Исследование устойчивости невозмущенного движения

Переходя к исследованию устойчивости невозмущенного движения, отметим, что для него [c.187]

Это частное решение соответствует решению (5) системы (1), и задача об исследовании устойчивости невозмущенного движения приводится к исследованию устойчивости частного решения (23) системы (22). [c.454]

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ НЕВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ 459 [c.459]

Исследование устойчивости невозмущенного движения. В предыдущих параграфах мы установили, что исследование устойчивости данного невозмущенного движения приводится к исследованию устойчивости частного решения [c.459]

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ НЕВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ 461 [c.461]

Исследование устойчивости невозмущенного движения в тех случаях, когда мы знаем решение дифференциальных уравнений, основывается на анализе самого решения. Если же решение не может быть представлено в замкнутом виде (не может быть выражено через известные функции времени или иной независимой переменной), то применяются те или иные методы качественного исследования движения. [c.428]

Исследование устойчивости свободного движения летательного аппарата может быть проведено путем анализа дифференциальных уравнений, описывающих это движение. При этом если боковые параметры и производные по времени от продольных параметров в невозмущенном полете невелики, то можно рассматривать независимыми продольное и боковое движения, и, следовательно, изучать отдельно устойчивость каждого из этих движений. В тех случаях, когда имеет место резкое изменение характера движения, например при совершении маневра, такое разделение дви-38 [c.38]

Теоремы прямого (второго) метода Ляпунова. В теории устойчивости невозмущенное движение принято называть установившимся, если соответствующие ему дифференциальные уравнения возмущенного движения автономны [10]. В противоположном случае невозмущенное движение называют неустановившимся . В исследовании устойчивости движения автономных и неавтономных систем (установившихся и неустановившихся движений) имеются некоторые различия. [c.37]

При решении вопроса об устойчивости системы в условиях ползучести выделяется некоторый класс возмущенных решений, на основе исследования поведения которых судят об интервале устойчивости невозмущенного движения. В некото-шх работах вместо этого вопроса рассматривается другой 126, 129]. Возмущенное решение само рассматривается как основное движение и исследуется поведение некоторых возмущений уже по отношению к этому движению. Но следует иметь в виду, что из-за существенной физической, а в ряде случаев и геометрической нелинейности рассматриваемых задач и ограниченных возможностей линеаризаций такое исследование по отношению к основному исходному движению должно при правильной постановке вопроса сводиться к исследованию возмущенных решений, обусловленных более широким классом возмущений. [c.292]

Таким образом, условие (П1.2.13) является достаточным условием устойчивости невозмущенного движения (П 1.2.12). Исследованием уравнений первого приближения нетрудно показать, что при [c.388]

Примечание 1. Рассмотренные два основных случая таковы, что в каждом из них задача об устойчивости невозмущенного движения и задача об устойчивости нулевого решения системы (2.30 ) решаются одновременно в одном и том же смысле. Такие случаи называют, следуя Ляпунову, обыкновенными, и в этих случаях решение задачи об устойчивости сводится просто к исследованию корней определяющего уравнения. Все остальные случаи задачи об устойчивости установившегося движения называются особенными. [c.100]

В связи с этим в практических инженерных расчетах, в част-рости, в теории автоматического регулирования, большое распространение получили приближенные методы, одним из основоположников которых стал профессор Петербургского Технологического института И. А. Вышнеградский (1831—1895). В 1876 г. Ц. А. Вышнеградский впервые применил свой приближенный метод к задаче об устойчивости регуляторов прямого действия. Основной предпосылкой метода Вышнеградского было допущение, что свойства системы в отношении устойчивости установившегося ее движения обнаруживаются уже в тех малых возмущенных движениях, которые возникают около невозмущенного движения в течение небольшого промежутка времени вслед за моментом сообщения системе достаточно малого начального возмущения. На этом основании при решении вопросов об устойчивости движения в уравнениях возмущенного движения отбрасывались все члены выше первого порядка (относительно координат и скоростей) и по форме интегралов линеаризованных уравнений делались заключения об устойчивости невозмущенного движения. Совокупность методов исследования устойчивости на основании линеаризованных уравнений составляет содержание теории первого приближения. [c.425]

