Порог протекания

Пороги протекания для различных решёток [c.162]

Пороги протекания существенно зависят от типа задач П. т., но критич. индексы одинаковы для разл, задач я определяются лишь размерностью пространства d (универсальность). Представления, заимствованные из теории фазовых переходов 2-го рода, позволяют получить соотношения, связывающие различные критич. индексы. Приближение самосогласованного поля применимо к задачам П. т. при d > 6. В этом приближении критич. индексы не зависят от d = 1, v = Vg. [c.162]

Далее используются представления теории перколяции. В рассмотрение вводится представление о случайной сетке цилиндрических пор радиусом а. Пусть г — среднее число пор, приходящихся на узел сетки. Протекание по такой сетке пор возможно лишь при > где г,—порог протекания. В этом случае предлагается в (3.79) заменить [c.90]

При те м = те кр ИК сливаются и образуют так называемый бесконечный кластер (БК) система становится проводящей (рис. 1.2,6). По мере возрастания те,у,>/Пкр бесконечный кластер увеличивается, поглощая меньшие кластеры, и проводящие цепочки пронизывают всю систему, образуя структуру с взаимопроникающими компонентами (рис. 1.2, в). Значение носит название порога протекания, или порога перколяции. При тем=те р в рассмотренной системе проводник — идеальный изолятор проводимость мгновенно [c.11]

Полевой ионный микроскоп (ПИМ) 124 Полимолекулярная адсорбция изотерма 228,237 Полярон 16,75,248,249 Пористость 227 Порог протекания 73, 74 [c.281]

Все это весьма удовлетворительно. Однако чтобы действительно проверить качество принятой нами аппроксимации, надо выяснить, насколько хорошо она позволяет воспроизвести точное решение задачи ). Сравнение с машинным расчетом показывает, что спектр, полученный в приближении когерентного потенциала, нередко очень близок к точному. Так (рис. 9.7), очень хорошее согласие достигается в трехмерной решетке, если значения б не слишком велики и ни одна из величин и с д не лежит ниже порога протекания ( 9.10). Однако если концентрация той или другой компоненты мала, то вне основной зоны могут появиться локализованные примесные моды ( 9.6). В этом случае детальный ход плотности состояний совершенно не воспроизводится. Это размытие структуры в методе когерентного потенциала особенно сильно проявляется в одномерном случае (рис. 9.8), когда вместо [c.395]

Вспомнив, например, что постоянная ветвления дерева (г — 1) аналогична константе связности многосвязной решетки ( 5.10), мы можем надеяться получить простое обобщение формулы (9.138). К сожалению, однако, из него следует только, что пороги протекания по узлам и по связям имеют нижнюю границу [c.435]

Фактически порог протекания по связям не может превышать порог протекания по узлам для той же решетки [c.435]

Пороги протекания по узлам и по связям в правильных двумерных и трехмерных решетках Числа, обозначенные как 0,6527. .. и т. д.,-точные [c.436]

Общее доказательство этой теоремы чрезвычайно громоздко [106]. Однако ее можно иллюстрировать, рассмотрев один частный случай [6.50]. Рассмотрим плоскую квадратную решетку 5. Пусть значение р лежит выше порога протекания по связям, так что на рис. 9.22, а изображена часть неограниченного перколяционного пути. Построим теперь накрывающую решетку 8 таким образом, что каждая связь сетки 5 преобразуется в узел сетки 5 если в решетке 8 две связи встречаются у общей вершины, то в решетке 5 соответствующие им узлы также непосредственно соединены друг с другом (рис. 9.22, б). Очевидно, первоначальный путь протекания при этом остается связным, так что порог протекания по узлам сетки 5 должен совпадать с порогом р исходной решетки. Сетку 5 , однако, можно преобразовать в новую решетку типа 8, убрав все перекрестные связи (рис. 9.22, в). Мы получаем теперь задачу о протекании по узлам в квадратной решетке с исходной концентрацией предпочтительных узлов, равной р. Однако разорванные связи могут быть необходимы для образования связного перколяционного пути тогда значение р окажется [c.437]

Наиболее интересная особенность табл. 9.1 состоит в том, что приведенные в ней числа довольно хорошо удовлетворяют ряду простых эмпирических правил. Отметим, например, что значения порога протекания по связям для всех трехмерных решеток с хорошей степенью точности обратно пропорциональны координационным числам. Действительно, формула [c.439]

ЗОН. Ясно, что если концентрация названных атомов лежит ниже порога протекания по узлам то размеры всех кластеров, составленных из таких атомов, ограничены. Следует ожидать, что соответствующие волновые функции электронов при этом окажутся локализованными. Далее, если то наверняка [c.442]

