Краевая задача в для неоднородного тела

Теперь обсудим решение краевой задачи теории упругости неоднородных тел, которое приводит к определению эффективных модулей материала. Рассматриваемое тело представляет собой прямоугольную призму (см. рис. , а). Основные уравнения для компонент тензоров напряжений и деформаций — это уравнения (1), в которых коэффициенты жесткости удовлетворяют условиям (2), а также обычные уравнения равновесия в напряжениях и уравнения совместности деформаций теории упругости однородных изотропных тел. Последние соотношения здесь не приводятся, поскольку их можно найти в любом курсе теории упругости. Достаточно указать, что переменные поля (напряжений), имеющие вид [c.42]

Задача теории упругости неоднородного тела сводится, как это следует из основных уравнений, к краевой для дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами, математические [c.38]

Методы граничных элементов, рассмотренные выше, предназначены для решения двумерных краевых задач в случае однородного изотропного линейно-упругого тела. Теперь покажем, как эти методы путем простой перестройки имеющихся программных модулей можно распространить на задачи, в которых рассматриваемая область является неоднородной. [c.169]

Краевая задача для неоднородного тела (рис. 7.16) формулируется заданием обычных условий для смещений и напряжений на свободной части контуров и С , а также условий непрерывности смещений и усилий на поверхности контакта подобластей. Условия непрерывности в точке Q этой поверхности можно записать в виде [c.169]

На рис. 7.17 приведен простой пример краевой задачи для неоднородного тела. Рассматриваемая область состоит из кольца а < < г с Ь с упругими постоянными Vi и Gi внутри круглого отверстия радиуса г = Ь в большой пластине с упругими постоянными Vj и Ог- Внутренняя поверхность кольца находится под действием нормальных напряжений = —р, а пластина свободна от напряжений на бесконечности. Решение этой задачи, удовлетворяющее условию непрерывности радиальных напряжений и смещений на поверхности контакта г = Ь, можно получить по стандартным формулам для толстостенных цилиндров (см., например, 127, стр. 125—126]) М. Радиальные и тангенциальные напряжения определяются формулами I [c.177]

Энергетические теоремы можно применять для получения оценок интегральных, а в ряде случаев и локальных характеристик решения задач для неоднородных тел сложной геометрии со сложными краевыми условиями через решения специально подобранных задач, более простых с точки зрения геометрии и (или) краевых условий, а также распределения неоднородности. Для этого нужно знать, как меняются энергетические параметры упругого тела при изменении его формы, упругих постоянных, кинематических или статических ограничений на поверхности тела. [c.100]

Настоящая книга посвящена построению теории ползучести неоднородно-стареющих тел. Она состоит из шести глав. В гл. 1 приводится интегральная форма основных определяющих соотношений между напряжениями и деформациями, т. е. уравнений состояния дается постановка и формулируются условия, которые определяют решения краевых задач теории ползучести для наращиваемых тел, подверженных старению. Исследуется структура ядер ползучести и релаксации, которые отражают наиболее характерные особенности деформирования стареющих материалов во времени. Доказывается ограниченность и асимптотическая устойчивость решения краевой задачи теории ползучести для неоднородно-стареющих тел с односторонними связями. [c.9]

Непрерывное наращивание. Сформулируем постановку и приведем основные уравнения краевой задачи теории ползучести для неоднородно-стареющих тел при их непрерывном наращивании [21]. Пусть неоднородно-стареющее тело, материал которого обладает свойствами ползучести, занимает область 2. Известно, что оно изготовлено к моменту времени о = 0 и загружено в момент времени 0. Далее, начиная с некоторого момента времени I То, это тело непрерывно наращивается элементами материала различного возраста. [c.32]

Введение. В настоящем параграфе исследуется асимптотическое поведение решений краевой задачи теории ползучести для неоднородных стареющих тел с односторонними идеальными связями как внутри, так и на границе этих тел [40]. [c.38]

Даны формулировка, феноменологическое описание и экспериментальное обоснование фундаментальных закономерностей циклической пластичности конструкционных металлов при нормальных, повышенных и высоких температурах, необходимые для решения соответствующих краевых задач, анализа условий разрушения при неоднородном деформируемом состоянии в проблеме механики деформируемого тела и приложения в расчетах элементов конструкций при малоцикловом нагружении.. [c.273]

Для расчета конструкций в упругой области применяются различные методы и программы решения на ЭВМ основных краевых задач теории упругости (см. гл. 3). При выполнении упругопластического расчета возникающая физически нелинейная задача решается итерационным путем таким образом, чтобы на каждой итерации задача была линейной. Такая процедура соответствует решению последовательности краевых задач для неоднородных упругих тел с одинаковыми граничными условиями и внешней объемной нагрузкой (метод переменных параметров упругости) либо задач для исходного тела с меняющейся объемной и поверхностной нагрузкой (метод дополнительных нагрузок). [c.129]

