Изотропия упругого тела

Изотропия упругого тела 103 Изотропный тензор 103 Инварианты тензора деформаций 25 --напряжений 49 [c.860]

Наиболее важными частными случаями анизотропии в целом для армированных волокнами композитов представляются случаи ортотропии, квадратной симметрии и трансверсальной изотропии. В ортотропном упругом теле существует три взаимно перпендикулярные плоскости упругой симметрии. В качестве примера таких материалов можно привести композит, [c.359]

Непропорциональное нагружение изучено меньше, как теоретически, так и экспериментально. Это объясняется, с одной стороны, экспериментальными трудностями, с другой — тем, что формулировка модели для произвольного напряженного состояния практически означает возможность ее дальнейшего использования при произвольных траекториях нагружения в пространстве напряжений (линейном пространстве, векторы которого взаимно однозначно связаны с компонентами тензора напряжений). Например, модель нелинейного упругого тела а =/(е) преобразуется на основании постулата изотропии в деформационную теорию [c.146]

В этом параграфе исследование устойчивости равновесия радиально сжатой круговой слоистой трансверсально изотропной пластинки выполнено без привлечения кинематических гипотез. Его основу составили уравнения теории устойчивости трехмерных упругих тел. С развернутым изложением этой теории, включающим в себя постановку задачи, вывод соответствующих линеаризованных дифференциальных уравнений и граничных условий, обсуждение аналитических и численных методов исследования сформулированных краевых задач, решение конкретных задач устойчивости, заинтересованный читатель может ознакомиться по монографиям [125, 126]. Здесь ограничимся лишь формулировкой некоторых основных уравнений трехмерной теории устойчивости упругих трансверсально изотропных тел в системе координат, нормально связанной с плоскостью изотропии. [c.151]

Работа Грина явилась отправным пунктом дискуссии и послужила поводом к формированию двух школ в теории упругости. Ученые, последовавшие за Навье и Коши и принявшие их взгляды на молекулярное строение упругих тел, применяли 15 постоя) -ных для определения упругих свойств материала в общем случае и одну постоянную для случая изотропии, в то время как последователи Грина применяли для тех же условий соответственно 21 и две постоянные. Естественно, что было сделано немало попыток решить спор непосредственными испытаниями, и ряд физиков заинтересовался опытными определениями упругих постоянных. [c.265]

Из условия изотропии, утверждающего совпадение в упругом теле направлений главных напряжений и деформаций, следуя [7], получим [c.116]

Новацкий Б., Функция напряжений в пространственных проблемах упругого тела с трансверсальной изотропией. Бюллетень Польской АН (отд. 4) 2, № 1, 1954. [c.413]

В 3 из рассмотрения были исключены материалы, поведение которых зависит от предыстории движения. Но значительная часть содержания 4 — 7 —группа равноправности, определение изотропии, твердое тело—переносится и на такие (не-упругие) материалы. Ограничение упругими материалами обеднило-понятие жидкости, оказалась исключенной из рассмотрения даже классическая жидкость Навье —Стокса. [c.101]

Конструктивные материалы не вполне удовлетворяют этим предположениям. Например, такой важный материал, как сталь, если его рассмотреть под микроскопом, оказывается состоящим из кристаллов разных размеров и разной ориентации. Свойства этого материала весьма далеки от однородности, однако опыт показывает, что решения теории упругости, основанные на допущениях об однородности и изотропии, с очень высокой точностью применимы к стальным конструкциям. Объяснение этого факта состоит в том, что кристаллы очень малы обычно в кубическом сантиметре стали их миллионы. Поэтому, несмотря на то, что упругие характеристики кристаллов в разных направлениях могут различаться, сами кристаллы, как правило, расположены случайным образом и упругие характеристики больших кусков металла представляют собой усреднения характеристик кристаллов. Пока геометрические размеры рассматриваемого тела достаточно велики по сравнению с размерами одного кристалла, предположение [c.21]

