Дифференциальные Решение особое

Особое решение. Особым решением называют такое решение дифференциального уравнения, которое во всех своих точках не удовлетворяет свойству единственности, т. е. в окрестности каждой точки (л , у) особого решения существуют, по крайней мере, две интегральные кривые, проходящие через эту точку. В частности, если f(x,y) непрерывна во всей области D, то особые решения могут проходить через те точки, в которых не выполняется условие Липшица. Последнее не выполняется [c.210]

Качественные методы были вначале применены к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Особые точки семейства интегральных кривых -составляют так называемые особые решения дифференциальных уравнений, которые могут быть получены, как правило, без производства интегрирования самого уравнения. [c.9]

Вопросам усреднения уравнений с частными производными и их приложениям посвящена обширная литература. Настоящая книга почти не имеет пересечений с другими монографиями, в которых излагаются задачи усреднения дифференциальных операторов. Особое внимание в ней обращено на задачи, связанные с линейной стационарной системой теории упругости. Поэтому для удобства читателя первая глава книги содержит материал, относящийся к исследованию стационарной системы теории упругости. В ней рассматриваются вопросы существования и единственности решений основных краевых задач теории упругости, неравенства Корна и их обобщения, априорные оценки решений и их свойства, краевые задачи в так называемых перфорированных областях и свойства их решений, а также приводятся некоторые вспомогательные сведения из функционального анализа. Все эти результаты используются в последующих главах, многие из них излагаются впервые. [c.6]

Вторая основная задача динамики (обратная) не может быть полностью решена посредством принципа Даламбера, так как основная ее трудность заключается в интегрировании дифференциальных уравнений движения. Принцип Даламбера в его применении к решению обратной задачи динамики можно рассматривать как особую методику составления дифференциальных уравнений движения. Эта методика иногда бывает полезной. Поэтому принцип Даламбера находит широкие применения в динамике сплошных сред (теории упругости, гидродинамике и т. д.). [c.421]

Содержание двух предыдущих параграфов приводит к особому методу решения задачи об интегрировании канонической системы дифференциальных уравнений [c.352]

В заключение следует отметить, что решение даже совсем простых задач устойчивости связано во многих случаях с весьма громоздкими выкладками. Если же представить себе расчет на устойчивость не просто одного стержня, а целой стержневой системы, да еще, как это часто бывает, с переменной жесткостью стержня на изгиб, то расчет приобретает характер серьезного научного исследования. Поэтому особую роль в решении задач устойчивости играют численное интегрирование дифференциальных уравнений, а также приближенные методы, среди которых видное место занимает энергетический метод, о котором мы специально поговорим в следующей лекции. [c.133]

Особо следует упомянуть приближенные решения плоской задачи теории упругости способом замены дифференциальных уравнений метода сил или метода перемещений уравнениями в конечных разностях. В этом случае рассматриваемое тело заменяется соответствующей пространственной решеткой и для каждого телесного угла имеют место три уравнения в конечных разностях (см. главу IV). [c.66]

Полуобратный метод Сен-Вена на. При решении задачи этим методом делают допущения, о виде некоторых из функций напряжений или перемещений. При этом дифференциальные уравнения настолько упрощаются, что решение их не представляет особых трудностей. Полуобратный метод является одним из наиболее эффективных методов решения задачи теории упругости. [c.49]

Решение задач о форме тонкого гибкого стержня относится к числу весьма трудоемких и кропотливых. На современном уровне развития численных методов такие задачи удобнее и быстрее решать с помощью машины. Надо непосредственно интегрировать дифференциальное уравнение второго порядка (3), и надобность в табулированных функциях отпадает. Но вот на что следует обратить особое внимание— на неоднозначность форм равновесия. Если задача решается на машине, то программа должна составляться с учетом этого обстоятельства. [c.69]

Вторая особенность численного решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений связана с достаточно широким распространением в практических задачах особого класса систем, называемых жесткими. [c.39]