Указанные выще два способа исследования проблемы устойчивости движения А. М. Ляпунов применил к исследованию общего случая невозмущенного движения. Но особое внимание А. М. Ляпунов обратил на случаи-стационарного и периодического невозмущенных движений, выделив задачи, в которых уравнения первого приближения не могут дать ответ на вопрос об устойчивости движения. Для решения этих задач А. М. Ляпунов применил весьма тонкие и сложные соображения. [c.332]

Такое определение устойчивости связано с исследованием реакции летательного аппарата на возмущающие воздействия при условии, что эти воздействия сообщают параметрам невозмущенного движения некоторые начальные отклонения, а последующее движение рассматривается уже при отсутствии возмущений. При таком движении органы управления остаются закрепленными. Этот вид возмущенного движения, вызванный начальными возмущениями параметров, называется собственным или свободным. В такой постановке собственное движение летательного аппарата может рассматриваться условно как некоторое новое невозмущенное движение. [c.38]

Теоретические исследования устойчивости [46], осуществленные для отсоса по всей поверхности, опираются на метод, согласно которому, как и для непроницаемых тел, на основной (невозмущенный) поток накладывается возмущающее движение в виде волны, распространяющейся вдоль продольной оси. Если возмущение с течением времени нарастает, то течение окажется неустойчивым при затухании оно устойчивое. Обычно ограничиваются рассмотрением колебаний, которым соответствует нейтральная кри- [c.450]

Второе уравнение обобщает уравнение (14) на случай, когда при исследовании устойчивости учитывают перемещения невозмущенного движения. Это уравнение можно также представить в виде [c.247]

Применительно к конкретным физическим и техническим объектам неустойчивость невозмущенных движений обычно может быть истолкована как параметрическое возбуждение колебаний (и наоборот). Причиной параметрических колебаний обычно являются периодически изменяющиеся параметры жесткости и инерционности. Например, при установившемся вращении вала, жесткость опор которого зависит от направления реакций, эффективная жесткость системы - периодическая функция времени в кривошипно-шатунном механизме периодически изменяется приведенная масса, т.е. инерционная характеристика. Исследование устойчивости [c.471]

Наиболее общий метод исследования устойчивости распределенных систем - динамический. Метод основан на рассмотрении движений системы в окрестности состояний равновесия. Например, дополняя уравнение (7.3.18) инерционным членом и членом, учитывающим демпфирование, придем к уравнению изгибных колебаний стержня в окрестности невозмущенной прямолинейной формы равновесия ти" д -I- 2/пеи, + Е1м> -н Ри = О, (7.3.20) [c.479]

Общим методом исследования устойчивости является изучение возмущенного движения в окрестности невозмущенного. Этот метод (динамический критерий устойчивости) для консервативных механических систем был впервые применен Лагран-жем. А. М.Ляпунов построил строгую математическую теорию устойчивости движения [64]. [c.37]

Заметим, что здесь доказывается устойчивость только движения около центра масс, а круговая орбита остается невозмущенной. В главе 4 исследованием полной постановки задачи будет доказана достаточность условий [c.62]

При исследовании устойчивости пограничного слоя невозмущенное стационарное течение обычно рассматривается как плоскопараллельное, т. е. пренебрегается поперечным движением и зависимостью параметров профиля от продольной координаты. Такое приближение, очевидно, оправдано в случае, когда изменение толщины слоя б на расстояниях порядка длины волны X возмущений мало по сравнению с самой величиной б [c.358]

Обычно устойчивость диска исследуется на основе линеаризованных уравнений малых колебаний вблизи невозмущенного движения, прямолинейного или в более общем случае кругового. Однако, поскольку диск представляет собою консервативную систему, корни характеристического уравнения при этом оказываются либо действительными (и тогда движение диска неустойчиво), либо чисто мнимыми сопряженными. В последнем случае обычно считают движение устойчивым. Однако такой вывод является незаконным. В самом деле, если мы изучаем движение диска как движение консервативной неголономной системы, последний случай является так называемым сомнительным случаем Ляпунова и поэтому требует дальнейшего исследования. [c.61]

