Выпуклость функции

Градиентные методы эффективны для решения задач минимизации гладких и выпуклых функций. В практике [c.286]

При решении задач минимизации выпуклых функций метод Ньютона обеспечивает более высокую скорость сходимости последовательных приближений к решению по сравнению с градиентными методами, однако количество вычислений на итерации метода Ньютона высоко за счет необходимости вычисления и обращения матрицы вторых производных. Минимизация квадратичных функций происходит за один шаг. [c.288]

Но и Hj. Например, если Я/ образует выпуклое множество Вг, то в случае выпуклости функции Но относительный минимум совпадает с абсолютным. Если же функция Но вогнута, то относительный максимум совпадает с абсолютным. При этом абсолютные оптиму-мы будут единственными, если выпуклость (вогнутость) строгая (задачи выпуклого программирования) . [c.80]

Область пространства называют выпуклой, если отрезок прямой, соединяющей две любые точки этой области, расположен целиком в ней. Так, область допустимых решений на рис. 8 образует выпуклый четырехугольник. Функция является выпуклой, если выпукло множество точек, расположенных над ее графиком. Например, U(в) на рис. 4 — выпуклая функция. В многомерных пространствах эти наглядные представления не удается применить, и понятие выпуклости без дополнительных критериев, позволяющих выразить те же особенности функции в аналитическом виде, становится не более как образным выражением. Необходимым и достаточным условием выпуклости непрерывной функции с непрерывными вторыми производными является неотрицательность определителя матрицы, составленной из этих производных (матрицы Гессе). Если же гессиан определен положительно, т. е. условие э-0 для соответствующей квадратичной формы может быть заменено условием >0, то функция называется строго выпуклой. [c.185]

Одна из особенностей выпуклых функций — они имеют единственный экстремум во всей области их определения, что гаран- [c.185]

Задача минимизации выпуклой функции G(n) при ограничениях (20.11) и (20.16) формулируется в наиболее удобном виде с помощью функции Лагранжа (см. (16.14)) [c.186]

Теорема 9.1.2. Пусть /(х) — выпуклая функция переменной х, такая, что квадратичная форма [c.627]

Теорема 9.1.3. Преобразование Лежандра выпуклую функцию /(х) переводит в выпуклую функцию (р). [c.628]

Следствие 9.1.1. Пусть /(х) — выпуклая функция, причем матрица [c.628]

Можно показать, что форма a v,v) является положительно определенной на V. Для этого достаточно обратиться к неравенству Фридрихса (11.43). Легко также доказать, что при этом условии функционал (12.84) является выпуклой функцией. Представим теперь условие выпуклости функционала (12,94) в форме, отличной от (12.93). Исходим, естественно, из (12.93) [c.159]

Соотношения (15.3.2) взаимны по отношению к ассоциированному закону течения (15.2.3), однако они уже не содержат неопределенного множителя, напряжения Оу определяются единственным образом, если D — строго выпуклая функция от скоростей. Но функция диссипации сама определена с точностью до произвольного множителя X, что ясно из структуры выражения [c.486]

При указанных допущениях, учитывая (5.20), можно считать, что F является строго выпуклой функцией по каждому из аргументов с,-. Таким образом, могут быть сформулированы две следующие задачи [c.306]

Простейшие алгоритмы случайного поиска, вроде описанного выше, по-видимому, применимы к выпуклым функциям. Существует много более сложных алгоритмов случайного поиска, чем описанный выше, рассчитанных на те или иные классы задач. В целом метод случайного поиска надо рассматривать как эвристический с эффективностью, зависящей от удачного выбора алгоритма применительно к особенности заданной функции. Судя но опубликованным данным, случайный поиск менее эффективен, чем направленные поиски с использованием частных производных при числе аргументов функции 3 и менее [22]. Для функций с числом аргументом свыше 3, судя по опубликованным данным, в определенных условиях случайный поиск требует меньше вычислений, чем направленные детерминированные поиски. Но можно с уверенностью сказать, что метод направленного перебора с исходной точкой, удаленной в направлении каждой из координат от точки минимума не более, чем на два шага, всегда выгоднее случайного поиска. Это обстоятельство будет рассматриваться в следующем параграфе. [c.177]

