Напряжения Принцип минимума потенциальной

Для исследования гармонических упругих волн в композиционной среде Кон с соавторами [37] использовали методы, основанные на теории Флоке и Блоха. Этот подход весьма подробно рассмотрен также в статье Ли [40]. Основная идея всех этих работ состоит в применении вариационных принципов в интегральной форме к отдельной ячейке композита. Эти вариационные принципы дают способ определения фазовых скоростей и распределения напряжений в волнах Флоке, распространяющихся в композиционной среде без изменения формы при переходе от ячейки к ячейке. Различные авторы использовали как принцип минимума потенциальной энергии деформации, так и принцип максимума дополнительной работы. [c.382]

Известны три вариационные принципа теории упругости. Принцип минимума потенциальной энергии (принцип возможных перемещений) потенциальная энергия упругого тела, рассматриваемая как функционал произвольной системы перемещений, удовлетворяющей кинематическим граничным условиям, принимает минимальное значение для системы перемещений, фактически реализуемой в упругом теле. Принцип минимума дополнительной работы Кастильяно (понятие о дополнительной работе дано в конце этого параграфа) дополнительная работа упругого тела, рассматриваемая как функционал произвольной системы напряжений, удовлетворяющей уравнениям равновесия внутри тела и на его поверхности, принимает минимальное значение для системы напряжений, фактически реализуемой в упругом теле. Наконец, в вариационном принципе Рейсснера варьируются независимо друг от друга и перемещения, и тензор напряжений. [c.308]

Из этого равенства можно получить три отличающихся друг от друга энергетических принципа в зависимости от того, через какие переменные выражена удельная потенциальная энергия Л. Задавая ее квадратичной формой А е) [см. (3.2.3) гл. III] компонент деформации, придем к принципу минимума потенциальной энергии системы исходя же из квадратичной формы Л (а) компонент тензора напряжений [(3.2.8) гл. III], получим принцип минимума дополнительной работы. В первом принципе варьируются перемещения, во втором — компоненты напряжения. Наконец, в смешанном принципе стационарности удельная [c.148]

Естественно, что получена именно эта форма уравнений, так как Ф — функционал над и. Выше уже отмечена несвязанность определения потенциальной энергии системы и формулировки принципа минимума ее с представлением о напряженном состоянии. О последнем нет речи в чисто энергетическом принципе, определяющем поведение линейно-упругого тела по заданию некоторого функционала над вектором перемещения. Подобно принципу Гамильтона в общей механике, принцип минимума потенциальной энергии системы синтезирует свойства физической модели упругого тела, включая экспериментальные данные о поведении его под нагрузкой. [c.153]

Принцип минимума дополнительной работы. Принцип минимума потенциальной энергии системы был получен путем сравнения полей перемещений упругого тела в состоянии равновесия и в бесконечно близком к нему допускаемом связями состоянии. В принципе минимума дополнительной работы сравнению подвергаются два статически возможных напряженных состояния — истинное, задаваемое тензором напряжения Т, и бесконечно близкое к нему, с тензором напряжения Т -f бГ. Оба состояния рассматриваются, конечно, при одном и том же задании внешних сил — объемных рК и поверхностных, распределенных на части О2, ограничивающей тело поверхности О. Итак, в объеме V [c.156]

Мы вывели принцип минимума потенциальной энергии и родственные ему принципы из предположения, что граничные условия на Si и 5з при варьировании не изменяются. Теперь рассмотрим варьирование граничных условий. Пусть задача 1.5 решена и компоненты напряжения и деформации, а также функции Л и 5 действительного решения выражены через заданные объемные и поверхностные силы на и поверхностные перемещения на Sj. Обозначим здесь компоненты напряжений, деформаций и перемещений действительного решения через о, <3у,. .. е ., е , е ,. .. и, V, W соответственно. [c.63]

При формулировке принципа минимума потенциальной энергии системы исходят из выражения для удельной энергии деформации в терминах реформации и смещений (1.3). Если же пользоваться представлением и через напряжения (1.4), то придем к принципу минимума дополнительной работы. [c.95]

Приближенный метод расчета полых (и сплошных) цилиндров при осесимметричном их нагружении был предложен В. Л. Бидерманом (1946, 1950) представляя касательное напряжение в виде суммы произведений осевых и радиальных функций, Бидерман задавался подходящими функциями радиуса, а для осевых функций получал вытекающие из принципа минимума потенциальной энергии обыкновенные дифференциальные уравнения, содержащие в правых частях функции, зависящие от приложенных по боковым поверхностям цилиндра нормальных нагрузок распространение метода на случай наличия касательных сил было осуществлено впоследствии В. Г. Горским (1963). [c.21]

