О поведении собственных частот

Теорема о поведении собственных частот при изменении жесткости. Пусть даны две механические системы [c.192]

О ПОВЕДЕНИИ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ 99 [c.99]

О поведении собственных частот [c.99]

Здесь доказаны теоремы Релея — Куранта — Фишера о поведении собственных частот системы при увеличении жесткости и при наложении связи. [c.99]

Опираясь на этот принцип стационарности , Рэлей устанавливает ряд общих положений качественного характера о поведении собственных частот при изменениях масс и коэффициентов упругости или при наложении связей (например, при увеличении массы ни один из собственных периодов не уменьшается и т, п.). Общее доказательство этих качественных теорем (сразу для не малых изменений параметров) было дано впоследствии Р. Курантом ), с именем которого их иногда теперь связывают. [c.11]

Теоремы Релея—Фишера—Куранта о поведении собственных частот при увеличении жесткости и наложении связи. Из двух линейных лагранжевых систем с одинаковой кинетической энергией более жесткой называется та, у которой потенциальная энергия больше. [c.269]

Асимптотические распределения и плотность собственных частот. Задание точного распределения частот полностью определяет весь спектр. Для качественных и некоторых количественных выводов о динамическом поведении упругих систем достаточно иметь приближенные сведения о распределении собственных частот. Пусть Pi, Р2,... — некоторые безразмерные параметры системы, малые по сравнению с единицей (например, относительная толщина пластины или оболочки). Функцию частоты N (а) называют асимптотической функцией распределения собственных [c.174]

Таким образом, при консервативных (потенциальных) внешних силах возможно использование статического подхода. Отвечающее этому случаю типичное поведение собственных частот показано на рис. 16.8, а. Кружочками показаны отвечающие х = О собственные частоты ненагруженного стержня. При возрастании х частоты движутся, как показано стрелками, проходя при х == через нуль, что и отвечает потере устойчивости статическим путем. [c.270]

Поведение собственных частот при изменении жесткости или массы. Систему п линейных уравнений с комплексными коэффициентами (—Л Л 4- ЛГ -Н К)к = О можно заменить системой 2п уравнений с вещественными коэффициентами посредством введения 2п-мерного вектора г, первые п компонент которого есть вещественная часть вектора /i, а оставшиеся п компонент есть мнимая часть вектора к [c.188]

Представляет интерес изучение поведения собственных частот при д оо. Введем следующие определения. [c.193]

Приведенное рассуждение о собственных числах двупараметрических семейств квадратичных форм объясняет странное поведение собственных частот при изменении одного параметра вообще говоря (исключая случаи совершенно особые) при изменении одного параметра собственные частоты могут подходить близко друг к другу, но не могут обгонять друг друга, а должны, сблизившись, снова разойтись в разные стороны. [c.398]

В различных областях физики широко используется спектральный метод исследования волновых процессов. При таком подходе существует принципиальная возможность свести анализ поведения волн в общем случае к анализу простейших гармонических волн. Переход от характеристик гармонического процесса к оценкам общего волнового движения в упругом теле с начальными условиями связан с существенными трудностями. Однако интерес к исследованию гармонических процессов обусловлен тем, что уже на промежуточном этапе удается получить важные данные о таких характеристиках колебательных систем, как собственные формы колебаний и спектр собственных частот. Часто этот промежуточный результат становится и конечным результатом исследования той или иной колебательной системы в виде упругого тела. [c.26]

В поведении остальных ветвей третьего семейства (пронумерованных цифрами 2—7) обнаруживается ряд особенностей, на которые следует обратить внимание. Видно, что каждая из них образована последовательно чередующимися участками, соответствующими убыванию собственных частот с ростом R, и участками, характеризующимися возрастанием собственных частот с ростом R. Само по себе наличие вторых участков является в определенной степени примечательным, поскольку указывает на существование таких типов движения в высокочастотной области, которые трудно было предсказать на основе представлений о колебаниях упругих тел, выработанных в рамках теорий стержней и пластин. [c.217]

Одной из самых важных с практической точки зрения задач динамики является изучение спектра частот собственных колебаний. Ее решение позволяет определить собственные частоты и формы, знание которых необходимо при решении различных задач о поведении слоистых конструкций при ударных, импульсных и гармонических воздействиях. [c.488]

На более высоких частотах реакция среды становится комплексной. При этом Re Q определяет реактивное сопротивление слоя — его жесткость как пружины воздействию штампа Im Q определяет активное сопротивление слоя — излучение из зоны контакта. Поведение функций Re Q и Im Q существенным образом зависит от поведения полюсов и нулей функции Х33 (а). На частотах выше Im Q О, причем в ноль она обращается на собственных частотах [13, 38] колебаний слоя которые определяются из уравнения [c.181]

