Особая точка векторного поля

М Множество особых точек полей семейства имеет вид. (х, e) v x, е)=0 . По лемме Сарда множество критических значений отображения v имеет меру нуль. Следовательно, существует вектор б произвольно малой длины, для которого —6 — некритическое значение отображения v. Множество v x, е)=—6 —гладкое многообразие по теореме о неявной функции. Но это многообразие есть множество особых точек векторных полей семейства v х, е) +6. [c.15]

С рассмотрим точку 0. По слабой теореме трансверсальности, отображение -а общего положения трансверсально С. Но это и означает невырожденность особых точек векторного поля г . > [c.16]

Бифуркации особых точек векторных полей с двукратным вырождением линейной части [c.26]

Пример 2. Рассмотрим негиперболическую особую точку векторного поля с двумерным центральным многообразием и парой чисто мнимых собственных значений ограничение поля на центральное многообразие имеет нормализованную 3-струю, задающую уравнение вида [c.89]

Пример. Рассмотрим гиперболическую особую точку векторного поля в R" с устойчивым многообразием W и неустойчивым 11 . Пересечение М неустойчивого многообразия с некоторой окрестностью особой точки поля является отрицательно инвариантным многообразием. Пусть %i — собственные значения особой точки с отрицательной, а — с положительной вещественной частью. Тогда показатели притяжения к Л1 и сближения на М имеют вид [c.154]

Богданов Р. И., Бифуркации предельного цикла одного семейства векторных полей на плоскости. Тр. семинаров им. И. Г. Петровского, 1976, вып. 2, 23—36 Версальная деформация особой точки векторного поля на плоскости в случае нулевых собственных чисел, там же, 37—65 [c.211]

Положениям равновесия соответствуют особые точки векторного поля X, т. е. точки, где все составляющие X обращаются в нуль. Поместим начало координат в такую точку. Поскольку уравнения имеют первый порядок, последующее движение будет определяться полон епием изображающей точки (xj, Х2,. . ., в момент i = 0. Положим [c.171]

Это доказывает, что индекс точки Ху = х —. .. = а = О как особой точки векторного поля W(X) равен 1. [c.90]

При п = 2 можно дать наглядное доказательство теоремы 1, основанное на свойствах индекса особых точек векторного поля. Напомним, что индексом изолированной особой точки ж поля v (обозначается ind (a t)) называется число оборотов вектора v x) (отсчитываемых против часовой стрелки) при однократном обходе точки X вокруг ж в отрицательном направлении. [c.152]

Если точка М х, у) траектории не является особой точкой векторного поля, то вектор (Р х, у), Q х, у)) является касательным вектором к траектории (рис. 2). Действительно, в силу того, что а = ф (i), у = чр t) есть решение системы (I), имеют место тождества [c.26]

Тогда, очевидно, х = а, у = Ь есть решение системы (I), и, следовательно, особая точка векторного поля сама является отдельной траекторией. Такая траектория называется состоянием равновесия ). Очевидно, также обратно, если у системы (I) есть решение [c.26]

Таким образом, динамическая система в каждой точке сферы определяет вектор, касательный к сфере, т. е. задает на сфере векторное поле. Очевидно, в точках, в которых одновременно и=1 =0, вектор г имеет нулевую длину. Эти точки являются особыми точками векторного поля. [c.61]

М (х, у) С ставится в соответствие вектор V (М) или V х, у) с компонентами Р (х, у), Q х, у), и мы получаем указанное векторное поле ь М) или ь х, у). Точки области С, в которых Р (х, у) = ( х, у) = О, т. е. состояния равновесия системы (I), очевидно, являются особыми точками векторного поля, соответствующего системе (I). [c.214]

В каждой точке Л/(х, у) траектории L, не являющейся особой точкой векторного поля, вектор v с компонентами Р х, у), Q x, у) является касательным вектором к траектории L (рис. 1). [c.16]