Регулярный тепловой режим. Анализ решений дифференциального уравнения теплопроводности показывает, что все они представляют собой быстросходящийся ряд. При Fo 0,25 без особой погрешности можно воспользоваться первым членом ряда и представить решение, например, для неограниченной пластины в виде формулы [c.164]

Особое преимущество принципа Гамильтона обнаруживается в механике сплошных сред, поскольку этот принцип приводит не только к дифференциальным уравнениям задачи, но также и к краевым условиям, которым должны удовлетворять решения этих дифференциальных уравнений в частных производных. Во многих случаях необходимо вначале искать функцию Лагранжа L (входящую в выражение вариационного принципа) в зависимости от характера задачи. Это имеет место, например, при движении электрона в магнитном поле, когда действующая сила не имеет потенциала У далее — в теории относительности, когда L нельзя выразить с помощью выведенного нами выражения (4.10) для кинетической энергии. Здесь роль кинетической части принципа наименьшего действия играет выражение [c.277]

Решение уравнения в частных производных методом разделения переменных. У нас нет какого-либо общего метода решения уравнений в частных производных. Однако при некоторых особых условиях оказывается возможным найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби. Этот специальный класс задач сыграл важную роль в развитии, теоретической физики, так как оказалось, что ряд основных задач теории атома Бора принадлежит к этому классу. В таких задачах одно уравнение в частных производных с п переменными может быть заменено п обыкновенными дифференциальными уравнениями с одной независимой переменной, которые полностью интегрируются. Такие задачи называются задачами с разделяющимися переменными . [c.275]

II хотя вообще условные уравнения всегда замещают собою уравнения, выпадающие вследствие исключения неопределенных величин, однако введенное здесь условие S dm = О, т. е. условие постоянства dm, не мон<ет нам дать особого уравнения для решения задачи, так как согласно духу дифференциального исчисления мы всегда можем какой-либо элемент считать постоянным ведь, собственно говоря, в данном случае объектом исчисления являются взаимные отношения между дифференциалами, а не сами по себе отдельные дифференциалы. Таким образом эти три уравнения сведутся к двум, и, как в задачах на [c.131]

Другие интегралы зависят от природы дифференциальных уравнений каждой задачи, и нет возможности дать общее правило для их нахождения. Есть, однако, один случай, имеющий весьма обширное применение, который всегда поддается полному решению в конечных выражениях а именно — это тот случай, когда система совершает лишь очень малые колебания около своего положения равновесия. Ввиду важности этой задачи мы ей посвятим особый отдел. [c.410]

Задачи на удар в математическом отношении проще, чем задачи с конечными силами. Уравнения для определения скоростей в момент + О являются линейными алгебраическими уравнениями, тогда как задачи с конечными силами приводятся к дифференциальным уравнениями. В общем случае решение задач на удар не встречает особых затруднений. [c.246]

Особое преимущество принципа Гамильтона обнаруживается в механике сплошных сред, так как этот принцип позволяет получить не только дифференциальные уравнения задачи, но также и краевые условия, которым должны удовлетворять решения этих дифференциальных уравнений в частных производных. [c.842]

Будем предполагать, что через каждую точку плоскости <рсо проходит только одна интегральная кривая уравнения (62), т. е. будем считать возможным существование единственного решения этого уравнения. Точки плоскости фсо, в которых не выполняется такое условие, называются особыми точками дифференциального уравнения. Подробный ана- [c.72]

Использование закона связи между напряжениями и деформациями в его наиболее общем виде приводит к очень сложным краевым задачам для нелинейных систем дифференциальных уравнений, трудности на пути решения которых огромны. Если исходить из практического применения этого закона, то он должен удовлетворять, по крайней мере, двум требованиям ...с одной стороны, он должен возможно точнее отражать те физические свойства материала, учету которых мы придаем особое значение, с другой стороны, он должен иметь возможно более простую форму [43]. [c.11]