В заключение одно тривиальное замечание для одномерных систем представление о протекании не имеет смысла. Очевидно, даже самое небольшое число неблагоприятных узлов или связей, случайно разбросанных вдоль цепочки, разрежет ее на ряд отрезков конечной длины. Обойти эти блокирующие пробки нельзя, и образование бесконечных кластеров становится невозможным. Иначе говоря, порог протекания в данном случае увеличивается до предельного значения = . Ясно, что этот вывод вполне согласуется с теоремой 8.7 о локализации всех возбуждений в неупорядоченной линейной цепочке, хотя его и нельзя рассматривать как общее квантовомеханическое доказательство указанной теоремы. Отсутствие протекания в одномерных системах связано также и с другими патологическими их свойствами — отсутствием топологического беспорядка ( 2.4) и невозможностью фазовых переходов ( 5.5 и 6.1). Вновь мы видим, что в силу своих топологических особенностей ни одна одномерная модель в принципе не может дать реалистического представления об истинной трехмерной физической системе. [c.442]

Прототипом физической модели случайной сетки сопротивлений может служить регулярная решетка, составленная из проводников, в которой вырезана (1 — р)-л часть связей или узлов Из теории протекания явствует, что объемная проводимость о (р) должна равняться нулю, коль скоро р < / с- в этом случае любой путь, начинающийся на одном из узлов решетки, в конце концов оборвется на непроводящем звене. Естественно предположить [1101, что выше порога протекания средняя проводимость системы должна быть пропорциональна функции Р (р). Однако это предположение неверно. Прямые измерения проводимости куска проводящей графитовой бумаги с пробитыми в ней отверстиями [121], равно как и проводимости проволочной сетки, в которой вырезана часть звеньев [122], согласуются с модельными расчетами для случаев двух и трех измерений [123]. В кри-нической области проводимость растет по закону [c.443]

Однако хотя формула (9.158) и приводит к правильным результатам при р ш р = Ра (когда а = 0), она все же не аппроксимирует должным образом решение уравнения (9.155) в критической области. Действительно, при р Рс проводимость а (р) представляется в виде (9.150) с показателем р = 2. Это можно объяснить с помош ью простых вероятностных соображений [97, 125]. В самом деле, при выводе формулы (9.157) мы пренебрегли флуктуациями величины (/). Однако предположение о том, что проводимость каждой ветви ] ) близка к среднему своему значению (ог (/ )), вблизи порога протекания становится неверным. Дело в том, что с отличной от нуля вероятностью данная ветвь не будет принадлежать бесконечному кластеру и, следовательно, не даст вклада в проводимость О1 (2). Иначе говоря, по мере того, как доля р приближается к р , каждый перколяционный кластер теряет все больше и больше своих бесконечных ветвей. Из разветвленной структуры с множеством путей, ведущих к поверхности, кластер постепенно превращается в одну бесконечно длинную цепочку с бесконечно большим сопротивлением. Именно поэтому кажущаяся подвижность в перколяционном кластере и убывает в модели дерева как [c.447]

Рис. 9.27. Большие кластеры, заданные компьютером на квадратной решетке при р = 0,53, т. в. ниже порога протекания по узлам (р = 0,59). Эти кластеры соединены в основном однократно.

Вдали от порога протекания, где свойства системы уже более не определяются связностью очень больших кластеров, спектр спиновых волн можно приближенно найти с помощью общих методов гл. 9. Поскольку магнонные возбуждения в ферромагнетиках и антиферромагнетиках с математической точки зрения аналогичны фононам и электронным возбуждениям ( 8.1), мы можем воспользоваться с соответствующими видоизменениями и усложнениями [19—24] теорией энергетического спектра модели сильной связи для сплавов, приводящей к методу когерентного потенциала ( 9.4). Попытки усовершенствовать это приближение с целью учесть влияние локального окружения [25—28] приводят к тем же математическим проблемам, что и в задачах о колебаниях решетки и об электронных состояниях в сплавах замещения < 9.5-9.7). [c.548]

Очевидно, в зтой модели естественно возникает типичная задача о протекании [3] С макроскопической точки зрения рассматриваемая система будет вести себя как диэлектрик до тех пор, пока плотность газа N не станет столь большой, что возникнет бесконечный кластер перекрывающихся сфер вдоль него, по предположению, электрон способен свободно перемещаться. Иначе говоря, достижение этого порога протекания проявлялось бы как переход, при некоторой критической концентрации, к металлической проводимости, аналогичный переходу Андерсона (см. 9.9), или как переход к протеканию по случайной сетке сопротивлений ( 9.11) на регулярной решетке. [c.559]