Одно из первых направлений исследований в теории систем с переменной структурой состояло в построении закона переключения параметров, который обеспечивал в должный момент переход от устойчивой, но обладающей недостаточно хорошими качествами системы к системе, вообще говоря, неустойчивой. Однако это переключение должно осуществляться в тот момент, когда изображающая точка х 1) выходит на многообразие начальных данных х, для которых траектории новой системы при i -> оо асимптотически приближаются к невозмущенному движению а = 0. При этом последние переходные кривые в данной условно устойчивой системе уже обладают высоким качеством.. [c.211]

Общий метод исследования устойчивости упругих систем состоит в рассмотрении совокупности движений, смежных с невозмущенными. Этот метод тесно связан с общей теорией устойчивости движения и называется динамическим методом. При рассмотрении устойчивости форм равновесия уравнения возмущенного движения обычно линеаризуют. Получаемые таким путем уравнения описывают малые колебания системы около положения невозмущенного равновесия. Отсюда и другое название — метод малых колебаний (Е. Л. Николаи, 1928, 1929). [c.334]

Задачи упруго-пластической устойчивости, сформулированные в строгой и полной постановке, могут оказаться слишком трудными для их практического использования. Кроме того, строгая постановка может оказаться нереалистичной с практической точки зрения. В этом случае исследование устойчивости целесообразно заменить непосредственным решением задачи Коши при заданных возмущениях. Развитие вычислительной техники открывает широкие возможности для такого подхода. В сущности, речь идет о математическом моделировании движений, смежных с невозмущенным движением. Этому моделированию можно придать статистический характер, если задавать возмущения в соответствии с некоторыми вероятностными распределениями. Аналогичные подходы уже используются для изучения систем, работающих в условиях ползучести или находящихся под действием ударных нагрузок. Следует отметить, однако, что при этом решаются не задачи устойчивости, а некоторые родственные задачи. При надлежащей постановке такой анализ может дать более полную информацию о свойствах движения, смен ных с невозмущенным, чем анализ устойчивости в узком смысле. [c.362]

К исследованию устойчивости можно подходить и с более общих позиций устойчивости движения. Здесь следует говорить о неустойчивости или устойчивости плоской формы пластинки под действием сил, приложенных в срединной плоскости пластинки. Наряду с этой невозмущенной формой равновесия пластинки рассматривают близкие к ней возмущенные формы движения. Если сколь угодно малые возмущения вызывают во времени конечные отклонения от невозмущенного равновесия, то последнее называют неустойчивым. [c.75]

В данной главе исследуются линеаризованные уравнения движения тела в среде возле прямолинейного поступательного торможения (невозмущенного движения). Напомним, что в [71, 159] уже разобран вопрос об устойчивости прямолинейного поступательного торможения свободного тела. Исследование проведено именно на базе линеаризованных уравнений. Показано, что неустойчивость такого движения по части пе- [c.39]

Переходим к рассмотрению вопроса об устойчивости лагранжева решения в том частном случае, который был предметом исследования А. М. Ляпунова. При этом согласно Ляпунову будем считать невозмущенное движение устойчивым, если во всяком возмущенном движении, начальные возмущения которого сколь угодно малы, треугольник во все время движения сколь угодно мало отличается от равностороннего. [c.375]

Исследование устойчивости треугольных точек либрации в эллиптической задаче трех тел началось очень давно. А. М. Ляпунов в 1889 году исследовал устойчивость (в первом приближении) треугольных точек либрации для случая пространственной неограниченной задачи трех тел [48]. Признаком устойчивости А. М. Ляпунов считал бесконечно малое отличие формы и размеров треугольника, образованного тремя телами, в возмущенном и невозмущенном движениях. Результаты А. М. Ляпунова нельзя непосредственно перенести на ограниченную задачу трех тел, где признаком устойчивости считается бесконечно малое отличие длин сторон треугольника, образованного телами, от тех длин, которые им соответствовали в невозмущенном движении в тот же момент времени. Однако при внимательном рассмотрений уравнений движения, исследованных А. М. Ляпуновым в его постановке задачи, можно весьма просто получить следующие выводы об устойчивости (в первом приближении) точек либрации и для случая ограниченной задачи трех тел 1) при достаточно малых значениях треугольные точки либрации устойчивы, 2) при достаточно малых значениях эксцентриситета е треугольные точки либрации устойчивы, если [c.147]

