Теория упругости смещениях

В задаче о потенциальном течении потенциал определен однозначно, но его нормальные производные в угловом узле многозначны. Аналогичным образом в задаче теории упругости смещения определены однозначно, но поверхностные усилия в угловом узле многозначны. Поэтому, если мы хотим записать уравнение (для задачи теории упругости) [c.194]

На основании принципа суперпозиции, справедливого для линейной теории упругости, смещение границы упругого полупространства вдоль оси Oz под г-м штампом можно представить как сумму смещений и х,у) и u z x,y), где иР х,у) - смещение, обусловленное приложенным внутри рассматриваемого г-го пятна контакта (подобласти o>j) давлением pi x,y). [c.41]

Горизонтальное и вертикальное смещения Z и гг общего узла получены из линейных соотношений теории упругости. Для данной конструкции эти уравнения имеют вид [c.275]

Обобщенный Закон Гука для упругих сплошных сред тоже получают как линейную зависимость между тензором напряжений П и тензором деформаций 5, компоненты которого выражаются по формулам (36), только вместо вектора скорости и используется вектор смещения и, характеризующий деформацию сплошной среды. Тензор деформаций и обобщенный закон Гука для упругих сплошных сред подробно рассматриваются в теории упругости и курсах сопротивления материалов с элементами теории упругости. Здесь ограничимся только краткими сведениями, относящимся к обобщенно.му закону Гука. [c.556]

Если смещения малы, как чаще всего предполагается в теории упругости, то тензор О/, будет приближенно равен тензору малых деформаций О/.. [c.503]

Совокупность значений (п/) и / носит наименование переменных Лагранжа и применяется повсюду, где приходится иметь дело с малыми смещениями частиц сплошной среды (например, в теории упругости, теории волн малой амплитуды, некоторых вопросах теории турбулентных движений жидкости). [c.330]

Искомыми в задачах теории упругости (это относится и к остальным ветвям механики деформируемого тела—теории пластичности, теории ползучести) являются компоненты смещения и компоненты напряжений для любой точки заданного тела, т. е. [c.26]

Обратной постановкой задачи в теории упругости (обратной задачей) называют такую, когда по некоторым известным функциям (функциям напряжений, деформаций или смещений), справедливым для всей области тела, находят ту нагрузку на поверхности тела и вообще условия на поверхности, которым соответствуют заданные или известные функции. [c.27]

Примечание. При решении задач теории упругости в напряжениях или в перемещениях может возникнуть вопрос о том, является ли полученное в итоге решение однозначным не могут ли заданным на поверхности упругого тела силам соответствовать внутри тела не одна, а несколько систем напряжений или заданным смещениям или напряжениям внутри тела различные контурные условия [c.32]

В разобранном выше примере предполагалось наличие пО контуру лишь силовых факторов, тогда как на отдельные точки или на отдельные участки контура могут быть наложены геометрические связи, препятствующие линейным или угловым смещениям. Кроме того, плоская пластинка взята лишь как наглядная иллюстрация идеи метода, тогда как последний может быть распространен на расчет изгибаемых плит, оболочек и, что особенно существенно, на расчет пространственных объектов теории упругости. В последнем случае особенно четко выявляются преимущества рассматриваемого метода по сравнению с другими ме -одами расчета. [c.150]

Во второй главе дается довольно компактное изложение основных положений теории упругости (вектор смещений, тензор напряжений и тензор деформаций, закон Гука, уравнения равновесия и совместности деформаций). [c.7]

В третьей главе обсуждается постановка граничных и начально-граничных задач теории упругости, доказывается их единственность. Рассмотрению двумерных задач предшествует формулировка принципа Сен-Венана и его доказательство в случае нагружения цилиндрического стержня. Далее вводятся общие представления смещений через гармонические и через волновые функции, позволяющие свести некоторые важные задачи теории упругости к одной или нескольким последовательно решаемым классическим краевым задачам. Обстоятельно рассмотрены качественные вопросы, связанные с понятием сосредоточенной силы, нерегулярных решений задач теории упругости, возникающих при наличии на границе угловых линий, конических точек и т. п. Указанные решения легли в основу постановок задач механики хрупкого разрушения. [c.7]

В предыдущей главе были получены основные дифференциальные уравнения, описывающие поведение упругих сред при деформировании, а также найдены выражения для краевых значений вектора напряжений посредством компонент тензора напряжений или смещений. Для рещения конкретных физических задач необходимо теперь перейти к корректной математической постановке краевых и начальных задач теории упругости. [c.242]