В случае обыкновенных дифференциальных уравнений решения могут быть общие (содержащие столько произвольных постоянных, каков порядок уравнения, см. стр. 213), частные, получающиеся из общих при частных значениях произвольных постоянных, и особые, которые вообще не содержатся в общем решении, т. е. не получаются из него при частных значениях произвольных постоянных (см. стр. 210). [c.206]

Соотношение Ф (х, у, С) = 0 называется общим интегралом уравнения, если у как неявная функция есть решение дифференциального уравнения. Частный интеграл получается из общего при частном значении С. Особый интеграл не содержится в общем интеграле. [c.206]

Если известен общий интеграл Ф (л , у, С) = О дифференциального уравнения, то огибающая этого семейства интегральных кривых дает особое решение (см. стр. 268). [c.211]

Дифференциальное уравнение (1-11-38) было решено для полупространства, когда ядра интегральных соотношений а (6) и X (9) являются степенными или экспоненциальными функциями времени б. Наличие интегральных соотношений в уравнении теплопроводности (1-11-38) не вносит больших трудностей при его решении методом интегрального преобразования Лапласа, поскольку интегрирование в этих соотношениях производится по времени в пределах от О до со [Л. 1-50]. Особый интерес представляют температурные волны в материалах с памятью, они имеют свою особенность, скорости их распространения и коэффициенты затухания отличны от аналогичных соотношений в классической теории теплопроводности. [c.92]

Особые преимущества интегральных преобразований обнаруживаются при решении систем дифференциальных уравнений в частных производных. Методика решения систем уравнений при этом принципиально не отличается от методики решения отдельных уравнений и заключается в осуществлении ряда последовательных операций. Например, для Одномерных задач теплопроводности, зависящих от координат и времени, необходимо [c.116]

В аналитической теории дифференциальных уравнений О. т, ур-ния наз, точка комплексной плоскости, к-рая является О. т. хотя бы для одного из коэф. ур-ния. Такие О. т. являются особыми и для решений (неподвижные О. т, . Имеются также подвижные О. т., положение к-рых определяется нач. условиями. [c.476]

Периодические движения в консервативной системе отличаются той особенностью, что они никогда не бывают изолированными. Это связано с тем, что если при некотором значении произвольной постоянной в интеграле движения мы имеем замкнутую фазовую траекторию, то в силу непрерывной зависимости решения дифференциальных уравнений от начальных условий и при близких значениях этой постоянной фазовые траектории будут оставаться замкнутыми. Таким образом, замкнутые траектории образуют континуум, заполняя целые области двумерного фазового пространства. При этом возможны два случая в первом случае замкнутые траектории, вложенные одна в другую, стягиваются либо к особой точке типа центра, либо к сепаратрисам седловых особых точек. В случае, когда фазовое пространство представляет собою цилиндрическую поверхность, замкнутые траектории могут охватывать фазовый цилиР1др. [c.29]

Полученное решение не единственно тем же начальным условиям и дифференциальному уравнению (19) можно удовлетворить, полагая х 5= 0. В обсуждение этого на первый взгляд парадоксального для задач динамики результата мы подробнее вдаваться не будем, укажем лишь, что полученный результат не противоречит сказанному в 87 об единственности решеглш задачи тина Коши. Точка t = О, х = О является особой точкой, так как в ней обращается в нуль коэффициент при старшей производной в уравнении (19). В этой точке ускорение неопределенно нетривиальному решению х = gf l6 при t = О соответствует, как легко убедиться, ускорение д о -= g/3, в то время как решение л = О дает Ха = 0. [c.114]

