Множества выпуклые

Доказательство проведем индукцией по размерности многогранника М. При dim М = 1 утверждение, очевидно, справедливо. Предположим, что заключение леммы справедливо при dim М т. Пусть OL — одна из вершин (т -Ь 1)-мерного многогранника, а Па — замкнутое полупространство в не содержащее а, граница которого ЗП проходит через начало координат ортогонально вектору OL. По условию все вершины М, соединенные с а. ребром, лежат в Пд. Па самом деле все вершины М, кроме а, лежат в Па. Действительно, предположим, что найдется вершина /3, не лежащая в Па. Выпуклый многогранник М является объединением множества —выпуклой оболочки всех вершин, кроме а, и множества Ra — выпуклой оболочки одномерных ребер М, примыкающих к OL. Вершина /3, очевидно, не лежит в Отрезок Г, [c.211]

ГЛ. 5, 4, п. 3] в ш ТОПологии. Рассмотрим далее линейное пространство 21 как подмножество пространства, сопряженного (двойственного) с пространством, сопряженным с 21 (т. е. рассмотрим элементы пространства 21 как линейные функционалы на 21 ). Пространство 21 полно в 21 в том смысле, что из равенства (х Л) = 0 для всех Л е 21 следует заключение о равенстве нулю элемента х - Таким образом, 9Г, если его снабдить -топологией, становится локально выпуклым топологическим линейным пространством [91, гл. 5, 3, п. 3]. Множество в -топологии является компактным подмножеством локально выпуклого топологического пространства и, следовательно, содержит некоторые крайние точки [91, гл. 5, 8, п, 2]. Это позволяет дать ответ на заданный нами ранее вопрос о существовании чистых состояний. Кроме того, поскольку множество выпукло, по теореме Крейна — Мильмана [91, гл. 5, 8, п. 4] оно совпадает с замкнутой выпуклой оболочкой своих крайних точек (т. е. с пересечением всех замкнутых выпуклых подмножеств пространства 2[ , содержащих крайние точки множества 6). Обозначим через множество всех чистых состояний на 21 (иначе говоря, 6 —множество всех крайних точек множества <5). Предположим теперь, что для некоторой пары (Л, В) элементов алгебры 2[ и всех выполняется неравенство (ф ЛХ(р В). Поскольку [c.85]

Замечание 1. Приведённые выше оценки энтропии множества выпуклых гиперповерхностей с целочисленными вершинами могут быть интерпретированы как оценки влияния выпуклости и целочисленного квантования энтропия множества целочисленных выпуклых поверхностей имеет тот же порядок, что и е-энтропия множества функций порядка гладкости 14-1/ 1. Так как выпуклость, более или менее, эквивалентна 1-гладкости, цена целочисленной квантизации — 1/гг-ая от одной производной. [c.42]

Пусть Q — некоторое множество, определенное в пространстве Е Множество Q называют выпуклым, если отрезок, соединяющий любые две точки этого множества, целиком принадлежит этому множеству. Другими словами, Q — выпуклое множество, если для любых х( ), x<-()eQ и любого справедливо [c.23]

Пусть Л = А< ),. ... А( >) — конечное множество точек в пространстве Конечное множество точек (рис. 1.3, а) не является выпуклым. [c.23]

Из данного определения следует, что выпуклая оболочка S(A) является наименьшим выпуклым множеством, содержащим А. Выпуклой оболочкой конечного точечного множества Л на плоскости является выпуклый многоугольник, вершинами которого являются крайние точки множества А, а выпуклой оболочкой конечного множества А в пространстве " — выпуклый многогранник. Точку х называют крайней точкой конечного множества А, если ни для каких А< ), A<->>s/4 она не может быть представлена в виде [c.24]

Заметим, что в этом определении Я не может принимать значений О и 1. Это означает, что крайняя точка не может лежать внутри отрезка, соединяюш,его любые две точки множества А, а может быть лиШь концевой точкой этого отрезка. Выпуклая оболочка конечного множества А есть множество средневзвешенных по элементам множества Л. [c.24]