Ландау, пренебрегая вязкостью, кривизной фронта и сжимаемостью, методом малых возмущений исследовал границу устойчивости плоского фронта. Схема исследования устойчивости следующая на невозмущенный поток накладывается малое возмущение, которое выбирается таким образом, чтобы результирующее возмущение удовлетворяло уравнениям движения, неразрывности и граничным условиям. [c.44]

Таким образом, решение вопроса об устойчивости данного невозмущенного движения к величинам С сводится к исследованию возможностей нахождения таких пределов которые не превосходят величины разностей [c.144]

В 4, излагая исследование Пуансо, мы установили, что перманентные вращения тела вокруг большой и малой осей эллипсоида инерции устойчивы в том смысле, что при малой погрешности в начальных условиях —при малом отклонении оси вращения от оси эллипсоида —мы получим движение, мало отличающееся от перманентного вращения. Перманентное вращение вокруг средней оси неустойчиво. Здесь невозмущенным движением является перманентное вращение, а возмущенным — то движение, которое возникнет в результате малой ошибки в начальный момент времени. [c.428]

Для системы с тремя парами чисто мнимых корней при наличии присоединенной системы решение вопроса об устойчивости дано В. Г. Веретенниковым (1966). Следуя Г. В. Каменкову, автор приводит задачу к исследованию системы трех уравнений в критическом случае трех нулевых корней с тремя группами решений. Для этой системы на основании теоремы Каменкова указываются заведомо неустойчивые случаи, исключая которые автор приводит задачу к рассмотрению трех случаев, в зависимости от знака выражения на вещественных прямых / 7 = 0. Для случая, когда < О, с помощью функции Ляпунова доказывается асимптотическая устойчивость невозмущенного движения по формам третьего порядка. Для случаев, когда дается решение задачи [c.59]

Некоторое вполне определенное двингение системы, подлежащее исследованию па устойчивость, называется невозмущенным движением. Иевозмущенному движению системы отвечает определепное частное решение [c.13]

Еще одно направление, в котором развивались исследования по аналитической механике,— применение понятия теоретически устойчивых двия№пий к исследованию действительных движений механики. Основные работы и здесь принадлежат Н. Г. Четаеву, который высказал и развил идею о возможности создании аналитической механики на основе отбора истинных состояний движения из всех возможных движений, обладающих устойчивостью того или иного характера. Эта идея была развита Чета-евым в работах 1931 — 1945 гг. Сформулировав задачу об устойчивости механических систем, Четаев дает строгое доказательство того, что для невозмущенных движений в случае их устойчивости в первом приближении уравнения Пуанкаре в вариациях будут иметь лишь нулевые характеристические числа. Если невозмущенное движение устойчиво, то соответствующие уравнения в вариациях [c.289]