Дальнейшее развитие метода конечных элементов связано с так называемым гибридным методом напряжений. Для каждого элемента применяются формулы для напряжений, которые удовлетворяют уравнениям равновесия элемента. Независимо от этого выбираются формулы для перемещений, обеспечивающие совместность перемещений на границах элементов, причем распределение перемещений на границах должно однозначно устанавливаться по перемещениям узловых точек. При вариационной формулировке оперируют принципами минимума потенциальной энергии и минимума дополнительной энергии деформации или расширенным вариационным принципом (привлекается модифицированный принцип дополнительной энергии Пиана [44, 45]). [c.140]

Так как по закону Гука напряжения можно выразить через деформации (а следовательно, через перемещения и, V, а/) и, обратно, деформации можно выразить через напряжения, то в теории упругости одну и ту же задачу можно решать либо в перемещениях, либо в напряжениях, рассматривая соответствующую систему дифференциальных уравнений. Этим двум подходам отвечают и различные вариационные принципы (принцип минимума потенциальной энергии и принцип Кастильяно). Заметим, что можно исходить из смешанной системы уравнений, но это не всегда удобно. [c.26]

Уместно отметить, в чем, по мнению автора, заключается главная особенность книги. В момент ее написания во всех приложениях и в теории метода конечных элементов имели дело с конечно-элементными формулировками, основанными на перемещениях (т. е. на жесткости или на принципе минимума потенциальной энергии). Альтернативные формулировки, основанные на полях напряжений и даже на совокупности полей перемещений и полей напряжений, однако, весьма перспективны, поэтому автор предвидит возможность, что в конце концов эти формулировки также займут равное положение при решении прикладных задач. В связи с этим в гл. 5—7 указанным альтернативным формулировкам уделяется значительное внимание. [c.8]

Чтобы убедиться в справедливости высказанного утверждения, можно провести те же рассуждения, что н в разд. 6.4 при доказательстве принципа минимума потенциальной энергии. В нашем случае виртуальные перемещения следует заменить на виртуальное поле напряжений, накладываемое на действительное поле перемещений. Замечая, что граничные условия для напряжений должны удовлетворяться и при выбранном виртуальном поле напряжений, приходим к (6.69), т. е. к соотношению 0Пс=0, где дополнительная энергия равна [c.187]

Выпишите матрицу жесткости прямоугольного элемента для плоского напряженного состояния, введенного в задаче 5.2, используя приведенное там же поле перемещений и принцип минимума потенциальной энергии. Сравните полученные результаты с результатами, приведенными на рис. 9.13. [c.203]

Решение, строго соответствующее принципу минимума потенциальной энергии, при построении Пр требует рассмотрения полей перемещений, обладающих межэлементной совместимостью. Если ищется решение, отвечающее принципу минимума дополнительной энергии, то при построении необходимо использовать функции, задающие равновесные поля напряжений, удовлетворяющие условиям равновесия на границах, разделяющих элементы. Как было показано в разд. 7.2 и 7.6, указанные решения обладают тем преимуществом, что для них могут быть установлены границы изменения определенных параметров решения. Кроме того, можно доказать монотонную сходимость этих параметров при измельчении сетки разбиения [8.1, 8.2]. [c.229]

Так как построения конечных элементов на базе перемещений проводятся при помощи принципа минимума потенциальной энергии, причем уравнения равновесия удовлетворяются лишь в среднем по элементу и в общем поточечные условия не выполняются ни внутри элемента, ни вдоль линий раздела элементов, следует предположить, что возникнут трудности при интерпретации вычисленных напряжений. [c.278]

Существующие формулировки трехмерных элементов почти всецело основываются на предполагаемых полях перемещений и принципе минимума потенциальной энергии. Формулировкам на базе дополнительной энергии и смешанным формулировкам еще предстоит продемонстрировать свои преимущества для задач данного класса. Так, в задачах трехмерной упругости, если функционал дополнительной энергии выражен в терминах функции напряжений, то нужно преодолеть трудности, обусловленные операциями с функциями, которые непрерывны вместе с частью своих производных при переходе через границу элемента. Поэтому в данной главе рассматриваются лишь формулировки, основанные на предполагаемых перемещениях. [c.305]

Большинство существующих формулировок конечных элементов для изгибаемых пластин получаются на базе принципа минимума потенциальной энергии. Развивая аналогию с плоско-напряженным состоянием, получим [c.347]

Рассмотрим теперь теорию упругости при малых деформациях и принцип минимума потенциальной энергии, изложенный в примере (2) разд. 2.6. Этот принцип предполагает, что имеют место определенные соотношения между напряжением и деформацией и между деформациями и перемещениями, а также выполнены кинематические граничные условия. [c.41]