Это соотношение дает приближенный рецепт определения порога протекания в гауссовом случайном поле с дисперсией Его [c.570]

Следует отметить, однако, что для системы, на первый взгляд очень близкой к рассмотренной, а именно для газа перекрывающихся сфер ( 13.2), оценка (13.28) оказывается неудовлетворительной. Даже если учесть, что некоторые области попадают одновременно в две или большее число сфер [9.112], соотношение (13.5), определяющее порог протекания, приводит к значению критической доли объема, почти вдвое превышающему то, что получается из формулы (13.28). Эта ситуация служит примером, подтверждающим утверждение общего характера [3.9] о макроскопических характеристиках композитных материалов, состоя- [c.570]

Решение системы (6.159) для получения зависимости а (Р) ю всем диапазоне изменения Р при остальных фиксированных параметрах целесообразно осуществить следующим образом. Дифференцируя систему (6.159) по Р, получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений, интегрируя которую численно при начальных условиях <1 (1) а либо а] (0) = а , МОЖНО ПОСТрОИТЬ ВСЮ кривую о (Р). Численный метод интегрирования должен быть достаточно точным, так как при существенно различных а и для зависимостей с (Р) характерна особенность — существование порога протекания. Как показали расчеты при — 1 — 10 , достаточную точность обеспечивает метод Рунге — Кутта четвертого порядка. [c.139]

Эффекты, описываемые П. т., относятся к критическим явлениям, характеризующимся критич. точкой, вблизи к-рой система распадается на блоки, прпчё.м размер отд, блоков неограниченно растёт при приближении к критич. точке. Возникновение бесконечного кластера в задачах П, т. во многом аналогично фазовому переходу второго рода. Для матем. описания этих явлений вводится параметр порядка, к-рым в случае решёточных задач служит до.тя Р х) узлов решётка, принадлежащих к бесконечному кластеру. Вблизи порога протекания ф-ция P(i) имеет впд [c.162]

Здесь — т. н. порог протекания по случайным узлам с критерием связности у < 1 , при к-ром все пары доноров с у < образуют бесконечный к ластер, пронизывающий весь образец. Длина кластера [c.171]

В соответствии с развитыми в [143, 144] представлениями о закономерностях структурообразования в композитах с дисперсными наполнителями структурное состояние компонента определяется отношением его объемной доли к критической пороговой объемной доле, равной для задачи узлов 0,31. Поскольку для меди и свинца объемная доля больше критической, то на конечном этапе уплотнения в компактном состоянии материала прессовки медный и свинцовый компоненты образуют взаимопроникающие перколяционные кластеры, охватывающие весь объем прессовки. Объемная доля железа близка к крити — ческой, поэтому оно образует достаточно большие кластеры, которые, однако, не соединены в единый пер — коляционный кластер, поскольку порог протекания для данного компонента не перейден. [c.127]

Определена зависимость порога протекания от содержания жидких компонентов и показано, что время, необходимое для формирования 1фитического состояния, уменьшается с увеличением их содержания. Установлено, что порог протекания для ПВХ-компози-ции с содержанием жидких кошонентов 29 тоо.% соответствует содержанию пор в Пк, равному 16-18 . [c.131]

При достижении порога протекания nti = между ИК появляются мостики, которые моделируются в форме брусков квадратного сечения длиной L—li. В модели предполагается, что при nti > > Икр размеры центрального ядра остаются неизменными, а площадь поперечного сечения бруса изменяется по закону (2.19). После образования структуры с взаимопроникающими компонентами nii = = mi дальнейший рост приводит в модели к равномерном увеличению размеров брусьев первого компонента и уменьшению второго вплоть до Ш1 = 1, когда бцнарная система преврацрется в гомогенную. [c.42]

Рис.2.15. Флуктуации дна зоны проводимости в полупроводнике а) и пространственное распределение электронов в зоне проводимости при двух положениях уровня Фер-(б) и Р > Ер (в). Темные пятна ну Ьр азывают уровнем про- на рисунках (б,в) соответствуют областям с текания (или перколяции — высокой концентрацией электронов от лат. регсоШо — просачивание). Критическое значение объема проводяших областей в трехмерном (30) случае или их плошади — в двумерной (20) системе — в относительных единицах называют порогом протекания. Для 30 систем порог протекания равен приблизительно 0,17 для двумерных — 0,5.