В инженерной практике широко распространены конструкции, элементы которых имеют полости или отсеки, содержащие жидкость, иапример, объекты авиационной и ракетно-космической техники, танкеры и плавучие топливозаправочные станции, суда для перевозки сжиженных газов и стационарные резервуары, предназначенные для хранения нефтепродуктов и сжиженных газов, ректификационные колонны и т. д. В большинстве случаев жидкость-заполняет соответствующие полостн или отсеки лишь частично, так что имеется свободная поверхность, являющаяся границей раздела между жидкостью и находящимся над ней газом (в частности, воздухом). Обычно можно считать (за исключением особых случаев движения тела с жидкостью в условиях, близких к невесомости, которые здесь не рассматриваются), что колебания жидкости происходят в поле массовых сил, гравитационных и инерционных, связанных с некоторым невозмущенным движением. Как правило, это поле можно в первом приближении считать потенциальным, а само возмущенное движение отсека и жидкости — носящим характер малых колебаний, что Оправдывает линеаризацию уравнений возмущенного движения. Ряд актуальных для практики случаев возмущенного движения жидкости характеризуется большими числами Рейнольдса, что позволяет использовать при описании этого движения концепцию пограничного слоя, считая, кроме того, жидкость несжимаемой. Эти гипотезы лежат в основе теории, излагаемой ниже [23, 28, 32, 34, 45, 54J. Учету нелинейности немалых колебаний жидкости посвящены, например, работы [15, 26, 29, 30]. Взаимное влияние колебаний отсека и жидкости при ее волновых движениях может сильно изменять устойчивость системы, а иногда порождать неустойчивость, невозможную при отсутствии подвижности жидкости. В качестве примера можно привести резкое ухудшение остойчивости корабля при наличии жидких грузов и Динамическую неустойчивость автоматически управляемых ракет-носителей и космических аппаратов с жидкостными ракетными двигателями при неправильном выборе структуры или параметров автомата стабилизации. Поэтому одной из основных Задач при проектировании всех этих объектов является обеспечение их динамической устойчивости [9, 10, 39, 43]. Для гражданских и промышленных сооружений с отсеками, содержащими жидкость, центр тяжести при исследовании их динамики смещается в область определения дополнительных гидродинамических нагрузок, например при сейсмических колебаниях сооружения [31]. [c.61]

Оставляя в стороне критические случаи, требующие исследования полной нелинейной системы, невозмущенное движение оболочки (основное состояние) квалифицируем [46 ] как устойчивое или неусточивое в зависимости от поведения решений линеаризованной системы при t - >. Если все решения системы (2.1.1), [c.68]

Принципиально иначе обстоит дело в задачах, связанных с определением критического времени. Исследование устойчивости основного состояния системы в условиях ползучести требует рассмотрения некоторого возмущенного движения, т. е. введения в расчет возмущений того или иного типа. При этом оказывается, что в возмущенном движении система достигает некоторой критической ситуации (бесконечные скорости, недопустимое искажение исходной формы и т. д.) за время, которое зависит от характера и величины вводимых в расчет возмущений. Таким образом интервал времени критическое ремя), в котором основное невозмущенное состояйие можно считать устойчивым, зависит от вводимых в расчет возмущений [c.255]

Замечания. 1°. В ЧУ-задаче, в отличие от задачи устойчивости по отношению ко всем переменным, г-продолжимость решений системы (1.2.1) не является, вообще говоря, следствием у-устойчивости ее невозмущенного движения х = 0 см. раздел 2.3. Данное обстоятельство следует иметь в виду при постановке и исследовании ЧУ-задач. [c.44]

А. М. Ляпунов дал математически строгое общее определение устойчивости движения по отношению к некоторым данным непрерывным функциям Qs времени t, координат и скоростей системы, обобщившее многочисленные определения устойчивости, существовавшие ранее. В частности, выбирая надлежащим образом функции Qs, в ляпуновское определение устойчивости можно включить определение орбитальной устойчивости, исследовавшейся в первом приближении Н. Е. Жуковским. Для невозмущенного движения функции Qs обращаются в некоторые известные функции Рд времени t. Решение вопроса об устойчивости Ляпунов приводит к исследованию дифференциальных уравнений возмущенного движения [c.8]