Например, при решении задач теории упругости вариационными методами осуществляется переход к задаче об определении в некотором классе функций минимума соответствующего функционала. Доказывается, что решение этой задачи всегда существует и соответствующее ему поле смещений удовлетворяет дифференциальным уравнениям, однако краевые условия выполняются уже в некотором обобщенном смысле. Аналогичная ситуация возникает и при решении задач теории упругости методом потенциалов. При определенных ограничениях на форму поверхности и краевые условия доказывается, что получаемое посредством соответствующих интегральных уравнений решение краевой задачи может и не удовлетворять условиям, требуемым классической постановкой. Лишь при более строгих ограничениях (в чем, по сути дела, нет необходимости) решение оказывается регулярным. [c.243]

В статических (да и в динамических) задачах теории упругости существуют и другие комбинации задания граничных условий, например, задаются отдельные компоненты смещении и напряжений или соотношения между ними. По терминологии, принятой в [25], третьей основной задачей называется задача, когда заданы нормальная компонента смещений и касательные компоненты напряжений. В четвертой задаче заданы нормальная компонента напряжений и касательные компоненты смещений. В случае же пятой задачи устанавливаются определенные соот- [c.246]

Как уже было показано ((4.7) гл. 11), каждая из компонент смещений будет являться бигармонической функцией. Разумеется, эти бигармонические функции не будут независимыми, и задачи теории упругости не сведутся к трем самостоятельным бигармоническим задачам. [c.284]

Покажем теперь, что введенные выше представления смещений посредством гармонических функций позволяют в отдельных случаях краевые задачи теории упругости свести к совокупности независимо (или последовательно) решаемых краевых задач для гармонических функций. [c.287]

Пусть в системе координат (Х, У, г) есть некоторое решение уравнений теории упругости, не зависящее от У, причем вектор смещений лежит в плоскости Xz. Обозначим компоненты вектора смещений, компоненты тензора деформаций и тензора напряжений через u iX, г, t, Я), е°/ (X, г, t, Я), aj, (X, z, t, Я). Тогда выражения, определяемые формулами [c.297]

При формулировке основных положений теории упругости существенно использовалось условие малости деформаций, что давало возможность при их выражении через смещения пренебречь членами второго порядка малости. Само собой разумеется, что представляет интерес рассмотрение таких решений уравнений упругого равновесия, которые не удовлетворяют этому условию и приводят к большим деформациям (такие решения могут оказаться весьма полезными при правильной физической трактовке). Допустим, что нагрузка приложена к поверхности тела [c.298]

Полученные выше результаты естественным образом распространяются на задачу теории упругости [66]. Будем исходить из следующих представлений для смещений [c.320]

Введенные выше потенциалы позволяют решение основных краевых задач теории упругости свести к интегральным уравнениям второго рода. Начнем с первой основной задачи. Пусть для упругого тела, занимающего область D, ограниченную поверхностью S, требуется определить смещения, предельные значения которых будут принимать заданные значения iF (< ) (см. (1.1) гл. III). Будем разыскивать смещения в виде обобщенного упругого потенциала двойного слоя (1.8). Тогда в соответствии с формулой (1.21) приходим к интегральным уравнениям [c.557]

Сделаем несколько замечаний общего порядка [27]. Выше были рассмотрены вопросы решения основных краевых задач теории упругости на основе представления смещений в виде соответствующих потенциалов. Получены сингулярные интегральные уравнения и установлены условия их разрешимости в предположении, что граничная поверхность принадлежит классу поверхностей Ляпунова, а правая часть —классу Г. — Л. В этом случае и решение принадлежит классу Г. — Л. [c.569]

Следует отметить, что плоскую задачу теории упругости уместнее рассматривать как особый случай пространственной задачи, а не как ее частный случай (как, например, осесимметричную задачу), поскольку, трактуя ее как пространственную, приходим к специфическим особенностям. Во-первых, граничная поверхность (являющаяся цилиндрической) простирается в бесконечность. Во-вторых, напряжения в направлении вдоль образующей постоянны и, следовательно, не стремятся к нулю в бесконечности. В-третьих, суммарные усилия, приложенные к границе, как правило, бесконечны, что приводит к неограниченности смещений. [c.588]

Поставим в соответствие краевой задаче теории пластичности ) краевую задачу теории упругости для области, занимаемой исходным телом. При этом потребуем, чтобы смещения (а следовательно, и деформации) совпадали. Покажем, что такой подход возможен. Обозначим напряжения в упругой среде через а ц и приведем выражение для закона Гука в виде [c.671]

