинок. В связи с этим внимание было привлечено к теории колебаний пластинок, которая была вынесена в качестве премиальной темы Парижской академии. Уравнение колебаний было найдено Ж. Лаграижем и Д. Пуассоном Обширные вычисления частот колебаний пластинок в различных случаях были проведены Кирхгофом. Адекватную теорию колебаний оболочек разработали в конце века А. Ляв, Э. Матье и Рэлей. [c.60]

При помощи метода Рэлея — Ритца исследуются свободные изгибные колебания и упругая устойчивость кольцевых пластинок при действии равномерно распределенной внутренней растйгивающей силы причем в качестве функций, аппроксимирующих колебания пластинок для восьми различных типов граничных условий, например защемления, шарнирного опи-рания и свободного края, используются простые полиномы. Установлено, что критическая форма устойчивости для пластинок при действии внутреннего растяжения никогда не соответствует осесимметричной форме и пластинка всегда изгибается вначале с конечным числом окружных волн. Число окружных волн, образующихся в результате потери устойчивости, увеличивается с увеличением величины коэффициента, характеризующего размеры выреза, а также с увеличением величин геометрических констант на краях (как для пластинок, нагруженных внешним сжимающим давлением). Для характерных значений коэффициента интенсивности нагружения, равного отношению текущего значения нагрузки к критическому при потере устойчивости, получены точные значения собственных частот колебаний при различных значениях размеров вырезов, сочетаний граничных условий и для широкой области изменения числа окружных волн. Формы потери устойчивости и значения основной собственной часто.ты колебаний нагруженных пластинок зависели в каждом случае от граничных условий так же, как и от значения коэффициента, характеризующего интенсивность нагружения. Было обнаружено, что условное предположение для кольцевых пластинок при действии внутренних сил о том, что растягивающие (сжимающие) силы в плоскости пластинки увеличивают (уменьшают) собственную частоту колебаний, является справедливым только для осесимметричной формы. С увеличением порядка осесимметричной формы колебаний проявляется противоположная тенденция в поведении пластинки в том смысле, что собственная частота колебаний пластинки при действии внутреннего растяжения (сжатия) возрастает (падает) с увеличением величины нагрузки. [c.30]

Знание собственных частот колебаний квадратных пластинок с квадратными или прямоугольными вырезами является необходимым элементом проектирования авиационных, машиностроительных и гражданских конструкций. Изложенные здесь результаты посвящены исследованию, основанному на распространении разностной модели, аналогичной предложенной Виттевеном [1], на случаи включающие различные типы граничных условий. До сих пор не существо- йало как экспериментальных, так и теоретических значений основных частот колебаний пластинок с квадратными вырезами. Нахождение точного рещения задачи о свободных колебаниях таких пластинок оказалось трудным, за исключением случаев пластинок с круговыми вырезами. Широко используемый метод Рэлея — Ритца оказался непригодным в этом случае, поскольку для пластинок с вырезами трудно выбрать приемлемую первоначальную форму колебаний. Для квадратного выреза задача становится более сложной вследствие наличия в системе угловых точек. Использование метода конечных разностей для углов выреза также оказалось малоэффективным, поскольку в этом методе применяются фиктивные законтурные точки, которые трудно определить. Все это можно легко преодолеть с помощью физической мо- [c.52]

Рис. 3. Изменение основной частоты колебаний пластинки с увеличением размеров выреза для r=12hji = 0. А — метод сеток О — метод конечных элементов. 1 — защемленная пластинка со свободным квадратным вырезом 2 — круговой вырез [7] 3 —шарнирно опертая пластинка со свободным квадратным вырезом, (о — основная частота колебаний , ю = (1/L2) V )/prf . — размер выреза.

