Вариация траектории

Нужная в принципе Лагранжа (—6Л + 5И = 0) вариация перемещений может быть осуществлена посредством вариации траектории, от которой перемещения зависят. Следовательно, условие (24.12) по существу есть видоизмененный принцип Лагран. ка. [c.198]

Рис. 51. Вариация траектории в принципе Гамильтона. Время не варьируется

Рис. 54. Вариация траектории в принципе Мопертюи. Ввиду того что энергия не варьируется, точка q исходной траектории и точка q + Sq варьированной траектории относятся к различным временам t VL t - - St. Конечной точке Р соответствует на варьированной траектории точка Q

Вариация траектории 244, 273 Вектор 13 [c.363]

Вариационное исчисление. Математическая задача минимизации некоторого интеграла связана с особой ветвью математики, называемой вариационным исчислением . Из математической теории следует, что окончательный результат можно получить, не рассматривая бесконечного множества возможных пробных траекторий. Свой математический эксперимент мы можем ограничить такими траекториями, которые бесконечно близки к действительной траектории. Пробная траектория, отличающаяся от действительной произвольным образом, но на бесконечно малую величину, называется вариацией действительной траектории. Вариационное исчисление исследует изменения значения интеграла, вызванные подобными бесконечно малыми вариациями траектории. [c.18]

Проинтегрированные члены на обоих концах промежутка интеграции обращаются в нуль. Так как Зх, Sy, oz независимы, то мы имеем следующие условия того, что величина 3/ для всех бесконечно малых вариаций траектории должна обращаться в нуль [c.288]

Введем теперь новый и более общий тип вариации траектории системы. Назовем ее А-вариацией и будем предполагать, что как время, так и пространственные координаты меняются. На концах траектории пространственные координаты оставляются неизменными, но могут рассматриваться, однако, для измененного значения времени. Теперь точка Р на неизмененной траектории переходит в точку Р на измененной траектории при следующем соответствии координат [c.82]

Указанный принцип Даламбера — Лагранжа можно сформулировать также в форме принципа Гамильтона. Для этого нужно связать виртуальное перемещение с вариацией траекторий частиц. Пусть множество траекторий, полученных в результате вариации рассматриваемого движения х = ф(Х,/). имеет вид х=9(Х, I, е), где —1 <г< 1 и ф (X, 0) = [c.40]

Пусть 8х==8х(Х, О обозначает вариацию траектории 6х О при t = tQ и t —1. . Как было показано выше, из предположения о том, что полученное в результате вариации [c.44]

Рис. 1. Вариация траектории частицы.

Поэтому уравнение в вариациях траектории v имеет вид [c.158]

Основная идея вычислений, использующих соотношение (5.4.3), состоит в определении отношения расстояний между траекториями rf(/ )/i/(/ ,). Один из методов состоит в численном интегрировании системы уравнений (5.4.10) с тем, чтобы получить опорное решение x (t Xq), где Xq — начальное условие. Затем на каждом временном шаге система (5.4.10) интегрируется снова с какой-нибудь соседней точкой х (г ) + t) в качестве начального условия. Но более прямой метод состоит в использовании уравнений (5.4.10) для нахождения вариации траекторий в окрестности выделенной (опорной) траектории х (0- При таком подходе мы на каждом временном шаге решаем уравнения в вариациях [c.202]

Полагая, что на концах возможных траекторий механической системы в пространстве конфигураций полные вариации от обоб- [c.409]

Следует особо отметить, что при полной вариации время t варьируется п на концах траекторий механической системы в пространстве конфигураций (т. е. Д/ О при 1 = и i = но полные вариации обобщенных координат в конечных точках пучка траекторий равны нулю. [c.410]

Временно начнут движение из точки М. Следовательно, на концах отрезка М]ММ2 действительной траектории вариации радиусов-векторов точек системы и вариации обобщенных координат б<7г равны нулю [c.196]

Аналогичным условиям удовлетворяют вариации обобщенных координат. Положения, занимаемые изображающей точкой на действительной траектории и траектории сравнения в одинаковые моменты времени, являются соответствующими, как, например, точек M t) и М (/) на рис. 28. Следовательно, соответствие между точками действительной траектории и траектории сравнения устанавливается по времени . Таким образом, в каждый момент времени конфигурация системы в действительном движении определяет конфигурацию системы в движении сравнения. [c.196]

Действительно, р,, q связаны зависимостью (11.39). Следовательно, чтобы вариации импульсов р были независимыми от вариаций и рр надо изменить способ варьирования, полагая, что на траектории сравнения равенство (II. 39) не удовлетворяется. Но при этом нельзя пользоваться принципом Гамильтона — Остроградского. [c.200]

Для малых вариаций хну вблизи положения равновесия можно написать уравнение фазовых траекторий (1.1.6) в виде [c.18]