Помимо математической формулировки задачи теплопроводности в виде дифференциальных уравнений и краевых условий для неоднородного анизотропного тела произвольной формы возможна также формулировка задачи в виде интегральных соотношений, в частности с помощью интеграла взвешенной невязки [12], содержащего весовые функции. Такая формулировка задачи, называемая интегральной, позволяет выявить некоторые общие свойства температурных полей и наряду с классическими методами строгого аналитического решения построить эффективные алгоритмы приближенного аналитического или численного решения. [c.38]

Таким образом, основные отличия математической формулировки начально-краевой задачи для наращиваемого тела от классических постановок задач в механике деформируемого твердого тела состоят, во-первых, в отказе от условий совместности полных деформаций, во-вторых, в особых граничных условиях на поверхности наращивания и, в-третьих, в определяющих соотношениях, которые должны учитывать возрастную неоднородность наращивания тела (это последнее обстоятельство не имеет решающего значения, поскольку общая модель растущего тела не накладывает принципиальных ограничений на вид используемых определяющих соотношений). [c.192]

В заключение заметим, что развитая методика построения равномерно пригодного решения для задачи входа тонкого пространственного тела в жидкость (разд. 1) предполагает необходимую гладкость передних кромок. В частности, при наличии излома передней кромки методика непригодна. Так, на дозвуковом режиме входа пространственного тела в жидкость (рис. 2, область 1) [5] характеристики линейного (внешнего) решения задачи имеют логарифмическую особенность в носике тела при стремлении к нему точки поля возмущенного течения по любому направлению. Это указывает на то, что областью неоднородности внешнего решения здесь будет не трубка , как на передней кромке, а сфера с характерным размером г = 0(е / ). Поэтому внутренние переменные (1.8) в этом случае необходимо вводить по всем трем декартовым координатам г (1.4), что приведет к внутренней задаче для трехмерного уравнения Лапласа с соответствующими краевыми условиями на поверхности пространственного тела в окрестности носика. [c.671]

При решении краевых задач для неоднородных упругих тел можно использовать любой из рассмотренных выше методов граничных элементов. Однако для прямой и непрямой формулировок имеются незначительные различия в численной процедуре, и поэтому ниже они описываются отдельно. [c.170]

Заметим, что решение краевой задачи для описанного неоднородного упругопластического фиктивного тела значительно упрош ается, если можно усреднить температуру по его объему и выразить функцию нелинейности / через f с помош ью соотношений (2.8), (2.17). В этом случае мы избавляемся от неоднородности и можем воспользоваться выводами предыдущего раздела. [c.101]

Начальный момент времени требует специального рассмотрения. Краевая задача для этого момента не может быть линеаризована. Так как параметры состояния в начальный момент заданы, то она тождественна краевой задаче для идеального неоднородного жесткопластического тела, условие текучести которого зависит от среднего давления. [c.40]

Одним из эффективных методов составления исходных дифференциальных уравнений и решения соответствующих краевых задач теплопроводности и термоупругости для кусочно-однородных тел (многослойных, армированных, со сквозными и с несквозными включениями) в случае выполнения на поверхностях сопряжения их однородных элементов условий идеального термомеханического контакта, для многоступенчатых тонкостенных элементов, локально нагреваемых путем конвективного теплообмена тел, тел е зависящими от температуры свойствами, с непрерывной неоднородностью является метод [52], основанный на применении обобщенных функций [7, 18,22, 50,87] и позволяющий получать единые решения для всей области их определения. В этих случаях физико-механические характеристики и их комбинации кусочно-однородных тел, толщина (диаметр) многоступенчатых оболочек, пластин, стержней, коэффициент теплоотдачи с поверхности тела могут быть описаны для всего тела (поверхности) как единого целого с помощью единичных, характеристических функций, а физико-механические характеристики тел с непрерывной неоднородностью с зависящими от температуры физико-механическими характеристиками могут быть аппроксимированы с помощью единичных функций. В результате подстановки представленных таким образом характеристик в дифференциальные уравнения второго порядка теплопроводности и термоупругости неоднородных тел, дифференциальные уравнения оболочек, пластин, стержней переменной толщины (диаметра), дифференциальные уравнения теплопроводности или условие теплообмена третьего рода с переменными коэффициентами теплоотдачи приходим к дифференциальным уравнениям или граничным условиям, содержащим коэффициентами ступенчатые функции, дельта-функцию Дирака и ее производную [52]. При получении дифференциальных ура,внений термоупругости для тел одномерной кусочно-однородной структуры наряду с вышеописанным методом эффективным является метод [67, 128], основанный на постановке обобщенной задачи сопряжения для соответствующих дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Здесь за исход- [c.7]

