Функция аналитическая на границе

В формулах (III. 16), (III. 17) р > 1 — радиус окружности в плоскости а Гр — линия на плоскости 2 , в которую при отображении 2 = ш ) переходит эта окружность. При этом радиус р выбирается, исходя из условия, что функция f z) является аналитической во внутренней области, ограниченной линией Г . Если функция f z) аналитическая на границе Г области G, то эта функция будет аналитической и в некоторой окрестности этой границы, поэтому всегда можно выбрать радиус р, удовлетворяющий указанному условию. [c.230]

Если функция, аналитическая на контуре Г и в области О, им ограниченной, отображает взаимно-однозначно контур Г на контур Г области О, то область О также взаимно-однозначно отображается на область О (принцип соответствия границ). [c.222]

Рассмотрим первую основную задачу для конечной односвязной области. Так как искомые аналитические функции ф(г) и i j(z) однозначны в данной области S и упругие постоянные Я и х не входят в граничное условие (6.109), то решение этой задачи, даваемое функциями ф(2), -113(2), не зависит от упругих постоянных X и Х, иначе говоря, при заданных внешних силах на границе конечной односвязной области напряженное состояние в заполняющем ее теле не зависит от упругих свойств материала. Для конечной многосвязной области решение, определяемое функциями ф(г), я з(2), зависит от материала среды. Чтобы решение, определяемое функциями ф(2), 1 з(2), не зависело от упругой постоянной ус, главные векторы сил, приложенных к каждому из контуров Lh, как это следует из формул (6.100), (6.101), должны быть в отдельности равны нулю. Именно в этом случае напряженное состояние не зависит от упругих постоянных тела. Этот результат и составляет теорему Мориса Леви, лежащую в основе метода нахождения напряженного состояния в каждой точке изотропной однородной среды на мо- [c.132]

На границе раздела колес в проточной части, если эта граница совпадает с линией ортогональной линиям тока, составляющую осевой силы можно найти, если в (II.72) подставить (II.54). Но так как на этих границах трудно найти простую и общую функцию аналитической связи между г и 1 , то это вызывает трудности при [c.45]

Пусть, например, в диапазоне частот —со2 требуется определить параметры приведенной системы, заданной кривой динамической податливости П (оз). В качестве приведенной системы выбираем некоторую дискретную систему, число резонансов в которой равно числу максимумов функции Re П (со), где Re П (со) — действительная часть П (со), или на один-два резонанса больше. Последнее объясняется поведением Re П (со) на границах области (со , соз). Если, например, Ren (со) на границах области является возрастающей по абсолютной величине, то число резонансов приведенной системы должно быть на два числа больше, чем число максимумов Re П (со). Вводим обозначения масс /Пу жесткостей j и демпфирования k , после чего отыскиваем аналитически динамическую податливость системы в комплексной форме, которая имеет вид [c.374]

Если аналитическая функция устанавливает взаимно однозначное соответствие на границах областей, то соответствие взаимно однозначно и внутри области. [c.187]

МАКСИМУМА МОДУЛЯ ПРИНЦИП — утверждение, согласно к-рому аналитическая функция одного или неск. комплексных переменных, отличная от постоянной, не может внутри области аналитичности достигать своего максимального по абс. величине значения. В частности, если /(х) — аналитич. ф-ция в области D, и в нек-рой окрестности U точки Sa имеет место неравенство /(г) 1/ 2о) > 2 g С/, то /(г) постоянна в D. Если /(z) аналитична в D и непрерывна в замыкании D, то ф-ция / г) достигает своего макс, значения на границе области D. [c.41]

