Интегрируемые системы и методы интегрирования

Указания к решению задачи на ЭВМ. Нелинейная система дифференциальных уравнений (2) интегрируется численным методом на интервале времени т. Необходимые для интегрирования начальные условия по переменной ф1 указаны в табл. 10. Начальная уг- [c.104]

Для таких задач приходится определять разрешающие параметры путем применения численных методов интегрирования систем уравнений типа (1.3). Существует много алгоритмов, позволяющих интегрировать системы (1.3) с требуемой точностью [21]. Все эти алгоритмы дают возможность определить расчетные параметры в конце участка по заданным значениям тех же величин в начале участка. Таким образом, возникает задача об определении всех расчетных параметров в начальном сечении первого участка конструкции. Эта задача решается по той же методике, которая была изложена в п. 3.2. [c.56]

Для определения векторов X (i) и Я2(/) в обратном времени необходимо интегрировать сопряженные системы линейных дифференциальных уравнений (5.22) и (5.26). Даже если система (5.10) интегрируется явным методом, например методом первого порядка точности с переменным шагом ( 1 гл. 4), для интегрирования сопряженных систем целесообразно применять неявную формулу. Это связано с тем, что выбор шага при интегрировании системы (5.10) производится только по локальной погрешности составляющих вектора переменных состояния V. Погрешности составляющих векторов Я-1 и Яг для таких шагов интегрирования могут быть существенно большими, и явный метод имеет тенденцию к неустойчивости. Кроме того, неявный метод при той же величине шага определяет решение точнее. Так как сопряженные системы линейны, то на каждом шаге интегрирования необходимо решать две системы линейных алгебраических уравнений. Так, применив неявную формулу (4.4) к уравнению (5.22) с учетом направления интегрирования, получим следующую систему линейных алгебраических уравнений, которую необходимо решать на каждом шаге для определения Яь [c.143]

Метод Вагнера использовался также в [205] для расчета клина, составленного из упругих пластин при его входе в воду. Гидродинамическое давление, действующее на клин, представлялось в виде сулемы (17.13) [составляющая р совпадает с (17.14) ]. Для определения составляющей р применяется метод особенностей. Уравнения движения системы в [205] интегрировались по методу Бубнова с использованием приближенных численных схем расчета. Смоченная ширина тела определялась путем интегрирования урав- [c.120]

Решение системы (6.159) для получения зависимости а (Р) ю всем диапазоне изменения Р при остальных фиксированных параметрах целесообразно осуществить следующим образом. Дифференцируя систему (6.159) по Р, получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений, интегрируя которую численно при начальных условиях <1 (1) а либо а] (0) = а , МОЖНО ПОСТрОИТЬ ВСЮ кривую о (Р). Численный метод интегрирования должен быть достаточно точным, так как при существенно различных а и для зависимостей с (Р) характерна особенность — существование порога протекания. Как показали расчеты при — 1 — 10 , достаточную точность обеспечивает метод Рунге — Кутта четвертого порядка. [c.139]

Методами взвешенных невязок удается решать и нелинейные задачи нестационарной теплопроводности, но при этом для определения Вп (t) в (4.48) получается система нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, которую в общем случае приходится интегрировать численно. Таким образом, температурное поле в теле в фиксированный момент времени описывается аналитической зависимостью, но переход от одного момента времени к другому связан с определением значений (t) численным интегрированием. Переход к конечным интервалам времени позволяет использовать вариационную формулировку нелинейных задач [13], представляя анализ процесса нестационарной теплопроводности как последовательность решений ряда задач стационарной теплопроводности. [c.166]

Задача о движении тяжелого твердого тела не интегрируется в квадратурах, и общими методами регпения этой задачи для конкретных начальных данных на ограниченных интервалах времени являются либо метод численного интегрирования соответствующей системы дифференциальных уравнений, либо в случаях, когда задача близка к некоторой интегрируемой, используются методы теории возмущений, для которых в качестве главного приближения обычно используется регпение задачи в соответствующем интегрируемом случае. Перечислим некоторые из них. [c.388]

Интеграл (2.33) можно вычислять одновременно с решением основной и вспомогательных систем ОДУ, подставляя в (2.33) Z t) на каждом шаге интегрирования. Таким образом, для вычисления матрицы А или вектор-градиента Аг прямым методом необходимо решить т вспомогательных линейных систем ОДУ (2.30) независимо от количества выходных параметров п. При больших т это составит большой объем вычислений. Этот недостаток устранен в вариационном методе анализа чувствительности, где для определения строки матрицы чувствительности Аг интегрируется только одна дополнительная система ОДУ, называемая сопряженной. Вариационный метод применяется для выходных параметров — функционалов вида (2.32). [c.48]