Таким образом, особая точка на фазовой плоскости, соответствующая максимуму потенциальной функции, представляет собой такую особую точку, через которую проходят только две фазовые траектории п в ее окрестности все остальные фазовые траектории имеют вид гипербол. Подобные точки соответствуют неустойчивому положению равновесия, так как любое сколь угодно малое отклонение системы от положения равновесия приводит к дальнейшему росту вариаций координат системы, т. е. к дальнейшему удалению от точки равновесия. На фазовой плоскости это соответствует выходу описывающей точки из особой точки и ее дальнейшему движению по одной из уходящих фазовых траекторий. [c.21]

Пренебрегая высшими степенями малых вариаций и т] и учитывая, что f(Xl, 0) = 0, получим уравнение фазовых траекторий в окрестности особой точки [c.52]

На поверхности образца отклонение траектории трещины от горизонтальной плоскости является следствием формирования скосов от пластической деформации. В условиях эксплуатации вариация внешнего воздействия при неизменности процессов разрушения не влияет на ориентировку плоскости трещины в срединных слоях детали. По поверхности траектория трещины постепенно удаляется от срединной плоскости излома, однако в срединной части образца плоскость излома остается неизменной. Вот почему на масштабном макроскопическом уровне рассмотрение нормального раскрытия трещины для описания ее роста правомерно только в очень узком интервале длин трещин или при низком уровне напряжения применительно к пластичным материалам, когда величина скосов от пластической деформации пренебрежимо мала. В отношении малопластичных материалов допущение о нормальном раскрытии берегов трещины правомерно в широком диапазоне длин трещин и применимо к нагружению при любом уровне напряжения. [c.234]

Кривые, соединяющие две неподвижные точки А и В и обладающие тем свойством, что вариация действия равна нулю при переходе от одной из этих кривых к любой другой, бесконечно близкой и проходящей через те же точки, являются траекториями, которые фактически опишет материальная точка, начавшая движение из одной из этих неподвижных точек в таком направлении, что она приходит во вторую. [c.461]

Можно также сказать, что если среди всех кривых, идущих от точки А к точке В, отыскивать кривые, для которых действие имеет минимум, то эти кривые среди траекторий, соединяющих точки А и В. Это следует из того, что для нахождения таких кривых нужно прежде всего приравнять нулю вариацию действия. [c.461]

Наименьшее действие. Свободная точка. Допустим, что на свободную точку массы 1 действует сила, имеющая силовую функцию и (х, у, г). Мы видели, что если постоянная живых сил к имеет определенное значение, то траектории, проходящие через две заданные точки А п В, являются кривыми, обращающими в нуль вариацию действия [c.499]

Предположим теперь, что, не заботясь о том, чтобы удовлетворялись уравнения динамики, но сохраняя связи, мы заставим систему перейти из того же начального положения (Яц) в то же конечное положение (Я1) за тот же промежуток времена, но в некотором фиктивном движении, бесконечно мало отличающемся от действительного движения, так что траектории каждой точки изменяются при этом бесконечно мало. Функции х, у, г от I получат в момент I вариации Ьх, 5 у, ог, совместимые со связями, существующими в этот момент, причем эти вариации будут равны нулю при двух крайних значениях времени и Мы можем поэтому предположить, что эти вариации как раз те, которые входят в уравнение (1), так что это урав Нение будет удовлетворено. [c.221]

Основная формула. — Мы будем предполагать, что существует силовая функция и что плотность зависит только от давления. Воспользуемся методом Лагранжа будем рассматривать переменные х,у, г как функции от и от их начальных значений а, Ь, с при = 0. Когда изменяется только С, то точка X, у, г описывает траекторию одной й той же частицы. При изменении г, Ь, с мы переходим от одной траектории к другой. Все рассматриваемые нами функции будем считать зависящими от а, Ь, с, Ь. Условимся обозначать символом й их дифференциалы относительно t и символом 5 их полные дифференциалы относительно а, Ь, с. Для различия будем называть последние дифференциалы вариациями. [c.306]

Назовем, в обобщенном смысле, траекторией системы совокупность ее последовательных положений (Р). Вариации Ьх, Ьу, Ьг определяют изменение траектории и ставят в соответствие новое положение (Р ) системы положению (Р), которое она занимала в момент Вариация времени определяется тогда условием, что разность живых сил в соответствующих положениях (Р) и (Р ) в точности равна элементарной работе прямо приложенных сил при переходе системы из первого (действительного) положения во второе (варьированное). Заметим при этом, что если связи зависят от времени, то варьированное движение, вообще говоря, будет несовместимо со связями. [c.320]

