Кинематические уравнения движения материальной точки

Кинематические уравнения движения материальной точки задают ее положение в выбранной системе координат в любой момент времени. Траекторией точки называется геометрическое место последовательных положений точки в выбранной системе координат. Уравнения движения точки в конечном виде могут быть [c.5]

Кинематические уравнения движения материальной точки. Если положение материальной точки в каждый момент времени определено в данной системе отсчета, то движение ее задано или описано. Это задание достигается в виде кинематического уравнения движения [c.33]

Равенства (1.2) являются кинематическими уравнениями движения материальной точки в декартовых координатах. Но уравнения могут быть записаны в любой другой системе координат, связанной с декартовой взаимно однозначным преобразованием. При движении точки в плоскости Оху часто бывает удобно пользоваться полярными [c.33]

Подстановка найденных значений произвольных постоянных в общее решение уравнений движения (6.6) дает частное решение системы дифференциальных уравнений движения это искомые кинематические уравнения движения материальной точки [c.85]

Во многих задачах динамики рассматривается движение материальной точки относительно системы отсчета, движущейся относительно инерциальной системы. Дифференциальные уравнения движения материальной точки относительно таких подвижных, в общем случае неинерциальных, систем отсчета получают из уравнений движения точки относительно инерциальной системы отсчета и кинематической теоремы Кориолиса о сложении ускорений. [c.249]

Период развития механики после Ньютона в значительной мере связан с именем Л. Эйлера (1707— 1783), отдавшего большую часть своей исключительно плодотворной деятельности Петербургской Академии наук, членом которой он стал в 1727 г. Эйлер развил динамику точки (им была дана естественная форма дифференциальных уравнений движения материальной точки) и заложил основы динамики твердого тела, имеющего одну неподвижную точку ( динамические уравнения Эйлера ), нашел решения этих уравнений при движении тела по инерции. Он же является основателем гидродинамики (дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости), теории корабля и теории упругой устойчивости стержней. Эйлер получил ряд важных результатов и в кинематике (достаточно вспомнить углы и кинематические уравнения Эйлера, теорему о распределении скоростей в твердом теле). Ему принадлежит заслуга создания первого курса механики в аналитическом изложении. [c.11]

Динамическую систему, описываемую уравнениями движения материальной точки с ударным выходом на одностороннюю связь, назовем динамическим биллиардом. Частным случаем является классический кинематический биллиард, когда на материальную точку не действуют никакие силы и ее траектория определяется только ударными выходами на связь, а отрезок траектории между двумя последовательными ударами есть прямолинейное движение с постоянной скоростью. В общем случае динамического биллиарда движение материальной точки определяется не только ударами, но и действующими на точку силовыми полями [1. [c.204]

Движение материальной точки массой т — кг в плоскости задано кинематическими уравнениями вида r = t ф = 2 (г и ф — полярные координаты в метрах и радианах t — в секундах). Найти модуль действующей на точку силы F при ф = 2 рад. [c.78]

Обратим внимание на одно обстоятельство, которое легко усмотреть в только что решенной задаче. Определяя силу по заданному движению материальной точки, мы нашли, что движение произведено силой, являющейся функцией координат точки. Но мы могли бы выразить силу и как функцию времени. В самом деле, продифференцировав дважды кинематические уравнения и умножив вторые производные на т, найдем [c.122]

Первая основная задача динамики точки состоит в определении равнодействующей сил, вызывающих заданное движение материальной точки с известной массой. В зависимости от того, в какой форме задай закон движения точки, для определения равнодействующей сил можно применять уравнения движения в векторной, координатной или естественной форме. Во всех этих случаях задача сводится к определению ускорения из известных кинематических уравнений движения. Определение ускорения при этих условиях не связано, конечно, с какими-либо принципиальными трудностями, поэтому первую основную задачу динамики точки (прямую задачу) можно считать достаточно элементарной, хотя, решая именно эту задачу, И. Ньютон установил закон всемирного тяготения. [c.321]

Дано движение материальной точки заданной массы, т. е. известны координаты точки как функции времени — кинематические уравнения движения требуется найти силу, действуюш,ую на точку первая задача динамики). [c.20]

Дана сила, приложенная к материальной точке заданной массы требуется найти движение точки, т. е. кинематические уравнения движения вторая задача динамики). [c.20]