Следует напомнить, что функцию F( ) с числовыми значениями, определенными на выпуклом множестве S, называют вогнутой, если для любой пары точек X,, Xi S и для всех чисел Я (0 Я<1) выполняется неравенство [c.280]

Сущность алгоритмов, основанных на методе отсечения, легко уяснить, обратившись к геометрическим представлениям в пространстве решений (см. 6.1). Определим выпуклую оболочку множества допустимых целочисленных точек (решений) как минимальное выпуклое множество, содержащее все эти точки. Допустимыми решениями будет не вся область допустимых решений, находящаяся внутри и на границе выпуклой оболочки, а лишь отдельные дискретные точки этой области, имеющие все целочисленные координаты. Целевая функция достигает оптимального значения в одной из вершин этой выпуклой оболочки, которая представляет собой одно из допустимых целочисленных решений. [c.310]

Но и Hj. Например, если Я/ образует выпуклое множество Вг, то в случае выпуклости функции Но относительный минимум совпадает с абсолютным. Если же функция Но вогнута, то относительный максимум совпадает с абсолютным. При этом абсолютные оптиму-мы будут единственными, если выпуклость (вогнутость) строгая (задачи выпуклого программирования) . [c.80]

Множество точек называется выпуклым, если отрезок, соединяющий любые две точки множества, также принадлежит данному множеству. Функция многих переменных, заданная на выпуклом множестве, называется выпуклой, если отрезок, соединяющий любые две точки, лежит на ее гиперповерхности или выше. Если отрезок находится на гиперповерхности или ниже ее, то функция будет вогнута. [c.80]

Посредством замены переменной гз задачу максимизации Но можно интерпретировать в пространстве ортогональных осей г,, гг и Hq (рис. П.1, а). В этом пространстве условия (П.З) н (П.4) Выделяют полупространства, ограниченные плоскостями, для которых соответствующие неравенства становятся строгими равенствами. Область, состоящая из множества точек, одновременно удовлетворяющих всем ограничениям задачи, образуется путем пересечения указанных полупространств. Если эта область пустая, то задача не имеет решения (ограничения не совместимы). Если область непустая, то она обязательно должна быть-выпуклой и принимать форму многоугольника, линейного отрезка или точки. На рис. П.1, а приводится пример выпуклого многоугольника. [c.239]

В теории геометрического программирования показывается, что максимум двойственной функции достигается в стационарной точке, которая совпадает со стационарной точкой функции In V ( ), являющейся вогнутой. Следовательно, заменяя в двойственной задаче функцию У функцией 1п V, получаем. необходимость максимизации вогнутой функции на выпуклом множестве, что представляет собой задачу вогнутого, программирования, которая решается такими же методами, что и задача выпуклого программирования. Это также существенно облегчает процесс численного решения двойственной задачи. [c.258]

Область пространства называют выпуклой, если отрезок прямой, соединяющей две любые точки этой области, расположен целиком в ней. Так, область допустимых решений на рис. 8 образует выпуклый четырехугольник. Функция является выпуклой, если выпукло множество точек, расположенных над ее графиком. Например, U(в) на рис. 4 — выпуклая функция. В многомерных пространствах эти наглядные представления не удается применить, и понятие выпуклости без дополнительных критериев, позволяющих выразить те же особенности функции в аналитическом виде, становится не более как образным выражением. Необходимым и достаточным условием выпуклости непрерывной функции с непрерывными вторыми производными является неотрицательность определителя матрицы, составленной из этих производных (матрицы Гессе). Если же гессиан определен положительно, т. е. условие э-0 для соответствующей квадратичной формы может быть заменено условием >0, то функция называется строго выпуклой. [c.185]

Теорема 1.7.1. Центр масс принадлежит минимальной выпуклой области, содержащей ограниченное в пространстве множество точечных масс. [c.42]

Абсолютно твердое тело представляет собой множество точек, расстояния между которыми не изменяются. В силу специфики связей движение такой системы полностью описывается теоремами об изменении количества движения, кинетического момента и кинетической энергии. Поэтому свойства движения, выделяемые этими теоремами, проявляются в динамике твердого тела особенно выпукло. [c.443]