Линн и Кумбасар [28] исследовали свободные колебания шарнирно опертых пластинок, также имеющих сквозные прямолинейные трещины. Они показали, что решение уравнения частот колебаний эквивалентно решению однородного уравнения Фредгольма первого рода. В их работе выявлено, что частоты свободных колебаний пластинки монотонно уменьшаются по мере увеличения длины трещины. Стал и Кир [29] исследовали свободные колебания и изгиб шарнирно опертой пластинки со сквозной трещиной и показали, что решение включает однородные интегральные уравнения Фредгольма второго рода. Они также показали, что наличие трещины снижает собственные частоты колебаний Пластинки. [c.96]

Ранее упоминалось, что увели чение коэффициента Пуассона приводит к увеличению поперечной потенциальной энергии деформации пластинки. Вследствие этого общая потенциальная энергия пластинки возрастает, и, тдким образом, повышается собственная частота колебаний. Аналогично уменьшение по любой причине потенциальной энергии поперечной деформации вызовет уменьшение частоты колебаний пластинки. Сквозная трещина как раз и является такой причиной. Вдоль ее свободных краев материал пластинки имеет возможность свободно растягиваться или сжиматься. Трещина, таким образом, ведет себя как перераспределитель деформаций. По мере увеличения длины трещины поперечная деформация может перераспределяться на большей свободной поверхности, и, таким образом, уменьшается общая, энергия (и, следовательно, частота колебаний) пластинки. Этим обстоятельством и можно, очевидно, объяснить поведение пластинки с трещинами, описанное в работах [28, 29]. [c.110]

Вырез в пластинке должен был бы уменьшать потенциальную энергию поперечной деформации так же, как й трещина, но тем не менее здесь наблюдается другой эффект. В то время как уменьшейие энергии снижает частоту колебаний системы, уменьшение массы системы повышает ее. Для тонкой трещины влияние уменьшения массы незначительно, но для выреза это является доминирующим эффектом. Поскольку снижение деформации зависит от размеров свободной поверхности, влияние уменьшения потенциальной энергии поперечной деформации выреза будет возрастать в большей или меньшей степени с увеличением диаметра выреза. Однако влияние уменьшения массы, вызывающее повышение частоты колебаний пластинки, возрастает как квадрат диаметра выреза. Таким образом, для выреза небольшого размера уменьшение деформации может быть доминирующим фактором и частота колебаний пластинки снижается, в то время как для выреза достаточно большого размера эффект уменьшения массы системы может заменить эффект уменьшения деформации как основного фактора и частота колебаний будет возрастать. На рис. 8 показана попытка количественного доказательства этого объяснения для кривых на рис. 3—6. Верхняя кривая на рис. 8 показывает влияние только уменьшения массы на частоту колебаний со пластинки. Если все остальные параметры остаются постоянными, то частота коле-баний со пластинки определяется как (o = onst/VMa a. [c.110]

В теории звука [7] Рэлеем был изложен метод получения оценок собственных частот колебаний мембран, границы которых лишь незначительно отличались от круговой формы. Торвик и Истец [8] испольаовали метод Рэлея для оценки частот колебаний мембраны, форма границы которой существенно отличалась от круговой, и затем Истеп [9] получил оценку основной частоты колебаний двусвязных мембран. Недавно Найфэ и др. [10] представили приближенный модифицированный метод определения собственных частот колебаний пластинок, защемленных по границе, однако приведенные результаты исследований относились только к пластинкам без вырезов. Целью настоящей работы является распространение метода Рэлея на задачи приближенного определения основной частоты колебаний некруговых пластинок, имеющих, и не имеющих вырезы. Применение метода Рэлея для пластинок, форма границы которых незначительно отличается от круговой, будет продемонстрировано на ряде примеров и, где это возможно, будет дано сравнение с точными решениями. [c.166]

Это исследование представляет интерес в вопросах подводной сигнализации однако собственная частота колебаний пластинки, закрывающей отверстие в борту корабля, значительно снижается инерциех" воды, соприкасающейся с внешней поверхностью пластинки. Например, собственная частота колебаний стальной - пластинки диаметром 7 дюймов (178 мм) и толщиной Vg дюйма (3,2 мм) уменьшается с 1013 гг/—частота колебаний в воздухе— до 550 гц. Кроме того, имеется значительное затухание, вызываемое передачей энергии в воду в виде звуковых волн в этом случае модуль затухания ( 11) равен приблизительно пяти полным периодам ). [c.200]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...