Как известно, упругие свойства всяких тел характеризуются удельной энергией их деформации. Выведем ее выражение для оболочки, выполненной из трансверсально-изотропного материала, поверхность изотропии которой совпадает со срединной поверх- [c.29]

Как известно, упругие свойства всяких тел характеризуются удельной энергией их деформации. Выведем ее выражение для оболочки, выполненной из трансверсально-изотропного материала, поверхность изотропии которой совпадает со срединной поверхностью. Исходим из общей формулы для приращения удельной механической работы деформации в теории упругости [c.34]

При этом, с одной стороны, пластические деформации уже значительно превышают упругие, так как первые измеряются несколькими процентами, а вторые — десятыми долями процента, и потому во многих случаях можно пользоваться законом постоянства объема. С другой стороны, влияние многих усложняющих факторов обычно еще мало (изменение начальных форм и размеров тела, нарушение начальной изотропии). [c.157]

Теория необратимых процессов изложена в объеме, необходимом для изучения термодинамики деформирования неравномерно нагретого тела, обладающего свойствами идеальной упругости, однородности и изотропии. [c.6]

Тело, как и в классической теории упругости, рассматривается в виде материального континуума, обладающего свойствами идеальной упругости, однородности и изотропии. [c.11]

Трансверсально-изотропное тело характеризуется наличием плоскости упругой изотропии, т. е. имеется ось симметрии г, расположенная так, что все направления, перпендикулярные к ней, эквивалентны. В этом случае [c.24]

Плоскость изотропии ось симметрии вращения). Трансверсально-изотропное тело. Рассмотрим тело, обладающее следующими свойствами через все точки проходят параллельные плоскости упругой симметрии, в которых все направления являются упруго-эквивалентными (плоскости изотропии). Иначе говоря, в каждой точке имеется одно главное направление и бесконечное множество главных направлений в плоскости, нормальной к первому. Можно такое тело еще рассматривать как тело, через каждую точку которого проходит ось упругой симметрии бес- конечно высокого порядка — ось вращения. Тело с такими свойствами называется трансверсально-изотропным ([24], стр. 172). [c.35]

Предполагается, что в исследуемом конусе (вообще усеченном) плоскости изотропии нормальны к геометрической оси. Иначе говоря, рассматривается упругое равновесие тела, ограниченного поверхностью кругового [c.393]

Пусть дано тело в виде кругового цилиндра, у которого на оси имеется включение из другого материала или полость в форме эллипсоида враш,ения или сферы. Одна из осей эллипсоида, ось враш,ения, направлена по геометрической оси цилиндра центр эллипсоида или сферы принимается за начало О цилиндрической системы координат, а ось г направляется по оси цилиндра. Тело и упругое включение являются трансверсально-изотропными и имеют плоскости изотропии, нормальные к оси цилиндра. Нагрузка задается в виде нормальных усилий Рг (на единицу плош,а-ди), распределенных равномерно по цилиндрической поверхности, и нормальных усилий Рг (также на единицу п л оща д и), р а спр еде л енны х равномерно по торцам (рис. 112). [c.397]

Изотропность. Изотропной называется среда, свойства которой не зависят от направления. Обычно изотропия не является следствием правильного строения среды, а возникает как статистический результат беспорядочного расположения ее элементов. Так, кристаллы анизотропны, но реальные поликристаллические материалы (например, металлы) представляют собой совокупность случайным образом ориентированных кристаллических зерен — элементов, имеющих почти правильное строение. В результате тело, достаточно большое по сравнению с кристаллическим зерном (в некоторых сплавах размер зерна может достигать долей миллиметра), оказывается изотропным. Вместе с тем анизотропия в малом приводит к неравномерности напряжений и может оказать существенное влияние на быстро изменяющиеся составляющие упругой волны. Точность результатов, определяемых в предположении об изотропности применительно к областям больших градиентов напряжений (т. е. там, где напряжения существенно меняются на расстоянии порядка размера зерна), становится проблематичной. [c.16]