В данном разделе мы рассмотрим прямую и обратную задачи теории однорядных гидродинамических решеток как краевые задачи в основном для логарифма комплексной скорости nV Z) = 1пУ( , Г)) — а а, т)), аналитической функции комплексной координаты Z = i- ir канонической области (круга или полосы). В прямой задаче будем считать известной на контуре профиля мнимую часть этой функции [а=а(з)], а в обратной — ее действительную часть [1п V = 1п (5)]. Обе задачи сводятся к построению аналитической функции по ее действительной или мнимой части, известной на границе области, и решаются путем последовательных приближений. Выбор именно этой функции, а не какой-либо другой, например комплексной координаты плоскости течения 2 (Z) x(i, т])-]-+ V) или просто комплексной скорости V(Z) = l/ ( , тп)— — IVу (I, Г1), связан с постановкой прямой и обратной задач. Кроме того, решение задачи для 1пУ(С), как будет показано ниже, непосредственно обобщается на случай дозвукового течения газа (в приближенной постановке С. А. Чаплыгина). [c.146]

Итак, нам потребуются выражения аналитической функции Р (Z) по заданным значениям ее действительной и (или мнимой V) части на границе канонической области. Для круга Д . 1 это выражение дается интегралом Шварца (см. [43]) [c.146]

Прямая задача струйного течения через заданную решетку сводится к смешанной задаче, когда на одной дуге границы области, соответствующей струям, задана действительная часть аналитической функции 1п V, а на другой дуге — ее мнимая часть. Эта задача в принципе решается применением формулы Келдыша—Седова (см. [43], [65]) в круге или полосе. Однако вычисления по этой формуле в случае криволинейных контуров (профилей), заданных, как правило, графически или таблицей, весьма затруднительны. Задача струйного течения проще решается также путем последовательных приближений при совместном применении на профиле формул прямой задачи, а на границах струй — сопряженных им формул обратной задачи. [c.174]

Потенциал скорости Ф ( ) на границе полосы находится путем вычисления мнимой части аналитической функции iF (Z) по формуле (17.15) [c.185]

Так как каждый элемент вектора Ur есть функция от координат X, у, Z для точек области г, конечного элемента, то и элементы вектора г и lOr, т. е. виды деформаций и напряжений Ех, еу,Хху,Ох и т. д., также будут функциями координат х, у, z. Подставив конкретное значение х, у, z для рассматриваемой точки, получим величины всех компонентов напряженно-деформированного состояния в этой точке. Это не должно создавать иллюзии, что решение задачи по МКЭ получается в аналитическом виде основным результатом решения задачи являются дискретные значения узловых перемещений q. Значения же перемещений, деформаций и напряжений в произвольной точке Qr в данном случае нужно рассматривать как своеобразные интерполяционные выражения. Причем закон интерполяции обусловлен системой аппроксимирующих функций фг, т. е. принят на самых ранних этапах расчета. Следует отметить, что метод перемещений обусловливает разрывы напряжений и деформаций на границах конечных элементов.. [c.105]

Если аналитическая функция ограничена внутри области (в том числе, в бесконечно удаленной точке), а на границе области ее действительная часть постоянна, то сама эта функция постоянна. Следовательно, решение краевой задачи (167), (169) для функции имеет вид [c.49]

Основная идея предлагаемого метода изучения контактных задач с учетом геометрической и физической нелинейностей соотношений теории тонких оболочек заключается в решении краевой задачи для системы (1.1) при явном задании связи контактного давления с нормальным перемещением (прогибом) ш срединной поверхности оболочки. Такой подход имеет следующие преимущества. Отпадает необходимость построения на каждом шаге итеративного процесса функций Грина, входящих в уравнение (1.3) классического метода решения контактных задач. Получение этих функций в аналитической форме невозможно, численное их определение представляет весьма трудоемкую процедуру. Контактное давление исключается из числа искомых и является непрерывной функцией, равной нулю на границах зон контакта. Итеративный процесс решения нелинейных уравнений совмещается с процессом уточнения областей контакта и становится единым процессом решения конструктивно, геометрически и физически нелинейной задачи. [c.27]

Это заведомо так в плоской задаче теории упругости, когда на границе заданы напряжения [74]. Если (p ui) не является рациональной функцией, то ее необходимо представить или аппроксимировать некоторым аналитическим выражением от ш, например, [c.322]