Основная идея вычислений, использующих соотношение (5.4.3), состоит в определении отношения расстояний между траекториями rf(/ )/i/(/ ,). Один из методов состоит в численном интегрировании системы уравнений (5.4.10) с тем, чтобы получить опорное решение x (t Xq), где Xq — начальное условие. Затем на каждом временном шаге система (5.4.10) интегрируется снова с какой-нибудь соседней точкой х (г ) + t) в качестве начального условия. Но более прямой метод состоит в использовании уравнений (5.4.10) для нахождения вариации траекторий в окрестности выделенной (опорной) траектории х (0- При таком подходе мы на каждом временном шаге решаем уравнения в вариациях [c.202]

Теория движения больших планет. Дифференциальные уравнения движения п тел интегрируются в небесной механике приближенно, с помощью разложения в ряды (аналитические методы) или численным интегрированием (численные методы). Если решение ищется в виде рядов, расположенных по степеням малых параметров, то такими параметрами обычно являются массы планет, так как масса даже самой большой планеты солнечной системы — Юпитера — в 1047 раз меньше массы Солнца. Малыми параметрами, по которым ведется разложение в ряды, являются также эксцентриситеты и наклоны орбит больших планет, так как все орбиты лежат почти точно в одной плоскости и мало отличаются от круговых. Члены ряда называются возмущениями или неравенствами и имеют следующую форму [c.6]

Численные методы. Точный расчет ДХ мод ВС с произвольным осесимметричным ППП можно провести, численно интегрируя уравнения Максвелла. В работе [27] рассмотрено точное решение системы четырех связанных дифференциальных уравнений первого порядка для поперечных составляющих поля, полученной из системы уравнений Максвелла. В неоднородной сердцевине эти уравнения решают прямым численным интегрированием, например, методом Рун-ге-Кутта. В однородной оболочке поля представлены через функцию Макдональда. Удовлетворяя граничным условиям, получают дисперсионное уравнение. С ростом частоты время счета возрастает. Это обусловлено тем, что при быстром изменении решения пошаговое интегрирование приводит к большому накоплению ошибок. [c.27]

В цифровой системе преобразования сигналов возникают и влияют на качество их передачи [62] следующие виды ошибок погрешность, вносимая входным ФНЧ из-за конечной длительности переходов уровня сигнала в верхней части звукового диапазона и за ним недостаточная фильтрация высокочастотных входных сигналов шум, создаваемый входным ФНЧ или усилителем выборки-хранения ошибки входного усилителя выборки-хранения, обусловленные временем установления сигнала погрешность из-за недостаточного времени установления процесса при преобразовании методом последовательных приближений ошибки значений уровней квантования ЦАП, применяемого в составе АЦП шум компаратора ЦАП ошибка из-за переменного эффективного времени выборки во входном устройстве выборки-хранения погрешность, обусловленная временными флуктуациями входных и выходных синхроимпульсов выборки погрешность из-за диэлектрического поглощения в конденсаторах входных и выходных усилителей выборки-хранения ошибка из-за уменьшения значения сигнала в течение фазы хранения нелинейности низкочастотной части характеристик аналоговых цепей, обусловленные неравномерным нагреванием большими токами ле-ментов входных каскадов шумы источника питания и плохого заземления неравномерность уровней квантования в выходном ЦАП производные искажения высокого порядка в выходном устройстве выборки (интегрирования-хранения) шум выходного фильтра, обусловленный ограничением динамического диапазона интегрирующей цепи изменение характеристик в зависимости от температуры и времени. [c.26]

В разд. 5 рассматривается метод последовательных приближений. Уравнения количества движения интегрируются поперек пограничного слоя от текущего значения до бесконечности с учетом, граничных условий. Если интегрирование проводится от нуля до бесконечности, то уравнения переходят в соотношения Кармана— Польгаузена. Если проинтегрировать систему вторично с использо-ванием граничных условий на стенке, то получается система нелинейных интегро-дифференциальных уравнений. Для решения такой системы уравнений применяется метод последовательных приближений. Решение в первом приближении получено в виде простых формул. [c.125]

