Функция выпуклая

Фаза 13, 33 Функция выпуклая 185 [c.191]

Условие, позволяющее отделить первый случай от второго, состоит в том, что во втором случае при и = I функция /( ) выпукла вверх, т.е. (Pf/dv < О или [c.488]

Эта функция выпукла вниз. Найдем ее преобразование Лежандра [c.629]

Если квадратичная форма — ж Лх выпуклая (вогнутая), то задача квадратичного программирования может быть решена, т. е. может быть найден максимум (минимум) целевой функции. Выпуклость или вогнутость квадратичной формы определяется по критерию Сильвестра, который использовался в методах дифференциального исчисления. После проверки определенности квадратичной формы для решения задачи оптимизации могут быть использованы методы Билла, Баранкина—Дорфмана или Франка— Вольфа [65]. [c.195]

Считая лагранжиан функцией, выпуклой по о и возрастающей на бесконечности быстрее любой линейной функции, выполним преобразования Лежандра ггц = 9 /9о , = (т-о - ) . Тогда, как известно, Шк = дН/дшк, ик ) = —ик Н). Уравнения [c.27]

Во многих инженерных задачах не известно, являются ли функции выпуклыми. В лучшем случае можно выделить из них унимодальные, которые постоянно увеличиваются при изменении аргументов в определенных направлениях. Примером такой функции может служить F х, у)= х — у (д > 0 у > 0) она возрастает с увеличением аргумента х и с уменьшением аргумента у но эта функция не является выпуклой. [c.18]

Дифференцируемая функция выпукла по градиенту [c.380]

При тех расстояниях, при которых k больше величины W (г), кривизна отрицательна и волновая функция выпукла вверх в области, где k меньше W (г), имеет место обратная ситуация. По сравнению со случаем У = О потенциал притяжения (отрицательный) уменьшает величину W, и, таким образом, если в данной области величина k больше / (/ -Ь 1) г , то с ростом V кривизна графика функции "фг будет увеличиваться, т. е. локальная длина волны [c.285]

Считая лагранжиан С функцией, выпуклой по о и возрастающей на бесконечности быстрей любой линейной функции, выполним преобразование Лежандра [c.148]

Для кулачкового механизма III вида определить минимальный радиус Го кулачка, исходя из требования, чтобы профиль кулачка был очерчен выпуклой кривой, если ход толкателя h = = 36 мм, а закон изменения второй производной от функции положения толкателя задан графиком [c.225]

Для кулачкового механизма III вида определить минимальный радиус г кулачка так, чтобы во всех положениях механизма в пределах фазы подъема профиль кулачка очерчивался бы выпуклой кривой. Известно, что ход толкателя h — 30 мм закон изменения второй производной от функции положения толкателя задан графиком [c.228]

При проектировании технических объектов с использованием моделей и методов математического программирования оказывается удобной геометрическая иллюстрация процесса получения оптимального решения, Рассмотрим геометрическую интерпретацию задачи математического программирования с линейной целевой функцией и с системой ограничений, образующих выпуклую оболочку области существования задачи оптимизации, т. е. пусть имеется система уравнений [c.265]

Функция F(xi..... Хт) в каждой точке пространства имеет определенное значение, следовательно, пространство является скалярным полем критерия оптимальности f (X) и функций ограничений 0<(Х). Функциям ограничений (6.6) соответствуют граничные гиперповерхности (в частном случае — гиперплоскости). Ограничениям (6.7) соответствуют гиперплоскости, выделяющие в пространстве определенную пространственную область. Если ограничения (6.6) и (6.7) представляют собой выпуклую область, то рещения задачи оптимизации будут со- [c.265]

Следует напомнить, что функцию F( ) с числовыми значениями, определенными на выпуклом множестве S, называют вогнутой, если для любой пары точек X,, Xi S и для всех чисел Я (0 Я<1) выполняется неравенство [c.280]

Для дважды дифференцируемой функции критерий вогнутости или выпуклости формируется следующим образом. Дифференцируемая функция F X) строго вогнута в некоторой окрестности точки Х(°)= (х< >,...,л < >), если выполняются условия [c.280]

Функция строго выпукла в малой окрестности [c.281]

Достаточные условия для определения максимума или минимума формулируются следующим образом для того, чтобы в точке Х< > достигался внутренний локальный максимум, достаточно равенства нулю всех частных производных и строгой вогнутости функции в некоторой окрестности этой точки для того чтобы в точке достигался внутренний локальный минимум, достаточно, чтобы все частные производные обращались в нуль и чтобы в малой окрестности этой точки функция была строго выпуклой. [c.281]

Градиентные методы эффективны для решения задач минимизации гладких и выпуклых функций. В практике [c.286]