Одним из важных приемов, ускоряющих оптимизацию, является масштабирование (нормализация) производных dS/dxj от целевой функции по оптимизируемым параметрам. Выбор параметров, применительно к которым осуществляется процедура нормализации, зависит от влияния последних на функцию цели 3. Если наблюдается сильно выраженная выпуклость функции 3 по некоторому параметру xj, имеющему малый диапазон изменения, то слишком быстрый спуск вдоль градиентного направления приводит к частой фиксации параметра на его граничных значениях. Это значительно усложняет процесс оптимизации по данному параметру и по остальным параметрам в целом. Поэтому необходимо ввести масштабирование таким образом, чтобы уменьшить величину производной dS/dXj, т. 6. искусственно замедлить сам процесс изменения значений данного параметра. Если же, наоборот, по параметру xj имеет место слабая выпуклость функции 3, то желательно увеличить значение производной d3/dxj. [c.37]

Можно усилить требова ния к функции потерь, считая, что она должна быть выпуклой (функцией с положительной кривизной). Построение разделяющей функции, минимизирующей погрешность приближенного решения, является оптимизацией процесса разделения в пространстве признаков. Однако применение метода минимальной погрешности в его классической форме встречает серьезные затруднения. Часть из них связана с тем, что плотность распределения р (л ) обычно неизвестна и имеются только отдельные значения лГ(у), входящие в обучающую последовательность. [c.75]

Теорема 6. Если = qE — qEl — выпуклая функция [c.144]

Таким образом, график плотности свободной энергии является выпуклой функцией плотности, т. е. принадлежит к такому же типу, что и кривая на фиг. 4.7.2, а. [c.163]

Веденяпин В. В., Об одном неравенстве для выпуклых функций и об оценке интеграла столкновений уравнения Больцмана для газа упругих шаров, Докл. АН СССР, 226, № 5, 997—1000 (1976). [c.450]

Вселенная 10, 34, 162, 163 Выпуклая функция 135 Вырожденного ядра приближение 235 [c.487]

Итак, для доказательства единственности решения уравнения (7.14) достаточно показать, что (7.15) является строго выпуклой функцией ). Однако это очевидно, поскольку из равенства X фУ следует, что [c.209]

Всякая неподвижная точка строго выпуклой функции в линейном пространстве дает строгий минимум (это очевидно в одномерном случае). Следовательно, эта точка единственна. [c.239]

Потенциальная энергия П(д) = П(д1,...,д ) консервативной системы является дважды непрерывно дифференцируемой ограниченной снизу строго выпуклой функцией (П(аж — (1 - а)уг) аП(ж ) + (1 - а)П(уг), О а 1, а равенство имеет [c.153]

Показать, что положение равновесия д = аг i = l, п) консервативной системы будет устойчиво, если потенциальная энергия П(д1, 2, , п) является дважды непрерывно дифференцируемой локально строго выпуклой функцией в точке а (т. е. в некоторой достаточно малой окрестности точки а при О а 1 выполняется соотношение П(аж - - 1 — а)уг) аП(ж ) + (1 — а)П(2/ ), где равенство имеет место лишь при = у ). Убедиться в том, что в нижнем положении равновесия математического маятника его потенциальная энергия является локально строго выпуклой функцией. [c.154]

Лагранжиан L(q, 1) некоторой системы является выпуклой функцией относительно ( , ) (г = 1, п), т. е. для любого Е [0,1 выполняется неравенство [c.222]

Функция Лагранжа L q, q,t) некоторой системы является строго выпуклой функцией обобщенных скоростей т. е. [c.223]

Функция Лагранжа Ь д, д,1) является строго выпуклой функцией обобщенных скоростей. Функция 8 д,1) является решением уравнения Гамильтона-Якоби. Показать, что вектор-функция д 1) будет движением системы, если нри всех 1 выполняется соотношение [c.273]

Уравнения (2.7) называются уравнениями установившейся ползучести. По существу, это уравнения течения нелинейно вязкой жидкости. По форме они совершенно совпадают с уравнениями нелинейной теории упругости или деформационной теории пластичности. В предположении, что потенциал Ф — положительно-определенная и выпуклая функция своих аргументов, для установившейся ползучести доказана теорема единственности и формулируются вариационные принципы типа Лагранжа и Кастильяно. [c.125]

