Уравнения в потенциалах перемещений

Таким образом, для однородной изотропной упругой среды замкнутая система уравнений движения в потенциалах перемещений состоит из (12.4) и (12.3). Начальные условия (12.2) для нее должны быть записаны в потенциалах [c.269]

Прн решении краевых задач для рассматриваемого тела к уравнениям движения в потенциалах необходимо присоединить условия на границе S области V, занятой телом. Если на части границы S] заданы напряжения, а на S2 — перемещения, то граничные условия можно записать в виде [c.11]

Столь простого решения нельзя получить при неустановившемся тепловом режиме если Т не является гармонической функцией, то и уравнение (7.26) не допускает решения М, которое было бы гармоническим. В слое возникнут напряжения на площадках, перпендикулярных к оси г, и задачу следует решать, задаваясь потенциалом перемещений Ф, как указывалось выше [см. (7.8) и краевые условия (7.18)1. [c.195]

Предположим, что массовые силы обладают гармоническим потенциалом, а перемещения являются функциями класса С. Применяя к уравнениям в перемещениях (4) оператор Лапласа, получаем [c.115]

Может оказаться, что в многосвязной области (так же как и в односвязной) перемещения и напряжения удается выразить однозначно через комплексные потенциалы ф( г) и ф(2), не связывая их с функцией Эри, а непосредственно используя уравнения равновесия и уравнение совместности [c.364]

В результате перемещения и, повороты со и потенциалы Ф, 2, Ч , Н будут меняться гармонически во времени, а волновые уравнения (5) 13.12 примут вид [c.827]

Расчеты с использованием электрических цепей. Для решения задач теории упругости были предложены электрические эквивалентные цепи [84], состоящие из индуктивностей и емкостей, в которых токи воспроизводят распределение усилий в упругом теле (табл. 23), а потенциалы — перемещения в соответствии с уравнениями равновесия (35) и законом Гука. [c.127]

По мере утолщения образующихся при высокотемпературном окислении металлов пленок перемещение реагентов через них в преобладающем большинстве случаев осуществляется диффузией (из-за наличия концентрационного градиента, созданного разностью химических потенциалов), которая часто и контролирует процесс окисления металлов, являющийся, таким образом, процессом реакционной диффузии (диффузии, при которой возникают или разлагаются химические соединения). Если исходить из преимущественной диффузии через окисную пленку кислорода (зона роста пленки при этом находится у поверхности раздела пленка—металл), то для скорости установившегося стационарного режима процесса можно написать уравнение [c.56]

Через ai q,p) будем обозначать, для краткости, преобразование Лапласа от граничных значений компонент вектора напряжения на оси хг ai x%t)= an Q,X2,t). При решении уравнений (6.2) и (6.3) удобно выразить искомые перемещения через напряжения на плоскости xi =0, поскольку в рассматриваемой задаче напряжения непрерывны при переходе через эту плоскость. Для этой цели будем решать уравнения (6.2) и (6.3) следующим образом. Согласно результатам 5 гл. III решение уравнений (6.2), (6.3) для вектора перемещения u(ui,U2, Нз), не зависящего от хз, сводится к решению волновых уравнений (5.51), (5.52) гл. III для определения потенциалов Ф, 4 i и 4 2, связанных с вектором и формулой, получаемой из (5.50) и (5.57) гл. III, [c.494]

Все граничные условия удовлетворены. Однако мы не можем быть уверены, что комплексные потенциалы (п) представляют решение нашей задачи до тех пор, пока мы не убедились, что они не вызывают разрывов в перемещении. Декартовы компоненты перемещения можно найти из уравнения (86), которое в данном случае приводит к зависимости [c.200]

Различные виды анализа, выполняемые в программных системах первой, второй и третьей групп, основаны на классических инженерных подходах к разработке математических моделей поведения изделия при различных воздействиях. В конечно-элементной постановке задачи моделирования исследуемая область предварительно разбивается на ограниченное множество конечных элементов, связанных между собой конечным числом узлов. Искомыми переменными уравнений математических моделей являются перемещения, повороты, температура, давление, скорость, потенциалы электрических или магнитных полей. Эти переменные определяют степени свободы узлов. Их конкретное содержание зависит от типа (физической природы) элемента, который связан с данным узлом. Например в задачах прочностного анализа для каждого элемента с учетом степеней свободы его узлов могут быть сформированы матрицы масс, жесткости (или теплопроводности) и сопротивления (или удельной теплоемкости). Множество степеней свободы, определяющих состояние всей системы в данный мо- [c.58]