Задачей теории упругости является разыскание шести функций для компонентов тензора напряжений, "шести функций для компонентов тензора деформации трех функций для компонентов смещений, подстановка которых в перечисленные выше уравнения удовлетворяет их тождественно. Кроме того, на поверхности тела должны быть удовлетворены граничные условия по заданным нагрузкам (1.01) или по заданным смещениям. [c.51]

Смещение точки А с координатой х — (рис. 14.2) можно вычислить, используя известное в теории упругости решение задачи Фламана о действии силы на полуплоскость (5) [c.229]

Во многих задачах, особенно если на границе тела заданы перемещения, удобно в качестве основных уравнений брать уравнения теории упругости в перемещениях — уравнения Ламе (см. гл. IV т. 1). Уравнения Ламе получаются, как известно, из общих уравнений количества движения с использованием закона Гука и формул (1.1), выражающих компоненты тензора деформаций через перемещения (при условии, что относительные смещения малы, а входящие в закон Гука, могут быть выражены через перемещения). [c.342]

Таким образом, использование коицепции Оровапа — Ирвина позволяет, с одной стороны, сохранить решение теории упругости, с другой — получить новые эффекты, не описываемые при нулевом смещении в конце трещины. Учет второго слагаемого в [c.138]

Примем естественное допущение о том, что взаимное упругое смещение точек z = + L + j(i/o — г) и z = 4-L — i y<, — г) в рассматриваемой задаче теории упругости равно указанному выше взаимному смощепию за лепок А и. Это дополнительное условие представляет собой принимаемое условие склеивания двух асимптотик строгого решения и позволяет эффективно найти приблиягеттное решение поставленной задачи. [c.159]

ТС является простым, универсальным и удобным в реализации средством, широко известным в практике и хорошо зарекомендовавшим себя при тепловых исследованиях, в частности в злектромеханике. На тех же принципах строится и МС, которая также получила достаточно заметное применение при магнитных расчетах в ЭМУ. На аналогичной основе с использованием теории сопротивления материалов при более грубых, чем в теории упругости, допущениях могут быть построены и ДС [34]. Как и в ТС, в ДС центр массы выделенного тела также условно сосредоточивается в его геометрическом центре, но его взаимосвязи представляются по-иному. Так как при деформационных расчетах выделенного тела относительно других тел системы имеется смещение его центра масс в осевом и радиальном направлениях, электрический аналог тела в ДС (в отличие от ТС) в общем случае дол- [c.126]

Введем понятие регулярного решения. Классическая постановка началы-ю-граничной задачи для дифференциальных уравнений требует, чтобы решение обладало определенными производными внутри области вплоть до границы. В применении к уравнениям теории упругости это требование (определяющее так называемое регулярное рещение) означает, что смещения должны иметь в области непрерывные вторые производные, а сами функции и их первые производные должны быть непре- [c.242]

Остановимся еще на одном, казалось бы парадоксальном, примере. Из решения плоской задачи теории упругости для бесконечной области (безразлично — бесконечной или полубеско-нечной) будет следовать, что при неравенстве нулю главного вектора внешних сил перемещения оказываются бесконечными. В этом нет ничего удивительного, поскольку при рассмотрении плоской задачи (допустим, в случае плоской деформации) с позиций пространственной задачи оказывается, что суммарное усилие обращается в бесконечность. Следует заметить, что переходы к бесконечному телу при решении задачи в напряжениях и перемещениях не эквивалентны друг другу. Если в напряжениях переход и возможен, то в смещениях он может и быть ошибочен, что и подтверждается приведенным примером. Для устранения же бесконечных смещений можно предложить, например, такой спосЪб. После того как решение в деформациях определено достаточно точно из решения для бесконечного тела, находят по ним смещения в истинном теле, исходя из его фактических размеров и краевых условий. Разумеется, строгое обоснование предлагаемого подхода затруднительно для общего случая, но в частных задачах, по-видимому, оно может быть достигнуто. [c.304]

Рассмотрим плоскую задачу теории упругости для кусочнооднородной среды. Пусть имеется многосвязная область D, ограниченная гладкими контурами L, (/ = 0, 1, 2,. ... т), из которых все контуры Lj (/ 0) расположены вне друг друга, а контур 0 охватывает все остальные. Область D заполнена упругой средой с постоянными Яо и цо, а области )/ (ограниченные контурами Lj) средами с постоянными X/ и ц/ (индекс буквы соответствует индексу области). Далее, для удобства будем использовать постоянные х/, различные для плоской деформации и плоского напряженного состояния (см. 4 гл. III). На границах раздела сред следует, как обычно, задавать. те или иные условия сопряжения. Например, такой известной технологической операции, как посадка с натягом, соответствует задание скачка вектора смещений 6/(0- В случае же плоско-напряженной деформации имеет смысл постановка таких условий, при которых внешние напряжения пропорциональны (в случае, когда толщины пластинки и включений различны )). [c.413]

