Направления эквивалентных упругих

Говорят, что в некоторой точке существует ось симметрии упругих свойств порядка М, если существует набор направлений эквивалентных упругих свойств, которые могут быть совмещены поворотом около оси на угол 2я/Л . Некоторые случаи осевой и плоской симметрии эквивалентны. [c.203]

Пусть осью упругой симметрии будет ось Х3. Поворотом других осей на угол 0 = = 2п/4 = я/2 относительно лгз (рис. 6.7) получим направления эквивалентных упругих свойств при N = 4. Матрица такого преобразования [c.217]

Поворот осей на угол 6 = 2n N = 2л/2 = я приводит к направлениям эквивалентных упругих свойств. Но в точности к тому же положению мы приходим при отражении относительно плоскости упругой симметрии. [c.224]

Основные закономерности поведения твердых тел в упругой области экспериментально впервые были изучены Р. Гуком (1678). Им установлено, что при растяжении изотропного тела (для изотропного тела любые произвольно выбранные направления эквивалентны), когда деформации и напряжения достаточно малы, деформация пропорциональна приложенному напряжению (закон Гука) [c.123]

Это направление эквивалентно по упругим свойствам направлению вдоль оси кольца, которое далее обозначено х. [c.197]

Рассмотрим вопрос об учете рассеяния энергии при гармонических колебаниях многоступенчатого редуктора с цилиндрическими прямозубыми колесами. В п. 2.1 было показано, что каждая подшипниковая опора j может быть представлена в виде упругого соединения (эквивалентного амортизатора) с двумя главными направлениями жесткости Z, у. При учете рассеяния энергии в каждом из этих направлений помимо упругой силы будет действовать сила линеаризованного сопротивления с коэффициентом - пропорциональности [c.94]

Характеристики эквивалентной упругости в опоре ротора (в горизонтальном направлении), создаваемой силой веса при наличии радиального зазора в подшипнике [c.19]

Одним из примеров упругой конструкции с отсеками, содержащими жидкость, может служить корпус жидкостной ракеты (рис. 14, о) [39]. Верхние два отсека соответствуют абсолютно жестким (в рассматриваемом диапазоне частот) подвесным бакам на упругих связях, допускающих перемещения в направлении, перпендикуляр-иом оси корпуса нижние два отсека — несущие баки с цилиндрическими обечайками. Деформирующимися вместе с корпусом так, что контур их остается геометрически Неизменяемым. Эту конструкцию можно схематизировать простейшим механическим аналогом (рис. 14, б), который можно заменить эквивалентной упругой балкой с распределенными массами жидкости на участках несущих баков и сосредоточенными массами на упругих связях в плоскостях опорных шпангоутов подвесных ба- [c.85]

В частных случаях число независимых постоянных в законе Гука (12) уменьшается. Для изотропного тела (все направления эквивалентны) число независимых упругих постоянных равно двум. В этом случае упругие постоянные выражают через постоянные Ламе X и х-. [c.138]

Ортотропный материал с цилиндрической анизотропией [18]. Для рассмотренных выше анизотропных материалов направления, эквивалентные в смысле упругих свойств, в разных точках были параллельны (прямолинейная анизотропия). [c.37]

Таким образом, материал эквивалентной плоской мембраны должен обладать двойной анизотропией в одном и том же направлении модули упругости материала при растяжении и изгибе должны быть различными. [c.254]

На ранних стадиях проектирования, когда рассматривается большое разнообразие вариантов конструкций и материалов, для выполнения расчетов конструктору необходимо знать механические свойства материала. Его интересуют эквивалентные упругие свойства и предел прочности, реализуемые в конструкции на основных направлениях. Для этого необходимо иметь методы прогнозирующих оценок механических свойств, которые зависят от относительного объемного содержания связующего и волокон, ориентации последних, а также от степени их взаимодействия, от выбранной схемы армирования и технологии изготовления. Любое изменение состава композиции или технологических режимов приводит к изменению механических свойств. [c.149]

После определения расчетом или экспериментальным путем эквивалентных упругих характеристик, а также предела прочности материала для направлений 1 тл 2, а затем приведенных модулей упругости пр дальнейший расчет может быть проведен по формулам для изотропных оболочек. [c.150]