В качестве исходной рассмотрим постановку статической связанной краевой задачи для структурно неоднородного тела V с границей Г уравнения равновесия и непрерывности [c.20]

В различных приложениях, описанных в предыдущих параграфах и посвященных пластичным средам, мы рассматривали в качестве простейших случаев, поддающихся изучению, только состояния однородной конечной деформации и ставили вопрос о том, в каком из конкурирующих состояний потребляется наименьшая работа. Полагают, что принцип минимальной работы пластического деформирования может иметь большое значение в области неоднородных состояний конечной деформации для определения конкретных последовательностей неоднородного деформирования тела, завершающихся напряженными и деформированными состояниями, для которых заданы либо окончательная деформация, либо результирующие силы — проблема, которая из-за связанных с ней математических трудностей лишь слабо затронута исследованиями краевых задач этого типа. [c.140]

Задачи, с которыми здесь приходится иметь дело, а именно краевые задачи для уравнений в частных производных с переменными коэффициентами, неизмеримо сложнее краевых задач классической теории упругости. Поэтому полученные к настоящему времени решения относятся в основном к телам простейших геометрических форм при конкретных, достаточно простых зависимостях упругих модулей от координат. Одной из главных задач теории является разработка общих эффективных методов решения различных классов задач при достаточно общей неоднородности упругих свойств. Большее внимание должно уделяться примене- [c.4]

В стационарных задачах мы встречаемся с системами второго порядка как с постоянными, так и с переменными коэффициентами (однородные и неоднородные тела), со скалярными уравнениями второго порядка (например, в задачах Сен-Венана о кручении или в теории мембран), уравнениями четвертого порядка (равновесие тонких пластин), уравнениями восьмого порядка (равновесие оболочек). Для каждого из этих случаев надо рассматривать несколько краевых условий, соответствующих различным возможным физическим ситуациям. Далее, каждой стационарной задаче теории упругости отвечает динамическая задача, связанная с изучением колебаний в рассматриваемой упругой системе. Сверх того, в термодинамике сплошных сред требуется изучать некоторые задачи параболического типа, связанные с диффузией. Кроме всего этого, при исследовании материалов с памятью нужны теоремы существования для определенных [c.7]

Купрадзе В. Д., О краевых задачах теории упругости для кусочно-неоднородных тел, Сообщ. АН Груз. ССР, 22 (1959), № 5, 521—528. [c.152]

Основным объектом исследования в механике деформирования является конструкция, т. е. неоднородно деформируемое тело. Исследование поведения материала (в условиях однородной по объему деформации) является необходимым этапом ему были посвящены первые главы данной книги. Задача расчета конструкции состоит в определении ее реакции (возникающих напряжений, деформаций и смещений) на заданные внешние воздействия — объемные и поверхностные силы Fqu F i, краевые смещения и, распределенные по объему деформации, в частности,тепловые. Для идеально упругого тела решение в принципе является простым, поскольку история изменения внешних воздействий несущественна и каждому значению определяющих их параметров однозначно соответствует некоторое состояние конструкции. Последнее может быть определено с помощью системы уравнений, включающих условия равновесия, совместности и закон Гука [c.143]

Основные работы, посвященные решению задач о наращивании методами теории упругости, приведены в [5241. На основе теории упругоползучего тела в работе [494] исследовано напряженно-деформированное состояние в однородных телах при их наращивании. В более общей постановке эта задача рассматривалась в [171]. Установлению определяющих соотношений и исследованию краевых задач вязкопластических течений "твердых тел посвящены работы [208, 209]. Уравнениям деформирования не вполне упругих и вязкопластических тел посвящены работы [217—220]. Задача термоползучести для неоднородно-стареющего тела исследована в [94, 95]. Плоская задача вязкоупругости для неоднородной среды, а также влияние старения материала на напряженно-деформированное состояние около отверстий исследовались в [429, 430, 474]. [c.27]

В первой главе обоснована необходимость вероятностного описания реальных структур композитов, приведены определяющие соотношения для пьезоэлектрических и пьезомагнитных материалов. В рамках структурнофеноменологического подхода композит рассматривается как система взаимодействующих друг с другом элементов структуры однородные физико-механические свойства элементов структуры задаются с помощью общепринятых в механике феноменологических уравнений и критериев, а эффективные свойства композита вычисляются из решений краевых задач для уравнений механики с кусочно-постоянными быстро осциллирующими коэффициентами. Представлена постановка краевой задачи пьезомеханики для структурно неоднородного тела с пьезоактивными элементами структуры и определены этапы ее решения на основе двухуровневой иерархической модели. [c.5]