Теоремы о модуле. 1. Если w = f (г) — функция, аналитическая в замкнутой области, то максимум ее модуля достигается на границе этой области. [c.55]

Решение плоской задачи теории упругости сводится к определению двух аналитических функций (р (г) и > (z) в области S, занятой упругим телом, при использовании предельных значений этих функций на контуре L (на границе тела). В случае первой основной задачи, т. е. когда па границе L за/даиы внешние напряжения, граничное условие имеет вид [c.9]

Формулы (2.19) и (2.20) выражают напряжения и смещения на границе раздела через аналитическую функцию j(z). [c.32]

Определение аналитической в нижней полуплоскости функции wi z) (3.5) по заданным на границе соотношениям между её действительной Ui и мнимой Vi частями является частным случаем задачи Римана-Гильберта [25]. [c.137]

Для реальных задач построить аналитическое решение зачастую не удается. Даже когда определяющие дифференциальные уравнения в частных производных линейны, область R может оказаться неоднородной, геометрия—нерегулярной, а граничные условия — трудно описываемыми простыми математическими функциями. В таких случаях, используя численные методы, при помощи вычислительных машин можно найти приближенное решение. Численные методы решения краевых задач можно разделить на два отчетливых класса класс, который требует использования аппроксимаций во всей области R, и класс, который требует использования аппроксимаций только на границе С. В первый класс входят методы конечных разностей и конечных элементов, во второй — методы граничных элементов. [c.10]

Решение плоской задачи теории упругости сводится к отысканию в области 5, занятой телом, двух аналитических функций основная задача), граничное условие имеет вид [c.7]

Это хорошо известное диференциальное уравнение, с которым знаком каждый математик и которое, например, играет большую роль в теории конформных отображений и аналитических функций. Оио имеет бесконечное число решений, из которых нужно отыскать решение, удовлетворяющее определенным условиям на границах. Сперва мы выясним, какие же граничные условия должны удовлетворяться в рассматриваемом случае. [c.53]

Ясно, что математический аппарат метода ГИУ является полностью классическим и достаточно сильным, чтобы устанавливать общие соотношения между искомыми функциями и граничными значениями. Однако это математический аппарат другого типа, чем тот, который обычно используется для получения численных результатов в инженерных задачах. Следует отметить, что интегральные уравнения уже использовались ранее для постановки и численного решения многих задач, однако в методе ГИУ максимально и, я думаю, наиболее систематически и универсально применяются фундаментальные соотношения между граничными функциями и решением там, где это возможно. Что в таком случае является новым в методе ГИУ —это не его обоснование, а, пожалуй, та точка зрения, с которой можно рассматривать классический математический аппарат в свете способности современных вычислительных машин производить арифметические действия. Не приступая вначале к дискретному описанию всей задачи в целом, мы, действуя, насколько возможно аналитически, устанавливаем в методе ГИУ общие соотношения между значениями на границе и-лишь затем вводим аппроксимации, которые являются сравнительно прямыми и наиболее эффективными. [c.16]

Аналитическая функция г (ш) в (10.24) может быть выбрана раз и навсегда, в то время как функция ц) и) определяется так, чтобы / была аналитической вне Н и обращалась в нуль при ьо- оо согласно (10.22). Как видно из (10.25), можно добиться аналитичности, взяв ф(се ) = О при условии, что Л (12 ) — аналитическая функция, отличная от нуля и ограниченная вне Я согласно общим результатам для (10.20) (примененным к (10.26)), других решений не существует. На границе дН, однако, Х(ш) должна быть такой, чтобы А т) была не слишком сингулярна, когда /(ш) регулярна (шЛ (ш) должна быть интегрируемой). Чтобы исследовать это условие, заметим, что экспонента в формуле (10.24) может быть сингулярной только в тех точках Я, где р хю) — О, так что, согласно (10.23), [c.364]