В квазиклассич. приближении, когда фазы S/fi велики, осн. вклад в кoilTИuyaльнын интеграл даст область, где фаза стационарна, т, о. 65 — 0 при вариации траекторий. Т. о., принцип найм, действия для классич. траекторий оказывается следствием квантовой динамики. [c.545]

Рассмотрим структуру разбиения фазового пространства на траектории в окрестности периодического движения на примере трехмерного фазового пространства. Пусть х = = X (О, у = У (0. 2 = 2 (t) — периодическое решение периода т системы дифференциальных уравнений (1.1). Линзаризуя эти уравнения в окрестности рассматриваемого периодического движения, мы придем к уравнениям в вариациях вида (1.2), в которых теперь частные производные [c.17]

Так как в s-мерном иодпространстве конфигураций все траектории сравнений проходят через точки Л и jB, то для моментов времени, соответствующих этим точкам, обобщенные координаты системы имеют неизменные значения и их вариации равны нулю [c.100]

Рассмотрим движение изображающей точки на отрезке ее действительной траектории МхММ (рис. 28). Пусть положениям точек М и Мг соответствуют моменты времени и 2-Предположим, что отрезок траектории сравнения М М М2 имеет общие концы М М2 с отрезком действительной траектории. Так как вариации изохронны, изображающая точка, двигаясь по траектории сравнения, достигает точки М2 одновременно с точкой, движущейся по действительной траектории, если они одно- [c.195]

Предположим, что исследуется движение изображающей точки на отрезке М1М2 основной траектории. Выберем траекторию сравнения так, чтобы концы ее отрезка, соответствующего отрезку М М2 основной траектории, совпадали с точками М и М2. Так как постоянные энергии А при движении изображающей точки по основной траектории и траектории сравнения одинаковы, можно утверждать, что промежуток времени, соответствующий переходу изображающей точки из положения М в положение М2 по основной траектории, не равен промежутку времени, необходимому для перехода этой же точки из положения М в положение М2 по траектории сравнения. Поэтому для доказательства принципа Эйлера — Лагранжа следует применять неизохронные (полные) вариации. Рассмотрим общее уравнение динамики [c.201]

Чтобы применить принцип Гамильтоиа — Остроградского, надо найти те моменты времени о и ц, в которые вариация равна нулю. Первым из них примем начальный момент времени. Найдем момент времени П- Моменту времени должно соответствовать некоторое фиксированное положение изображающей точки на ее траектории. Не зная закон движения, можно выбрать это положение произвольно, на основании конкретных условий задачи механики. Пусть, например, в Этом положении скорость движения точки равна нулю. Конечно, такое предположение должно быть согласовано, как уже было сказано, с общими свойствами движения точки, о которых можно составить предварительное представление. [c.211]

Влияние вариаций токовых систем и магнитосферы на траектории КЛ и изменение геомагнитного порога обрезания КЛ Асимметрия в изменении геомагйитного порога обрезания [c.1177]

Чтобы сформулировать третье требование, понадобятся некоторые сведения об уравнении в вариациях вдоль гомоклини-ческой траектории седла. Пусть [c.128]

Во всех случаях при вариациях соотношением главных напряжений в диапазоне -1,0 < 1,0 имело место формирование усталостных бороздок, шаг которых соответствовал измеренной СРТ по поверхности крестообразной модели вдоль ее траектории. При одновременной вариации нескольких параметров цикла нагружения можно подобрать такое сочетание их величин, что процесс распространения усталостной трещины будет эквивалентным для разных ориентировок траектории трещин в пространстве (рис. 6.18). На основании этого были проведены расчеты поправочной функции f(X(5, [Л = 0,5]) и определены эквивалентные характеристики процесса распространения усталостной трещины в поле двухосного напряженного состояния для различного расположения в пространстве плоскости излома в центральной части образца. Независимо от ориентации трещины кинетически процесс распространения трещины является эквивалентным и описывается единой кинетической кривой (5.63) и (5.64) (рис. 6.19). Некоторое смещение представленных кинетических кривых относительно указанной единой кинетической кривой связано с влиянием толщины пластины на закономерности роста усталостных трещин, которые не рассматривались при построении представленных кинетических кривых. Единая кинетическая кривая введена для описания поведения сплавов на основе алюминия при толщине пластины не менее 5 мм. [c.317]

Кривые, проведенные на поверхности между двумя неподвижными точками А и В и обладаюи ие тем свойством, что вариация действия равна нулю при переходе от одной из этих кривых ко всякой другой бесконечно близкой кривой, проведенной на поверхности между темп же точками, являются траекториями движущейся точка, соединяющими эти две неподвижные точки. [c.462]

Формулы Тэта и Томсона. Если взять две бесконечно близкие траектории АВ и AiBi, то вариация действия при переходе от первой ко второй будет [c.463]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...