Напомним определение барицентрических координат в общем случае. Пусть а. .... а ц —совокупность точек в не лежащих в одной гиперплоскости л-симплексом Т, порожденным точками fli,. .., fl . 1, называется замкнутая выпуклая оболочка множества т. е. множество линейных комбинаций точек вида [c.149]

Пусть 2 = а, f= 1 — совокупность попарно различных точек т Rn а Т — замкнутая выпуклая оболочка этого множества будем предполагать, что точки й,- не расположены все в одной гиперплоскости, а Я — конечно-мерное пространство вещественных функций, заданных на Т. [c.160]

Для упрощения обозначений рассмотрим случай R , в качестве опорного выпуклого множества Т примем единичный квадрат с вершинами [c.168]

Определение. Совокупности, состоящие из множества точек 2, области Т —замкнутой выпуклой оболочки Е и пространства функций Р, заданных на Т, по отношению к которому 2 является Я-разрешимым, называются конечным элементом и обозначаются через (2, Т, Р). [c.169]

Определение. Множество Uj V называется выпуклым, если из и s i/д, е t/д следует, что [c.328]

Если, вдобавок, J (v) строго выпуклый по V, множество К выпукло в V, то решение задачи (11.91) единственно. [c.336]

Пусть 1) множество К замкнуто, выпукло и непусто [c.344]

Заметим, что если два элемента v и Уг принадлежат этому множеству, то и Оз = ао1 +(1 — а)02 принадлежит ему. Множества, обладающие этим свойством, называются выпуклыми. [c.158]

Перейдем к экстремальной формулировке задач с ограничением. Естественно, что в этом случае областью определения функционала также служит множество, которое должно быть выпуклым. В силу этого соответствующий раздел математики называется выпуклым анализом (или выпуклым программированием). [c.159]

Введем одно новое определение. Скалярная функция называется выпуклой на выпуклом множестве, если выполняется неравенство [c.159]

Назовем вариант целесообразным, если имеют место условия г, (ij- i) > г,- (ij) при j (/j>i) > j(ij) (т.е. если вариант /-го элемента, имеющий большую стоимость, характеризуется большей надежностью), и нецелесообразным в противном случае. Естественно рассматривать только целесообразные варианты. При определенных условиях функция г, (с) для целесообразных вариантов является строго выпуклой. Это имеет место, например, если целесообразные варианты получаются из некоторого исходного варианта путем применения резервирования. Если же множество целесообразных вариантов таково, что для некоторых j и I имеет место условие [c.305]

Пусть задано неупорядоченное множество точек х , yt), t — = 1,2,. . ., п, лежащих на замкнутой или неограниченной кривой второго порядка L , имеющей ориентацию ОР -. Необходимым условием соседства точек xt , yt), xt , на дуге является выполнение для всех остальных точек xt, неравенства оператора инцидентности ОИД. Доказательство вытекает из связности и выпуклости дуги, а также из того факта, что все остальные точки дуги у располагаются по одну сторону от пря- мой, соединяющей две рядом расположенные точки, например точки / и 2 на рис. 46. Необходимое условие оказывается также достаточным, если кривая замкнута, так как безразлично, с какой точки начинать упорядочения множества xt, у ), /=1,2... вдоль О замкнутой линии L . На неограниченной кривой (гиперболе, параболе) необ- [c.107]

Заметим, что достаточно проверить это свойство для подпокрытий или измельчений любого данного покрытия. Рассмотрим теперь открытое покрытие и Уа л множества К. Поскольку в локально выпуклом топологическом векторном пространстве у каждого открытого покрытия есть выпуклое измельчение, мы можем считать, что множества выпуклы и, в силу компактности, что множество А конечно. Существует конечное звездообразное измельчение , [c.701]

Примечания. Теорема 2 устанавливает эквивалентность шредингеровской картины" и гейзенберговской картины в случае отдельно взятой симметрии. Кроме того, теорему 2 можно рассматривать как определение симметрии с точки зрения одного лишь множества < . Приведенное выше доказательство теоремы по существу воспроизводит доказательство Кадисона [208], которое тот провел при более слабом допущении, а именно заменив множество < выпуклыми подмножествами 2 и V [3 ] множества , полными относительно М (т. е. если (ф / )>0 УфеЗ [c.202]