Перейдем теперь к рассмотрению спектральных свойств уравнений (2.2) и (2.3), а равным образом и (2.5). Положим Я = 1 и допустим, что эти уравнения имеют нетривиальные собственные функции (ввиду равенства нулю индекса, число этих функций одинаково). Обозначим через фо собственную функцию уравнения (2.3), а через У(р, фо) — потенциал, имеющий функцию фо своей плотностью. Этот потенциал является реще-нием задачи И при нулевых значениях напряжений на поверхности. Уместно при этом отметить, что в любом случае смещения, представимые потенциалом простого слоя, убывают на бесконечности как l/R, а напряжения — как 1// . Поэтому можно воспользоваться теоремой единственности внешней задачи теории упругости. Тогда получаем, что потенциал V тождественно равен нулю в области 0 . С другой стороны, потенциал простого слоя является функцией, непрерывной всюду, включая поверхность 5. Поэтому потенциал V р, фо) будет тождественно равен нулю в области 0+, поскольку он обращается в нуль на поверхности 5. Возвращаясь же к формуле (1.24), получаем, что функция фо тождественно равна нулю. Следовательно, точка Я = I не является собственным значением для уравнений (2.3), (2.4) и (2.5). Поэтому перечисленные уравнения разрешимы при произвольной правой части, а получаемые решения единственны, [c.559]

Остановимся еще на одном методе численного решения пространственных задач теории упругости [141]. Имеются в виду приемы непосредственного решения функциональных уравнений, получаемых из тождеств (1.13) и (1.15), когда на поверхности известны смещения или напряжения (и соответственно неизвестны напряжения или смещения). В этом случае предлагается осуществлять какую-либо дискретизацию поверхности 5 и в качестве неизвестных задавать значения напряжений или смещений в центральных точках. Для их определения вне области задается некоторая совокупность точек (равная по количеству числу элементарных областей), в которых и требуется выполнение тождеств (1.13) или (1.15). Вопросы фактической реализации данного метода (в сущности, сводящиеся к оптимальному выбору указанных точек) рассмотрены в [100]. Здесь же показано, что если осуществить полигонализацию поверхности, то все интегралы вычисляются в замкнутом виде. [c.587]

Здесь г ) — непрерывная функция, удовлетворяющая уравнению Пуассона. Задача состоит в определении вектора и смещения в неограниченнол упругом теле таким образом, чтобы при обходе по любому контуру, окруягающе-му трубку дислокации, этот вектор получал приращение, равное постоянному вектору Бюргерса Ъ. Трубкой дислокации мы будем называть тор(>-идальную полость, окружающую замкнутую линию дислокации Г и такую, что вне этой полости кристалл может считаться хорошим. В переводе на язык механики сплошной среды это значит, что путь обхода не должен приближаться к линии Г настолько, чтобы уравнения линейной теории упругости потеряли силу. [c.457]

Все дефекты кристаллической решетки вызывают ее искажения и вследствие этого являются источниками внутренних напряжений. В ядре дислокации (в дислокационной трубке радиусом г<2а), в котором нарушен ближний порядок расположения атомов, упругие смещения атомов настолько значительны, что линейная теория упругости в этой зоне неприменима, а использование теории конечных деформаций вызывает существенные трудности. Линейная теория упругости дает удовлетворительные результаты для расстояния от центра оси дислокации г 2а. Поэтому область искажений, создаваемую дислокацией, можно представить как совокупность двух областей первой, где наблюдаются нарушения ближнего порядка расположения атомов в ядре дисло- [c.42]

ПОЛЕ НАПРЯЖЕНИЙ ОТ ДИСЛОКАЦИЙ. Воль-терра (1907 г.) разработал теорию внутренних напряжений в упругих телах, образующихся в результате вырезания части тела и соединения краев разреза, причем интеграл по замкнутому контуру от градиента смещений имеет конечное приращение Ь. Аналогичную картину можно представить при образовании краевой или винтовой дислокаций. Таким образом, задолго до появления теории дислокаций в теории упругости были решены общие задачи, использование которых оказалось эффективным для исследования поля напряжений от дислокаций. [c.43]

При решении задач теории упругости с помощью вариациопиого уравнения Лагранжа обычно в качестве основных неизвестных принимаются смещения и, v, w, что обеспечивает выполнение условий совместности деформаций. [c.323]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...