Очевидно, что малые отрезки, проходящие через разные точки и параллельные оси х, удлиняются одинаково, и вообще все отрезки, параллельные одному и тому же направлению п, проведенные через разные точки, испытывают одинаковые удлинения (зависящие от констант и пропорциональные р). Это дает основание называть анизотропию рассматриваемого однородного тела — прямолинейной, а само тело — прямолинейно-анизотропным. У такого тела все параллельные направления являются упруго-эквивалентными. Из формул (3.3) следует, что элементы одинаковых размеров в виде прямоугольных параллелепипедов с соответственно параллельными сторонами при простом (или двух- и трехстороннем) растяжении деформируются одинаково, независимо от того, где они выделены, но превращаются, вообще говоря, в косоугольные параллелепипеды, не имеющие ни одного прямого угла между гранями. [c.24]

Если структура анизотропного тела обладает симметрией какого-нибудь рода, то и в упругих свойствах обнаруживается симметрия. Упругая симметрия (так ее принято называть) проявляется в том, что в каждой точке обнаруживаются симметричные направления, эквивалентные в отношении упругих свойств. [c.30]

Плоскость изотропии ось симметрии вращения). Трансверсально-изотропное тело. Рассмотрим тело, обладающее следующими свойствами через все точки проходят параллельные плоскости упругой симметрии, в которых все направления являются упруго-эквивалентными (плоскости изотропии). Иначе говоря, в каждой точке имеется одно главное направление и бесконечное множество главных направлений в плоскости, нормальной к первому. Можно такое тело еще рассматривать как тело, через каждую точку которого проходит ось упругой симметрии бес- конечно высокого порядка — ось вращения. Тело с такими свойствами называется трансверсально-изотропным ([24], стр. 172). [c.35]

Изотропное тело. Если в теле все направления являются упруго-эквивалентными и главными, то, полагая в [c.36]

У однородного тела с прямолинейной анизотропией все параллельные направления эквивалентны в отношении упругих свойств, а все элементы в виде одинаковых прямоугольных параллелепипедов с соответственно параллельными гранями обладают одинаковыми упругими свойствами. Но у однородных тел, кроме прямолинейной, возможна анизотропия другого рода — криволинейная. Криволинейная анизотропия однородного тела характеризуется тем, что для разных его точек эквивалентными являются направления не параллельные, а подчиненные каким-то другим закономерностям. Если выбрать систему криволинейных ортогональных координат так, чтобы координатные направления ее в каждой точке совпадали с эквивалентными направлениями (в отношении упругих свойств), то бесконечно малые элементы, выделенные тремя парами координатных поверхностей, будут обладать одинаковыми упругими свойствами. Наоборот, элементы, образованные тремя парами ортогональных плоскостей, будут иметь, вообще говоря, различные упругие свойства. [c.65]

Полная симметрия. Изотропное тело. Здесь все направления эквивалентны и любая плоскость в любой точке тела есть плоскость упругой симметрии. Уравнения обобщенного закона Гука в этом случае имеют вид [c.17]

Мы рассмотрим подробно эквивалентную схему одного из типов преобразователей, а затем приведем результаты для преобразователей других типов. В случае гармонического возбуждения продольных колебаний стержня с электродами на торцах, т. е. находящегося в электрическом поле, параллельном направлению распространения упругих волн (постоянное О), и с поперечным сечением, малым по сравнению с длиной (постоянное Т), пьезоэлектрические уравнения и уравнение движения имеют вид [c.284]

Эквивалентную схему для стержня, совершающего продольные колебания в электрическом поле, перпендикулярном направлению распространения упругой волны, можно построить таким же способом, как в п. 1, используя уравнение движения и соответствующие уравнения пьезоэффекта. Учитывая заданные граничные [c.288]

Фиг. 58. Полная эквивалентная схема пластины, совершающей колебания по толщине (боковые поверхности закреплены) в электрическом поле, параллельном направлению распространения упругой волны.

В матричной записи выражение (4.27) имеет вид [j= ji. Полное число упругих констант сокращается в зависимости от симметрии кристалла. Так, если кристалл обладает триклинной симметрией, то полное число упругих констант равно 21, а для кристаллов кубической симметрии оно равно 3. Основное свойство кубического кристалла состоит в том, что направления х, у, 2 взаимно перпендикулярны и полностью эквивалентны. Эта приводит к тому, что имеют место такие соотношения [c.127]

Пока сохраняется пропорциональность напряжения и деформации, упругое тело остается линейной системой, для которой справедлив принцип суперпозиции или независимости действия напряжений. Тогда (6.16) можно истолковать так. Элементарный куб, во-первых, испытывает всестороннее растяжение (сжатие) с главными напряжениями (ох + а. + Оз)/3. Во-вторых, по направлению х, он испытывает растяжение (ох — а2)/3, а по направлению Хз — сжатие (Ох — а,х)/3, что эквивалентно сдвигу по плоскости, наклоненной на угол 45" к главным площадкам х и п . Такой же смысл имеют компоненты [c.156]

