Дифференциальные системы траекториями

Выведем дифференциальное уравнение траекторий движения материальной точки в плоскости под действием центральной силы. С этой целью исключим время из системы (57), используя интеграл площадей (59). Имеем [c.53]

Геометрические дополнения траектории дифференциальной системы второго порядка спонтанные движения голономной системы и геодезические линии [c.337]

Дифференциальные системы с траекториями. Предположим, что уравнения системы (96) не содержат явно t. В этом случае эта переменная не появится также и в правых частях уравнений эквивалентной системы (96 ), (96"), а с другой стороны, там появится t, и левую часть уравнения (96 ) можно написать в вида [c.340]

Этим замечанием Эйлера в неявном виде формулируется ограничение области применения принципа наименьшего действия кругом проблем, в которых силы имеют потенциал ). Таким образом, согласно Эйлеру, необходимым условием применимости принципа наименьшего действия является подчинение системы закону живых сил, в. то время как Мопертюи усматривал универсальность своего принципа наименьшего количества действия именно в том, что он имеет более общее значение, чем закон живых сил, или другие законы механики. В то же время в той форме, которую придал Мопертюи этому принципу, он имеет смысл только для конечных и мгновенных изменений скорости, и поэтому из него можно получать только уравнения, связывающие конечные величины. Эйлерова же форма принципа наименьшего действия охватывает непрерывные движения, и из нее получаются дифференциальные уравнения траекторий. [c.789]

Аналогично совпадение направления касательной к траектории и вектора элементарного перемещения dx материальной частицы М запишется в виде системы дифференциальных уравнений траекторий [c.106]

Исследуя уравнения Пуанкаре в групповых переменных, Н. Г. Четаев доказал существование относительного интегрального инварианта соответствующей системы дифференциальных уравнений траекторий движения. [c.102]

Эта система уравнений отличается от дифференциальных уравнений траекторий частиц (4) лишь тем, что в правых частях в соответствии с определением линий тока положено 1 = 1 и что, следовательно, х, у, z являются координатами точки на линии тока. В случае, когда движение установившееся, переменное t не входит явно в правые части уравнений (4). и тогда эти уравнения совпадают с уравнениями (5). Мы вновь убеждаемся, на этот раз из аналитических соображений, что в установившемся потоке линии тока совпадают с траекториями частиц. [c.120]

Нетрудно убедиться в том, что закон движения д = = os t — /о). У = sin t — /о) представляет периодическое решение системы дифференциальных уравнений (3.4), которое можно рассматривать как параметрическое описание замкнутой траектории [c.47]

Эти критерии относятся к системе дифференциальных уравнений (3.1), правые части которых являются аналитическими функциями на всей фазовой плоскости. Сформулируем сначала критерий Бендиксона, указывающий достаточное условие отсутствия замкнутых контуров, целиком составленных из фазовых траекторий если в некоторой односвязной области на фазовой плоскости выражение [c.48]

Многие стороны поведения фазовых траекторий динамической системы, а в ряде случаев и полная картина разбиения фазового пространства на траектории могут быть выяснены путем исследования поведения последовательных точек пересечения траекторий с так называемым отрезком без контакта (в случае двумерного фазового пространства) или с секущей поверхностью (в случае трехмерного фазового пространства). Эта последовательность точек пересечения образует некоторое точечное преобразование Т, к изучению которого и сводится задача об исследовании поведения фазовых траекторий. При этом оказывается, что структура рассматриваемой динамической системы взаимно однозначно определяется структурой порождаемого ею точечного отображения Т. Это означает, что каждому вопросу в отношении структуры решений дифференциальных уравнений отвечает некоторый вопрос, относящийся к структуре точечного отображения Т. В частности, периодическим решениям дифференциальных уравнений или, что то же самое, замкнутым фазовым траекториям ставятся в соответствие неподвижные точки соответствующею точечного отображения Т, [c.70]