Плоскость изотропии. Трансверсально изотропное тело. Пусть через каждую точку тела проходит плоскость, в которой все направления упруго эквивалентны. Предполагая, что в криволинейно анизотропном теле координата у в каждой точке перпендикулярна к плоскости изотропии (в последующем нас будет интересовать именно такое расположение системы координат), получим [c.16]

В 1882 г. Фохт (Voigt [1882, 1]) подверг критике предположение Корию, указав, что простая констатация прозрачности, без других подтверждений, не дает оснований для такого заключения относительно изотропии упругих свойств. Однако он утверждал и доказал, что решить этот вопрос можно, подвергнув испытаниям на кручение и изгиб образцы с разной ориентацией, вырезанные из стеклянной пластины с различной глубины в ней. При изгибе нейтральная плоскость выбиралась параллельной короткой или длинной сторЬне прямоугольного поперечного сечения образца. Таким образом, сравнивая определенные в опыте значения и jj, и вычисленные по ним значения коэффициента Пуассона, он мог установить, что действительно имел дело с изотропным твердым телом. Хотя испытания на изгиб и кручение делались на одних и тех же образцах, они не проводились одновременно, как в экспериментах Кирхгофа. Детали установки Фохта были разработаны им самим и описаны в его докторской диссертации в 1876 г., посвященной определению постоянных упругости каменной соли. [c.357]

В своём выводе основных уравнений теории упругости Навье (см. стр. 129) исходил из предположения, что идеально упругое тело состоит из молекул, между которыми при его деформировании возникают силы взаимодействия. При этом принималось, что силы эти пропорциональны изменениям расстояний между молекулами и действуют по направлениям соединяющих их прямых линий. Таким путем Навье удалось установить соотношения между деформациями и упругими силами для изотропных тел с введением лишь одной упругой константы. Коши (см. стр. 135) первоначально ввел две константы в зависимости между напряжением и деформацией в случае изотропии. В самом же общем случае анизотропного тела Пуассон и Коши допускали, что каждая из шести компонент напряжения может быть представлена однородной линейной функцией шести компонент деформации (обобщенный закон Гука). В эти функции входило 36 постоянных. Положив в основу физического истолкования явления упомянутую выше молекулярнуро теорию, они снизили число постоянных для общего случая до 15. Они показали, что изотропия допускает дальнейшее снижение этого числа, так что окончательно для записи соотношений между компонентами напряжения и деформации необходима лишь одна постоянная, которую и ввел Навье. [c.262]

Третье предположение следует разделить на два о первоначальной изотропии тела и об отсутствии приобретенной анизотропии. Эти предположения, но сугцеству, являются независимыми в самом деле, можно предположить, что первоначально изотропное тело в процессе пластического течения становится анизотропным, что, собственно, подтверждают все опытные данные, или же что первоначально анизотропное тело сохраняет эти свойства при пластическом течении (аналогично тому, как это имеет место, например, в теории анизотропного упругого тела). Очевидно, наиболее упрогцаюгцим предположением является предположение об отсутствии всяких свойств анизотропии, что и принимается в теории пластичности, ограничиваюгцейся изучением влияния изменения механических свойств материала при нагружении. [c.115]

Смешанная (четвертая) граничная задача для изотроп> ного упругого тела. В этом параграфе рассматривается статическая плоская смешанная задача. Сначала будет доказана теорема существования решения, а затем указан способ его приближенного построения. [c.441]

Функция, о которой здесь идет речь, есть взятая с обратным знаком потенциалыая энергия деформированного упругого тела, отнесенная к единице объема и выраженная в компонентах деформации частные производные этой функции по компонентам деформации равны компонентам напряжения. Грин предполагал, что эта функция может быть разложена по степеням и произведениям компонентов деформации, поэтому он представил ее в виде суммы однородных функций этих величин первого, второго, третьего и высших порядков. Первый из этих членов должен быть равен нулю, ибо потенциальная энергия до деформации должна иметь наименьшее значение а так как все деформации малы, то существенное значение имеет только один второй член. Из этого принципа Грин вывел свои уравнения теории упругости, содержащие в общем случае 21 постоянную. В случае изотропии остаются только две постоянные, и уравнения совпадают с теми, которые приведены в первом мемуаре Коши. [c.25]