Построение деформационной модели базируется на математическом принципе суперпозиции двух идеализированных ее составляющих упругого армирующего каркаса с приведенной матрицей жесткости и упругопластического изотропного связующего с заданной кривой упрочнения. Допущения, принятые при построении первой составляющей модели, характерны для пространственной стержневой системы в расчете учитывается лишь одноименная с каждым из четырех направлений волокон жесткость. Сеть волокон считается размазанной по всему объему куба, принятого за представительный элемент. Таким образом, при равномерно распределенной плотности энергии деформации находится эквивалентная матрица жесткости однородного материала. Обозначив ее индексом а (армирующие волокна), приведем полную запись для нее в системе главных осей упругой симметрии 123 [c.79]

Фактическое отыскание минимума функционала (18.119) будет обсуждаться в следующем разделе. Здесь же, не останавливаясь на доказательстве, заметим только, что для упругого стержня под действием сил постоянного направления задачи о критической нагрузке на основе энергетического и статического критериев эквивалентны. А именно, согласно статическому критерию (см. 18.2, разделы 3, 6), критическое значение нагрузки получается как первое собственное число р уравнения [c.390]

Будем рассматривать крутильно-поперечные колебания зубчатых колес и крутильные колебания упруго присоединенных к ним эквивалентных масс 3 и 4. Обозначим угловые координаты каждой из масс системы через ф1, срг, Фз, ф4 соответственно через у , у — координаты перемещений системы и колеса по направлению, параллельному плоскости зацепления и перпендикулярному осям шестерни и колеса. [c.45]

Учитывая малую податливость стоек в вертикальном направлении, для определения частот собственных вертикальных колебании принимаем расчетную схему продольной балки как упругого бруса на жестких опорах (рис. 24). Сосредоточенные эквивалентные массы, приложенные посредине пролета tnb. , слагаются из массы расположенного на балке оборудования н половины массы продольных балок. [c.47]

В частных случаях анизотропии число независимых постоянных Яу сокращается. Так, например, если в каждой точке тела имеется одна плоскость упругой симметрии, обладающая тем свойством, что любые два направления, симметричные относительно этой плоскости, эквивалентны в отношении упругих свойств, то можно показать, что в этом случае число независимых постоянных сокращается до 13. Направления, нормальные к плоскостям упругой симметрии, называются главными направлениями упругости. [c.113]

Пусть в некоторой точке суихествуогплоскость симметрии упругих свойств, т. е. упругие константы имеют одинаковые значения для любой пары систем координат, которые получены одна из другой отражением относительно указанной плоскости. Оси таких систем координат называются направлениями эквивалентных упругих свойств . Если плоскость х х — плоскость симметрии упругих свойств (короче — плоскость упругой симметрии), то константы С м инвариантны относительно преобразования координат [c.202]

Вьние было указано, что при изменении направления эквивалентной силы Рд, т. е. при изменении ее знака, одновременно меняет знак и упругое перемещение. Отсюда следует, что жесткость системы СПЙД всегда является величиной положительной, что соответствует общепринятому понятию о жесткости. Та часть общей величины размера динамической настройки Лд, которая зависит от упругих перемещений, вызываемых силой резания, определяется из равенства [c.20]

Если анизотропное тело обладает симметрией упругих свойств (упругой симметрией), то уравнения обобш,енного закона Гука для него упрош аются, так как некоторые из коэффициентов оказываются равными нулю, тогда как между другими появляются линейные зависимости. Эти упрош,ения можно вывести, применяя следуюш,ий метод. Отнесем тело к системе координат х, у, 2, а затем ко второй — х у, г, симметричной с первой, в соответствии с тем видом симметрии, какая наблюдается в теле. Направления осей х.у ъ и х у 2 одинакового наименования будут направлениями, эквивалентными в отношении упругих свойств, а поэтому уравнения обобщенного закона Гука для симметричных систем координат запишутся одинаково. Записав эти уравнения в системе д , у, 2 и в системе х у 2, далее переходим к одной из них, выражая, скажем, х, у, через х, у, ъ. Сравнивая получившиеся одноименные уравнения, мы находим зависимости между или Л Вместо уравнений обобщенного закона Гука можно взять выражение упругого потенциала, записанное в основной системе х, у, z и симметричной х у, z Переходя во втором выражении к системе х, у, zш приравнивая упругие потенциалы, приходим к тем же результатам. [c.31]