Доказательство. Функция х/<7 гармонична как действительная часть аналитической функции (4.27). Геометрическое-место у. = О перегибов линий тока состоит из кривых уровня х/<7, которые должны начинаться и оканчиваться на границе, поскольку функция х/<7 гармонична. Кроме того, линии перегиба (геометрические места точек перегиба), начинающиеся на свободной границе, не могут ни оканчиваться на свободной границе (исключая точки отрыва), ни уходить в бесконечность. В противном случае образовалась бы область, ограниченная свободными линиями тока и линиями перегиба, а на ее границе либо функция х/<7, либо ее нормальная производная й ад )1йз обращались бы в нуль при этом из тождества Грина следовало бы, что функция х/<7 должна быть постоянной, что невозможно ). Такие же рассуждения показывают, что никакие две линии перегиба не могут оканчиваться в одной и той же точке перегиба на обтекаемой стенке или в ее концах. [c.105]

Пусть и Р,1) — немонохроматическая волна, описываемая аналитическим сигналом u P,t). Хотя функция u P,t), вообще говоря, не допускает преобразования Фурье, мы можем обрезать ее на границах интервала (—Т/2,Т/2) и получить функцию ит Р,(), допускающую преобразование Фурье. Теперь uт P,t) может быть представлена аналитическим сигналом иг(Р, О, допускающим преобразование Фурье даже в том случае, если его мнимая часть остается необрезанной. [c.120]

Мы видим, таким образом, что решение плоской задачи теории упругости сводится к отысканию двух функций комплексного переменного, аналитических внутри области S, занятой упругим телом. Эти функции должны удовлетворять на контуре L области б определённым граничным условиям, которыми они и определяются. Эти условия будут различны, смотря по тому, заданы ли на границе смещения или напряжения. [c.226]

Замечание 2. Правые части формул (6) и (7) представляют собой, очевидно, голоморфные функции как в нижней, так и в верхней полуплоскости, но они, вообще говоря, не являются аналитическими на общей границе Ох полуплоскостей. Однако ясно, что если какой-либо участок границы остается незагруженным, то правые части формул (6) и (7) будут аналитическими также на этом участке и что, следовательно, функции Ф (г), Ч (г) могут быть аналитически продолжены из нижней полуплоскости в верхнюю через этот участок. [c.350]

Из формул (6.11) следует, что решение первой основной задачи (на границе заданы внешние усилия сводится к отысканию аналитических в областях и 2 функции Ф1 (21) ж Фа (23) по граничному условию [c.69]

Из уравнений (290) с учетом функций (291) на границах (п = 1, 2,...,т) можно установить, что функции <р(г) и <]>(г) аналитически продолжимы из области 5] в каждую из областей 5 , (п = 1, 2,..., т + 1) и, таким образом, они будут регулярны всюду в области 5, ограниченной контуром уо- [c.161]

Из уравнений (348), учитывая функции (349) на границах Т (1, 2,. ..,т— 1), устанавливаем, что функции ср (г) и ф(г) аналитически продолжимы из области 1 в каждую из областей 8 (п=1, 2,.. т) и будут регулярными всюду в области 5. [c.204]

Задача о напряженном и деформированном состоянии зуба и впадин резьбы от нагрузки, приложенной к грани зуба, решена методом Н.И. Мус-хелишвили [34]. Известно, что решение задачи теории упругости для односвязной бесконечной области при заданных на границе напряжениях Х и У сводится к нахождению двух аналитических функций ifiii O и в единичном круге, удовлетворяющих на контуре граничному условию [c.160]

При конформных отображениях важную роль играет принцип соответствия границ и принцип симметрии Римана-Шварца 1) если аналитическая функция устанавливает взаимно однозначное соответствие на границах областей, то соответствие взаимно однозначно и внутри области 2) если границы областей О и Д содержат дуги круга с и 7, которые соответствуют друг другу при конформном отображении, то ото Вражение продолжается в областях и Д-1- [c.205]