Первые 6 лекций Якоби посвящает изложению основных принципов механики принципу сохранения движения центра тяжести системы, принципу живой силы, принципу площадей и принципу наименьшего действия. С 10-ой лекции Якоби развивает теорию множителя" систем обыкновенных дифференциальных уравнений, являющуюся обобщением теории эйлеров-ского интегрирующего множителя. Якоби показывает каким образом можно в целом ряде случаев построить с помощью последнего множителя" всю систему п независимых интегралов. Изложив подробно теорию этого множителя, Якоби затем применяет ее к решению ряда механических задач. С 19-ой лекции Якоби, исходя из вариационного принципа Гамильтона, излагает тот метод интегрирования уравнения с частными производными первого порядка, который известен под названием метода Якоби-Гамильтона". В следующих лекциях этот метод примендется к ряду задач, взятых главным образом из области небесной механики. В 26 лекции Якоби излагает теорию эллиптических координат и показывает их приложение к разысканию геодезических линий эллипсоида, к задаче построения карт, к выводу основной теоремы Абеля и проч. Наконец, последние лекции Якоби посвящены изложению его классических методов интегрирования нелинейных уравнений в частных производных первого порядка. [c.4]

Таким образом, основная идея метода Энке состоит в том, чтобы подобрать такую опорную орбиту, которая в течение д.тительного времени была бы близка реальной эволюционирующей орбите. Для отклонения параметров реальной орбиты от соответствующих величин на опорной траектории составляется система дифференциальных уравнений, которая затем интегрируется численными методами. Следует заметить, что эти величины (параметры) совсем не обязательно должны быть постоянными. Если выбор опорной орбиты удачен, то шаг интегрирования можно взять много большим, чем при интегрировании исходных дифференциальных уравнений, соответствующих реальной орбите. При этом мы получаем выигрыш даже с учетом того, что на каждом шаге приходится выполнять дополнительные вычисления. Следует также заметить, что аналитические выражения для вычисления координат положения и скорости на опорной орбите вовсе не обязательны. [c.230]

Система четырых обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений (6)—(9) интегрируется численно при заданных начальных условиях, заданных начальных неправильностях и заданной ступенчатой нагрузке. В данных расчетах начальные значения перемещений и скоростей полагались равными нулю. Для начальных моментов времени интегрирование проводилось по методу Рунге—Кутта, а затем осуществлялся переход к методу прогнозирования с коррекцией по схеме шестого порядка. При этом шаг интегрирования выбирался так, чтобы обеспечить желаемую точность результатов интегрирования в каждой точке. [c.17]

В рамках этого круга идей в работах Ковалевской, Клебша, Чаплыгина, Стеклова и других авторов был решен ряд новых задач механики, некоторые из которых весьма нетривиальны. Стоит отметить, что в этих классических работах не использовалась гамильтонова структура уравнений движения. Условия интегрируемости и само интегрирование уравнений динамики основаны на методе интегрирующего множителя Эйлера — Якоби. Напомним, что для этого автономная система п дифференциальных уравнений должна иметь интегральный инвариант и обладать п —2 независимыми интегралами. Из-за этого обстоятельства не была замечена интегрируемость ряда задач динамики. Самый яркий пример—задача [c.11]

По ходу вывода макроскопических уравнений сохранения из кинетического уравнения Больцмана сделаем два замечания во-первых, при применении стандартной процедуры вывода макроскопических уравнений сохранения методом моментов (умножение исходного кинетического уравнения на определенную величину и последующее интегрирование) мы, естественно, должны получить в качестве первого уравнения уравнение сохранения массы. Для этого уравнение (1.183) следует умножить на массу фотона и проинтегрировать по всем ш и Й. Поскольку масса фотона равна нулю, в уравнения сохранения для излучения не входит уравнение сохранения массы. Второе заключение сводится к следующему. Метод моментов, вообще говоря, позволяет получить бесконечный ряд уравнений типа законов сохранения. Первые три уравнения, получаемые таким образом, т., е. умножением исходного кинетического уравнения соответственно на массу, импульс и энергию частиц и последующим интегрированием по всем частицам (в нашем случае фотонов по частоте и направлению), отождествляются с микроскопическими уравнениями сохранения массы, импульса и энергии. Система этих уравнений сохранения является неполной, т. е. число неизвестных макроскопических параметров в этих уравнениях превышает число уравнений. Конкретно в случае фотонного газа неизвестными являются величины плотности энергии излучения, потоки излучения и тензора давления излучения, т. е. десять скалярных величин (тензор давления излучения — симметричный тензор), тогда как набор уравнений сохранения ограничивается четырьмя уравнениями. Можно было бы пытаться получить недостающие соотношения тем же методом, рассматривая более высокие моменты. Например, умножая исходное уравнение на поток энергии частицы и интегрируя по частицам, мы получим уравнение типа уравнения сохранения для потока тепла и т. п. JMoжнo показать, что система получающихся таким образом уравнений никогда не будет замкнутой в новые уравнения войдут новые переменные и т. д. В этом смысле задача интегрирования бесконечной системы моментов полностью эквивалентна задаче интегрирования исходного кинетического уравнения. Именно этой задаче посвящена третья глава настоящей книги. [c.74]