Второй метод основан на рассмотрении поведения колебательной системы при вынужденных гармонических колебаниях. При совпадении частоты возбуждающей силы с одной из собственных частот системы реактивная составляющая входного сопротивления должна равняться нулю [3]. Если входное сопротивление определяется для возбуждающей силы Р, приложенной в начале х = 0) волновода, то в этом месте изгибающий момент равен нулю при любых значениях частоты возбуждения, т. е. Zм= О, но ZF ф 0. Полагая выражение для реактивной составляющей Хр равным нулю, будем иметь частотнее уравнение, из которого можно найти резонансные частоты или при заданных их значениях — резонансные размеры волновода. Так как при пренебрежении потерями в волноводе и при на- [c.264]

Еще одним примером гидродинамической системы, обладающей спектром собственных колебаний, является капля жидкости (или газовый пузырек), взвешенная в жидкости другой плотности. Спектр собственных частот такой капли был рассчитан Чандрасекаром [37]. В литературе имеются работы, посвященные колебаниям капли в поле вибраций акустической частоты (см., например [38—40]). Интересные результаты получены в работах [38, 39], где капля подвешивалась в жидкой матрице акустическим полем, состоящим из двух ультразвуковых компонент с близкими частотами. Комбинационная частота, равная разности частот двух компонент, оказывалась при этом близка к собственным частотам низших мод колебаний капли и в эксперименте [38] наблюдалось резонансное возбуждение квадрупольных колебаний капли на указанной комбинационной частоте. В теоретической работе [39] было показано, что эти колебания не являются параметрическими, поскольку порог возбуждения для них отсутствует, т. е. речь идет о резонансе вынужденных колебаний. Возбуждение колебаний пузырька в жидкости, подверженной монохроматическому акустическому полю, было исследовано теоретически в [40]. Показано, что при достижении мощностью волны некоторого критического значения радиально-симметричные колебания становятся неустойчивыми вследствие взаимодействия акустического поля с несимметричными модами собственных колебаний пузырька. В названных работах значительную роль играют эффекты сжимаемости. В настоящем параграфе исследуется поведение капли (или пузыря) в вибрационном поле неакустической частоты. Изложение следует работам [41, 42]. [c.55]

Рассмотрим поведение среды из невзаимодействующих осцилляторов, имеющих заданную функцию распределения по частотам. Это, например, молекулы газа, имеющие разные скорости. Если свойства осцилляторов меняются непрерывно, то проницаемость среды может быть получена из рассуждений, аналогичных использованным при выводе (3.10), но с помощью интегрирования. В том случае, когда мы различаем осцилляторы лишь по собственной частоте о , поляризуемость среды, содержащей в единице объема N атомов, запишется так [c.56]

Суммируя сказанное, видим, что упругое закрепление на концах стержня (см. рис. 5.27) влияет как на частоты, так и на формы его колебаний, тогда как присутствие упругого основания (см. рис. 5.28) оказывает влияние только на собственные частоты колебаний. Как и в случае растянутой нити с упругим закреплением на концах, решение задачи о динамическом поведении стержня на упругих опорах или упругом основании будет аналогично тому, что имело место для обсуждавшихся выше более простых случаев. [c.414]

Это свойство называется свойством ортогональности мод [1]. Интересно отметить, что матрица ([/(] —[М]) появляется и при решении задач о поведении систем при вынужденных колебаниях [уравнения (17.7)]. Как известно, при приближении величины ш к собственной частоте реакция увеличивается и возникает явление резонанса. [c.373]

Исследуем поведение колебательной системы в том случае, когда частота возмущений о) приближается к частоте собственных колебаний v. [c.30]

Для анализа поведения механизма в случае, когда ведомое звено выстаивает, следует общую модель разделить на две независимые, одна из которых будет представлять систему батана с моментами инерции /3, /4, /5 /7, а другая с моментами инерции, расположенными на главном валу и /5. Жесткости промежуточных участков между массами останутся такими же, как для общей динамической модели (рис. 5.2). В этом случае поведение механизма будет определяться колебаниями на собственной частоте, если они протекают в пределах зазоров в паре кулачок - ролик. Если конструкция выполнена с предварительным натягом или с монтажными нагрузками, то следует воспользоваться данными, приведенными в главе 3. В любом случае при рассмотрении свободных колебаний надо обращать внимание на характер изменения сил, вызывающих как крутильные, так и изгибные колебания. О наличии колебательного процесса ведомых масс можно судить по результатам расчетов, приведенных в виде графика на рис. 5.4. [c.73]