Возможность существования особых точек (седловых, типа гребней и оврагов и т. д.), разрывности функционала и изменений переменных условных экстремумов на границах допустимых областей, многосвязности, многоэкстремальности функционала, ограничений типа неравенств, дискретность переменных и т. д. — все это приводит к практической непригодности аналитических методов оптимизации теплоэнергетических установок. Применение ЭВМ. и численных методов нелинейного программирования позволяет в основном преодолеть эти затруднения. При малом числе оптимизируемых переменных и при узких пределах их изменения отыскание глобального экстремума практически обеспечивает метод сплошного перебора на ЭВМ вариантов путем обхода в определенном порядке узлов многомерной сетки в пространстве независимых переменных и вычисление в каждой точке значений функций ограничений и функционала. При этом отбрасываются те точки, в которых ограничения не выполняются, а среди точек, для которых ограничения справедливы, выбирается точка с наименьшим (или наибольшим) значением функционала. При оптимизации по большому числу параметров применяются методы направленного поиска оптимума градиентные, наискорейшего спуска, покоординатного спуска (Л. 21]. [c.57]

Единственным путем произвольного, принудительного введения тепла через поверхность твердого тела является бомбардировка его электронами (электронный нагрев), при которой могут быть обеспечены граничные условия второго рода, заданные любой функцией времени. Если к этому добавить широкие пределы возможного увеличения интенсивности тепловых потоков (недоступные при других способах нагрева твердого тела при поверхностном подведении тепла), то становится очевидной необходимость точного количественного изучения метода электронного нагрева с целью превра[цения его в метод эталонирования теплового потока. Это позволило бы по-новому подойти к решению ряда старых задач и поставить много других. Например, в теплотехнических экспериментах обеспечивается исследование моделей произвольной формы при любых тепловых потоках, вводимых через поверхность в метрологии могут быть исследованы тепловые характеристики различных материалов в предельно возможном диапазоне температур и тепловых потоков в теории нестационарного теплообмена могут быть опробованы любые аналитические методы расчета температурных полей по заданным условиям на границе и, что еще важнее, могут быть развиты методы отыскания краевых функций по известному пространственно-временному температурному полю. Особенно трудной последняя задача становится в условиях фазовых превращений и при наличии химических источников тепла, участвующих в процессе теплообмена. В этом случае, помимо перемещения границ, становятся существенно непостоянными физические параметры тела и возникает необходимость отделить тепловые потоки, поступающие в тело со стороны среды, от независимых источников тепла (скрытой теплоты, теплоты химических реакций и т. д.). [c.140]

Задача свелась к определению двух аналитических функций f (У и g (С) в области G по условию (17.34.8), наложенному на них на границе. Она почти тождественна той, к которой приводит плоская задача теории упругости, и всегда имеет решение (единственное). Для эффективного построения этого решения можно использовать методы Колосова—Мусхелишвнли, но на соответствующих подробностях мы останавливаться не будем, отсылая читателя к работе [37]. [c.260]

Формула (П3.9) является аналитическим выражошем области причем функция W положительна внутри этой области, равна нулю на границе и отрицательна вне ее. [c.287]

Классификация задач безвихревого течения. Хронологически первой граничной задачей потенциальной теории была проблема вычисления гармонического потенциала во всей зоне при заданных величинах потенциала на границе. Доказательство существования такого потенциала и выражение его для данных условий известны как проблема Дирихле. Примеры этому общеизвестны в электростатике, где наружное поле отыскивается по потенциалу на поверхности проводника. В потоке жидкости примером является установление потенциала, соответствующего определенным свободным линиям тока. Так как, согласно п. 28, функция тока для двухмерного течения удовлетворяет всем требованиям потенциала, линия тока может рассматриваться для аналитических целей как линия потенциала, и, следовательно, любой двухмерный поток с заданными границами может рассматриваться как проблема Дирихле. [c.77]

