Метрическое многообразие

Всякое движение, посредством которого материальная система переходит от некоторой начальной конфигурации q к некоторой конечной конфигурации будет изображаться в определенном таким образом метрическом многообразии некоторой кривой, соединяющей обе точки, изображающие две конечные конфигурации, и имеющей параметрическими уравнениями конечные уравнения, выражающие закон движения qji — Qh (t). Такая кривая, которая в случае одной единственной точки, свободной или несвободной, тождественна с соответствующей траекторией в физическом пространстве, в общем случае называется динамической траекторией системы в том движении. о котором идет речь. [c.412]

Обратно, всякая кривая метрического многообразия V , удовлетворяющая условию стационарности (24 ) по отношению ко всем бесконечно близким кривым с одними и теми же концами, будет динамической траекторией некоторого естественного движения. [c.413]

Это заключение будет особенно наглядным в случае одной материальной точки, удерживаемой на некоторой поверхности а и движущейся без трения при отсутствии активных сил. В этом случае, как было уже отмечено в предыдущем пункте, метрическое многообразие будет тождественно с поверхностью о, на которой удерживается точка, а динамическая траектория совпадает с кривой, действительно пробегаемой точкой на поверхности о. На основании соображений п. 44 гл. II динамические траектории движения точки по инерции, названные геодезическими линиями поверхности, определяются тем дифференциальным свойством, что соприкасающаяся плоскость в каждой точке траектории нормальна к поверхности о. К тому, что было известно ранее, мы можем теперь добавить, что геодезические линии обладают интегральным свойством, характеризующим их и заключающимся в том, что всякая дуга геодезической линии имеет стационарную, а для достаточно близких концов — минимальную длину по сравнению со всеми кривыми, которые можно провести на поверхности между теми же концами. [c.414]

Это следствие находит, в частности, применение в задаче об определении геодезических линий какого-либо метрического многообразия (п. 15) с заданным линейным элементом [c.426]

Динамическая траектория естественного движения между конечными конфигурациями при заданном значении энергии будет некоторой кривой метрического многообразия, для которой криволинейный интеграл -А = [ Y2(U + E)ds имеет стационарное (или минимальное, если обе конфигурации достаточно близки) значение. Обратная теорема также имеет место. [c.902]

Евклидово пространство - это метрическое многообразие, в котором можно ввести единую для всего пространства декартову систему координат. Однородность пространства означает равноправность всех точек пространства. Пространство локально изотропно, т.е. все направления эквивалентны и не зависят от поворота системы координат. [c.116]

Непрерывное метрическое многообразие - это пространство, в котором определены расстояния между точками. [c.1]

За единицу абсолютного времени принимаются средние солнечные сутки. Под пространством понимают совокупность точек, задаваемых с помощью чисел, называемых координатами. Непрерывное метрическое многообразие - это пространство, в котором определены расстояния между точками. В трёхмерном евклидовом пространстве с декартовой системой координат расстояние между двумя любыми точками определяется формулой [c.4]

Все многообразие метрических задач, в конечном счете, сводится к двум видам А — задачам на определение расстояния между двумя точками Б — задачам на нахождение величины угла между двумя пересекающимися прямыми. [c.173]

В заключение отметим, что идея о связи между силовыми полями и внутренней геометрией пространства была высказана задолго ДО Эйнштейна Риманом в его знаменитой диссертации О гипотезах, лежащих в основании геометрии ) Вопрос о том, справедливы ли допущения геометрии в бесконечно малом, тесно связан с вопросом о внутренней причине метрических отношений в пространстве. Этот вопрос, конечно, также относится к области учения о пространстве и при рассмотрении его следует принять во внимание... замечание о том, что в случае дискретного многообразия принцип метрических отношений содержится уже в самом понятии этого многообразия, тогда как в случае непрерывного многообразия его следует искать где-то в другом месте. Отсюда следует, что или то реальное, что создает идею пространства, образует дискретное многообразие, или же нужно пытаться объяснить возникновение метрических отношений чем-то внешним — силами связи, действующими на это реальное. [c.478]

Введение метрических единиц очень затруднялось вследствие силы привычки, в результате которой каждый человек,, недовольный многообразием единиц, считает единственно правильным принятие именно тех единиц и мер, которые для него привычны. Учитывая это, мы должны преодолеть свои привычки, свое внутреннее сопротивление. Мне кажется, что-здесь уместно повторить призыв Д. И. Менделеева [c.34]

Необходимые для понимания последующего сведения даны в пункте П. 2.13. Рассматриваемой системе материальных точек сопоставлено, как объяснено в п. 7.8, риманово многообразие с квадратичной формой ковариантные составляющие метрического тензора в нем обозначены через Многообразие является частью многообразия Rn+m квадратичной формой Т(сИ) это значит, что точки Нп+т которым соответствуют фиксированные значения обобщенных координат [c.331]

