Устойчивость по Ляпунову

Понятие устойчивости движения является в теории нелинейных колебаний одним из основных понятий, поэтому остановимся на нем подробнее. Среди многих определений устойчивости наиболее известны устойчивость по Ляпунову и орбитная устойчивость. В отношении состояния равновесия эти определения совпадают и состоят в следующем. Состояние равновесия х = х называется устойчивым, если для любого числа е > О можно указать настолько малое число б (е), что для любого другого движения х = = X (i) с начальными условиями, отличающимися от х менее чем на б, при всех последующих значениях i выполняется неравенство [c.13]

Для периодических движений понятия устойчивости по Ляпунову и орбитной устойчивости различаются. Периодическое движение х = х (t) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого сколь угодно малого е> О можно [c.16]

Отсутствие отображения Т устойчивых по Ляпунову траекторий, их седловой характер, приводит к тому, что движение фазовых точек носит блуждающий стохастический характер. Под этим, в частности, имеется в виду [c.339]

УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛЯПУНОВУ. Периодические колебания л = х (/) называются устойчивыми по Ляпунову, если для любого сколь угодно малого е >0 можно указать такое 7 (е)> 0. что для всякого другого движения х = х-( ), для которого <77, при всех t>t(, выполняется неравен- [c.74]

Будет ли устойчивым по Ляпунову движение твердого тела вокруг неподвижной точки [c.623]

Если при t oo мера f Q, то процесс называется асимптотически устойчивым. Как видим, по Ляпунову, устойчивость движения рассматривается на бесконечном интервале времени при возмущениях, действующих только в начальный момент времени U. Очевидно, что любое движение, не обладающее устойчивостью, по Ляпунову, на бесконечном интервале времени, будет удовлетворять определению Ляпунова на конечном интервале времени Т и этот интервал можно сделать сколь угодно большим соответствующим выбором е и б. [c.320]

В случае постоянно действующих возмущений возможно дальнейшее обобщение определения устойчивости по Ляпунову невозмущенный процесс движения при постоянно действующих во времени возмущениях является устойчивым по мере f на конечном интервале времени Т, если для всякого е>0 можно найти такое 6(g)>0, что как только мера возмущений <6, мера fначальный момент времени to- Математическое условие, при котором впервые нарушается определение устойчивости, носит название критерия неустойчивости. [c.320]

Общий характер устойчивости стационарных решений для параметрических генераторов всех типов следует из анализа вещественной и мнимой частей характеристического показателя Я. Если вещественная часть для ненулевых решений отрицательна, то соответствующий стационарный режим является устойчивым по Ляпунову, причем наличие или отсутствие мнимой части характеристического показателя выявляет характер этой устойчивости. [c.181]

Устойчивость вязкоупругих стержней в смысле определения 1.1 соответствует определению устойчивости по Ляпунову движения динамических систем относительно возмущений начальных условий. Приведем теперь аналог определения устойчивости при постоянно действующих возмущениях. Предполагается, что на- [c.231]

Книга знакомит читателя с методами аналитической механики и их приложениями в теории устойчивости по Ляпунову, в теории колебаний и в динамике твердого тела. Наряду с классическими методами теории колебаний излагаются и основы современных частотных методов. Рассматриваются электромеханические аналогии, позволяющие распространить методы аналитической механики на электрические и электромеханические системы. [c.2]

Таким образом, показано, что поступательное движение твердого тела на круговой орбите при а < 1 и а > % неустойчиво по Ляпунову, а при 1 < < 7з устойчиво в линейном приближении. Более детальное исследование позволяет показать, что на самом деле при выполнении условия (18) движение будет устойчиво по Ляпунову не только в линейном приближении, но и в рамках полных нелинейных уравнений возмущенного движения . [c.542]

Можно было бы дать такое формальное определение устойчивости движения. Движение называется устойчивым, если конечный интервал (О, tf, можно заменить бесконечным интервалом (О, оо). Если мы примем такое определение, то придем к следующей формулировке траектория ф (i а) является устойчивой, если для любого е > О можно указать такое положительное X = X (е), что если 6 < х, то ф (i а + 6) — ф (i а) < е для всех положительных t. Траекторию, удовлетворяющую этому условию, называют устойчивой по Ляпунову. [c.472]