Иайти приведенную эквивалентную скорость звука в упругой оболочке, e j H модуль упругости материала оболочки толщшга h, коэффициент объемного сжатия жидкости к. Оболочку считать работающей на растяжение — сжатие в окружном направлении. Изменением виутреипс энергии жидкости пренебречь. [c.317]

Член вида ) (ди/дг) А и запрещается предполагаемой здесь эквивалентностью обоих направлений оси 2, т. е. симметрией по отношению к преобразованию и —ы, г —г, х, у х, у (отражение в плоскости X, у) или и -> —и, г —г, у —у, х- х (поворот вокруг горизонтальной оси второго порядка — оси х) по этой же причине отсутствует член вида (р — ро) Aj m, Учет первого члена разложения по вторым производным (отсутствующий в теории упругости твердых тел) необходим ввиду отсутствия в первых производных по лг и г/. Условия устойчивости неде-формированного состояния, т. е. условия положительности энергии (44,1), гласят [c.230]

Если жидкость находится в иокое, то составляющие ее частицы неподвижны и не изменяют взаимного расположения друг относительно друга. Выделим в покоящейся жидкости некоторый малый объем и рассечем его плоскостью АВ на две части (рис. 100). Соприкасающиеся по этой плоскости части объема жидкости действуют друг на друга с равными по абсолютному значению и противоположными по направлению упругими силами. Уберем мысленно одну из двух частей этого объема жидкости. Чтобы при этом не нарушить равновесия жидкости, нужно приложить к ней в плоскости АВ силы, действие которых эквивалентно действию удаленной части жидкости. Эти силы направлены по нормали к плоскости сечения. Поэтому равнодействующая Af всех упругих сил со стороны жидкости на плоскость сечения АВ также направлена по нормали к этой плоскости. Обозначим через 5 площадь сечения рассматриваемого объема жидкости плоскостью АВ. [c.131]

Диэлектрики, в силу того, что свободных носителей заряда в них мало, состоят по сути из связанных заряженных частиц положительно заряженных ядер и обращающихся вокруг них электронов в атомах, молекулах и ионах, а также упруго связанных разноименных ионов, )асположенных в узлах решетки ионных кристаллов. Толяризация диэлектриков — упорядоченное смещение связанных зарядов под действием внешнего электрического поля (положительные заряды смещаются по направлению вектора напряженности поля , а отрицательные— против него). Смещение / невелико и прекращается, когда сила электрического поля, вызывающая движение зарядов относительно друг друга, уравновешивается силой взаимодействия между ними. В результате поляризации каждая молекула или иная частица диэлектрика становится электрическим диполем — системой двух связанных одинаковых по значению и противоположных по знаку зарядов q, Кл, расположенных на расстоянии I, м, друг от друга, причем q — это либо заряд иона в узле кристаллической решетки, либо эквивалентный заряд системы всех положительных или системы всех отрицательных зарядов поляризующейся частицы. Считают, что в результате процесса поляризации в частице индуцируется электрический момент p=ql, Кл-м. У линейных диэлектриков (их большинство) между индуцируемым моментом и напряженностью электрического поля , действующей на частицу, существует прямая пропорциональность р = аЕ. Коэффициент пропорциональности а, Ф-м , называют поляризуемостью данной частицы. Количественно интенсивность поляризации определяется поляризованно-стью Р диэлектрика, которая равна сумме индуцированных электрических моментов всех N поляризованных частиц, находящихся в единице объема вещества [c.543]

Требование однозначной разрешимости уравнений (8.1.3) относительно деформаций эквивалентно условию выпуклости по верхностей И (ец) = onst в пространстве деформаций или поверхности Ф(Оу) = onst в пространстве напряжений. Действительно, соотношение (8.1.3), например, означает, что вектор а направлен по нормали к поверхности С/ = onst. Если эта поверхность строго выпукла, то заданному направлению нормали соответствует лишь одна точка поверхности. Однако требование строгой выпуклости может быть смягчено, достаточно потребовать лишь невогнутости соответствующей поверхности. Например, если упругий материал несжимаем и изотропен, то приложение к нему гидростатического давления не вызывает деформации. Наоборот, если задана деформация, то напряженное состояние определяется не единственным образом, а лишь с точностью до гидростатической составляющей. [c.238]