Формула (96), называемая интегральной формулой Коши, дает значения аналитической функции внутри области, когда известны ее значения на границе. Далее будет показано, что это непосредственно касается проблем граничных значений в теории двухмерного безвихревого течения. Для проверки формулы сначала вокруг точки 2 проводим малую окружность у. Далее принимаем, что /(0/( ——бсть регулярная функция в двухсвязной области между кривыми С и у. и затем, используя интегральную теорему для многосвязных областей, а также заменяя 52 = на кривой у, получаем [c.143]

Учитывая последние зависимости из соотношений (33) на границах ( 5 — 1, 2,. . ., %—1), можно установить, что функции ср (г) и (г) аналитически продолжимы из области 5 в каждую из областей 5 (к — 2, 3,. . ., т ) и, таким образом, они будут регулярными всюду в области 5, ограниченной [c.25]

Для области с кусочно-прямолинейными границами Г. И. Положий [1—3] изучал третью основную задачу теории упругости. Так принято иногда называть задачу о соприкасании с жестким профилем, когда на границе среды задаются нормальные смещения и касательные напряжения (см. 128). В граничных условиях этой задачи, после их надлежащего преобразования, при старших производных искомых функций появляется коэффициент, содержащий кривизну контура в качестве множителя. Бла-годаря этому в случае контуров, состоящих из отрезков прямых, задача существенно упрощается и приводится к двум последовательно решаемым граничным задачам теории аналитических функций. Этим путем Г. Н. Положий построил решение задачи в случае, когда граница области, конечной или бесконечной, представляет собой полигональный контур довольно общего вида. При решении задачи автор сформулировал некоторые физические условия, касающиеся порядка роста напряжений вблизи углов, при которых теорема единственности решения остается справедливой. [c.595]

A. A. Каминского (1965 и сл.). При рассмотрении задачи о произвольном числе симметрично расположенных трещин, выходящих на свободную поверхность кругового-отверстия в бесконечном теле, О. Л. Бови применил для отображения такой области на внешность единичного круга приближенное представление аналитической функции полиномами, после чего стало возможным применение методов Н. И. Мусхелишвили. Проведенные им конкретное расчеты для простейших случаев одной и двух диаметрально противоположных трещин потребовали большого объема вычислительных работ, так как для достаточной точности оказалось необходимым удерживать около тридцати членов полиномиального разложения. А. А. Каминский существенно усовершенствовал метод Бови, добившись гораздо лучшей сходимости при замене отображающей функции такой рациональной функцией, которая, сохраняя особенность на концах трещин, скругляет углы в местах выхода трещины в полость. Им получены простые формулы) для определения величины предельной нагрузки в упомянутой задаче-о пластине, ослабленной круговым отверстием с двумя равными радиальными трещинами. Используя этот метод, Н. Ю. Бабич и А. А. Каминский (1965) построили решение задачи для одной прямолинейной трещины, а А. А. Каминский (1965) — для двух прямолинейных трещин, выходящих на контур эллиптического отверстия (здесь же приведены результаты, расчетов критической нагрузки в зависимости от длины трещины). В дальнейшем А. А. Каминский (1966) получил решение задач для случая, когда одна или две равные трещины выходят на контур произвольного-гладкого криволинейного отверстия при одноосном или всестороннем растяжении, и определил критические нагрузки, вызывающие развитие расширенных трещин. Г. Г. Гребенкин и А. А. Каминский (1967) в качестве примера произвели расчет критических нагрузок для двух равных трещин, выходящих на контур квадратного отверстия. В. В. Панасюк (1965) рассмотрел задачу Бови о круговом отверстии с двумя радиальными трещинами разной длины, выходящими на границу отверстия. При определении нормальных напряжений используется приближенный метод, аналогичный методу последовательных приближений, развитому в работах С. Г. Михлина (1935) и Д. И. Шермана (1935). Сравнение с решением О. Л. Бови для двух трещин одинаковой длины дает удовлетворительное совпадение. Некоторые результаты относительно влияния свободной границы полупространства на распространение терщины были получены ранее в работах Ю. А. Устинова (1959) и В. В. Панасюка (1960). [c.382]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...