Из графика на рисунке 5.24 можно грубо определить интервалы, где находятся частоты собственных колебаний рамы. Сам график не имеет точек разрывов 2-го рода, не касается оси J = О и пересекает ее в ряде точек, т.е. характер поведения определителя АЛ со) рамы совпадает с неразрезной балкой (см. динамический расчет балки). [c.336]

Теория автоколебаний маятника Фроуда была развита С. П. Стрелковым по предложению Л. И. Мандельштама ЖТФ, том 3, стр. 563, 1933), Было бы вообще интересно проследить во всей полноте связь между задачами, поставленными в области теории колебаний Рэлеем, и работами Л. И. Мандельштама. Ряд проблем, либо только намеченных Рэлеем, либо в какой-то мере им разрешенных, нашел затем исчерпывающий ответ в исследованиях Л. И. Мандельштама, его сотрудников и учеников, Эгу связь можно обнаружить пе только в отношении общих проблем (теория автоколебаний, теория параметрических систем), но и на отдельных частных вопросах. Из числа таких вопросов, затронутых в Теории звука , можно назвать — кроме уже упомянутого исследования по теории возмущений, задачи об электромагнитном прерывателе и задачи о маятнике Фроуда — еще вопрос о возбуждении и форме автоколебаний скрипичной струны, рассмотренный А. А. Виттом ЖТФ, том 6, стр. 1459, 1936 и том 7, стр. 542, 1937), и вопрос о поведении собственных частот мембраны при закреплении отдельных ее точек ( 213а), исследованный А, А. Виттом и С. П. Шубиным ЖТФ, том 1, стр. 428, 1931), [c.13]

Заметим, что, когда Ых или Wj, близки к корням винта (v 1), эти выражения расходятся такое сингулярное поведение не обязательно означает, однако, неустойчивость. В предельном случае Q = О размерная собственная частота качания приближается к частоте VHeap в невращающейся системе координат. Относительные частоты (Их и Му стремятся к бесконечности пропорционально и vg Vh bp/ . Тогда решение вблизи со = Wj в безразмерных величинах становится равным [c.620]

На базе асимптотического метода В. В. Болотиным (1963, 1966) изучены плотности собственных частот пластинок и пологих оболочек им показано суш ествование точек сгущения спектра изгибных колебаний, причем у оболочек неотрицательной кривизны имеется одна такая точка, а у оболочек отрицательной кривизны — две. Точки сгущения спектра собственных колебаний находятся при частотах СО1 = с Яа и а = = 1 с Щ I (при последней только в случае оболочек отрицательной кривизны) в этих выражениях с — скорость распространения волн сжатия растяжения в оболочке координатная сетка на срединной поверхности установлена так, что -йа I < I 1> причем Др — главные радиусы кривизны. Эмпирические данные, извлеченные из анализа сферических и круговых цилиндрических оболочек, подтверждают теоретические результаты. Тем не менее любопытно, что при указанных частотах характеристические линии уравнений безмоментных изгибных колебаний являются кратными однако кратные характеристики появляются и у оболочек положительной кривизны при частотах 0)1 и 0)3 (у сферической оболочки эти значения совпадают). Вопрос о связи между этими явлениями еще ждет ответа. Отметим здесь, что впервые исследования об асимптотическом поведении собственных частот колебаний цилиндрических и пологих оболочек проводились С. А. Терсеновым (1955). [c.251]

Г. Поведение частот симметричной системы при изменении параметров, сохраняющем симметрию. Предположим теперь, что наша симметричная система зависит общим образом от некоторого числа параметров, причем симметрия не нарушается при изменении параметров. Тогда собственные частоты различных кратностей также будут зависеть от параметров, и возникает вопрос о столкновениях собственных частот. Я ограничусь формулировкой результата для простейшего случая систем с поворотной симметрией третьего порядка (для поворотной симметрии любого порядка п Ъ ответ такой же). Подробности можно найти в статьях Арнольд В.И. Моды и квазимоды // Функциональный анализ и его приложения.— 1972.— Т. 6, № 2.— [c.403]