L (п, к) = AGf (п) -f 2 X, (п (22.8) где li,..., Хг) — набор неопределенных множителей Лаг ранжа. Существует теорема (Куна и Таккера), утверждающая что если при некотором наборе п, К функция L(n, А.) имеет ми ннмум по переменным п и максимум по переменным Л, т. е если точка (п,Я) является седловой точкой поверхности L(n, Я.) то этот набор является решением задачи условной минимизации выпуклой функции AG/(n). Это необходимое условие решения используется и как основа для создания его алгоритма. Аналитическое выражение условия получается дифференцированием (22.8) [c.186]

И вследствие выпуклости функции U подынтегральное выражение положительно определенно. Точно так же показывается, что функционал Кастилья-но принимает минимальное значение для истинного распределения моментов. Относительно функционала Рейснера подобное заключение сделать нельзя. [c.411]

При дополнительных ограничениях (условия выпуклости) функции Uv 1/1 (Т е), Ji (Те), J3 (Тг)] теорема о минимуме потейциальной энергии справедлива и для нелинейно-упругих тел. [c.198]

Метод применим и для выпуклых функций, не удовлетворяющих требованию непрерывной днфференцируемости. В этом случае в урав-нег. ии касательной вместо (p (y) записывается любое число из отрезка [ф (д г—0), ф ( г+0)], например число ф (д г —0), если ф (л/ — —0) I < ф (д Н-0) I, или число ф (д i-fO), если W(Xi — Q) >W Xi+Q). Подробнее см. [55, [c.132]

Этот результат может быть еще более усилен нетривиальным образом. Для этого воспользуемся общим свойством (4.7.21) плотность свободной энергии для любого потенциала с конечным y является выпуклой функцией п. Так как предел последовательности выпуклых функций является выпуклой функцией, а (п 0+) также выпукла. С другой стороны, обе функции а - (п) и ап выпуклы, но их разность не обязательно такова. Определим теперь выпуклую огибающую ( onvex envelope) GE g (n) функции g (n) как максимальную выпуклую функцию, не превосходящую g. Аналитически это выразится так [c.340]

Самый большой класс задач математического программирования образуют задачи нелинейного программирования, в которых одновременно или по отдельности целевая функция и ограничения нелинейны. В зависимости от типа нелинейности различают несколько видов задач нелинейного программирования выпуклые, сепарабельные, квадратичные, геомегрические. Для выпуклого программирования определено несколько теорем, которые систематизируют поиск экстремума [10]. В частности, для выпуклого программирования сформулирован критерий наличия глобального экстремума. Этот вид задач оптимизации использует понятия выпуклого множества и выпуклой функции. Множество X, объединяющее значения параметров х , Xg,. .., называют выпуклым, если прямая, проведенная между любыми двумя точками множества, принадлежит этому множеству. Целевую функцию Ф (х) называют выпуклой, если для любых двух точек и X, и любого X (О < X < 1) [c.194]

Позиномы являются выпуклыми функциями. Решение безусловной задачи геометрического программирования сводится к ре- [c.195]

Халфен й Нгуен Кок Сон [11] развивают теорию, которая в принципе представляет собой частный случай теории, обсуждаемой нами в ч. I. Они принимают следующие дополнительные предположенр а) функция Ор(Т,к),а также диссипативный потенциал ф(лг) Должны быть выпуклыми функциями [c.243]

Преобразование Лежандра. Пусть f = f v)—выпуклая функция, (ff dv > 0. Мы хотим перейти к новой независимой переменной р = d,f /ёу. Возникает вопрос — как построить такую функцию Н р), чтобы ее полный дифференциал р. Преобразованием Лежандра функции /(г ) называется новая функция Н р), которая является огибающей семейства прямых Е р, у) — /( ). Уравнение огибающей/г(р) = = Е р, у р)), где у р) определяется из условия р = ёЦёу. Дифференциал ( Л = у р)(1р. Функцию /(г ) называют производящей функцией преобразования. Обычно преобразование Лежандра производят в дифференциальной форме [c.250]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...