Очевидно, здесь идет речь об особых точках самой поверхности, что не следует путать с особыми точками векторного поля системы (10), заданной на поверхности. [c.467]

Б о г д а н о в Р. И. Нереальная деформация особой точки векторного поля на плоскости в случае нулевых собственных чисел. Там же. [c.484]

Особой точкой векторного поля X называется точка хо поверхности М такая, что Х хо) = 0. Если Хо — особая точка векторного поля, то можно предположить, что жо совпадает с началом (О, 0) локальной системы координат х Ж2). Если Х Х2 — компоненты векторного поля X в такой системе координат, то [c.192]

Определение. Особая точка векторного поля — это точка, в который вектор поля обращается в нуль. Особая точка дифференциального уравнения х = у х) —это особая точка соответствующего векторного поля V. [c.15]

Особая точка векторного поля называется невырожденной, если оператор линейной части поля в этой точке невырожден. [c.16]

ОСОБЫЕ ТОЧКИ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ НА ВЕЩЕСТВЕННОЙ И КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ [c.85]

Это построение называется полярным раздутием особой точки векторного поля, а окружность г=1, возникающая из особой точки, — вклеенной окружностью. [c.86]

Определение. Особая точка векторного поля на плоскости называется элементарной, если хотя бы одно собствен-лое значение линейной части поля в этой точке отлично от нуля. [c.87]

Хорошие раздутия. За конечное число полярных раздутий или о-процес-сов вырожденную особую точку векторного поля на плоскости можно рассыпать на конечное число элементарных при очень слабых ограничениях на векторное поле. [c.87]

Глава 5. Особые точки векторных полей на вещественной и комплексной плоскости............85 [c.243]

Однако, в целом точки нестрогой гиперболичности становятся неизбежными (в точности так же как неизбежны особые точки векторного поля). [c.276]

Определения. Устойчивым (неустойчивым) множеством негиперболической особой точки векторного поля называется объединение всех положительных (отрицательных) полутраек-торий поля, стремящихся к этой точке. [c.89]

В понятии топофафической системы Пуанкаре (ТСП) [25, 142, 143, 145, 170, 181, 191, 200, 209, 229, 272, 274, 275, 279, 281] первоначально был заложен ряд требований аналитического характера. ТСП строилась с помощью достаточно гладкой алгебраической функции двух переменных, которая офани-ченная в офаниченной области, стремящаяся к бесконечности, когда одна из переменных стремится к бесконечности, равная нулю в особой точке векторного поля на плоскости, положительная во всех остальных точках, имеющая первые производные, обращающиеся в нуль в особой точке, в которой она к тому же и выпукла. В книге же учитывается лишь геометрия расположения так называемой кривой контактов траекторий исследуемой динамической системы и кривых ТСП (т.е. кривой, в которой последние два класса траекторий касаются). [c.32]

Например, резонансный случай п = i, а = —1 соответствует классификации особенностей и бифуркаций особых точек векторных полей на прямой, т. е. особых точек дифференциальных уравнений X = V (х) и их бифуркаций в конечнопараметрических семействах. Однопараметрическое семейство общего положения приводится гладкой (голоморфной) заменой переменной х, гладко (голоморфно) зависящей от параметра, и гладкой заменой параметра к виду X — х + е + с е) (при к параметрах ответ такой X = х -[- г х - -Ь. . . -f- ej -Ь с (е) [c.428]

Е. Тангенциальные особенности. Первые приложения, ради которых и была развита (около 1966 г.) теория лагранжевых и лежандровых особенностей, относились к коротковолновым асимптотикам, в том числе — асимптотикам осциллирующих интегралов. Обзор этих приложений (вплоть до нахождения равномерных оценок интегралов при слиянии точек перевала, вычисления асимптотик через многогранники Ньютона, построения смешанных структур Ходжа, применений в теории чисел и теории выпуклых многогранников, оценок индекса особой точки векторного поля и числа особых точек алгебраической поверхности) можно найти в книге Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений. Т. 2 Монодромия и асимптотики интегралов.— М. Наука, 1984, и в докладе АрнольдВ.И. Особенности систем лучей. Международный конгресс математиков в Варшаве, 1983. [c.456]