Уравнение (10.16) является обычным неоднородным волновым уравнением и, следовательно, часть перемещения гп, соответствующая скалярному потенциалу ф, переносится в пространстве со скоростью Волна, распространяющаяся со скоростью %, сопровождается изменением объема среды и является безвихревой волной сжатия или расширения. [c.402]

Уравнение (10.17) также яв.ляется неоднородным волновым уравнением и показывает, что часть- 2 перемещения-гп, соответствующая векторному потенциалу ф, перемещается в пространстве с другой скоростью Да. Эта волна является вихревой и не сопровождается изменением объема частиц, она называется волной сдвига. Волны сдвига и расширения наблюдаются при землетрясениях, и по разности зарегистрированных значений моментов прихода возмущений от этих волн в пункт наблюдения А можно с большой степенью точности судить о расстоянии Ь до эпицентра землетрясения, так как [c.402]

Так как мы ограничиваемся лишь выводом инженерных уравнений движения, то исследуем условия (11.53). Для этого вначале выразим через потенциалы Ф и Т/ компоненты вектора перемещения, используя выражения дивергенции и ротора в декартовых координатах, т. е. [c.240]

Для решения многих технических задач необходимо знание нестационарных полей в областях, границы которых во времени заданы. Известно, что общий метод решения тепловых задач с движущейся границей при произвольном законе ее перемещения основан на применении теории тепловых потенциалов [I, 2] и приводит к рещению интегральных уравнений. [c.118]

Действие массовых сил. При действии массовых сил с потенциалом Ф частное решение уравнений равновесия в перемещениях определяется из соотношений (1.4.7), (1.4.10) гл. IV [c.264]

Для формирования разрешающей системы интегральных уравнений метода компенсирующих нагрузок и при определении перемещений и напряжений в пластине необходимы аналитические выражения ядер потенциалов, которые получаются при подстановке (1.2.8) в краевые условия (1.2.2) - (1.2.4) или в соотношения (1.2.5). [c.12]

Этот принцип может быть сформулирован и следующим образом если Ь W равна нулю на любых бесконечно малых виртуальных перемещениях, удовлетворяющих заданным геометрическим связям, то механическая система находится в равновесии. Таким образом, принцип виртуальной работы эквивалентен уравнениям равновесия системы. Однако вариационная формулировка имеет значительно большее поле для приложений в задачах механики. Когда все внутренние и внешние силы обладают потенциалом U, который является функцией координат точек системы ), так что [c.16]

Вообще говоря, каждому корню уравнения (3.6) соответствует пара выражений (3.2) для потенциалов продольных и сдвиговых волн, которые удовлетворяют волновым уравнениям и в сумме да ют такие выражения для перемещений, которые оставляют границу свободной от напряжений. [c.55]

Отделение в последнем уравнении действительной части от мнимой дает возможность определить раздельно (аза — сгц) и Поэтому получение напряжений из комплексных потенциалов, составляющих функцию напряжения, является относительно простым и прямым методом решения задачи. Воспользовавшись потенциалами, можно вычислить перемещения. Если перемещение в направлении равно и , а в направлении х оно равно и , то при плосконапряженном состоянии получим [c.50]

Простая подстановка показывает уравнения равновесия V о = = О удовлетворяются тождественно для, любых комплексных потенциалов, если они являются голоморфными функциями. Следовательно, в двумерной постановке, решения задачи об определении поля напряжений или перемещений сводится к выбору функции из класса голоморфных, удовлетворяющей граничным условиям поставленной задачи. . [c.126]

При исследовании установившихся волновых движений в круговых цилиндрических координатах, как следует из глав I, 2, требуется найти решение волновых уравнений (1.8) относительно потенциалов Ф, , которые связаны с вектором перемещений посредством формулы (1.2). Компоненты вектора перемещений и=и , v = Uq, w = u, и тензора напряжений а г, gg, можно на основании соотношений (1.2), (1.5), (1.7) выразить через волновые потенциалы. Запишем эти соотношения в виде дифференциальных операторов [c.59]

Рассматривается тонкая бесконечная упругая пластина, ослабленная криволинейным отверстием с контуром Г. Гармоническая упругая волна расширения или сдвига движется по пластине и взаимодействует с отверстием. В частном случае динамическая нагрузка может быть приложена к контуру отверстия. В постановке обобщенного плоского напряженного состояния требуется найти решение уравнений Гельмгольца (4.1) относительно потенциалов Ф и Ф, которые связаны с вектором перемещений посредством формулы (1.2). Решение должно удовлетворять граничным условиям на контуре отверстия [c.91]

