Функция выпуклая ной системы

При проектировании технических объектов с использованием моделей и методов математического программирования оказывается удобной геометрическая иллюстрация процесса получения оптимального решения, Рассмотрим геометрическую интерпретацию задачи математического программирования с линейной целевой функцией и с системой ограничений, образующих выпуклую оболочку области существования задачи оптимизации, т. е. пусть имеется система уравнений [c.265]

Наиболее значительного сокращения числа неизвестных в многокомпонентной многофазной системе можно достичь, исключая из (22.9) все переменные. ....n. Такая возможность представляется благодаря особой, седловидной форме поверхности функции L(n, к) вблизи экстремума и ввиду очевидного термодинамического смысла множителей "к (см. (16.20)). Вычислительный процесс при этом организуется иначе вместо минимизации функции L в пространстве переменных п ведется поиск максимума этой функции по переменным к. Такую замену называют переходом от решения прямой задачи к решению сопряженной с ней двойственной задачи. В теории выпуклого программирования доказывают теоремы, позволяющие из формулировки прямой задачи по стандартным правилам составить соответствующую ей двойственную. В общем случае часть целевой функции двойственной задачи, от которой зависят координаты максимума, представляет собой функцию Лагранжа прямой задачи, а вместо ограничений л/< >>0 в прямой задаче выступают ограничения (22.10) в двойственной. Для рассмотренного выше частного примера из области линейного программирования двойственная к (22.2), (22.3) задача формулируется следующим образом найти максимум функции [c.188]

Построение чертежа свертки. Постановка задачи. Геометрическая модель свертки представляет собой укладку на плоскости счетного конечного числа в общем случае пересекающихся кругов с заданными либо однозначным числом, либо интервалом значений чисел межцентровыми расстояниями и общей функцией цели. В математическом отношении свертка относится к классу дискретных систем выпуклых тел такие системы рассматриваются дискретной и комбинаторной геометрией [48, 109, 111, 117, 138]. [c.112]

За функцию цели при решении задачи свертки примем минимизацию площади геометрической фигуры, описывающей выпуклую оболочку компонуемой системы. Такой фигурой при разработке технических объектов чаще всего является прямоугольник (коробка скоростей, корпус цеха), окружность (отсек судна) [c.113]

В рамках данного класса течений можно решать ряд важных газодинамических за дач в частности, задачи о дифракции плоских ударных волн на выпуклом угле и задачи о нерегулярном отражении плоских ударных волн от косых стенок. В предлагаемой заметке выводится замкнутая система уравнений для функций p ui u2) s ui u2) в плоскости годографа. Эти уравнения могут быть использованы для проведения раз личного рода линеаризации и построения приближенных теорий. Получен класс точных решений при наличии ударных волн. Система уравнений для p ui u2) и s(111,112) используется также для вывода приближенной системы уравнений коротких волн (см. [1]), справедливых в узкой зоне за криволинейной ударной волной, в которой гра диенты и и J9 велики. [c.109]

Подставив выражение (5.95) в последнюю из формул (5.59), получим следующее выражение для параметров разложения рассматриваемой выпуклой параболической нагрузки в ряд по фундаментальной системе координатных функций [c.280]

Относительно этой системы будем считать, что она однозначно разрешима при любой дважды непрерывно дифференцируемой вектор-функции Г(ж, у). Область О будем считать выпуклой, граница может иметь угловые точки. [c.89]

Потенциальная энергия П(д) = П(д1,...,д ) консервативной системы является дважды непрерывно дифференцируемой ограниченной снизу строго выпуклой функцией (П(аж — (1 - а)уг) аП(ж ) + (1 - а)П(уг), О а 1, а равенство имеет [c.153]

Показать, что положение равновесия д = аг i = l, п) консервативной системы будет устойчиво, если потенциальная энергия П(д1, 2, , п) является дважды непрерывно дифференцируемой локально строго выпуклой функцией в точке а (т. е. в некоторой достаточно малой окрестности точки а при О а 1 выполняется соотношение П(аж - - 1 — а)уг) аП(ж ) + (1 — а)П(2/ ), где равенство имеет место лишь при = у ). Убедиться в том, что в нижнем положении равновесия математического маятника его потенциальная энергия является локально строго выпуклой функцией. [c.154]