Донг [811 получил решение уравнений обобщенной теории Доннелла, определяющее собственные частоты цилиндрических оболочек с произвольным набором ортотропных слоев и с различными граничными условиями. Узловые линии, так же как и в изотропных оболочках, образуют прямоугольную сетку. Берт и др. [37] рассмотрели аналогичную задачу на основе более точной теории первого приближения Лява. Найденные ими значения частот в общем достаточно хорошо согласовались с рерчльтатами Донга, за исключением низших частот, которые у Донга оказались завышенными. В работе Берта и др . на примере двухслойной ортогонально-армированной цилиндрической оболочки из боро-пластика проиллюстрировано влияние эффекта связанности мембранных и изгибных деформаций. Рассматривались также различные ортогонально-армированные структуры, включающие три слоя одинаковой толщины. Было установлено, что поведение оболочек, армированных по схемам О—К—О и О—О—О (О соответствует слою, уложенному в осевом направлении, К — слою, уложенному в кольцевом направлении), почти не различается. Также Мало отличаются друг от друга оболочки, армированные по схемам К—К—О и К—К—К. При всех четырех схемах армирования оболочка имеет,примерно одинаковую собственную частоту, соответствующую первому тону колебаний в осевом направлении и второму (п = 2) в окружном. При п = 1 армирование по схемам О,—О—О и О—К—О приводит к более высоким значениям частоты, а при относительно более высокие значения [c.239]

После постановки на входе в вентилятор специальных интерцепторов, турбулизирующих поток, общая динамическая картина поведения вентилятора существенно изменилась. Проявившиеся ранее резонансные колебания практически исчезли. Взамен возникли нерегулярные колебания рабочего колеса, максимальный размах которых превышал максимальные амплитуды резонансных колебаний. Спектральный анализ показал, что этим нестационарным колебаниям, носящим случайный характер, соответствуют частоты, отвечающие полосе сгущения собственных частот системы (точки на рис. 8.12), т. е. нерегулярные колебания преимущественно происходят по формам колебаний с большим числом волн по окружности. Эти результаты свидетельствуют о возможности радикального из менения дивамического состояния рабочих колес вентиляторов и компрессоров в зависимости от конкретных условий, которые складываются во входном устройстве. [c.160]

В целом, анализируя спектр собственных частот изгибных колебаний прямоугольника в рассмотренном диапазоне частот, следует отметить его гораздо более простую структуру по сравнению со спектром планарных колебаний. Важным здесь является также то, что структура спектра изгибных колебаний однозначно расшифровывается на основе данных о поведении распространяющихся мод в бесконечном слое. С этой точки зрения антисимметричный и симметричный случаи существенно различаются. Если все же попытаться связать эти различия с характером дисперсии указанных типов движения в слое, то прежде всего следует обратить внимание на движения с противоположными знаками групповой и фазовой скоростей. Рассматривая в симметричном случае диапазон частот Q < Q < й, мы исследовали и эффекты, связанные с указанными особенностями волнового движения. При изгибных колебаниях такого типа волновые движения также наблюдаются (см. рис. 62), однако они проявляются в области относительно большйх частот (Q 3). Возможно, что явления типа краевого резонанса и сгущения собственных частот в спектре для случая изгибных колебаний будут наблюдаться именно в этом районе. [c.193]

При помощи метода Рэлея — Ритца исследуются свободные изгибные колебания и упругая устойчивость кольцевых пластинок при действии равномерно распределенной внутренней растйгивающей силы причем в качестве функций, аппроксимирующих колебания пластинок для восьми различных типов граничных условий, например защемления, шарнирного опи-рания и свободного края, используются простые полиномы. Установлено, что критическая форма устойчивости для пластинок при действии внутреннего растяжения никогда не соответствует осесимметричной форме и пластинка всегда изгибается вначале с конечным числом окружных волн. Число окружных волн, образующихся в результате потери устойчивости, увеличивается с увеличением величины коэффициента, характеризующего размеры выреза, а также с увеличением величин геометрических констант на краях (как для пластинок, нагруженных внешним сжимающим давлением). Для характерных значений коэффициента интенсивности нагружения, равного отношению текущего значения нагрузки к критическому при потере устойчивости, получены точные значения собственных частот колебаний при различных значениях размеров вырезов, сочетаний граничных условий и для широкой области изменения числа окружных волн. Формы потери устойчивости и значения основной собственной часто.ты колебаний нагруженных пластинок зависели в каждом случае от граничных условий так же, как и от значения коэффициента, характеризующего интенсивность нагружения. Было обнаружено, что условное предположение для кольцевых пластинок при действии внутренних сил о том, что растягивающие (сжимающие) силы в плоскости пластинки увеличивают (уменьшают) собственную частоту колебаний, является справедливым только для осесимметричной формы. С увеличением порядка осесимметричной формы колебаний проявляется противоположная тенденция в поведении пластинки в том смысле, что собственная частота колебаний пластинки при действии внутреннего растяжения (сжатия) возрастает (падает) с увеличением величины нагрузки. [c.30]