И е (особые точки в плоскости Vip, в которой ое является сепаратрисой), нужно исследовать поведение решения в малой окрестности начальной точки о. Пример такого аналитического исследования, основанного на линеаризацпи системы дифференциальных уравнений в малой окрестности точки о и позволяющего выйти па особой точки о вдоль искомой сепаратрисы, дан в 3—5 и 10 гл. G применительно к исследованию структуры ударных волн в жидкости с пузырьками газа. Интегральную кривую ое можно найти и численно с помощью пристрелки по двум параметрам по следующей схеме. Так как л не входит в правые части дифференциальных уравнений (4.4.15), интегральные кривые допускают произвольное смещение вдоль оси х. Поэтому фиксируем для х/ = 0 некоторое v,f, такое, что 1г 1/1 < va и Vif мало отличается от Va (для размытой волны индекс / внизу относится к начальной точке интегрирования, в которой производится пристрелка). Далее при фиксированном Vtf подбираем такие Mif и Pf (как указано в обсуждении после (4.4.17), остальные искомые функции однозначно определяются по значениям Vif, Pf при этом Мг И Pf ДОЛЖНЫ быть такими, чтобы v i < 1 2/1 < 1 о1), чтобы интегральная кривая с этими граничными условиями в точке Xf имела при х оа ъ качестве предела начальное состояние. [c.345]

Доказательство существования или отсутствия непрерывного решения для структуры волны i случае Do > f, когда интегральная кривая пересекает звуковую линию в особой точке, в которой Д 1 = Д 2 = Др1 = А = О, связано с исследованием системы из шести независимых дифференциальных уравнений. Этот вопрос здесь обсуждаться не будет, так как случай D > С/ при заметных объемных концентрациях пузырьков 2 10 может осуществиться только в ч11езвычайно сильных ударных волнах, когда необходим учет дробления пузырьков, фазовых переходов и других физико-химических процессов, т. е. необходимо [c.70]

Современные вычислительные цифровые машины позволяют без особого труда решать большие системы линейных алгебраических уравнений. Для их решения имеются стандартные программы. Поэтому метод конечных разностей (метод сеток) получил в настоящее время широкое распространение для решения многих прикладных задач. Этот метод применяется для интегрирования не только линейных дифференциальных уравнений, но также и нелпыейиых. В последнем случае в результате конечно-разностной аппрокспмацпи дифференциальных уравнений получаются системы нелинейных алгебраических уравнений. [c.211]

Система (96 ), (96"), как мы видим, представляет собой все еще нормальную систему второго порядка относительно п неизвестных функций t, q ,, q - независимого переменного q . Поэтому на основании обычной теоремы существования и единственности решения дифференциальных уравнений можно утверждать, что для системы (96 ), (96") существует решение и притом единственное, для которого в соответствии с заданным значением независимой переменной остальные п—1 переменных q и соответствующие им производные q вместе с и принимают наперед заданные произвольные значения. Условие того, что кривая в пространстве Г проходит через заданную точку в заданном направлении, выражается тем обстоятельством, что при указанном значении координаты q остальные (п—1) координат и их производные q принимают заданные значения. Отсюда можно заключить, что через каждую точку пространства Г в каждом из возможных направлений проходит по крайней мере одна траектория. Так как точек в пространстве Г будет оо" и из каждой из них выходит оо"" направлений, а на К35КДОЙ кривой существует оо точек и в каждой из них, за вычетом лишь исключительных (особых точек), однозначно определяется направление касательной, то можно поэтому сказать, что траектории дифференциальной системы второго порядка (96) с п неизвестными функциями образуют множество, состоящее по крайней мере из элементов. [c.339]

После того как дифференциальные уравнения движения написаны на основании вариационного принципа Гамильтона, возникает вопрос об их фактической интеграции. Для этой цели Гамильтоном и Якоби систематически развита специальная теория. Эта теория имела особое значение для небесной механики и для классической теории атома Бора—Зоммерфельда. Построение этой теории заключает в себе три последовательных этапа. Прежде всего необходимо найти возможно более простую форму дифференциальных уравнений движения. Эта форма была найдена в канонических уравнениях Галгильтона. Затем надо установить общие законы таких преобразований этих дифференциальных уравнений, при которых они сохраняли бы свою форму. Такими законами оказались канонические преобразования и теория важнейших их инвариантов. Наконец, надо развить собственно теорию интегрирования систем канонических уравнений. Решение этой задачи привело к установлению и интегрированию уравнения в частных производных Гамильтона—Якоби. [c.827]