Лагранжиан L(q, 1) некоторой системы является выпуклой функцией относительно ( , ) (г = 1, п), т. е. для любого Е [0,1 выполняется неравенство [c.222]

Функция Лагранжа L q, q,t) некоторой системы является строго выпуклой функцией обобщенных скоростей т. е. [c.223]

Функция Лагранжа Ь д, д,1) является строго выпуклой функцией обобщенных скоростей. Функция 8 д,1) является решением уравнения Гамильтона-Якоби. Показать, что вектор-функция д 1) будет движением системы, если нри всех 1 выполняется соотношение [c.273]

Таким образом, определение времени Т и вектора г to) связывается с обычной задачей (10.4) на условный экстремум для функции р от конечного числа переменных ( о)- Аналогичные условия были выведены и для других случаев задачи о предельном быстродействии системы (10.1). Вывод этих условий получается естественным образом из трактовки соответствующей краевой задачи об управлении в форме, разработанной в функциональном анализе проблемы моментов. При этом существенно лишь, чтобы ограничения на управления и (1) ( о< < 1) выделяли выпуклые множества таких управлений, которые трактуются как элементы подходящего функционального пространства В и ( ) . Такая трактовка полезна еще и по той причине, что она позволяет охватить готовыми строгими рассуждениями вопросы о необходимых и достаточных условиях оптимальности, а также вопросы существования оптимального управления и в таких случаях, когда это управление и (1) удобно описывать обобщенными функциями. Последнее может встретиться, например, при ограничениях на полный импульс [c.194]

Если речь идет о линейных системах (16.1) и область U и функция Ф в (16.2) обладают подходящими свойствами выпуклости (или вогнутости), то многие такие задачи о минимаксе укладываются в схемы, обсужденные в 10 (см. стр. 193—197). В нелинейных случаях, а также в некоторых линейных нерегулярных случаях приложение описанных выше способов исследования (в частности, принципа максимума или классических критериев вариационного исчисления) потребовало их усовершенствования. Весьма общий подход к выводу необходимых условий экстремума для проблем вариационного исчисления, охватывающий, в частности, широкий круг задач об оптимальном управлении, описан в работах А. Я. Дубовицкого и А. А. Милютина (1963—1965). В этих работах были выведены необходимые условия минимума F (w ) для функционала F (w), заданного на элементах w из некоторого нормированного пространства ly . Допустимые значения предполагаются стесненными условием типа равенств или неравенств. При широких предположениях о геометрических свойствах этих ограничений, которые вместе с условием экстремума порождают в пространстве гг некоторые выпуклые конусы и линейные подпространства вариаций, выводятся искомые необходимые условия минимума. Эти условия сводятся к отсутствию общих точек у открытых частей упомянутых конусов и подпространств. Формулировка этого геометрического факта в терминах линейных функционалов и составляет содержание [c.213]

Как мы уже упомянули в 100, отнюдь не ясно, почему системы с почти полностью заполненными зонами более стабильны, чем другие этот факт ещё не получил вполне удовлетворительного объяснения. Рис. 200 показывает поведение функции плотности состояний в зависимости от энергии вблизи границы зоны, где разрывы между полосами велики. С приближением к фа-нице зоны плотность уровней в нижней зоне сначала возрастает вследствие того, что кривая е (к) обращена выпуклостью вниз после этого подъёма плотность начинает уменьшаться и падает резко [c.459]

Случай > О реализуется для выпуклых оболочек, и вто представляет особо важную часть мембранной теории. Тогда система уравнений приводится к обобщенному уравнений) Коши— Римана и, каК уже отмечалось, выше, для решения задач безмоментного равновесия выпуклых оболочек применяется аппарат теории обобщённых аналитических функций (см. 12а 1, гл. 6). [c.13]