I у I означает малость q , а также малость 5 .) В некоторых случаях можно воспользоваться этим же методом и установить устойчивость по Ляпунову невозмущенного движения, составляя интеграл уравнений (23.7.6), который представляет собой либо определенно-положительную квадратичную форму от переменных г/i, 1/2,. . ., Ут-, либо функцию, обладающую основными свойствами такой формы. Можно также распространить эту теорию на случай, когда функции, кроме переменных z/j, г/2,. . ., г/ , содержат еще t, а также на случай, когда функции не являются интегралами уравнений [c.472]

Вернемся теперь к критерию устойчивости по Ляпунову, Он определяется следующей теоремой и следствиями из нее. [c.473]

Приведем несколько примеров систем, устойчивых по Ляпунову. В первом и во втором примерах мы найдем общее решение уравнений движения, а в третьем примере воспользуемся теоремой Ляпунова. [c.475]

Траектории этого движения устойчивы по Ляпунову. Рассмотрим, например, периодическую орбиту г = а, 0 = i, проходящую через начальную точку а, 0). Через близкую к ней точку (а + 6i, 62) будет проходить орбита [c.477]

В возмущенном движении при г оо г а, так что расстояние между изображающими точками на спиральной орбите и на круговой орбите непрерывно убывает и стремится к пределу 2а sin - - да . Периодическая орбита устойчива по Ляпунову, и мы мо-Л [c.477]

Устойчивость траекторий (2). Поскольку понятие устойчивости по Ляпунову не является исчерпывающим для задач классической динамики, мы будем пользоваться другим определением устойчивости. Существует много различных определений, одно из простейших состоит в следующем траектория С (в фазовом пространстве) устойчива, если траектория С, начинающаяся в точке фазового пространства, достаточно близкой к начальной точке траектории С, такова, что всякая точка траектории С находится вблизи от некоторой точки траектории С. Это условие является более слабым, нежели предыдущее, поскольку хотя здесь и требуется, чтобы точка Ф (< а + 6) на траектории С была близка к некоторой точке траектории С, однако эти точки не обязательно должны проходиться в один и тот же момент времени. Устойчивость такого типа принято называть орбитальной устойчивостью. [c.478]

Этот пример наводит на мысль, что и в общем случае асимптотическая устойчивость в орбитальном смысле влечет за собой устойчивость по Ляпунову. Эта точка зрения находит подтверждение в том, что скорость возрастания сдвига времени f — t ъ первом приближении пропорциональна величине <р (г о 6) — ф (г а) , которая в свою очередь убывает по экспоненциальному закону. [c.479]

Приведем определение устойчивости по Ляпунову. [c.71]

Чтобы охватить и эти случаи, вводится определение устойчивости по отношению к этим функциям, которые, в частности, могут совпадать с самими функциями qi t). Устойчивость по Ляпунову невозмущенного решения по отношению к величинам (Зь (Эг....Ят сводится к условию, аналогичному приве- [c.71]

Рис. 18.4. Приложение определения устойчивости по Ляпунову к анализу устойчивости положения шарика в наинизшей точке дна чаши.

Рис. 18.4. Приложение <a href="/info/123075">определения устойчивости</a> по Ляпунову к <a href="/info/111750">анализу устойчивости</a> положения шарика в наинизшей точке дна чаши.

Невозмущенное движение системы называется устойчивым по Ляпунову, если при всяком наперед заданном положительном числе можно указать такое положительное число 8, зависящее от е, что при начальном возмущении ( 8,- (0) < С 8 в последующем возмущенном движении системы будут справедливы в любой момент времени неравенства 8 ( ) < < . [c.402]

Если, кроме того, все 8 —. 0 при . со, то невозмущенное движение называется асимптотически устойчивым по Ляпунову. [c.402]

Невозмущенное движение системы называется устойчивым по Ляпунову, если при всяком наперед заданном положительном числе S можно указать такое положительное число о, зависящее от е, что при начальном возмущении si(0) [c.392]

Динамические системы с замкнутой цепью передачи воздействий, образованные из устойчивых элементов, могут находиться а неустойчивом состоянии, (Постановку задачи исследования устойчивости по Ляпунову см, п. 4.4.4 кн. 1 данной серии.) Устойчивость линейной системы определяется [c.449]

У. по части переменных. Пусть система характеризуется я-мерным фазовым пространством 5 = л, /=1,. .., п. п>1 . Точка д = 0 устойчива по отношению к переменным. г......... если она устойчива по Ляпунову в /с-мерном [c.255]