Обобщим рассмотренные методы анализа чувствительности на другие динамические параметры-функционалы. Предварительно отметим, что как прямой, так и вариационный методы анализа чувствительности справедливы при расчете коэффициентов влияния таких динамических параметров, как длительность задержек фронтов и длительность фронтов. Действительно, эти параметры определяются либо как интервал времени, когда выходной сигнал достигает некоторых заданных уровней, либо как разность интервалов времени, когда выходной сигнал достигает некоторых двух других, но опять-таки заданных уровней. При анализе чувствительности вариационным методом количество систем линейных дифференциальных уравнений, которые необходимо интегрировать в обратном времени, возрастает пропорционально количеству динамических параметров. Причем отрезки интегрирования для каждой из систем разные. Это связано с тем, что начальные условия K ti)=0 для каждого выходного параметра задаются в различные моменты времени. В то же время порядок системы линейных дифференциальных уравнений относительно чувствительности переменных состояния к изменениям управляемых параметров, которую необходимо интегрировать в прямом методе анализа, остается прежним при анализе чувствительности перечисленных параметров. В этом случае изменяется лищь отрезок интегрирования. [c.148]

Будем поступать абсолютно так же и при изучении движения четырехкратной системы, состоящей из Солнца, Земли, Луны и еще одной планеты. В первом приближении мы будем интегрировать уравнения движения трехкратной системы, состоящей из Солнца, Земли и Луны. Эту задачу мы решили в предыдущих главах. Таким образом, мы получили координаты трех тел этой системы в виде функций времени и определенного числа постоянных интегрирования С. Далее, мы должны изучить возмущения этого движения, вызванные притяжением планеты, т. е. определить малые вариации постоянных С, порождаемых притяжением этой планеты. Подобный подход к применению метода вариации произвольных постоянных был предложен Ньюкомбом и изложен в ого работах. [c.552]

В общем случае система дифференпиальных уравнений движения ИСЗ в конечном виде не интегрируется. Поэтому прн разработке аналитических методов прогноанрования применяют различные способы получения приближенных решений. Для этих целей обычно используют методы приближенного интегрирования уравнений Лагранжа или стремятся найти такой вид потенциальной функции (потенциала тяготения), аппроксимирующей гравитационное поле Землн, которая допускала бы решение дифференциальных уравнений в квадратурах (через конечные аналитические аависимости). Получить решение в квадратурах удалось пока только в иекоторых частных случаях — для потен-пиалов тяготения, довольно полно учитывающих полярное сжатие Земли и частично аномалии поля сил притяжения [75]. [c.189]

Аналитическую теорию движения спутника с учетом величин второго порядка малости можно найти, например, в работах М. Д. Кислика [5] и А. Страбла [17]. В обшем подходе к описанию возмущенного движения спутника А. Страбл следует, по существу, идее Ганзена разложения движения, хотя вывод уравнений движения им получен новым пзггем и в иной форме. Он при интегрировании уравнений применяет методы теории нелинейных колебаний, в частности метод асимптотической теории Н. М. Крылова— Н. Н. Боголюбова — Ю. Д. Митропольского [1, 7 им получен ряд интересных результатов. А. Страбл в своей работе не придерживается общепринятых в небесной механике классических определений, что, как нам кажется, не является вполне оправданным. Совершенно иначе подошел к задаче М. Д. Кислик. Положение спутника относительно основной системы он определяет эллиптическими координатами, а уравнения движения записывает в канонической форме интегрирование уравнений он проводит классическим методом Гамильтона — Якоби. Известно, что в большинстве случаев в задачах небесной механики уравнение Гамильтона — Якоби не интегрируется в квадратурах М. Д. Кислик, оставаясь в пределах точности до второго порядка малости включительно, преобразовал выражение земного потенциала и разрешил уравнение Гамильтона Якоби в квадратурах. [c.10]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...