Обратимся теперь к исследованию поведения траекторий в трехмерном фазовом пространстве. Поведение соответствующей динамической системы описывается системой трех нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Будем по-прежнему предполагать, что для их решений в сторону возрастания времени соблюдаются теоремы единственности и непрерывной зависимости от начальных условий. Введем понятие поверхности без контакта. По определению поверхностью без контакта называется гладкая поверхность, во всех своих точках пересекаемая фазовыми траекториями без касания. Секущей поверхностью будем называть поверхность без контакта, [c.75]

Для доказательства правомерности такой замены покажем, ЧТО точечное отображение Т, построенное для системы дифференциальных уравнений (4.23), близко к точечному отображению сдвига Тт, построенному для уравнений (4.24), с точностью до малых величин порядка х . В самом деле, точечное отображение Т, порождаемое фазовыми траекториями уравнений (4.23), легко находится, если известно общее решение этих уравнений. В нашем случае общее решение уравнений (4.23) с точностью до малых величин порядка ]u, записывается в виде [c.90]

Здесь, как и в формуле (31), числитель имеет собственный знак, а знаменатель всегда положителен. Знак нормального ускорения совпадает со знаком радиуса кривизны плоской кривой, как это принято в дифференциальной геометрии. При правой системе координат положительный знак нормального ускорения означает, что траектория точки лежит слева от вектора скорости, и чтобы определить направление нормального ускорения, надо вектор скорости повернуть на 90° против хода часовой стрелки, а если < 0. то V надо повернуть на 90° по ходу часовой стрелки, чтобы получить направление ам- [c.44]

Система дифференциальных уравнений, описывающая форму нити в равновесии, совпадает с системой. дифференциальных уравнений для траектории точки, если формально отождествить [c.372]

Таким образом, знание множителя Якоби и т - 2 независимых первых интегралов автономной системы дифференциальных уравнений позволяет свести к квадратурам задачу определения ее траекторий. [c.677]

Начальные условия в форме (9) определяют единственное решение системы дифференциальных уравнений (3) при соблюдении соответствующих условий теории дифференциальных уравнений. Условия в других формах, как, например, задание двух точек, через которые должна проходить траектория движущейся точки, могут дать или несколько решений, удовлетворяющих этим условиям, или не дать ни одного решения. [c.214]

Рассмотрим естественные дифференциальные уравнения движения изображающей точки по основной траектории и траектории, соответствующей движению вспомогательной свободной материальной системы. Согласно этим уравнениям найдем [c.193]

Определение ускорения точки при естественном способе задания движения. Прежде всего остановимся на некоторых вопросах дифференциальной геометрии. Пусть точка движется относительно системы отсчета Охуг по некоторой неплоской криволинейной траектории.Предположим, что эта точка в рассматриваемый момент 1 находится в точке М на траектории (см. рис. 166). Проведем через точку М касательную к траектории и будем определять положительное направление этой касательной единичным вектором т , направленным по касательной в сторону возрастания дуговой координаты а и равным по модулю единице. Проведем через точку М плоскость, перпендикулярную к касательной эта плоскость называется нормальной плоскостью траектории в точке М. Все Рис. 166 прямые, проходящие через точку М и [c.254]

В системе, нелинейной за счет одного из консервативных параметров, наличие линейного трения также приводит к качественному изменению фазового портрета системы по сравнению с фазовым портретом подобной же системы в пренебрежении затуханием (трением). При этом исчезают существовавшие в случае консервативных систем особые точки типа центр и на их месте появляются особые точки типа устойчивого фокуса или устойчивого узла, а вместо континуума замкнутых фазовых траекторий возникают свертывающиеся траектории, приводящие из любого места фазовой плоскости (при любом начальном состоянии) к устойчивой особой точке — состоянию покоя. Наличие нелинейного консервативного параметра в колебательной системе в первую очередь сказывается на форме фазовых траекторий, которые в этом случае не являются логарифмическими спиралями на всей фазовой плоскости, а переходят в них в окрестностях особой точки типа фокуса. Для иллюстрации можно привести фазовый портрет маятника при учете линейного трения (рис. 2.6). Описывающее его дифференциальное уравнение имеет вид [c.52]