Именно, пусть метрика ро( о) задаёт расстояние в пространстве нач. возмущений п. а метрика р( ) — в пространстве текущих возмущений В обычных предположениях ро(4)>р( [говорят, что метрика ро жёстче (сильнее), чем метрика р]. Задача Коши для ур-ння (1) наз. корректной по Адамару, если для любого /е [О, Т], Г<ос, из Ро(4о)- 0 следует р( )- 0. Солитонное решение и наз. устойчивым в смысле Ляпунова по метрикам ро, р, если для всякого е>0 существует 6(s)>0, такое, что из ро(4о)<5 вытекает неравенство р(4)<е нри >0. Т. о., корректность по Адамару — это устойчивость на конечном интервале времени Т. Наконец, решение и асимптотически устойчиво по Ляпунову, если оно устойчиво и р( )- 0 при - оо. [c.257]

Выяснение характера, а также областей существования различных устойчивых установившихся режимов движения частицы является одной из основных задач теории. При этом целесообразно ограничиться исследованием устойчивости движения не относительно координат частицы и ее скоростей, а относительно упомянутых выше моментов перехода t, соответствующее определение устойчивости (см. [6]) вполне аналогично определению устойчивости по Ляпунову (см. т. 1 и 2 справочника), хотя и является менее жестким - возможны режимы, неустойчивые по Ляпунову, но устойчивые по моментам перехода (см. стр 21). [c.16]

Предварительные замечания. Свойства общего решения (8) уравнения (1) характеризуют поведение фазовых траекторий колебательной системы в окрестности ее положения равновесия и определяют свойство этого решения — устойчивость по отношению к малым возмущениям начальных условий, малым возмуш ениям коэффициентов и к добавлению малых внешних сил. Строгое определение устойчивости соответствует определению устойчивости по Ляпунову. Чтобы ввести это определение, запишем уравнение (1) относительно 2я-мерной матрицы-столбца фазовых переменных X [c.94]

Определение устойчивости по Ляпунову. Равновесие х = О называют устой-по Ляпунову, если для любого е > О можно найти такое б > О, что из условия ilx Q II < любом t > to следует неравенство II х (/) < е. В противном случае равновесие х = О называют неустойчивым. [c.95]

Практически устойчивость по Ляпунову означает, что при достаточно малых начальных возмущениях фазовые траектории системы будут достаточно мало отклоняться от положения равновесия. Неустойчивость равновесия означает, что система может удалиться от положения равновесия даже в том случае, если начальные возмущения сколь угодно малы. [c.95]

Анализ этой системы иераьенств показывает, что все они выполняются в области / (см. рис. 1.5), Таким образом, дня значений параметров а и /3, принадтежащих области I, цилиндрическая прецессия устойчива по Ляпунову. [c.112]

Если решение (23.7.4) известно не только, какой-либо одной определенной начальной точки а, а для всех начальных. очек в некоторой окрестности точки а, то легко проверить, выполняется ли критерий устойчивости по Ляпунову. Однако в общем случае мы знаем решение (23.7.4) для какого-то одного определенного а, а не для совокупности начальных точек ( 23.1). Возмущение у (t) определяется как решение уравнений (23.1.4), [c.472]

На первый взгляд может показаться, что понятие устойчивости по Ляпунову является естественным обобщением устойчивости, рассматривавшейся нами для положения равновесия (которое можно трактовать как вырожденную характеристику). Но для классической динамики это понятие оказывается не всегда пригодным, поскольку оно связано со слишком сильными требованиями, накладываемыми на систему. Правда, выше мы привели несколько примеров, для которых имеет место устойчивость в указанном мысле, однако дан е для весьма простых систем, для которых интуитивное представление об устойчивости не вызывает сомнений, критерий устойчивости по Ляпунову не выполняется. Рассмотрим, например, частицу, движущуюся прямолинейно в силовом поле. Согласно определению устойчивости по Ляпунову движение в однородном поле неустойчиво это же относится и к обычному либрационному движению (если не считать некоторых тривиальных исключений, таких, как колебания гармонического осциллятора). Если однородное поле имеет направление вдоль оси Ох, то невозмущенной характеристикой, проходящей через начальную точку (а, и), будет [c.477]

В случае либрационного движения период возмущенного движения (которое также является периодическим) в общем случае отличается от периода невозмущенного движения, так что х t а + Ь) — х (/ а) не может все время оставаться малым, и, стало быть, и ф (г а + 6) — ф (< а) не будет малым. В других, менее простых случаях (например, в ограниченной задаче трех тел, см. гл. XXVIII) лишь очень немногие характеристики оказываются устойчивыми по Ляпунову. [c.478]