При решении задач минимизации выпуклых функций метод Ньютона обеспечивает более высокую скорость сходимости последовательных приближений к решению по сравнению с градиентными методами, однако количество вычислений на итерации метода Ньютона высоко за счет необходимости вычисления и обращения матрицы вторых производных. Минимизация квадратичных функций происходит за один шаг. [c.288]

Сущность алгоритмов, основанных на методе отсечения, легко уяснить, обратившись к геометрическим представлениям в пространстве решений (см. 6.1). Определим выпуклую оболочку множества допустимых целочисленных точек (решений) как минимальное выпуклое множество, содержащее все эти точки. Допустимыми решениями будет не вся область допустимых решений, находящаяся внутри и на границе выпуклой оболочки, а лишь отдельные дискретные точки этой области, имеющие все целочисленные координаты. Целевая функция достигает оптимального значения в одной из вершин этой выпуклой оболочки, которая представляет собой одно из допустимых целочисленных решений. [c.310]

Далее предполагается, что диссипативная функция является выпуклой. Учитывая (1.29), это допущение можно выразить неравенством [c.17]

Из (1.29) и (1.30) видно, что диссипативная функция обладает свойствами опорной функции для выпуклой области, называемой областью текучести. Точки этой области определяются векторами положения Q, удовлетворяющими условию [c.17]

Но и Hj. Например, если Я/ образует выпуклое множество Вг, то в случае выпуклости функции Но относительный минимум совпадает с абсолютным. Если же функция Но вогнута, то относительный максимум совпадает с абсолютным. При этом абсолютные оптиму-мы будут единственными, если выпуклость (вогнутость) строгая (задачи выпуклого программирования) . [c.80]

Множество точек называется выпуклым, если отрезок, соединяющий любые две точки множества, также принадлежит данному множеству. Функция многих переменных, заданная на выпуклом множестве, называется выпуклой, если отрезок, соединяющий любые две точки, лежит на ее гиперповерхности или выше. Если отрезок находится на гиперповерхности или ниже ее, то функция будет вогнута. [c.80]

В теории геометрического программирования показывается, что максимум двойственной функции достигается в стационарной точке, которая совпадает со стационарной точкой функции In V ( ), являющейся вогнутой. Следовательно, заменяя в двойственной задаче функцию У функцией 1п V, получаем. необходимость максимизации вогнутой функции на выпуклом множестве, что представляет собой задачу вогнутого, программирования, которая решается такими же методами, что и задача выпуклого программирования. Это также существенно облегчает процесс численного решения двойственной задачи. [c.258]

Сложнее гарантировать единственность решения, хотя это так же важно, как и доказательство его существования. Наиболее надежные выводы получаются при известной форме поверхности минимизируемой функции в многомерном пространстве. Проблема эта тесно связана с анализом устойчивости равновесия и частично уже обсуждалась в 12, 13. Выше встречались различные формулировки условий устойчивости говорилось о существовании взаимно однозначного соответствия между термодинамическими силами и координатами, о постоянстве знака якобиана их преобразования (9.23), о положительной определенности квадратичных форм (12.32), (12.47), о знаке определителей матриц вторых производных характеристических функций (9.24), (12.20). Еще одно эквивалентное выражение условий устойчивости связано непосредственно с характеристикой формы поверхности рассматриваемой функции — это ее выпуклость. [c.185]

Область пространства называют выпуклой, если отрезок прямой, соединяющей две любые точки этой области, расположен целиком в ней. Так, область допустимых решений на рис. 8 образует выпуклый четырехугольник. Функция является выпуклой, если выпукло множество точек, расположенных над ее графиком. Например, U(в) на рис. 4 — выпуклая функция. В многомерных пространствах эти наглядные представления не удается применить, и понятие выпуклости без дополнительных критериев, позволяющих выразить те же особенности функции в аналитическом виде, становится не более как образным выражением. Необходимым и достаточным условием выпуклости непрерывной функции с непрерывными вторыми производными является неотрицательность определителя матрицы, составленной из этих производных (матрицы Гессе). Если же гессиан определен положительно, т. е. условие э-0 для соответствующей квадратичной формы может быть заменено условием >0, то функция называется строго выпуклой. [c.185]

Одна из особенностей выпуклых функций — они имеют единственный экстремум во всей области их определения, что гаран- [c.185]

Задача минимизации выпуклой функции G(n) при ограничениях (20.11) и (20.16) формулируется в наиболее удобном виде с помощью функции Лагранжа (см. (16.14)) [c.186]