Применительно к уравнениям движения механизма не выше второго порядка уравнение фазовой траектории можно получить, если заменить уравнение движения механизма эквивалентной системой двух дифференциальных уравнений первого порядка относительно х — q н у = q х [c.201]

Если задача решена в переменных Эйлера, то решение задачи в переменных Лагранжа приводится к интегрированию трех совместных обыкновенных дифференциальных уравнений. Действительно, по предположению, переменные и, V, VI) известны в функции от X, у, г, t. Следовательно, траектория частицы, координаты которой х, у, г зависят от времени и имеют начальные значения а, Ь, с, может быть найдена интегрированием системы обыкновенных дифференциальных уравнений [c.293]

Если же маятники расстроены то, хотя обмен энергией и будет иметь место, он будет совершаться таким образом, что первоначально возбужденный маятник будет иметь минимум, отличный от нуля, и только маятник, первоначально находившийся в состоянии покоя, в процессе движения снова возвратится в состояние покоя. Таким образом, одинаковый характер колебаний маятников нарушается их расстройкой. Сначала мы кратко изложим теорию полного резонанса при возможно более простых допущениях (пренебрегая затуханием, а также различием между дугой окружности и касательной к ней в нижней точке траектории, что допустимо при достаточно малых колебаниях). Обозначим через х отклонение маятника /, через Х2 — отклонение маятника II. Если, далее, обозначить через к коэффициент связи , т. е. напряжение в пружине при единичном удлинении ее, деленное на массу, то система дифференциальных уравнений нашей задачи примет следующий вид [c.145]

Лучевая оптика является механикой световых частиц их траектории (в оптически неоднородных средах они ни в коем случае не будут прямолинейными) определяются обыкновенными дифференциальными уравнениями Гамильтона или эквивалентным им принципом наименьшего действия. Напротив, с точки зрения волновой теории световые лучи получаются как ортогональные траектории системы волновых поверхностей. Последние, согласно принципу Гюйгенса, являются параллельными поверхностями. Гамильтон описывал семейство волновых поверхностей с помощью дифференциального уравнения (по необходимости — в частных производных) и распространил этот метод на мно- [c.301]

Это заключение носит слишком абсолютный характер. Действительно, дифференциальное уравнение, связывающее Y), 1 , имеет совершенно тот же вид, что и уравнение между X, у, Z, но силы JT, у, Z не выражаются одинаково по отношению к указанным двум системам переменных. Так, например, если мы представим себе две точки, взаимно притягивающие друг друга силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния, то по отношению к подвижным осям, проходящим через центр тяжести, эти точки будут описывать эллипсы но отношению же к неподвижным осям их траектории будут гораздо более сложными. (Прим. Бертрана.) [c.338]

Траектории. В виде дополнения к развитой в предыдущих параграфах теории дифференциальных уравнений движения какой угодно материальной системы (голономной или неголономной) добавим некоторые замечания о геометрическом представлении движения, т. е., с аналитической точки зрения, о различных обстоятельствах, которые могут представиться, когда из уравнений общего интеграла исключается время. [c.337]

Траектории и связки траекторий. Прежде чем приступить к распространению принципа стационарного действия на какую-нибудь лагранжеву систему с кинетическим потенциалом, йе зависящим от времени, удобно привести здесь некоторые новые соображения о соответствующих траекториях. Эти траектории для случая какой угодно системы дифференциальных уравнений вида [c.428]

Для этой цели удобно прежде всего по отношению к нашей лагранжевой системе снова применить способ, которым мы пользовались в п, 61 гл. V для оценки степени произвола совокупности траекторий любой нормальной системы дифференциальных уравнений второго порядка (41). Все сводится к тому, что в качестве независимой переменной вместо t выбирается одна из переменных q, которая, конечно, должна обладать тем свойством, что она не остается постоянной во время движения (в силу чего мы вынуждены, как мы это видели в упомянутом выше пункте, исключить возможные статические решения, которые, очевидно, не представляют интереса для рассматриваемого здесь вопроса). Если есть новая независимая переменная и если обозначим штрихами производные по этой переменной, то преобразованная лагранжева система будет состоять из /г — 1 уравнений вида [c.429]