Сила Кориолиса. Равенство (4. 102) является основным кинематическим уравнением, служащим для получения динамических уравнений движения твердого тела. Однако оно применимо не только к движению твердого тела, но и к движению материальной точки или системы материальных точек во вращающейся системе координат. Одной из наиболее важных задач этого рода является задача о движении материальной точки относительно системы, связанной с вращающейся Землей. [c.154]

Снова пришли к равенству (9) и, следовательно, к уравнениям движения (10). Итак, эти уравнения получаются из рассмотрения связанной задачи вариационного исчисления при условии, что на искомых экстремалях учтены условия кинематической осуществимости окольного движения. Однако такая попытка сохранить вариационную формулировку принципа Гамильтона—Остроградского, вообще говоря, не приводит к цели, так как требования кинематической осуществимости смежного движения могут оказаться совместимыми с условиями (2) и уравнениями связей (1) только в случае интегрируемости этих уравнений. Это показывается на простом примере движения материальной точки при наличии неголономной связи ) [c.670]

Основная задача механики и заключается в динамическом описании движения материальной точки, устанавливающем связь между силовым полем, в котором движется материальная точка, и кинематическим уравнением ее движения. Эта связь отражена в дифференциальном уравнении тг — Р. [c.28]

Координаты твердого тела. Кинематические уравнения движения. Под твердым телом в механике понимается непрерывная система материальных точек, расстояния между которыми остаются неизменными. Аналитическое описание положения твердого тела в пространстве, а также изменения этого положения со временем, т. е. движения тела, должно определять положение и движение любой точки тела. Хотя число точек твердого тела неограниченно, число степеней свободы благодаря жестким связям невелико. [c.44]

Первая задача задано движение материальной точки с известной массой т, т. е. задано кинематическое уравнение движения (1.2) [c.82]

Заданные силы и силы реакции. Задача о движении несвободной материальной точки по сравнению со свободной видоизменяется следующим образом движение точки ограничено связями и на нее (вне зависимости от связей) действуют известные силы, они называются заданными силами. Требуется отыскать кинематические уравнения движения. По своей природе, как уже об этом говорилось, действие связей сводится к силам, приложенным к движущейся точке. Поэтому при известных уравнениях связи оказывается возможным подобрать такую добавочную к заданным силу, которая влияет на движение точки так же, как и связь. Это положение носит название принципа освобождаемости от связей. Добавочные силы, заменяющие связи, называются реакциями связей. Физически реакции связей имеют одинаковую природу с обычными силами. [c.95]

Движение двух материальных точек в системе центра масс. Движение изображающей точки в соответствии с уравнением (15.6) будет плоским, так как сила центральная ( 10.3). Пусть кинематическое уравнение движения найдено г = г 1). В таком случае с помощью формулы (15.2) находим и кинематические уравнения движения обеих материальных точек в Ц-системе [c.144]

Это уравнение траектории движения материальной точки по сфере. Если подставить сюда найденную функцию = (/), то получим второе кинематическое уравнение движения ф = ф(<). [c.198]

При составлении дифференциальных уравнений движения системы материальных точек на основании общего уравнения динамики в форме (И.18а) необходимо принять во внимание, что среди т величин бйа независимых лишь т — а — I, так как они связаны а + I зависимостями, вытекающими из уравнений двусторонних геометрических и кинематических неголономных связей. [c.125]

Рассмотрим теперь подробнее величины, входящие в уравнение (5.3). Ускорение а представляет собой кинематическую величину, которую всегда можно получить опытно, независимо от уравнения (5.3). Масса т определяет свойство инерции тела. Для материальной точки понятие массы можно ввести на основе третьего закона Ньютона (всякое действие представляет собой взаимодействие с равными, но противоположно направленными силами). В самом деле, каждой материальной точке можно приписать значение постоянной величины—её массы, так что при движении любых двух изолированных взаимодействующих [c.23]

В последних трех уравнениях первые члены справа представляют собой обычное центростремительное ускорение, соответствующее движению по меридиану (который при этом считается покоящимся) вторые члены представляют собой обычное центростремительное ускорение, соответствующее движению точки по параллели однако третьи члены представляют собой нечто новое, а именно кинематическое взаимодействие обоих движений. Умножив уравнения (28.4) на —т, получим силу инерции F, действующую на нашу материальную точку при ее сложном вращательном движении выразим ее в векторной форме [c.218]

ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ (УРАВНЕНИЕ Д АЛАМБЕРА— ЛАГРАНЖА) — уравнение, характеризующее взаимосвязь кинематических и силовых параметров в каждый момент движения системы материальных точек с идеальными связями Для такой системы виртуальная работа всех активных сил и сил инерции на [c.205]

В механике используется определенная модель пространства и времени, а также система отсчета. Тела, относительно которых рассматривается движение, заменяются системой отсчета, назначение которой состоит в том, чтобы иметь возможность различить положения движущейся материальной точки в пространстве в любой момент времени. С помощью жестких масштабов (для измерения длин и углов) и часов (для измерения времени) можно в каждый момент времени t определить в некоторой системе отсчета положение материальной точки г, т. е. кинематически описать ее движение, что выражается кинематическим уравнением г = г 1). [c.28]

Поскольку все точки тела движутся одинаково, поступательное движение вполне описывается кинематическим законом движения одной произвольной точки тела, и, следовательно, тело, могущее совершать только поступательное движение, обладает тремя степенями свободы. Но уравнение движения одной замечательной точки тела -его центра масс - известно оно дается теоремой о движении центра масс (12.5). (Еще раз подчеркнем, что законы, доказанные для произвольной системы материальных точек, справедливы и для твердого тела как частного случая такой системы) [c.61]

Основные кинематические соотношения имеют следующий вид. Так как мы предполагаем учесть нелинейные эффекты, то нам нужно различать материальную и текущую конфигурации. Пусть X — материальная (лагранжева) координата вдоль оси, перпендикулярной диску (рис. 7.13.1). Для одномерных движений уравнения (2.2.1), (2.2.4), (2.3.1), (2.2.3) и [c.526]

Главная идея, которая положена в основу вывода соответствующих динамических уравнений, связана с задачей чисто кинематического характера, которую мы рассматривали в кикематикег по заданному относительному движению точки и при известном движении подвижной системы координат определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки. Мы воспользуемся этими результатами для того, чтобы научиться составлять уравнения движения материальной точки в неинерциальных системах отсчета. [c.365]

Заметим, что уравнения движения для поступательного (второй закон Ньютона) и вращательного (уравнение моментов) движений имеют одинаковую структуру с той лишь разницей, что. в уравнении моментов вместо линейного стоит угловое ускорение, вместо суммарной силы - суммарный момент сил, а вместо массы тела - его момент инерции относительно оси вращения. (Такое формальное и смысловое соответстзие величин и формул, описывающих поступательное и вращательное движение тела, можно проследить и далее - см. таблицу на с. 70.) Поэтому для тела, вращающегося относительно оси, можно ставить и решать такие же задачи, что и для движения материальной точки или поступательного движения тела. Например, прямая задача в случае вращательного движения, т.е. нахождение кинематического закона вращения (p t), состоит в решении дифференциального уравнения (19.11) при заданных начальных условиях <р(й)=ро и u,(0)= u . (Рекомендуем забежать вперед и сопоставить решения задач о свободных колебаниях пружинного и физического маятников в 36). [c.65]

Свободные колебания без сопротивления. Точка, движущаяся по пря- Предположим, что на материальную точкой, совершает под дейст- у д/f [g2 на стр. 274) действует вием восстанавливающей г t /Го1ч силы гармоническое колеба- ТОЛЬКО восстанавливающая сила (131), сила ние же сопротивления (132) и возмущающая сила (133) равны нулю. Пусть начальная скорость точки М направлена по прямой МО или равна нулю. В таком случае точка М будет двигаться по прямой ОМ (по оси Ох), дифференциальное и кинематическое уравнения ее движения мы получим, положив в (135) и в (138) п и h равными нулю. В самом деле, если сила сопротивления / = 0, то, следовательно, а —О, потому что / =—О.Х и X переменная величина. Если же а=0, то равно нулю и п, которое согласно (134) равно . Аналогично, равенство нулю возмущающей силы означает, что равны нулю Hah. [c.276]