Наиболее значительного сокращения числа неизвестных в многокомпонентной многофазной системе можно достичь, исключая из (22.9) все переменные. ....n. Такая возможность представляется благодаря особой, седловидной форме поверхности функции L(n, к) вблизи экстремума и ввиду очевидного термодинамического смысла множителей "к (см. (16.20)). Вычислительный процесс при этом организуется иначе вместо минимизации функции L в пространстве переменных п ведется поиск максимума этой функции по переменным к. Такую замену называют переходом от решения прямой задачи к решению сопряженной с ней двойственной задачи. В теории выпуклого программирования доказывают теоремы, позволяющие из формулировки прямой задачи по стандартным правилам составить соответствующую ей двойственную. В общем случае часть целевой функции двойственной задачи, от которой зависят координаты максимума, представляет собой функцию Лагранжа прямой задачи, а вместо ограничений л/< >>0 в прямой задаче выступают ограничения (22.10) в двойственной. Для рассмотренного выше частного примера из области линейного программирования двойственная к (22.2), (22.3) задача формулируется следующим образом найти максимум функции [c.188]

Пример 1 7.3. Рассмотрим фигуру Г, ограниченную графиком функции у = 1пг , а > О и лучом оси абсцисс х > 1. Эта фигура выпуклая. Выберем на оси абсцисс точки [c.44]

Теорема 9.1.2. Пусть /(х) — выпуклая функция переменной х, такая, что квадратичная форма [c.627]

Отличие вариационных постановок задач первого типа от классических (не контактных) заключается в необходимости удовлетворения дополнительным ограничениям на допустимые функции, имеющим форму неравенств. Известное условие положительной определенности потенциальной энергии деформации обеспечивает и здесь единственность решения и его существование. В частности, если вариационная задача есть задача минимизации полной энергии системы контактирующих линейно упругих тел, то ограничение — неравенство, отражающее физическое требование непроникания, выделяет из множества допустимых к сравнению функций выпуклое подмножество как хорошо известно, задача минимизации положительно определенного (выпуклого) функционала при некоторых дополнительных ограничениях на гладкость границы области имеет решение и это решение только одно. [c.93]

Эта функция выпукла и однородна первой степени по скорости д, так что она является финслеровой метрикой в области Метрика Якоби вырождается на границе дМ . Для необратимых систем метрика Якоби необратима —д) Ф Р [д,д). Панример, для системы с га- [c.148]

Тоновая аудио.четрия (И) резко выраженное двустороннее поражение слуховой функции (выпуклые кривые). Параллельное укорочение восприятия по воздуху и кости всех тонов, генерируемых аудиометром, отрицательный опыт Ринне, резкое укорочение восприятия разговорной и шепотной речи — указывали на начальную форму поран<ения первого неврона слуховых нервов иа почве хронического гнойного среднего отита. Не исключено дополнительное влияние перенесенного сыпного тифа. [c.20]

Я)Х2)>Я/" (Xi) + (1— )f (Х2). Если F(XXi+ -f (1—Х)Х2) / (Xi)j - ( —> ) (Хг), ТО функциюf(X) называют выпуклой. Если имеют место строгие неравенства, то говорят, что функция строго вогнута или строго выпукла. [c.280]

В большинстве задач проектирования при отсутствии аналитического задания целевых функций проверка F( ) на выпуклость или вогнутость, как правило, невозможна, поэтому для решения задач оптимального проектирования используют методы поисковой оптимизации, основанные на исследовании малой окрестности отимальной точки в допустимой области. Основные требования, предъявляемые к методу поиска,— высокая алгоритмическая надежность, приемлемые затраты машинного времени и требуемой памяти. [c.281]

Геометрически преобразования Лежандра объясняются возможностью двойственного олисания. поверхности в многомерном пространстве с одной стороны, такая (rf-f-1)-мерная поверхность может быть задана в виде зависимости (d-f-l)-ft координаты от остальных d координат, U=U tji,. .., да), т, е. набором точек в пространстве (U, qu. .., Qd), с другой стороны, в виде набора координат касательных плоскостей к поверхности lJ(qu qa) в каждой ее точке (сама поверхность является тогда огибающей семейства плоскостей), Если функция Ь ци. .., Qd) всюду строго"выпуклая (см. с. 185), то никакие две ее точки не могут иметь касательных плоскостей с одинаковыми координатами и оба способа представления являются однозначными и взаимообратимыми. [c.80]

L (п, к) = AGf (п) -f 2 X, (п (22.8) где li,..., Хг) — набор неопределенных множителей Лаг ранжа. Существует теорема (Куна и Таккера), утверждающая что если при некотором наборе п, К функция L(n, А.) имеет ми ннмум по переменным п и максимум по переменным Л, т. е если точка (п,Я) является седловой точкой поверхности L(n, Я.) то этот набор является решением задачи условной минимизации выпуклой функции AG/(n). Это необходимое условие решения используется и как основа для создания его алгоритма. Аналитическое выражение условия получается дифференцированием (22.8) [c.186]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...