К недостаткам метода разделения переменных следует отнести 1) невозможность его применения для пoлyo paничeнныx и неограниченных тел 2) невозможность его непосредственного применения в случае неоднородных граничных условий, которые вначале должны быть приведены к однородным (что не всегда легко сделать) 3) значительные трудности, связанные с решением краевых задач при граничных условиях четвертого рода. [c.102]

Анализ деформирования и разрушения композитов включает в себя описание изменения деформационных свойств и накопления повреждений в компонентах композитов, предшествующих макроразрушению. В настоящей главе рассмотрены определяющие соотношения, описывающие деформирование анизотропных, в частных случаях, ор-тотропных, трансверсально-изотропных и изотропных сред, построенные с использованием тензора поврежденности четвертого ранга. Использована теория пластичности анизотропных сред, предложенная Б.Е. Победрей [203, 204]. Рассмотрено применение совокупности критериев для моделирования актов разрушения по различным механизмам. Предложено использование в задачах механики деформирования и разрушения структурно-неоднородных сред граничных условий контактного типа, козффициенты которых могут трактоваться как интегральные жесткостные характеристики механических систем, передающих нагрузки деформируемым телам, но непосредственно не включаемых в постановки краевых задач. Это позволяет более адекватно описать реальные условия нагружения и учесть факторы, играющие, как будет показано в дальнейшем, определяющую роль в формировании условий макроразрушения. [c.101]

Другая трудность, возникающая при решении контактных задач методом однородных решений, — получение эффективных выражений для неоднородных решений, используемых при удовлетворении смешанным краевым условиям. Для этой цели использована хорошо разработанная теория для полубесконечных тел. В отличии от классического случая, получаемые интегральные уравнения в правой части содержат осцил-лируюш,ие функции. Для их решения предложен эффективный метод, основанный на известных спектральных соотношениях и методе Ремеза. Основываясь на специальном представлении решения интегрального уравнения, в соотношениях для неоднородного решения плохо сходящаяся часть интегрируется, что позволяет получить соотношения удобные для численной реализации. Результаты исследований, приведенные в этой главе, показали, что метод однородных решений является удобным и эффективным средством решения контактных задач для тел, достаточно сильно отличающихся от канонических. [c.222]

Анализ теплового воздействия локального очага пожара производится на основе решения краевой задачи нестационарной теплопроводности твердых неоднородных капиллярно-пористых тел методом элементарных тепловых балансов, который был успешно использован для расчета огнестойкости строительных конструкций в условиях пожара, развивающегося по стандартной температурновременной кривой, и для условий объемных пожаров, рассмотренных в гл. 5. Для условий локальных пожаров или их начальной стадии использовались законы сложного теплообмена, рассмотренные в настоящей главе. [c.213]

Третья глава относится к теории собственных колебаний упругих сильно неоднородных тел. Эти вопросы до сих пор мало-освещены в монографической литературе. В начале третьей главы даны теоремы общего характера о поведении спектра семейства абстрактных операторов, зависящих от параметра и действующих в различных пространствах, также зависящих от параметра. На основе этих общих теорем исследуется поведение собственных значений и собственных функций краевых задач, асимптотический анализ которых представлен в гл. II, а также некоторых других родственных задач. Даны оценки отклонения собственных значений и собственных функций задачи с параметром и усредненной задачи. Все задачи исследованы единым, предложенным в 1 гл. III, методом. Этот метод может найти дальнейшие широкие применения, так же как и теоремы, изложенные в 8 этой главы о несамосопряженных операторах. Общий метод исследования спектров операторов, зависящих от параметра, применяется также для исследования спектральных задач в областях с осциллирующей границей, задач для эллиптических уравнений в перфорированной области, вырождающихся на границе полостей, а также для изучения свободных колебаний тел с концентрированными массами. [c.7]

Развитие численных методов и применение современных ЭВМ сделало возможным определение эффективных параметров с помощью прямого математического эксперимента. В этом случае рассматриваются поля достаточно простой структуры, моделируются реализации неоднородного по проводимости поля и для каждой из Них решается численно краевая задача. Полученные результаты усредняются и вычисляется эффективная проводимость. Естественно, что такой путь сопряжен с рассмотрением лишь частных задач, весьма трудоемких, однако при достаточно малом по сравнению с размерами области масштабе корреляции дает возможность получить эффективную проводимость сильно неоднородных систем. В последнее время в связи с развитием методов теории протекания в физике твердого тела [38] решен численно целый ряд задач определения эффективной проводимости неоднородных плоских и пространственных решетчатых структур. Эти результаты, кстати, прекрасно коррелированные с теорией самосогласованного поля, частично приводятся в обзорах Эллнотта, Крумхансла, Лиса, Киркпатрика [32]. [c.108]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...