Волны, распространяющиеся по поверхвости изотропиого упругого твердого тела ). Среди различных периодических движений особое значение имеют плоские волны простого гармонического типа, распространяющиеся по граничной поверхности твердого тела и производящие возмущение, которое проникает лишь очень недалеко вглубь среды. Мы предположим, что среда ограничена плоскостью z = 0 и что положительная часть оси Z направлена вглубь среды. Тогда рассматриваемые волны характеризуются наличием в выражениях различных величин, определяющих движение, множителей вида и е , где г, s — постоянные. [c.321]

Посмотрим несколько более подробно, что означает свойство изотропии (или гиротропии) для упругого тела, подчиняющегося закону Гука. Возьмем в некоторой точке такой сплошной среды в данный момент времени две декартовы системы координат одну х , и другую г/ , г/ , г/ , повернутую относительно первой. Компоненты рассматриваемых тензоров в системе х , X, а будем обозначать буквами без штрихов, а в системе [c.168]

Если рассмотреть (15.1) с точки зрения изложенных в 14 аксиом состояния, то очевидно, что принципы детерминизма и локального действия соблюдены и что в данном случае принцип равноприсутствия несуществен, поскольку имеется только одно уравнение состояния. Физически допустимые процессы для некоторых упругих тел будут указаны в следующем параграфе. Имея в виду требования независимости от выбора системы координат и материальной симметрии, можно сказать, что функция реакции должна быть инвариантной относительно всех преобразований наблюдателя вида (14.16) и относительно преобразований материальной системы отсчета, принадлежащих группе изотропии материала. В частности, если все ортогональные преобразования = [aj ( )]принадлежат группе изотропии упругого материала и если [c.237]

Материал, свойства которого одинаковы для образцов, вырезанных в любом направлении, называется изотропным. Более точно, это определение изотропии относится к весьма малым образцам, вырезанным в окрестности одной и Toii же точки. Изотропный материал может быть неоднородным, т. е. упругие свойства его могут меняться от точки к точке. Очевидно, что потенциал напряжений или упругая энергия изотропного тела не должен меняться при измененпи осей координат, поэтому он должен выражаться через инварианты тензора деформаций. Единственная однородная квадратичная форма, составленная из этих инвариантов, зависит от двух констант и выражается следующим образом [c.239]

Трансверсально-изотропное (монотропное) тело. Для такого материала одна из плоскостей упругой симметрии является плоскостью изотропии (все направления в такой плоскости являются эквивалентными в отношении упругих свойств). [c.36]

Произвольное напряженное состояние в точке тела характеризуется тензором с компонентами оц, где i, j 1, 2, 3 отвечают трем ортогональным направлениям. Аналогично деформированное состояние может быть охарактерисовано тензором деформации (г, ), который складывается из упругой, неупругой и тепловой составляющих sij = pij- -f pij -f- -dij). Основная задача, решение которой должна дать реологическая модель среды, состоит в определении связи между тензором неупругой деформации (ptj) и внешними воздействиями последние могут задаваться в форме функций текущего времени Oij (t) и Т (i) (либо ( ) и Т (/)) При ее рассмотрении будут использоваться упрощающие предположения, практически общепринятые в теориях неупругого деформирования, в частности, предположение о пластической несжимаемости и постулат изотропии девиаторного пространства, сформулированный А. А. Ильюшиным [33]. [c.84]