Для обоснования геометрической интерпретации принципа мини-макса приоедем ряд определений из теории выпуклых множеств. [c.23]

Выпуклую оболочку можно представить конечным множеством линейных ограничений (6.62), как изображено на рис. 6.10. Можно, не считаясь с условиями целочисленности, найти решение, определяемое точкой /, а затем, округлив это решение до ближайших целых чисел, получить цело- [c.310]

Овалы. Выпуклый, имеющий две оси симметрии четырехцентровой овал (рис. 3.81, а) определяют три параметра. Исходя из условий, конструктор задает длину и ширину овала и один нз радиусов или оба радиуса и ширину или длину. Решения даны на рис. 3.81,6, в. Иногда задают только ширину и длину овала, определяя тем или иным способом радиусы сопрягающихся дуг окружностей. Такая задача имеет бесчисленное множество решений. Одно из возможных дано на рис. 3.81, г. [c.82]

Тор (лат. torus — вздутие, выпуклость). Поверхность, образованная вращением окружности вокруг компланарной с ней прямой — оси тора. Различают открытый тор (торпкольцо), его эксцентриситет е=г// <1 (рис. 4.28), срм.осогфйкаса1бщййся тор (e—r/R=, рис. 4.29, а) и самопересекающийся (закрытый) тор e=r/R>l, рис. 4.29,6). Закрытый тор можно также рассматривать как множество точек пространства, из которых данный отрезок виден под углами аир, при условии, что а+Р=180 (рис. 4.30). При а=р имеем сферу. [c.95]

Пусть Г —замкнутая выпуклая оболочка множества V], предполагаемая невырожденной, и пусть Я — конечномерное пространство действителйно-значных функций, заданных на Т. [c.172]

Нетрудно сформулировать ограничения, при которых формы L v) и а (и, V) будут непрерывными на V. Можно проверить, что множество К, определенное по формуле (5.366), выпукло в V замкнутость этого множества вытекает из теоремы Лионса о следах. Таким образом, имеет место теорема, вытекающая из результатов II.3 приложения II и 5.5 решение вариационного неравенства (5.372) эквивалентно проблеме минимизации функционала [c.294]

Теорема 11.3. Пусть выполнены предположения теоремы 11.2 относительно функционала J (и) и пусть существует элемент Uq s U , реализующий минимум функцнонала J (v) на замкнутом выпуклом множестве ЦцСА. Тогда этот элемент характеризуется тем, что [c.329]

При движении вдоль прямой с направляющим вектором (П. 127) может произойти вы.тод за пределы множества К (внутрь попасть нельзя в силу выпуклости этого множества), почтому в таком случае происходит переход с одной грани множества К на другую (возможно меньшей размерности — на ребро). Если ограничения нелинейны, то сначала в точке uJ производится линеаризация, после чего проектирование градиента производится на плоскость, касательную к границе множества К в точке w, после минимизации на полупрямой— возврат на границу К кратчайшим путем. [c.341]

Описанные процессы изменения (обповлепия) контактирующих множеств могут быть непрерывными либо дискретными во времени. Качение выпуклых тел по опорной плоскости, как и скольжение одного тела по другому, характеризуется непрерывностью процесса обновления множеств контактирующих точек обоих тел. При качении выпуклого тела по опорной плоскости (рис. 2.3) два потока точек f п jf контакта обоих тел, сливаясь, входят в точке / в общую область С контакта и такие же два потока, раздваиваясь, покидают область С контакта в точке Ь. Точки / и назовем соответственно передним и задним фронтом области С. При качепин колеса (рис. 2.3, а) / и Ь сливаются в одну точку. Равенство входящего и исходящего непрерывных потоков элементов множества области контакта качения и обеспечивает его равномощ-ность в любой момент качения. Скорость обновления элементов контактного множества С зависит от протяженности контакта, т. е. от объема множества и от интенсивности входного и выходного потоков элементов. [c.34]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...