XI ( ) регулируемой величины х ( ), отсчитываемых от заданного движения,, которое в координатах Хг 1) описывается, следовательно, равенствами ( ) = О (г = 1,. . ., п). Исследование качества переходного процесса на основе оценки вида (4.1) восходит к работам А. А. Харкевича, опубликованным в 1937 г. Затем оценки такого типа были изучены Н. Д. Моисеевым и его сотрудниками в связи с их исследованиями по теории устойчивости движения. Теория качества переходных процессов, базирующаяся на квадратичных оценках (4.1), получила существенное развитие в работах Б. В. Раушенбаха (1941), А. А. Фельдбаума (1948) и А. А. Красовского (1949). Подчеркнем, что здесь речь шла главным образом о выборе числовых значений параметров объекта и регулятора из заданного класса,, но не формулировалась еще общая задача о синтезе оптимальной системы, который определялся бы из условия минимума величины I (4.1) при любых возможных начальных условиях х ( о) = ж . Естественно, что параметры регулятора, подобранные из условия экстремума величины I при некотором типичном наборе начальных условий х , могли оказаться не экстремальными при других начальных данных х ( о). В связи с этим обстоятельством Н. Г. Четаев (1949) предложил и оценил другую важную количественную характеристику переходного процесса. Именно, он оценил сверху время Т, по истечении которого возмущенное движение х ( ) линейной системы, начавшееся в сфере а ( о) <й, оказывается и остается затем в 8-окрестности ) невозмущенного движения а ( ) = 0. Это- [c.184]

Теория устойчивости упруго-пластических систем должна строиться на основе теории устойчивости движения. Должна рассматриваться не устойчивость какой-либо формы. упруго-пластического равновесия, а устойчивость всего процесса деформирования, развертывающегося во времени. Это не обязательно требует учета сил инерции. Если внешние силы консервативны, то в силу диссипативности упруго-пластической системы достаточным будет рассмотрение медленных возмущений. Для этого можно, например, использовать медленное время теории пластического течения. Наряду с невозмущенным процессом следует рассматривать возмущенные процессы упруго-пластического деформирования. Исследование устойчивости сводится к выяснению условий, обеспечивающих близость возмущенных процессов к невозмущенным. [c.361]

Это дополнительное исследование делается ненужным в том случае, когда Яг есть знакоопределенная квадратичная форма. Действительно, тогда, по крайней мере при достаточно малых 1 /5 , характеристическая функция Я есть знакоопределенная функция и ее можно взять за функцию Ляпунова. Но, полагая V = Н, мы найдем в силу уравнений (2.34) V = О, откуда следует (по первой теореме второго метода Ляпунова), что невозмущенное движение устойчиво. А отсюда, наоборот, вытекает, что в этом случае все корни определяющего [c.103]

В 1889 году А. М. Ляпунов рассмотрел задачу об устойчивости в линейном приближении треугольных точек либрации для случая неограниченной пространственной задачи трех тел при притяжении тел, обратно пропорциональном w-й степени расстояния между ними. Стороны треугольника, образованного тремя телами в невозмущенном движении, А. М. Ляпунов не считает постоянными, а они могут периодически изменяться. Результаты исследования А. М. Ляпуаовл опубликованы в его замечательной работе [48]. Результаты, полученные Рауссом, следуют из результатов Ляпунова как частный случай. В недавних работах А. Л. Куницына [34, 147] дана интересная геометричв ская интерпретация условия устойчивости (2.3) в линейном приближении и сделана попытка получения некоторых строгих выводов об устойчивости в нелинейной задаче. [c.124]

Мы получили уравнение степени 21 относительно к, которое обычно называется. характеристическим. Ляпунов называл его определяющим —название, как мы увидим дальше, связано-с тем, что корни этого уравнения определяют характер движения системы, В случаях колебательного движения системы уравнение (7.21) называют частотным —корнями будут квадраты собственных частот колебаний системы. Характеристическое уравнение (7,21) может иметь кратные корни. Мы покажем дальше,, что в этом случае будет либо просто совпадение нескольких собственных частот колебаний, либо появятся расходящиеся решения Если каким-либо способом мы докажем устойчивость невозмущенного состояния системы, то для приближенного описани возмущенного движения сможем применить уравнения первого приближения. Но при исследовании устойчивости, например методом Ляпунова нужно строить в явном виде функции Ляпунова, а это очень трудная задача. Поэтому большую ценность-имеют приемы, позволяющие судить об устойчивости невозмущенного состояния без построения функции Ляпунова, в частности по первому приближению. [c.444]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...