Помимо разнообразных физ. интерпретаций Т. з., такого рода топологич. классификация ф-ций состояния позволяет из чисто формальных соображений существенно сузить круг поиска решений ур-ний модели. С др. стороны, при наличии оценки энергии модели tf снизу через Т. з. Q типа < >/(б), где /—монотонно растущая ф-ция, решения с нетривиальным значением Q (топологические соли-тоны), реализующие Inf (У, оказываются устойчивыми по Ляпунову (см. Устойчивость o.iumonoe). Более того, ес.пи ниж. грань функционала достигается (случай выполнения равенства в оценке, приведённой выше), то удаётся понизить порядок вариационных ур-ний (см. Эйлера—Лагранжа уравнение) на единицу, т. е. свести поиск экстремалей функционала к решению ур-ний 1-го порядка, т. н. ур-ний Богомольного. [c.132]

Основные понятия. Пусть траектория L динамической системы задаётся отображением д (г)= Г ло. гДе х—совокупность координат точки в фазовом пространстве системы, 7 — оператор эволюции, преобразующий нач. состояние систе.мы с координатами Хд в состояние с координатами. v(/) в момент времени г. Траектория L устойчива по Ляпунову, если для сколь угодно малого е можно найти такое 5, что для любого нач. состояния. о, близкого к Хо, т, с. p(io.- o) всегда окажется р(Т о, Т хо)<е.. Здесь р(Х], Х2) — расстояние между точками. v, и л, в фазовом пространстве. Если [c.254]

Анализируя структуру второй вариации (12), можно установить справедливость следующей теоремы (2-теоремы) безузловые стационарные решения (8) б-устойчивы по Ляпунову в области [c.259]

В теории устойчивости тоже тесно переплетаются разработка общих математических методов и исследование более конкретных механических проблем. Задачи, выдвигаемые различными областями техники, заставили заняться, помимо статической, и динамической устойчивостью не только в рамках аналитической механики неизменяемых систем, но и в теории упругости, в механике жидкостей и газов. Потребовалось применение более строгих математических методов, поэтому были широко использованы замечательные результаты Ляпунова и началось дальнейшее развитие его методов. Оказалось целесообразным применение в различных вопросах разных характе-]шстик устойчивости. Формируется новая научная школа, разрабатывающая этот обширный цикл вопросов. В нее входят и специалисты по небесной механике, для которых устойчивость по Ляпунову, т. е. по отношению к возмущениям начальных данных, имеет особо важное значение (Московская школа — Н. Д. Моисеев, Г. Н. Дубо-шин, Н. Ф. Рейн и др.), и ученые, занимавшиеся общими методами аналитической механики и теории дифференциальных уравнений (Казанская школа — Н. Г. Четаев, Г. В. Каменков, И. Г. Малкин, К. П. Персидский и др.). [c.290]

Аналогичное положение наблюдается и в случае а > р, = ar tg /ь когда невозможны режимы с остановками и существует лишь один установившийся режим движения частицы — безостановочное ускоренное скольжение вниз по поверхности В этом случае безостановочное движение устойчиво по моментам перехода в большом (хотя и не устойчиво по Ляпунову), так как в это движение переходит с течением времени любое другое движение, в котором скольжение частицы вниз началось в произвольный момент времеии t = 1 . Если существует только безостановочное ускоренное скольжение частицы и никакие другие установившиеся режимы движения невозможны, то безостановочное движение устойчиво в большом по моментам перехода, т. е. оно устанавливается независимо от значения момента начала сколь- [c.21]

Основы теоретической механики (2000) -- [ c.568 ]

Аналитическая динамика (1971) -- [ c.472 , c.478 ]

Прикладная механика твердого деформируемого тела Том 3 (1981) -- [ c.71 , c.281 ]

Теплоэнергетика и теплотехника Общие вопросы Книга1 (2000) -- [ c.102 ]

Математические методы классической механики (0) -- [ c.91 , c.104 ]

Справочное руководство по небесной механике и астродинамике Изд.2 (1976) -- [ c.830 ]

Введение в теорию колебаний и волн (1999) -- [ c.13 ]

Теория колебаний (2004) -- [ c.385 , c.398 , c.414 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...