Отличие вариационных постановок задач первого типа от классических (не контактных) заключается в необходимости удовлетворения дополнительным ограничениям на допустимые функции, имеющим форму неравенств. Известное условие положительной определенности потенциальной энергии деформации обеспечивает и здесь единственность решения и его существование. В частности, если вариационная задача есть задача минимизации полной энергии системы контактирующих линейно упругих тел, то ограничение — неравенство, отражающее физическое требование непроникания, выделяет из множества допустимых к сравнению функций выпуклое подмножество как хорошо известно, задача минимизации положительно определенного (выпуклого) функционала при некоторых дополнительных ограничениях на гладкость границы области имеет решение и это решение только одно. [c.93]

Эта функция выпукла и однородна первой степени по скорости д, так что она является финслеровой метрикой в области Метрика Якоби вырождается на границе дМ . Для необратимых систем метрика Якоби необратима —д) Ф Р [д,д). Панример, для системы с га- [c.148]

Обозначим диаметр заготовки, выраженный в с отсчетом от заданного уровня настройки 36, через и и будем рассматривать потери в часах на одном экземпляре как функцию с (и). В соотг ветствии со сказанным выше взятая с обратным знаком функция с (и) и является оценкой качества единицы промежуточной продукции. В то же время с (и) представляет собой одно из слагае-мых показателей S эффективности системы СР1<. Функция с (и) непрерывна, так как в примере нет критического значения и, при уменьшении которого всегда остается чернота (с уменьшением и лишь возрастает ее вероятность). Функция с (и) выпукла, так как даже при неизменности режима шлифования и всяком увеличении и меняется расход абразива и частота правки круга. [c.239]

Общий характер зависимости свободной энергии от состава системы А В изображен на рис. 1.2,6 [21, 29]. В.том случае, когда компоненты системы образуют механическую смесь, энертия Гиббса этой смеси, как и любая другая экстенсивная функция, определ-яется по правилу аддитивности (пунктирная прямая). В случае образования этими же компонентами устой 1ивой гомогенной фазы происходит понижение G, и поскольку эта устойчивость сохраняется во всей области концентраций, соответствующая ей G,Nд-зависимость представляется непрерывной линией, обращенной выпуклостью.,к оси концентраций. Таким образом, при образовании гомогенного сплава из компонентов происходит убыль сво- [c.11]

Затем решается система уравнений (3.79), из которой находятся функции распределения компонент поля типов колебаний, их потери энергии за один полный проход резонатора, равные А = 1 —1Лр, и дополнрггельный к геометрическому фазовый набег за полный обход резонатора, равный arg Л. Основные выводы, полученные по анализу расчетов волноводных резонаторов с различными геометриями сферических зеркал (вогнутые, выпуклые, плоские), следующие. [c.167]

Система уравнений (6.4.1) однозначно разрешима при любой дважды непрерывно дифференцируемой функции f (xi, Х2). Область ft, граница которой может иметь угловые точки, является выпуклой. Контуры Fi, Г2 расположены в соответствии с правилами, обеспечиваюпщми выполнение условий излучения. [c.128]

Вид функции Ф (а) будет определяться конкретной системой фокусирования. Так, для радиально поляризованного излучателя из пьезоэлектрической керамики Ф (а) = 1. Для всех других типов фокусируюш их систем Ф (а) не есть постоянная величина. На рис. 7 показан ход лучей через выпуклую собирающую звуковую линзу, показатель преломления которой больше единицы, для простоты рассуждений входная ее поверхность принята плоской. Справа пунктиром показан образованный этой линзой сходящийся к фокусу сферический фронт. Энергия, заключенная в любом кольце шириной Ау, попадет внутрь полого конуса толщиной Аа. Отношение интенсивностей будет, таким образом, пропорционально отношению отрезков Ау и 2—2, а отношение давлений — корню квадратному из этой величины. Не входя в детали расчета, приведенного в работе [И], из рисунка можно заключить, что при углах, близких к нулю, размеры отрезков А]/ и 2—2 почти совпадают. По мере увеличения угла а отрезок Ау остается неизменным, тогда как отрезок 2—2 уменьшается, и отношение интенсивности в сходящейся волне 1а к интенсивности в падающей плоской волне растет. Расчет дает для функции распределения, в предположении, что прозрачность линзы для всех углов равна единице, следующее выражение [12] [c.160]