Переходя к обзору результатов исследований поведения многосвязных оболочек, остановимся прежде всего на работах, посвященных изучению влияния трещин различного типа на напряженно-деформированное состояние цилиндрических труб. Димарогонас [78] рассмотрел задачу об устойчивости длинной трубы (кольца), находящейся под действием внешнего давления. Считалось, что труба имеет продольную щель с глубиной,, не пр-ёвышающей толщину стенки. В работе получено трансцендентное уравнение для критического давления, решение которого представлено в функции от глубины трещины. Автором получены также формы потери устойчивости трубы с внутренними и наружными трещинами. На основе проведенной работы делается вывод о том, что трещины приводят к значительному понижению устойчивости труб. Следует отметить, что сегодня весьма актуальной является пробл ема влияния трещин на динамические параметры элементов несущих конструкций. Исследованию такой задачи посвящена работа Дитриха [79]. В ней приведены результаты исследования изменения собственных частот и форм колебаний труб при появлении различных трещин в сварных щвах. Теоретический анализ выполнен с помощью метода конечных элементов. В работе приведены полученные с помощью ЭВМ графики изменения частот восьми низших тонов изгибных колебаний трубы в зависимости от длины трещины. Соответствующие этим частотам формы колебаний представ- лены в трехмерной форме. [c.301]

Отдельно должен быть рассмотрен случай, когда диэлектрическое тело имеет внутреннюю полость, ограниченную поверхностью S, и одна из собственных частот этой полости, соответствующая граничному условию [/ s = 0, совпадает с к. Тогда, если источник и точка наблюдения расположены внутри полости, то [/(а) -> оо при а ->оо. Скорость роста функции t/( r) при а — оо зависит от поведения е в окрестности поверхности S. Максимальная скорость роста, равная а Ч имеет место, если граница S характеризуется скачком диэлектрической проницаемости. Для тела с е = onst этот закон возрастания можно понять следующим образом. Полагая в (5.50) величину а мнимым числом с Im а < О, мы заменяем диэлектрик металлом с проводимостью, пропорциональной а . Известно, что добротность закрытого резонатора пропорциональна корню квадратному из проводимости стенок. При этом для [/(I) справедливо более сложное, чем (5.52) или (5.53), представление [c.57]

Влияние вибраций на поведение неоднородных сред носит разносторонний характер. Во многих ситуациях гидродинамическая система в отсутствие вибраций способна совершать движения периодического характера и обладает спектром собственных частот. Примерами такого рода являются капиллярно-гравитационные волны на поверхности жидкости или поверхности раздела жидкостей, собственные колебания пузырька, взвешенного в жидкой матрице и т. п. В отсутствие внешних воздействий собственные колебания, как правило, затухают вследствие вязкой диссипации. Подкачка энергии в систему, обусловленная вибрациями, может привести к резонансному возбуждению такого рода колебаний. Хотя пионерская работа М. Фарадея [1 (где, по-видимому, впервые описано явление параметрического резонанса) посвящена именно вибрационному возбуждению капиллярногравитационных волн и вышла более полутора веков назад, вопрос о вибрационном возбуждении резонансных колебаний в гидродинамических системах нельзя до сих пор считать полностью исследованным. [c.6]

В перемсзнном электрическом поле П. д. развивается так же, как и в постоянном поле, до тех пор, пока частота поля со ниже, чем собственная частота колебаний упруго связанных частиц (о или частота р( -лаксацип слабо связанных частиц (o = 1/т. При частотах, близких к (0(, или со, , наблюдается зависимость 8 от со и диэлектрические потери [1—6, 8, Я, 14, 15]. В случае упругой поляризации поведение диэлектриков в области частот со сОд, в области т. и. дисперсии и резонансной абсорбции, может быть описано следующей общей ф-лой [15] [c.146]

Основное внимание уделено рассмотрению алгоритмов численного решения нелинейных задач о поведении симметрично нагруженных оболочечных конструкций, алгоритмов определения критических нагрузок, форм выпучивания, а также частот и форм собственных колебаний. Эти алгоритмы реализованы в виде стандартных процедур на алгоритмическом языке АЛГОЛ-60. Подробно изложены методические основы алгоритмов и особеннэсти их реализации на ЭВМ. Результаты методических исследований дают полное представление о возможностях предлагаемых алгоритмов, о точности получаемых решений. Приведены также результаты исследований устойчивости и колебаний оболочек вращения и других оболочечных конструкций. Большинство решений по устойчивости и колебаниям оболочек вращения получено в закон ченном виде и может быть непосредственно использовано в практике. [c.2]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...