Возникло новое направление теории дефектов — моделирование их на быстроде11ствующих ЭВМ ). Идея этого метода заключается в том, что рассматривается небольшая область кристалла — некоторый кристаллит, содержащий обычно от 500 до 5000 атомов. Предполагается, что атомы взаимодействуют между собой и машине задается зависимость потенциала межатомного взаимодействия от расстояния между ними. Обычно для этого выбирается экранированный кулоновский потенциал, потенциал Борна — Майера, Морзе, а также различные их комбинации. Для учета обусловленных электронами проводимости сил связи может быть задано эквивалентное давление на поверхность кристаллита. Таким образом, в этом методе хотя и принимаются во внимание, но явно не рассматриваются изменения в электронной подсистеме при появлении дефекта. Кроме того, следует учесть, что рассматриваемый кристаллит находится в бесконечном кристалле с такой же структурой. Это приводит к необходимости введения дополнительных сил, имитирующих действие окружающего кристалла, или к замене его упругой средой, в которую погружены атомы этой наружной области. [c.89]

Принцип размазывания , использованный в работе [21], отличен от процедуры сглаживания слабоизменя-ющихся функций, примененной в теории армированных сред [5, 6]. Он в большей степени подобен методу усреднения дискретно распределенных свойств армированной среды по всему непрерывному спектру направлений, который применялся в работах [43, 44] для определения эффективных констант композиционного материала. В работе [21], так же как н в работе [44], размазанная сеть волокон эквивалентна такой модели среды, в которой через каждую точку пространства проходят все направления волокон. Л1атрица жесткости такой среды отождествляется с матрицей жесткости однородного линейно-упругого материала. Плотность энергии деформации этого материала равна удельной энергии деформирования четырех стержней (волокон), создающих симметрию упругих свойсгв первой составляющей модели материала 4D. [c.80]

В случае доминирования упругой деформации при нагружении материала имеет место зависимость управляющего параметра в первом уравнении синергетики только от энергии упругой деформации. Эту ситуацию можно реализовать и при нагружении материала с постоянной нагрузкой. В том случае, если уровень напряжения низкий и зона пластической деформации имеет пренебрежимо малые размеры по сравнению с длиной трещины и размерами сечения в направлении распространения трещины, нагружение с постоянной нагрузкой и постоянной деформацией становятся эквивалентны друг другу. В обоих случаях имеет место зависимость скорости роста усталостной трещины от длины, описываемая первым уравнением синергетики. Различия в условиях нафужения (постоянная деформация и нагрузка) заключаются в том, что при постоянной деформации уравнение типа (5.43) описывает весь участок стабильного роста трещины, тогда как при постоянной нагрузке происходит самоорганизованный переход к нелинейному нарастанию СРТ по ее длине. [c.247]

Разгрузка. При малых деформациях разгрузку можно рассматривать как нагружение силами (моментами), равными по величине и противоположно направленными тем, какие были в конце нагружения. При разгрузке зависимость между напряжениями и деформациями становитея линейной, с тем же модулем упругости, который был на начальном участке нагружения. Таким образом, эпюра напряжений при разгрузке, рассматриваемой как нагружение противоположного знака, линейна. Максимальное напряжение в этой эпюре должно быть таким, чтобы момент, эквивалентный эпюре напряжений, линейно распределенных по радиусу поперечного сечения вала, был равен окончательному значению момента при нагружении. Если при нагружении имеет место диаграмма Прандтля, то [c.40]

Упругий эффект системы вал—подшипниковые опоры учитывается при помощи эквивалентного амортизатора с двумя главными направлениями 2, у, имеющего точку крепления в центре инерции зубчатого колеса (см. п. 2.1). Податливости указанного амортизатора в главных направлениях одинаковые и равны Пусть в главных направляниях эквивалентного амортизатора зубчатого колеса действуют линейные сопротивления с коэффициентами пропорциональности Pfei (рис. 34). Энергия, рассеиваемая этими сопротивлениями за период ко-лебаний, составит [c.95]

Главная причина жизнеспособности суперсплавов в том, что они сохраняют выдающуюся прочность в интервале температур, при которых работают детали турбины. Их плотноупакованная решетка г.ц.к. обеспечивает длительную сохранность относительно высокого сопротивления активному растяжению, высокой длительной прочности, стойкости против ползучести и термомеханической усталости. Эти свойства длительно сохраняются вплоть до гомогологических температур значительно более высоких, чем у эквивалентных систем с решеткой о.ц.к. Свой вклад дают и такие характеристики решетки г.ц.к., как высокий модуль упругости, обилие систем скольжения, низкий коэффициент диффузии легирующих элементов. Для прочности сплавов чрезвычайно важна высокая растворимость легирующих элементов в аустенитной матрице, их физико-химические характеристики, обеспечивающие выделение в процессе старения таких интерметаллидных фаз, как у и у . Упрочнения можно достичь также за счет легирования твердого раствора, выделения карбидных фаз в процессе старения и использования их для управления границами зерен за счет направленной кристаллизации и соз- [c.31]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...