Из литературы нам известно всего две работы, в которых рассматривается пакет из большого числа трубок. Это работа [3] и работа Л. Баринки [2]. В работе [3], как уже упоминалось, трубчатая система заменяется трансверсально изотропным сплошным телом, которое может быть рассчитано методами теории упругости. Показано, как найти упругие приведенные характеристики тела и как по напряжениям в сплошном теле определить реальные напряжения в трубках. Интересно отметить, что расчетный приведенный коэффициент Пуассона в плоскости изотропии, нормальной к Осям трубок, получился равным 0,806. Аиалогич- ный пакет рассмотрен и в работе [2], одиако метод расчета дискретный. Каждая труба считается как классическая балка. На иее действуют внешние нагрузки и [c.390]

Трансверсально-изотропное тело имеет поверхности изотропии 2 = onst. Количество упругих постоянных равно пяти Е Еч — Е, 1> ч = 1>2 — V, / л = V33, Кз1 = 321 Gi3 = 23 Gi2 = G= /(2(1- -i.)). [c.86]

Он высказывал сомнение в том, что свинец действительно является твердым телом и рассуждал о том, может или нет коэффициент Пуассона стремиться к теоретическому пределу 1/4 при давлении, стремящемся к нулю, хотя, как он вполне понимал, эта гипотеэа не подтверждалась опытом. Он предполагал, что если в опыте полу чены более высокие, чем теоретическое, значения коэффициента Пуассона, то следует считать исследовавшиеся твердые тела неиде альными. Другими словами, если бы было можно достичь состояния попной изотропии и идеальной упругости какого-либо твердого тела, то следовало бы ожидать получения в экспериментах теоретического значения. Амага считал, игнорируя убедительные эксперименты со стеклом Фохта 1882 г. ), что стекло является наиболее идеальным твердым телом, а свинец и резина наиболее отличны от идеального. Он утверждал [c.368]

О материале с 21 независимой упругой постоянной говорят, что он обладает наиболее общей формой упругой анизотропии. Однако многие реальные материалы обладают той или иной структурной симметрией, и потому для них определить соотношения напряжения— деформации легче. Две простейшие формы анизотропии известны как ортотропия и трансвереальная изотропия. Такие условия возникают для материалов, имеющих предпочтительные направления упругой симметрии. Многие виды дерева, композиционных материалов и горных пород можно рассматривать как однородные ортотропные или трансверсально изотропные тела. [c.187]

Рассматривается некоторое идеализированное тело, обладающее свойствами идеальной упругости, изотропии или ортотропии. Изотропными называются однородные тела, у которых физико-механические свойства одинаковы по всем направлениям (в инженерных расчетах к таким материалам можно отнести сталь, стекло, бетон) ортотропные — это такие тела, у которых физико-механические свойства одинаковы для определенных направлений (например, проволока). Анизотропные материалы (ие обладающие свойствами изотропности или ортотропности) в сопротивлении материалов не рассматриваются. [c.4]

Деформации при объемном напряженном состоянии. Переходя к рассмотрению деформаций, заметим, что элемент, гранями которого являются главные площадки (рис. 59), может рассматриваться как растянутый в трех направлениях. При малых деформациях можно определять удлинения как суммы удлинений, получаемых при растяжении в каждом направлении. Имеет значение также изотропия тела (напомним, что мы условились рассматривать пока лищь малые деформации изотропных тел). С учетом этого условия упругие относительные удлинения в главных направлениях при осевом растяжении в этих направлениях представлены в следующей таблице [c.98]

Сц11 = 2222 = 3333. (Здесь не упоминаются нулевые константы Кроме того, можно указать на наличие тождеств, вытекающих из требований объемной симметрии = Ср г -) Для тел с упругой изотропией (среди кристаллов таким свойством с хорошим приближением обладает, например, вольфрам) имеет место условие Сз == 0. При этом константы = ,1 называют постоянными Ламе. [c.15]