Следствие 1. Сложенные седла (узлы, фокусы) эквивалентны, если соответствующие (несложенные) особые точки векторных полей порожда1рщиХ поля направлений на поверхностях уравнений, орбитально эквивалентны (т. е. име ют диф-феоморфные фазовые портреты)> [c.40]

Здесь описан метод разрешения особенностей. Он позволяет заменить сколь угодно вырождейную особую точку векторного поля на плоскости так называемыми элементарными, которые хорошо изучены как в вещественной, так и в комплексной области. Типичные поля не имеют вырожденных особенностей. [c.85]

Топологическая классификация дифференциальных уравнений на плоскости в окрестности особой точки. Как доказанс в [3], окрестность особой точки векторного поля, имеющего характеристическую траекторию, при необременительных ограничениях на векторное поле распадается в конечное объединение так называемых гиперболических, параболических и эллиптических секторов. [c.90]

Арнольд В. И. Индекс особой точки векторного поля, неравенства Петровского—Олейник и смешанные структуры Ходжа. Функц. анализ ж его прил., 1978, 12, № 1. 1—14 [c.236]

Рожанская Ю. Особые точки векторных полей.— [22].—С. 348—367, [c.355]

Седло по гиперболическим переменным одна гомоклини- ческая траектория. Векторное поле с вырожденной особой точкой типа седло по гиперболическим переменным может иметь любое конечное число гомоклинических траекторий особой точки такие поля встречаются неустранимым образом в однопараметрических семействах общего положения. Обозначим через р число гомоклинических траекторий вырожденной особой точки [c.112]

Определение. Два дифференциальных уравнения (два векторных поля) орбитально топологически эквиваленткы в окрестности особых точек, если существует гомеоморфизм некоторой окрестности особой точки одного поля в некоторую окрестность особой точки другого, переводящий первую особую точку во вторую и отображающий локальные фазовые кривые одного уравнения в локальные фазовые кривые другого с сохранением направления движения. С -гладко и аналитически орбитально эквивалентные уравнения определяются аналогично toмy, как определены С"-гладко и аналитически эквивалентные уравнения. [c.52]

Действительно, в типичных точках этой кривой векторное поле трансверсально гиперплоскости, касающейся Е. В некоторой окрестности такой точки векторное поле приводится к виду д/да сохраняющим I диффеоморфизмом (теорема 1). В некоторых изолированных точках зтой самой особой кривой векторное поле принадлежит касательной гиперплоскости, и вектор поля типичен в зтой гиперплоскости (при условии, что исходное векторное поле типично). В некоторой окрестности этой иэолированной точки поле приводится к виду д/дйп-х (теорема 10). [c.193]

Магниторезистивный эффект — увеличение сопротивления металлического образца, помещаемого в магнитное поле,— описывается довольно сложной теорией. Магниторезистивный эффект будет наблюдаться в том случае [1], когда поверхность Ферми несферична, и особенно когда она содержит вклады электронов и дырок или электронов из двух зон. Если существуют два типа носителей, имеющие различный заряд, массу или время релаксации, то магнитное поле будет влиять на них по-разному. Соответственно будет изменяться и полная проводимость, представляющая собой векторную сумму двух компонентов. Этот механизм приводит к появлению поперечного магниторезисторного эффекта, который примерно пропорционален квадрату напряженности магнитного поля Я, а в сильных полях приходит к насыщению. Особый случай представляет металл, у которого различные типы носителей имеют одинаковое время релаксации. Тогда изменение сопротивления Ар под действием магнитного поля можно записать в виде [c.250]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...