Следствие 5.6.1. Для того чтобы получить полный набор уравнений движения системы материальных точек, достаточно разрешить уравнения Аппеля относительно квазиускорений и к полученным обыкновенным дифференциальным уравнениям добавить кинематические уравнения системы. При этом число уравнений составит 2п — т и будет равно сумме числа координат и квазискоростей. [c.428]

Полученные результаты мы можем истолковать кинематически, рассматривая уравнения (5) как законы движения индивидуализированной точки, производные, dx/dt dy/dt как компоненты скорости этой точки, а производные d x/dt d y/dt как компоненты ускорения . Все эти термины мы должны понимать в применении в нагаей задаче условно, так как nania точка не есть материальная частица. Как мы увидим ниже, аналогия с движением материальных частиц в некоторых случаях может наругааться ). В дальнейгаем для координат [c.187]

Как отмечалось ранее, урав1 ения Ньютона справедливы только в инерциальных системах отсчета. Однако на практике часто встречаются и неинерциальные системы. Поэтому необходимо найти уравнения движения относительно таких систем. При этом естественно исходить из уравнений Ньютона, которые, как известно, содержат массы и ускорения материальных точек, а также силы, действующие на них со стороны других тел. Массы точек и время инвариантны относительно перехода от одной системы отсчета к другой, а силы являются функциями положений и ско-ростей точек. Таким образом, чтобы вывести интересующ ие нас уравнения движения, прежде всего нужно выяснить, как преобразуются положения, скорости и ускорения при переходе от инерциальной системы к неинерциальной системе отсчета. В свою очередь для решения этого вопроса следует с кинематической точки зрения проанализировать движение одной произвольной системы отсчета относительнб другой произвольной системы отсчета. Кстати напомним, что в классической механике системы отсчета мыслятся связанными с твердыми телами, поэтому кинематика движения одной системы отсчета относительно другой эквивалентна кинематике твердого тела. [c.150]

Впервые безразмерные числа были введены при рассмотрении вопроса о подобии течений. В гидродинамике часто приходится проводить эксперименты с моделями и потом уже полученные данные переносить на реальные тела. Простые рассуждения, основывающиеся на уравнениях движения для описания двух течений с различными гидродинамическими параметрами, приводят к тому, что для вязкой несжимаемой жидкости, когда отсутствуют внешние силы, а также внешние поверхности, два течения подобны, если, кроме кинематического подобия (т. е. геометрического подобия и подобия поля скоростей), для этих течений равны числа Рейнольдса. Число Рейнольдса Re=pu//1l=u//v (где I — характерный масштаб движения, например радиус трубы при движении в ней жидкости, V — скорость потока и V — кинематическая вязкость) играет очень большую роль в гидродинамике и акустике, и далее нам часто придется иметь с ним дело. Если необходимо учитывать наличие внешних сил, например силы тяжести, то в добавление к числу Ке оказывается необходимым ввести также еще число Фруда Рг=и // , и тогда два течения подобны, когда, кроме кинематического подобия, числа Ке и Рг обоих течений равны. При учете сжимаемости жидкости в рассмотрение необходимо включить еще число Маха М=и/с, где с — скорость звука в жидкости. Если учитывается теплопроводность жидкости, появляется безразмерное число Прандтля г= Ср1к= 1р 1=у1 1, представляющее собой материальную константу среды, не зависящую от свойств потока. [c.21]

Уравнения, даваемые вторым законом Ньютона, позволяют решить целый ряд задач. Важнейшей является основная, или прямая задача динамики материальной точки, состоящая в том, чтобы в каждом конкретном случае уметь находить ее кинематический закон движения (1.2). Для решения этой задачи помимо массы т точки должны быть известны формулы для всех действующих на нее сил (о силах, изучаемых в механике, и закономерностях, которым они подчиняются, см. 10). Однако и при наличии такой информации уравнения (7.2), записанные как алгебраические соотношения между силой и ускорением, дают возможность решить прямую задачу динамики по существу лишь для равнопеременного (а = onst) движения, которое происходит под действием постоянной силы (f = onst). В этом случае кинематический закон движения дается известными из школьного курса физики формулами x i) = x +v t+a r/l (и аналогичными для y t) и г(/)), в которых проекции ускорения определяются из уравнений (7.2), а начальные координаты Х , = х(0), = > (0), =2(0) и проекции скорости = v (0), Vj,, = v (0), v,D = v,(0) точки предполагаются заданными. [c.29]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...