Система (96 ), (96"), как мы видим, представляет собой все еще нормальную систему второго порядка относительно п неизвестных функций t, q ,, q - независимого переменного q . Поэтому на основании обычной теоремы существования и единственности решения дифференциальных уравнений можно утверждать, что для системы (96 ), (96") существует решение и притом единственное, для которого в соответствии с заданным значением независимой переменной остальные п—1 переменных q и соответствующие им производные q вместе с и принимают наперед заданные произвольные значения. Условие того, что кривая в пространстве Г проходит через заданную точку в заданном направлении, выражается тем обстоятельством, что при указанном значении координаты q остальные (п—1) координат и их производные q принимают заданные значения. Отсюда можно заключить, что через каждую точку пространства Г в каждом из возможных направлений проходит по крайней мере одна траектория. Так как точек в пространстве Г будет оо" и из каждой из них выходит оо"" направлений, а на К35КДОЙ кривой существует оо точек и в каждой из них, за вычетом лишь исключительных (особых точек), однозначно определяется направление касательной, то можно поэтому сказать, что траектории дифференциальной системы второго порядка (96) с п неизвестными функциями образуют множество, состоящее по крайней мере из элементов. [c.339]

Как при ляпуповском, так и при некоторых других определениях устойчивости нас интересует поведение решений системы (а) при t- oo. Будем считать правые части уравнений системы (а) вполне определенными регулярными функциями своих аргументов при любых конечных значениях их. Если мы предположим, что при t со искомые функции х ж у стремятся к каким-то вполне определенным конечным пределам, то это же самое будет верно относительно функций X, Y, и если пределы последних отличны от нуля, то мы придем к противоречию. Таким образом, надо сказать, что в этом случае X = У = О при t оо, ш исследование поведения решений системы (а) на устойчивость становится частным случаем изучения поведения 136 решений (а), иначе говоря, траекторий этой дифференциальной системы в окрестности одной из ее особых точек — точек одновременного обращения в нуль правых частей этой системы [c.136]

Рассматривая составляющие скорости точки в лоляр-ной системе координат и исключая время, получим дифференциальное уравнение траектории, интегрируя которое, найдем конечное уравнение траектории [c.69]

Рассмотрим структуру разбиения фазового пространства на траектории в окрестности периодического движения на примере трехмерного фазового пространства. Пусть х = = X (О, у = У (0. 2 = 2 (t) — периодическое решение периода т системы дифференциальных уравнений (1.1). Линзаризуя эти уравнения в окрестности рассматриваемого периодического движения, мы придем к уравнениям в вариациях вида (1.2), в которых теперь частные производные [c.17]

Периодические движения в консервативной системе отличаются той особенностью, что они никогда не бывают изолированными. Это связано с тем, что если при некотором значении произвольной постоянной в интеграле движения мы имеем замкнутую фазовую траекторию, то в силу непрерывной зависимости решения дифференциальных уравнений от начальных условий и при близких значениях этой постоянной фазовые траектории будут оставаться замкнутыми. Таким образом, замкнутые траектории образуют континуум, заполняя целые области двумерного фазового пространства. При этом возможны два случая в первом случае замкнутые траектории, вложенные одна в другую, стягиваются либо к особой точке типа центра, либо к сепаратрисам седловых особых точек. В случае, когда фазовое пространство представляет собою цилиндрическую поверхность, замкнутые траектории могут охватывать фазовый цилиР1др. [c.29]