Преобразование, изображенное на рис. 9.22,— только одно из нескольких возможных вариантов топологических преобразований, применяемых в задаче о протекании в решетке (см. [103]). Например, преобразование дуальности (рис. 5.13) приводит к простым алгебраическим соотношениям между порогами протекания на двух решетках. Они аналогичны формулам (5.181) и (5.182), связываюш им выражения для суммы состояний в модели Изинга при низких и высоких температурах (здесь выполняется такое же преобразование). Подобно тому как Крамере и Ваннье [5.25] определили критическую температуру фазового перехода па самодуалъной решетке, Сайкс и Эссем [107] нашли точные пороги протекания по связям для нескольких плоских решеток. [c.438]

Заметим также, что для треугольной сетки точное значение р = /г. Это наименьшее возможное значение в задаче о протекании по узлам на двумерных решетках. Действительно, в противном случае можно было бы указать такие значения концентрации атомов типа А, которые, с одной стороны, лежали бы выше порогового значения р , а с другой — были бы меньше /g - р -< < < i/j. На оставшихся узлах можно было бы разместить атомы тина В с концентрацией Сд = (1 — с а) > которая также оказалась бы выше порога протекания (рис. 9.23). Это означает. что в одной и той же плоскости сосуш ествовали бы бесконечные кластеры атомов обоих типов А ш В. Однако две бесконечные цепочки, составленные из атомов А, принадлежаш,их Л-кластеру, и нз атомов В, принадлежаш их -кластеру, обязательно должны пересечься (доказательство этого утверждения [108] чрезвычайно громоздко). Точка пересечения должна одновременно быть узлом типа А и типа 5, что бессмысленно. Разумеется, это рассуждение не годится для случая трех измерений, когда бесконечные перко-ляционные кластеры атомов различного сорта могут проникать друг в друга и сосуш ествовать. [c.438]

По-видимому, не существует никаких доводов против общего вывода Кикучи (см. 12.1) о том, что фазовый переход невозможен, когда концентрация магнитных атомов оказывается ниже порогового значения Для протекания по узлам. Не вполне очевидно, однако, что намагниченная фаза должна быть термодинамически устойчивой вблизи Г = О, когда концентрация р лишь немного превышает р - Может оказаться, например (см., в частности, [9.45]), что размерность топологической структуры бесконечного связного кластера недостаточна для того, чтобы препятствовать флуктуационному распаду основного состояния упорядоченного гейзенберговского магнетика (ср. с 5.6). Эту теоретическую возможность нельзя исключить [13] ни путем перехода к какой-либо эффективной среде ( 5.2 и 9.4), ни с по-моп ью приближения малых кластеров ( 5.4 и 10.9). Она не противоречит и виду кривой Гс (р)- вытекающему из экстраполяции результатов высокотемпературных разложений на область малых концентраций р. По-видимому, уменьшение концентрации связей в случае квантового гейзенберговского ферромагнетика приводит к тому, что кривая (р) почти строго прямолинейно идет к нулю у порога протекания по связям р [14]. С другой стороны, в модели с малой концентрацией узлов [15] соответствующая линия явно проходит так, что ее продолжение пересекло бы ось ординат в точке выше р . Таким образом, влияние разбавления на критические свойства сестем с коллективным поведением зависит от природы модели, и не существует какого-либо очевидного универсального критерия подобия, определяющего порог протекания. [c.545]

По определению разностная матрица есть прямая сумма отдельных матриц для несвязных кластеров. Так как нас интересуют спиновые волны, нарушающ,ие дальний порядок в магнитной поляризации образца, достаточно рассмотреть только собственные функции уравнения (12.10), определенные для бесконечного кластера, который существует выше порога протекания. Вообще говоря, это не будут собственные функции оператора квазиимпульса. Однако всегда можно вычислить макроскопический вектор импульса [c.546]

В области энергий над порогом протекания, (13.29), соответствующим случайной потенциальной энергии f" (R), вместо компактного локализованного состояния с волновой функцией типа ф представляется более разумным искать оптимальное делокализо-ванное состояние, волновая функция которого конечна в области пространства со сложной геометрией, с отростками , проникающими в участки, разрешенные по энергии. Однако в этой ситуации остаются неразрешенными сомнения относительно внутренней согласованности феноменологических допущений, на которых основан вывод формулы (13.40) [34—36]. Пользуясь в этом круге задач методом интегралов по траекториям (см. 7.9) [37—42] 2), мы должны, как и выше, нарушить трансляционную симметрию системы с помощью предположения о локализации. Это позволяет нам вытянуть часть делокализованных состояний в область отрицательных энергий (хвост), где они становятся локализованными. При другом подходе оказывается необходимым прибегать к грубой аппроксимации в самих уравнениях, постулируя существование самосогласованного поля, действующего на электрон при его движении по образцу. Этот метод, однако, весьма сложен в математическом отношении, и его применение пока еще не дало окончательного ответа на несколько академический вопрос [c.576]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...