Рассмотрим задачу о дифракции плоской гармонической волны на трещине конечной длины (см. рис. 6.4) в постановке плоской Деформации [132]. В этом случае падающая гармоническая волна, взаимодействуя с берегами трещины, порождает отраженные волны расширения и сдвига. Потенциалы отраженных волн удовлетворяют уравнениям (1.12). Связь потенциалов с векторами перемещений осуществляется посредством формулы [c.135]

Во втором примере задача ставится в координатах конечного состояния для тела, механические характеристики которого описываются потенциалом Муни. Как и в первом примере, считается, что тело бесконечно и содержит отверстия, на границах которых задано давление Р, а на бесконечности заданы истинные напряжения. Математическая постановка задачи в перемещениях в этом случае включает уравнение равновесия [c.292]

Усилия и перемещения в сечениях балок. Нагрузка статическая или динамическая механические параметры балки постоянны. Вводится аналогия между распределением токов, потенциалов и электрической энергии в электрической цепи и условиями равновесия, деформациями и потенциальной и кинетической энергиями в деформируемой системе. Электрическая модель составляется из активных и реактивных сопротивлений и трансформаторов по участкам балки в соответствии с тем, что дифференциальное уравнение изгиба балки четвертого порядка может быть заменено уравнениями в конечных разностях по сечениям х . 1, X I, х , X I,. .. В элек- [c.600]

Основываясь на (1.7.1) и (1.6.13), можно сразу же получить и решение в форме Папковича — Иейбера. Достаточно заметить, что уравнение (1.7.1) не отличается от уравнения в перемещениях (1.3.2), если отождествить цУ Ф с потенциалом объемной силы П. Тогда по (1.4.7) хо = Ф, и, записав решение уравнения (1.7.1) в виде (1.4.10) [c.135]

Для штампа конечных размеров Л. М. Флитманом [46] решена плоская задача о колебаниях полупространства для граничных условий типа (3) (заданы вертикальные смещения на отрезке ж I). Решение строится как суперпозиция решений для полубесконечных штампов, для которых получено интегральное уравнение в свертках. Аналогичная задача для акустической среды рассмотрена в работе Л. 1VI. Флитмана [45] с использованием запаздывающих потенциалов. В. А. Свекло [34] для этой задачи с помощью метода функционально инвариантных решений построил интегральное уравнение, связывающее перемещения и напряжения на границе полуплоскости. Найдены асимптотические представления для подынтегральных функций. [c.371]

Существенное внимание уделяется общим методам решения проблем теории упругости. При рассмотрении дифференциальных уравнений Навье в перемещениях вводятся векторный и скалярный потенциалы, потенциал Ламе, вектор Буссинеска, вектор Папковича. Анализируя дифференциальные уравнения в напряжениях Бельтрами — Мичелла, автор вводит функции напряжений Максвелла и Мореры. Подробно показано применение обратного и полуобратного методов Сен-Венана. [c.6]

Скалярный потенциал ф, вообще говоря, связан с векторным потенциалом г1зг через граничные условия, что приводит к значительным математическим осложнениям. Несмотря на это, разложение перемещений вида (60) упрощает исследование, поскольку решение задачи с начальными и граничными условиями можно найти подбором подходящих частных решений уравнений (61а) и (616), выраженных через произвольные функции или интегралы от произвольных функций. Если эти функции можно подобрать так, чтобы удовлетворялись и граничные, и начальные условия, то тем самым будет получено точное решение. Это решение является единственным в силу теоремы [c.395]

ИЗ которой можно вывести уравнения, описывающие движение среды. Здесь были приняты во внимание три пространственные (декартовы) координаты и п переменных величин г[( К В общем случае класс этих переменных величин, обычно называемых переменными поля, не ограничивается перемещениями, как в рассмотренной задаче теории упругости. Оказывается, например, что этот метод пригоден для описания электромагнитного поля, в котором имеется не менее четырех переменных поля, соответствующих скалярному потенциалу <р и трем компонентам векторного потенциала А. Этот вопрос будет подробнее освещен в гл. XI после рассмотрения в гл. X элементарных основ теории относител ьности. [c.121]