Функционал, соответствующий принципу минимума потенциальной энергии, в трехмерном случае также имеет вид (11.3), за исключением того, что Ат теперь является частью поверхности, ограничивающей трехмерную область. Число элементов в каждой из матриц 8, о, Р, Р и Т должно, конечно, соответство- вать трехмерной ситуации. Так, е содержит шесть компонент, необходимых для описания Деформаций в точке, а а содержит, аналогичное число компонент, задающих напряжения.. Используя упоминавшееся ранее стандартное обозначение нижних индексов для компонент напряжений я деформаций, можно записать матрицы о н е следующим образом [c.263]

Вариационная постановка плоской задачи, основанная на принципе минимума потенциальной энергии, обстоятельно рассмотрена в книге [35]. Отметим, что при определении температурных напряжений во многих случаях также эффективно применение вариационных методов [11, 30]. [c.328]

Существует также теорема [3], которую часто называют принципом минимума полной потенциальной энергии или теоремой Лагранжа в состоянии равновесия консервативной системы ее полная потенциальная энергия принимает стационарное значение, причем в устойчивом состоянии равновесия это стационарное значение — минимум. Подчеркнем, что принцип минимума полной потенциальной энергии охватывает все консервативные системы — как линейные, так и нелинейные. Нелинейность консервативной системы может быть обусловлена двумя причинами геометрическими и физическими. Геометрические нелинейности обычно связаны с большими перемещениями гибких тонкостенных систем типа стержней, мембран или оболочек. Физическая нелинейность — это нелинейность зависимости между напряжениями и деформациями в упругом твердом теле. [c.77]

В гибридных методах, основанных на концепции мультиполей в принципах минимума модифицированной потенциальной и дополнительной энергии, внутри элемента используется одно поле, а на границах элемента — другое независимое поле или два независимых поля. Можно, однако, использовать вариационный принцип, которому внутренне присуще понятие мультиполей. При этом подходе соответствующие поля перемещений и напряжений одновременно задаются для всего элемента. [c.194]

Формулировки треугольных элементов плоского напряженного состояния в принципе основаны на задании предполагаемых полей перемещений и интеграла потенциальной энергии. В данной главе предложено несколько альтернативных формулировок различной степени сложности для треугольных элементов. Здесь обсуждаются также аспекты практического построения треугольных элементов и, в частности, вопросы интерпретации результатов расчета полей напряжений. Представлены численные решения в зависимости от измельчения сетки разбиения для двух задач, для которых имеются аналитические решения. Приводятся замечания относительно роли смешанных вариационных принципов и принципа минимума дополнительной энергии при построении треугольных конечных элементов. [c.266]

В качестве заключительного замечания, касающегося потенциальной энергии, отметим, что для изотропного материала уравнение (12.6) является уравнением Эйлера для функционала потенциальной энергии. Значение этого обстоятельства заключается в том, что то же уравнение (с функцией напряжений Эри Ф в качестве неизвестной переменной) определяет растяжение пластины при применении формулировок, базирующихся на принципе минимума дополнительной работы. Следовательно, рассуждения, касающиеся выбора полей перемещений, непосредственно справедливы и для формулировок, соответствующих плоской задаче. [c.349]

В этом капитальном труде ставится цель построить единую, основанную на минимуме исходных предпосылок (принципы инвариантности, детерминизма, локального действия), теорию поведения сплошной среды. Выделен класс простых материалов , для них тензор напряжений зависит от истории изменения градиента вектора перемещения (но не от градиентов более высокого порядка). К числу таких материалов относятся упругое и гиперупругое тела. Дан исчерпывающий обзор решений частных задач, большое место уделено установлению приемлемых форм задания законов состояния и критериям выбора зависимости удельной потенциальной энергии деформации гиперупругого тела от инвариантов деформации. Книга снабжена исчерпывающей библиографией по нелинейной теории упругости доведенной до 1965 г. [c.926]

С Другой стороны, принцип дополнительной виртуальной работы приводит к установлению принципа минимума дополнительной энергии в случае, когда соотношения напряжения — деформации таковы, что существует функция дополнительной энергии и предполагается, что при вариации напряжений граничные условия в перемещениях остаются неизменными. Принцип минимума дополнительной энергии с помощью введения множителей Лагранжа приводит к принципу Хеллингера — Рейсснера, принципу минимума потенциальной энергии и т. д. Показано, что в рамках теории малых деформаций упругого тела эти два подхода к формулированию вариационных принципов являются взаимными и эквивалентными друг другу. [c.19]