Если в каждой точке тела имеется плоскость упругой симметрии такая, что любые два направления, симметричные относительно этой плоскости, являются эквивалентными в отношении упругих свойств, то число независимых упругих постоянных сокращается до 13 [91]. Если в каадой точке тела имеются три ортогональные плоскости упругой симметрии (тело ортотропное), то число неизвестных упругих постоянных уменьшается до девяти. У трансверсально-изотропного тела существует плоскость упругой изотропии, так что все направления, перпендикулярные ей, эквивалентны, значит, число упругих постоянных равно пяти. Изотропное тело характеризуется эквивалентностью всех направлений, т. е. любая плоскость есть плоскость упругой симметрии. В этом случае число неизвестных независимых упругих постоянных равно двум, поскольку а .у= [c.70]

ЖИДКОСТИ, тела, характеризующиеся лег-ноподвижностью частиц и малыми промежутками между ними. Эти основные особенности жидкого агрегатного состояния обусловливают отличие Ж. тпристаллоа (см.) твердых тел), с одной стороны, и от газов см.) — с другой. В отличие от газов Ж. вследствие малого свободного, т. е. междумолекулярного, объема, обладают весьма малой сжимаемостью, близкой к сжимаемости твердых тел, т. е. постоянством объема, или определенным собственным объемом. Последнее связано с весьма большой интенсивностью междумолекулярных сил, действующих в Ж. в связи с взаимной близостью их молекул. В виду атого Н . образуют поверхности раздела на границе с газообразными фазами (в отличие от газов и паров) и на границе с другими жидкостями и твердыми гелами. С этим, а также с изотропией молекулярных сил в IK., как и в газах, связана собственная форма Ж., к-рую они принимают под действием одних только внутренних молекулярных сил, — форма шара, соответствующая минимуму свободной поверхностной энергии. От твердых тел Ж. отличаются гл. обр. легкой изменяемостью формы, т. е. отсутствием упругости формы (упругости сдвига) или жесткости, характерной для твердых тел — кристаллов, частицы к-рых связаны с центрами правильной кристаллич. решетки, определяющими среднее положение ее структурных элементов (атомов, ионов) в пространстве. Переохлажденные высоковязкие Ht. (стеклообразные то- la) также обладают упругостью формы, являясь по механич. свойствам твердыми телами, а по структуре — Ж. Вторым отличием Ж. от кристаллов является анизотропия молекулярных сил в последних, обусловливающая полиадрич. собственные формы кристаллов, определяемые для данной кристаллич. решетки, как и собственная форма К., условием минимума свободной поверхностной энергии. Основные свойства Ж. связаны с действующими в них молекулярными силами, т. е. полярностью Ж. Таково молекулярное давление — равнодействующая сил, втягивающих внутрь Ж. все молекулы 1 см поверхностного слоя. [c.5]

Несмотря на заметное различие между упругими постоянными Е и Е, С и С, V и V, алевролит следует признать слабо анизотропным, так как параметры, позволяющие судить о степени анизотропии, у него близки к параметрам изотропного тела. В конкретных случаях задания формы тела, изготовленного из алевролита, и усилий напряжения будут мало отличаться от напряжений в изотроп- [c.57]

Представим себе тело из упругого однородного транс-Берсально-изотропного материала, ограниченное одной или несколькими коаксиальными поверхностями вращения, находящееся в равновесии под действием внешних усилий, поверхностных и объемных. Предположим, что плоскости изотропии, проходящие через каждую точку тела, нормальны к геометрической оси его (оси вращения), а распределение усилий обладает симметрией вращения относительно той же оси. [c.368]

Ограничения на зависимость уравнения состояния от градиента деформации, выраженные функциональным уравнением (3.18), обусловлены соображениями инвариантности актуальной конфигурации сравниваемых движений в нештрихованном и штрихованном базисах. Отсчетная конфигурация оставалась неизменной. Рассмотрение вопросов, связанных с ее выбором, позволит дать некоторую классификацию простых упругих материалов (твердое тело, жидкость) и точно определить понятие изотропии. Актуальная конфигурация в этих рассмотрениях предполагается неизменной. [c.89]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...