Вариационные принципы при учете температурных слагаемых. Уравнение теплопроводности рассматривается в его классической форме Фурье (3.6.8) гл. III, а в задаче теории упругости сохраняется статическая постановка, то есть пренебрегают изменениями во времени напряженного состояния, вызываемыми нестационарностью температурного поля. Это позволяет рассматривать температуру как неварьируемый при варьировании напряженного состояния внешний фактор и в соответствии со сказанным в п. 1.14 формально трактовать наличие температурного поля как поля объемных сил с потенциалом (1.14.5) и поверхностных сил (1.14.6). Учитывается действие этих сил и реактивных сил на Oj, создаваемых связями, обеспечивающими заданные перемещения на этой части поверхности тела. [c.161]

Заметим, что уравнение (2.11), вообще говоря, не представляет собой выражение какого-либо вариационного принципа, так как Л(ЙК) в общем случае не является вариацией функционала (что и отражено в обозначении). Это связано, прежде всего, с зависимостью поверхностной нагрузки от перемещений оболочки. Если нагрузка такова, что Л(<5К) является вариацией некоторого функционала, то она называется консервативной, а соответствующий функ- щояъл—потенциалом поверхностной нагрузки. Консервативной [c.241]

Интегральные представления комплексных потенциалов Ф (г) и Y (г) (1.145) являются общим решением двумерной бигармони-ческой задачи, содержащим две произвольные комплексные функции g (/) и q (/) (или четыре действительные функции), что позволяет с их помощью изучать самые разные краевые задачи для областей с разрезали . В частности, удовлетворив с помощью представления (1.145) и формул (1.26), (1.30), (1.42) граничным условиям плоской задачи теории упругости для бесконечной плоскости с разрезами, когда на одном берегу разреза заданы смещения, а на другом — напряжения, найдем сингулярные интегральные уравнения второго рода. При использовании условий неидеального контакта упругих тел, когда напряжения и смещения берегов разреза связаны линейными зависимостями (см. [40, 172, 175, 261]), легко получить сингулярные интегро-дифференциальные уравнения типа Прандтля для тел с тонкостенными упругими включениями 238]. Интегральные представления могут быть использованы при решении различных смешанных задач для тел с разрезами, задач о полосах пластичности, моделируемых скачками перемещений [23], и др. [c.38]

Если упругая среда находится в условиях плоской деформации в плоскости OXiX , то U -е = О и векторный потенциал Ф представляется в виде Ф =, где Ч = (xj, х , t) — скалярная функция. Тогда вместо уравнений (1.8) получим систему двух скалярных уравнений (3.62). В полярных координатах г, 0 компоненты вектора перемещений и тензора напряжений выражаются через потенциалы Ф, посредством формул [c.71]

Введенные выше потенциалы простого слоя, двойного слоя и их производные, как показано в 1, удовлетворяют тождественно дифференциальным уравнениям теории упругости внутри тела при отсутствии объемных сил. Частное решение, соответствующее действию объемных сил, выражается объемным потенциалом с плотностью, равной объемной силе. В связи с этим решение тон или иной краевой задачи теории упругости можно попытаться искать в виде суммы одного или нескольких граничных потенциалов и объемного потенциала. Плотности граничных потенциалов должны содержать достаточно неизвестных, чтобы можно было удовлетворить граничные условия. Для нахождения этих неизвестных строятся интегральные уравнения на границе тела —граничные интегральные уравнения (ГИУ). Если при заданных краевых условиях доказано существование решения построенного интегрального уравнения, то тем самым обоснована использованная формула представления решения. Вопрос обоснования формулы представления решения не возникает, если в качестве ее используется формула Сомильяны, справедливая дл любого регулярного, т. е. принадлежащего классу ( (Q) n (Q)) , поля перемещений, а также для более общих классов перемещений, для которых имеет место формула Бетти. Поскольку плотности потенциалов простого и двойного слоя, входящих в формулу Сомильяны, имеют прямой физический смысл, то соответствующую формулировку метода граничных элементов (МГЭ) называют прямой формулировкой МГЭ. В противоположность этому формулировку МГЭ, использующую другие формулы представления, называют непрямой формулировкой МГЭ. [c.62]

Построение граннчных уравнений для рассматриваемых задач может осуществляться как в рамках прямой, так и непрямой формулировок. В рамках прямой формулировки используется формула представления перемещений (1.34). При использовании непрямой формулировки применяются потенциалы (1.37) или (1.38) (или их комбинации) с плотностями, не имеющими прямого физического смысла. [c.118]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...