Укажем в заключение этого пункта, что вместо аргумента д можно было бы использовать величину 1/т (ш — средняя масса частиц). Полагая Но = Ь/ш, нужно заменить в приведенных выше уравнениях 1/ш, V Ь. Отметим в этой связи неравенство сРЕо/с1д < О для низшего уровня энергии Ео, вытекающее из (5), (8). Оно обобщает известный вывод об отрицательном знаке поправки второго порядка к энергии основного состояния системы эта энергия при всех значениях д оказывается функцией, описываемой выпуклой кривой. Аналогично при переходе к аргументу 1/т возникают неравенства [c.260]

При малых значениях параметра ц функция ё Ж) ана-литична по переменным I, ср в области Е х Т , где Е — выпуклая подобласть Е, Е С Е, С. Е. Так как — первый интеграл канонической системы уравнений с гамильтонианом (1.1), то такова же и разность [c.20]

В понятии топофафической системы Пуанкаре (ТСП) [25, 142, 143, 145, 170, 181, 191, 200, 209, 229, 272, 274, 275, 279, 281] первоначально был заложен ряд требований аналитического характера. ТСП строилась с помощью достаточно гладкой алгебраической функции двух переменных, которая офани-ченная в офаниченной области, стремящаяся к бесконечности, когда одна из переменных стремится к бесконечности, равная нулю в особой точке векторного поля на плоскости, положительная во всех остальных точках, имеющая первые производные, обращающиеся в нуль в особой точке, в которой она к тому же и выпукла. В книге же учитывается лишь геометрия расположения так называемой кривой контактов траекторий исследуемой динамической системы и кривых ТСП (т.е. кривой, в которой последние два класса траекторий касаются). [c.32]

Si (г) и 5г(г) нигде не убывают в области R с ростом г. Константа у положительна по определению, и поэтому последнее неравенство очевидно. Таким образом, вариационный подход, реализуемый на основе алгоритмического построения минимизирующей последовательности в Ф т , гарантирует однозначность решения обратной задачи в форме (1.108). Разумеется, этого уже нельзя сказать о решении системы (1.110). Для исследования подобных задач нужны иные аналитические подходы, и мы их уже в какой-то мере касались в разделе 1.3.2, когда говорили о так называемых регуляризирующих операторах. Доказательство выпуклости множества интегральных распределений приводилось не только в целях обоснования вычислительного алгоритма, но и с тем, чтобы показать еще одно важное аналитическое свойство, присущее этим функциям. В соответствии с выпуклостью каждое распределение можно считать композицией двух других интегральных распределений, если подобрать надлежащим образом константу у. [c.67]

Доказательство. Прежде всего заметим, что для семейства (7.3.2) точки р , в которых производная равна единице, совпадают с началом координат. Рассмотрим возмущение х - х + х + г + % х) системы (7.3.2) и заметим, что, решая уравнение р = I, мы получаем 1 -Ь2x4-7 (ж) = 1 или г/ (ж) = -2х. Так как т " мало, для нахождения решения ж(т) этого уравнения, которое мало в С -топологии, можно использовать теорему о неявной функции. Таким образом, кривая тн- (х(т), р (ж(т))) трансверсальна диагонали и пересекает ее в единственной точке, т. е. при единственном значении Та параметра т. Заметим, что в силу выпуклости функции (которая следует из выпуклости /) это означает, что для т > Тд график функции не пересекает диагональ, в то время как для т<т пересечение состоит в точности из двух точек, одной отталкивающей и одной притягивающей. Используя, как в доказательстве предложения 2.1.7, метод фундаментальной области, мы немедленно получаем топологическую сопряженность с системой (7.3.2) для т < 0. [c.307]

Пусть гладкое л-мерное многообразие М является пространством положений механической системы с п степенями свободы. Функция Лагранжа Ь определена на расширенном фазовом пространстве ТМхД. Она считается гладкой, строго выпуклой по скоростям и т-периодической по времени. Согласно принципу Гамильтона т-периодические траектории соответствующей лагранжевой системы совпадают с критическими точками функционала действия [c.158]