Прежде всего необходимо указать, что дифференциальные принципы обладают одним общим недостатком. Формулировка этих принципов всегда требует введения особых координат для исследуемой системы. Необходимость введения таких координат придает решению каждой проблемы специфически механический вид. Но дело не только в этом. Физика должна формулировать законы природы так, чтобы они не зависели от произвольного выбора исследователем системы координат. Физический закон, сформулированный нами, должен быть инвариантным относительно той или иной группы преобразований координат. Эти преобразования должны быть выражением каких-то фундаментальных свойств материального мира. Инвариантность является необходимым, хотя и недостаточным условием истинности формулированных нами физических законов. То, что те или иные законы инвариантны лишь по отношению к тем или иным преобразованиям, введенным как логическое обобщение опытных данных (преобразование Галилея — равномерного движения и сложения скоростей, преобразование Лоренца — опыта Майкельсона и т. п.), указывает на определенные границы, на сферу применения этих законов. Так, уравнение Шредингера, которое не инвариантно по отношению к лоренцовым преобразованиям, являясь аналогом уравнений классической механики, ограничено соответствующим образом в объеме охватываемых им явлений. Интегральный же принцип Гамильтона имеет то огромное преимущество, что он может быть сформулирован так, что окажется инвариантным по отношению к любым преобразованиям координатных систем. [c.870]

Нетрудно заметить, что уравнения (XII.16) и (XII.17), являющиеся уравнениями Рикатти, не интегрируются в элементарных функциях. Для нахождения их решения можно применять метод численного интегрирования. Однако для упрощения расчетов, если зависимость рд , = р (/) задана графически, можно с небольшой погрешностью представить график в виде отрезков прямых, произведя линеаризацию кривой. После этого численное интегрирование не представляет особого труда. При расчете необходимо следить по значению скорости и числу Re за режимом течения жидкости и при смене режима перейти на соответствующее уравнение. Когда значение р t) достигнет своего практически постоянного значения (например, давления в сети), то и правые части уравнений (XII.16) и (ХП.17) окажутся постоянными и их можно проинтегрировать, как дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Разгон поршня будет происходить до установления постоянной скорости и . [c.235]

В настоящей работе дается новый метод решения задачи, основанный на применении аналитической теории линейных дифференциальных уравнений. А именно, решение задачи Девисона, -а также второй задачи — о движении грунтовой воды через земляной экран, сечение которого представляет прямоугольный треугольник,— сводится к построению интегралов линейного уравнения с тремя особыми точками, т. е. гипергеометрического уравнения. Тема этой работы была предложена мне Н. Е. Кочи-ным, которому принадлежит основная идея метода — применение теории линейных уравнений. [c.96]

Повышение быстроходности насосов высокого давления и снижение веса на единицу мощности требует особо тщательнога подхода к расчету и конструированию элементов клапанного распределения. Однако имеющиеся рекомендации [3, 6] в ряде случаев не подтверждаются на практике. Это свидетельствует о необходимости более глубокого исследования динамических процессов, протекающих при работе насосного клапанного гидромеханизма (н. к. г.). При этом в отличие от ранее проводимых исследований работу н. к. г. следует рассматривать в цeлo f с учетом всех факторов, оказывающих влияние на характер протекающих процессов. Поставленная в таком виде задача сводится к решению системы нелинейных дифференциальных уравнений,, что можно осуществить с помощью электронно-моделирующих установок. [c.279]

Особые преимущества интегральные преобразования обнаруживают при решении систем дифференциальных уравнений в частных производных. Методика решения систем уравнений при этом прннципиально не отличается от решения отдельных уравнений и осуществляется рядом последовательных операций. Например, для однО мерных задач тепло-и массопереноса, за1висящих от координаты и времени, необходимо [c.84]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...