В этом параграфе будут рас смотрены обобщения принципа ми нимума потенциальной энергии Сначала напомним рассуждения которые привели к выводу прин ципа минимума потенциальной энергии из принципа виртуальной работы. Мы предполагали (1) можно вывести положительно определенную функцию состояния Л (е, ty, Уху) из соотношений между деформациями и напряжениями (2) компоненты деформаций удовлетворяют уравнениям совместности, т. е. их можно вычислить по формулам (1,5) из и, V, w (3) компоненты перемещений ы, v, w определены так, чтобы удовлетворялись геометрические граничные условия (1.14) (4) объемные и поверхностные нагрузки должны выводиться из потенциальных функций Ф и Ч по формулам (2.10) и (2.11). Если принять эти предположения, то, согласно принципу минимума потенциальной энергии, действительные деформации могут быть получены из условий минимума функционала П, определенного по формуле (2.12). [c.54]

С учетом этих предварительных замечаний анализ полумоно-коковой конструкции с использованием метода матрицы жесткости проводится следующим образом прежде всего от координат, связанных с элементами, переходят к абсолютным координатам для того, чтобы выразить матрицы жесткости в абсолютных координатах. Затем с использованием этих матриц условия равновесия всех узлов выражаются через компоненты перемещений узлов. Поскольку в силу линейной зависимости перемещений узлов условия непрерывности перемещений смежных элементов выполняются, полученные таким образом уравнения равновесия эквивалентны уравнениям, полученным из принципа минимума потенциальной энергии. Решая эти уравнения, определяют перемещения всех узлов. Тогда можно вычислить напряжения [c.310]

Отсюда видно, что посредством моментов накапливается значительно больше потенциальной энергии, чем посредством тангенциальных усилий. Это является следствием малой толщины оболочки (второй фактор, вызывающий краевой эффект). Таким образом, если мы начнем удаляться от той области, где действовали внешние причины, вызывающие появление моментов и перерезывающих усилий (скажем, от края оболочки), то в силу принципа минимума потенциальной энергии должен начаться процесс затухания интенсивности моментов и перерезывающих усилий (конечно, при условии, что исчезновение моментов и перерезывающих усилий не поведет к невозможности выполнить условия статики). В результате и возникают те быстро затухающие напряженные состояния, которые носят название краевых эффектов. Напряжеиио-деформиро-ваииые состояния такого рода не возникают и в тонких иеискривлеиных телах (плитах), ии в упругих телах, все три протяжения которых одинакового порядка. [c.363]

Как стержневой, так и треугольный элемент с линейным распределением перемещений дает неправильное представление об особенностях построения конечных элементов с использованием принципа минимума потенциальной энергии (или виртуальной работы). Это происходит из-за характера предполагаемых полей перемещений, которые соответствуют полям напряжений, удовлетворяющим дифференциальным уравнениям равновесия. Например, для треугольного элемента оказывается, что дифференциальное уравнение равновесия дах/дх+дхху1ду=0 тождественно удовлетворяется, если в него подставить выражение (5.7а) для напряжений [c.174]

Если при конечно-элементном анализе в соотношениях податливости в качестве неизвестных выбрать узловые или граничные силы, то выписать соответствуюш,ие формулировки на базе выражения для дополнительной энергии намного труднее, нежели конечно-элементные представления жесткостной формулировки, опираюш,неся на принцип минимума потенциальной энергии. Это происходит из-за того, что для статически неопределимой конечно-элементной идеализации конструкции нельзя непосредственно выполнить преобразование от узловых сил элемента Р к прикладываемым нагрузкам Р . Если, с другой стороны, в качестве основных неизвестных выбраны функции напряжений, то формулировки сходны с используемыми при жесткостном представлении. Опишем эти два подхода ниже. [c.218]

Как было указано, для функционала дополнительной энергии, выраженного в терминах функции напряжений Саусвелла, требуются те же поля, что и при описании перемещений, если анализировать плоско-напряженное состояние на основе подхода, использующего принцип минимума потенциальной энергии. Поэтому рассуждения, касающиеся последней темы из разд. 9.3, справедливы и в данном случае. Результаты подсчетов с использованием указанного подхода приведены в [12.23]. [c.358]

В принципе минимума дополнительной работы приравнивается нулю выражение разности вариаций потенциальной энергии деформации, выраженной через напряжения, и работы вариаций поверхностных сил J ubfj + vbfy + wbf do. [c.437]

Эти принципы приводят к заключению о том, что при воздействии на контур тела данных внешних сил, которые не влияют на условия на контуре и на уравнения равновесия, приращения напряжений действительного состояния системы обращают в нуль приращение потенциальной энергии. Это соответствует условию минимума потенциальной энергии упругодефор-мированного тела. [c.68]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...