Далее рассматривается движение изображающей точки в римановом многообразии / 2 , ковариантные составляющие метрического тензора в этом многообразии равны [c.636]

Траекториями изображающей точки в метрике являются геодезические линии этого многообразия. Связь ковариантных составляющих метрических тензоров в / и дается формулами [c.716]

Историческое развитие метрической системы шло по отраслевому принципу. Каждая отрасль знания выбирала удобные для себя единицы и спсте.мы единиц. Многообразие применяемых систем единиц измерений затрудняло повышение точности производимых измерений и соблюдение их единообразия, приводило к необходимости перевода числовых значений измеряемых величин из одной системы единиц в другие. Совместными усилиями ученых многих стран в 1960 г. на XI Генеральной конференции по мерам и весам была принята единая универсальная международная система единиц СИ. [c.309]

Решение многих задач способами начертательной геометрии, в конечном счете, сводится к определению позиционных и метрических характеристик геометрических фигур. В связи с этим все многообразие задач может быть отнесено к двум группам [c.93]

Дальнейшее развитие метрической системы мер в различных отраслях науки и техники происходило разобщенно, возникло большое количество различных систем единиц СГС, МТС, МКС, МКСА и др. Такое многообразие единиц и систем измерения крайне усложняло технические расчеты, научно-технические международные связи, обучение, что и потребовало создания единой Международной системы единиц, которую назвали Система интернациональная или условно [c.47]

Как известно из элементов дифференциальной геометрии, от выбора этого линейного элемента зависят определение длины какой угодно линии (конечной) и остальные основные соотношения (относящиеся к углам, площадям и т. д.), которые позволяют установить всю метрику рассматриваемого пространства. Абстрактное пространство, для которого установлен линейный элемент (26) или, как обычно принято говорить, в котором установлено мероопределение, называется метрическим многообразием и будет нами обозначаться через [c.411]

Кроме того, если примем во внимание, что, с одной стороны, полная энергия Е остается неизменной при переходе от естественного движения к какому-нибудь асинхронно-варьированному изоэнергетиче-скому движению и что, с другой стороны, этот переход в метрическом многообразии равносилен замене динамической траектории естественного движения произвольной бесконечно близкой кривой с теми же концами < , С , то из принципа стационарного действия (24 ) будем иметь, что динамическая траектория естественного движения между двумя указанными конфигурациями Q, Q при заданном значении энергии будет некоторой кривой метрического многообразия для которой криволинейный интеграл (25 ) имеет стационарное или минимальное, если обе конфигурации достаточно близки) значение. [c.413]

Эти два утверждения (прямое и обратное), которые по отношению к метрическому многообразию имеют исключительно геометрический характер, выражают принцип стационарного действия для голономных систем со связями, не зависяи ими от времени, и при наличии консервативных сил. [c.414]

Движения по инерции (спонтанные движения) и геодезические линии. В частном, но очень важном случае движений по инерции (спонтанных движений), т. е. движений при отсутствии активных сил и = onst, динамические траектории, как было указано в п. 63 гл. V, называются геодезическими линиями метрического многообразия V . Из предыдущего пункта следует, что они определяются свойством делать стационарным (или, в частности, минимальным при достаточно близких концах) криволинейный интеграл [c.414]

Возвращаясь к случаю какого угодно числа п степеней свободы, вспомним замечание, сделанное в пп. 62, 63 гл. V, что для голоном-ной системы со связями, не зависящими от времени, которая находится под действием консервативных сил, траектории, вообще говоря, зависят от 2п—1 постоянных, тогда как в случае движения по инерции, и только в этом случае, число траекторий (геодезические линии соответствующего метрического многообразия V ) сводится к оо - . [c.414]

Рассматривая динамический случай, мы видели в п. 63 гл, V, что когда речь идет о движении по инерции (силы отсутствуют, т. е. и = onst), то траектории, истолковываемые как геодезические линии некоторого метрического многообразия (п. 16), составляют [c.429]

В динамическом случае спонтанного движения достаточно обратиться к соображениям п. 15 и ввести в пространство Г обычное мероопределение ds == 2Тчтобы точно видеть, что условие (58) выражает ортогональность перемещения ЬР к траектории или к геодезической линии соответствующего метрического многообразия V Если в более общем случае, оставаясь все же в пределах динамического случая, мы предположим, что действующие силы консервативны, но не равны нулю, и выберем некоторое значение для постоянной Е энергии, то, как мы знаем, соответствующая связка траекторий будет тождественна с совокупностью геодезических линий метрического многообразия с линейным элементом [c.449]