Из физических соображений очевидно, что в дифференциальных уравнениях (3.1), описывающих движение реальной физической системы, ни один из учитываемых нами факторов не может оставаться абсолютно неизменным во времени. Следовательно, правые части уравнений (3.1), вообще говоря, изменяются вместе с входяпшми в них физическими параметрами. Однако если эти изменения достаточно малы, то, как показывает практика, физическая система как бы не замечает этих изменений, качественные черты ее поведения сохраняются. Поэтому, если мы хотим, чтобы уравнения (3.1) отобразили эту особенность, нужно придать им свойство грубости, а именно при малых изменениях параметров должна оставаться неизменной качественная структура разбиения фазовой плоскости на траектории. Тем самым выделится класс грубых динамических систем. Грубость динамической системы можно трактовать как устойчивость структуры разбиения ее фазового пространства на траектории по отношению к малым изменениям дифференциальных уравнений (3.1). [c.44]

Остановимся теперь на вопросе о связи точечного отображения Т, порождаемого фазовыми траекториями на секу-ш,ей поверхности, с отображением сдвига 7 . Отображение Т секушей поверхности определено в пространстве, размерность которого по крайней мере на единицу меньше, чем размерность фазового пространства системы. В отличие от Т, точечное отображение сдвига определено в пространстве той же размерности, что и фазовое пространство. Поэтому характер связи между структурой фазового портрета динамической системы и структурой точечного отображения сдвига Т-с отличается от связи структуры разбиения фазового пространства на траектории со структурой отображения Т секуш,ей поверхности. Вместе с тем отображение сдвига автономной системы или неавтономной системы, правые части дифференциальных уравнений которой являются периодическими функциями времени /, можно интерпретировать как точечное отображение Т, порождаемое решениями дифференциальных уравнений на [c.88]

Гомоклинические структуры возможны в динамических системах, описываемых дифференциальными уравнениям , с размерностью, не меньшей трех. Двумерные системы гомоклинических структур иметь не могут. Однако двумерные точечные отображения такие структуры допускают. Для динамической системы, описываемой точечным отображением, под гомоклинической структурой естественно понимать некоторое множество седловых неподвижных точек и двоякоасимптотических к ним фазовых траекторий (последовательностей преобразующихся друг в друга точек). Простейшая гомоклиническая структура для точечного отображения возникает при пересечении сепаратрисных инвариантных многообразий — седловой неподвижной точки двумерного точечного отображения. Возникающая при этом сложная картинка взаимопересечений сепара-трисных кривых уже описывалась. [c.315]

Наиболее полное представление о движении летательного аппарата позволяет установить теория динамичес[кой устойчивости, в которой рассматривается роль аэродинамических характеристик аппарата и управляющего воздействия в сохранении исходных параметров движения на траектории (устойчивости движения). В настоящей книге в краткой форме излагаются методы решения соответствующей системы дифференциальных уравнений возмущенного движения, акцентируется внимание на качественном анализе полученных результатов. Приводимые решения являются аналитическими и относятся к заданным областям начальных параметров, определяющих упрощенные модели динамической устойчивости. Такие решения имеют весьма большое значение для инженерной практики. Вместе с тем при необходимости получения массовых результатов для какой-либо определенной динамической модели летательного аппарата, обусловливающей многоварианткссть начальных условий и большой сбъем вы- [c.5]

Но даже указав значения, которые при дп Яп должны принять 2л — 2 функций q и q h=, 2,. .., п—1), можно еще произвольно выбирать начальные значения t и t, так что в общей сложности для системы дифференциальных уравнений (96 ), (96") или для эквивалентной ей системы (96) имеются оо решений, траектории которых в Г выходят из одной и той же точки Pd в одном и том же направлении и а priori нельзя решить, соответствуют ли этим оо решениям действительно столько же различных траекторий, или же эти траектории приводятся к со или даже только к одной траектории. Наконец, справедливо также, что в общем решении координаты j,. .., представятся при более широких предположениях зависящими существенным образом от переменке [c.339]

Если найдены два независимых между собой множителя Mj, М2, то их отношение MJM2 представляет интеграл системы дифференциальных уравнений. Это следует из того факта, что оба выражения MiV taM V остаются вдоль траектории постоянными (см. (21.7.18)), следовательно, остается [c.415]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...