Вернемся к рассмотрению задачи о движении системы цилиндров в вязкопластической среде. Ограничимся для простоты одним ЦИЛ1ШДР0М с поперечным сечентем Di- Пусть Do — выпуклая область и Р > Тц mes дВ . Обозначим через и (х , х ) функцию, минимизирующую функционал (5.19). Функция и (х , х. ) принадлежит пространству Wl (D) f] С (D) и для почти всех своих значений имеет спрямляемые линии уровня, причем [c.77]

В числе этих точек имеются такие, которые удовлетворяют всем уравнениям поставленных ограничений. Штриховой линией IX, наклоненной к оси абсцисс под углом 45 , изображена оценочная функция, подлежащая оптимизации. Если система ограничений не противоречива, то область возможных решений системы в координатах Х1ОХ2 очерчена выпуклым многоугольником. Координаты вершин многоугольника являются корнями совместного решения уравнений системы, а точки, лежащие внутри многоугольника, удовлетворяют всем ограничениям. Чтобы найти оптимальное решение среди многих решений системы ограничений, необходимо среди точек многоугольника найти такие, для которых линейная форма оценочной функции будет иметь максимальное значение. Пусть, например, многоугольником решений является заштрихованный многоугольник AB DE. [c.333]

В большинстве случаев при расчете применяемых на практике оболочек моментами сил напряжений, действующих на поперечные площадки нельзя пренебречь. Иногда они даже превалируют над результирующими силами — усилиями. Ниже мы распространим методы мембранной теории на более общие краевые задачи. Для этой цели в первой главе мы применим к расчету упругих оболочек метод нормированных моментов поля напряжений (соответствующие определения будут даны ниже). В ряде случаев это приводит к системам уравнений мембранной теории и бесконечно малых изгибаний поверхностей. Этим методом решается класс задач, которые возникают при рассмотрении равновесия оболочек, подчиненных так называемым втулочным связям (см. [2а], гл. 5, 8,,п. И). Ниже (>л. I, 7, п. 10) мы дадим опреде-ленде втулочных связей и сформулируем соответствующие краевые условия. Заметим, что для выпуклых оболочей зта задача приводит к обобщенному уравнению Коши—Римана и можно применять методы теории обобщенных аналитических функций [2а]. [c.11]

Из сказанного выше следует, что для жидкости статистические функции распределения четырех или большего числа атомов можно с достаточной точностью вычислять с помош ью суперпозиционного приближения высших порядков [типа (2.28)], пользуясь в качестве исходной функции (й) или (1, 2, 3). Так, например, почти коллинеарные конфигурации атомов (до шести атомов в группе ), возникающие в моделях случайных плотно упакованных структур из шаров и спиц [75], можно получить путем свертки упоминавшихся ранее коллинеарных конфигураций из трех атомов (рис. 2.37). Далее, будем называть каноническим делътаэдром выпуклый многогранник с треугольными гранями, составленными из отрезков линий, соединяющих центры геометрических соседей (см., например, [59]). Статистическое распределение таких дель-таэдров представляет собой на самом деле не что иное, как сводку некоторых особых свойств тех же многоатомных функций распределения. Однако разбиение данной случайной плотно упакованной структуры на канонические дельтаэдры не однозначно, т. е. этот способ описания топологически не инвариантен. Соответственно он имеет физическое значение только как демонстрация нерегулярности локального расположения атомов в данной системе. В этом отношении некоторые из оригинальных работ Бернала, посвященные рассматриваемой модели, видимо, заводят нас в тупик. [c.102]

Обычно ограничения на технические показатели gi v) проектируемых радиотехнических устройств можно свести к системе неравенств. Поэтому будем считать, что область работоспособности задана в виде y= v, ,(vXO, i=l, т). Формулируемые ниже необходимые и достаточные условия, при которых достигается решение задачи (6.8), а также сходимость алгоритма решения будут дока-"заны в предположении, что У—выпуклая область gi(v), i=l, /и,— непрерывно дифференцируемые функции и выполняется условие Слейтера inf max g i(v) <0. [c.164]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...