В виде частного приложения мы можем представить себе световые лучи в оптически изотропной, но неоднородной среде с коэффициентом преломления п(х,у,г), меняющимся от точки к точке. Как мы уже видели в п. 18, световые лучи тождественны с геодезическими линиями метрического многообразия, имеющего линейным элементом ds = nds, где ds есть обыкновенный линейный элемент физического (евклидова) пространства. Так как элемент ds отличается только позиционным множителем п от евклидова элемента ds, то обобщенные количества движения р траекторий будут также отличаться только на локальный множитель от направляющих косинусов соответствующей касательной, так что введенное выше условие ортогональности (58) приобретает в этом случае обычный смысл, который оно имеет в элементарной метрике. С другой стороны, как было отмечено в п. 18, п ds есть не что иное, как элемент времени dt, которое требуется свету, чтобы пройти элемент пути ds следовательно, действие сводится к времени распространения света. Таким образом, мы на основании теоремы Бедьтрами — Липшица заключаем, что световые лучи, которые в заданный момент выходят из заданной поверхности oq в направлении, ортогональном к Oq, или, в частности, из единственного центра, остаются всегда ортогональными к поверхности /= onst, каков бы ни был показатель преломления п, т. е. какова бы ни была неоднородность среды. Эти поверхности, представляющие собой геометрические места точек, к которым свет приходит за один и тот же промежуток времени, образуют так называемые волновые поверхности (см. гл. X, упражнение 13). [c.451]

Задачи динамики могут быть формулированы языком высшей геометрии, если связать каждую динамическую проблему с соответствующей формой метрической геометрии. В общем случае — это нериманова геометрия, причем конфигурационное пространство включает время в качестве координаты, равноправной с другими переменными. Тогда траектории механического движения тел будут представлены кратчайшими или геодезическими линиями такого метрического многообразия, в то время как волновые поверхности (или поверхности действия) становятся параллельными поверхностями. Геодезические же линии могут быть построены как ортогональные траектории к этим поверхностям. Тогда динамические процессы движения корпускулярных систем совпадают с задачей распространения света в оптически неоднородной среде. [c.869]

Следует имель ei виду, чю деление задач на позиционные и метрические является y JioBHiiiM. Если из всего многообразия задач позиционную группу можно выделить, го чисто метрические задачи встречаются очень редко как правило, при решении метрических задач предварительно приходится выяснять позиционшле отношения между геометрическими фигурами, входящими в условия задачи или построенными в процессе решения, т. е. решать позиционную задачу. [c.118]

Резюме. Задачи динамики могут быть целиком сформулированы в геометрических образах. Для этого каждой заданной механической задаче нужно поставить в соответствие нужную форму метрической геометрии. В общем случае такая геометрия будет нери-манова типа. Пространство конфигураций при этом включает в себя время наравне с другими переменными. Механические траектории являются кратчайшими, т. е. геодезическими, линиями этого многообразия, а волновые поверхности превращаются в параллельные поверхности. Геодезические линии могут быть получены как ортогональные траектории волновых поверхностей. Механическая задача соответствует задаче о распространении света в оптически однородной среде. [c.330]

Связка динамических траекторий. В случае любых консервативных сил U ф onst), когда совокупность динамических траекторий зависит от 2п—1 произвольных постоянных, совокупность тех из них, для которых полная энергия имеет некоторое заданное значение Е, зависит от 2й — 2 постоянных и имеет, следовательно, ту же кратность, что и геодезические линии некоторого метрического и-мерного многообразия V . [c.415]

МЕТРИКА ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ — основная геом. структура, к-рой наделяется пространственно-временное многообразие в специальной и общей теории относительности определяется заданием поля симметричного ковариантного тензора 2-го ранга с отличным от нуля определителем — метрического тензора. [c.125]

В развитии неголономной дифференциальной геометрии большую роль сыграло символическое исчисление, принадлежащее 3. Горану и И. Схоу-тену 2. Пользуясь этим исчислением, удалось построить внутреннюю геометрию линейного неголономного многообразия в аналитическом пространстве, основой которой является теория кривизны. Заслуга построения современной теории кривизны метрического неголономного многообразкя принадлежит [c.104]

Многообразие единиц физических величин на определенной ступени развития общества становится тормозом в установлении и расширении экономических, торговых и научных связей. Поэтому наряду с тенденцией роста числа единиц возникает тенденция их унификации как внутри отдельных государств, так и в международном масштабе. Необходимость в унификации единиц привела в конце ХУП1 в. к установлению Метрической системы мер. [c.15]

Метрическая система зародилась во Франции в XVII в. вовремя Французской революции. Необходимость в создании новых мер обусловливалась экономическими требованиями французской буржуазии и мотивировалась многообразием ранее существовавших мер во Франции и стремлением создать вечную меру, заимствовав единицу длины из природы. [c.50]

После такого двойного преобразования мы получаем метрическое нефизическое многообразие с естественной гладкой границей. Хотя прелыдущие рассуждения были проделаны в специальной системе координат, можно сформулировать понятие асимптотическн-простого трехмерного многообразия в ковариантном виде. [c.161]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...