Конфигурация равновесия устойчивая

Резюме. Движение произвольной механической системы вблизи положения устойчивого равновесия удобно изучать с помощью пространства конфигураций. В этом случае пространство евклидово, а переменные qi служат в нем прямолинейными координатами. Главные оси квадратичной формы потенциальной энергии определяют п взаимно ортогональных направлений в пространстве конфигураций, которые могут быть выбраны в качестве осей естественной системы координат. С-точка совершает гармонические колебания вдоль этих направлений с частотами, меняющимися от одной оси к другой. Амплитуды и фазы этих колебаний, называемых нормальными , произвольны и зависят от начальных условий. Произвольное движение системы является суперпозицией нормальных колебаний. В результате такого движения С-точка описывает фигуры Лиссажу в пространстве конфигураций. Для устойчивости равновесия требуется, чтобы корни характеристического уравнения были положительны, так как в противном случае нарушается колебательный характер движения. [c.189]

Условия равновесия. Устойчивость. Для того чтобы консервативная система, на которую внешние силы не действуют, при конфигурации д 2,. .., могла находиться в равновесии, уравнениям движения, а именно [c.215]

Обобщая обычным образом данное в гл. II, п. 35 определение устойчивости, мы будем называть конфигурацию равновесия С устойчивой, если при достаточно малом возмущении равновесия (т. е. при начальной конфигурации, достаточно близкой к С , и достаточно малой живой силе Г") будет иметь место движение, при котором система остается сколь угодно близкой к С , и в то же время сохраняет сколь угодно малую живую силу, т. е. одновременные скорости всех отдельных точек системы остаются как угодно малыми. [c.355]

В случае б можно в более общем смысле говорить о том, что увеличивается инерция системы. Что же касается предположения в , то его можно выразить также, говоря, что увеличивается емкость системы по отношению к энергии ). Чтобы дать себе отчет в этом способе выражения, вспомним, что в окрестности конфигурации С устойчивого равновесия работа [c.373]

Представим себе далее, что на голономную систему вместе с действующими на нее консервативными силами оказывают влияние кинетические действия гиростатического типа предполагая, что конфигурация С (л-, = i ,-= 0) является конфигурацией равновесия, отбросим предположение, что потенциал в ней допускает действительный максимум или, другими словами, что в отсутствие гиро-статических (или диссипативных) действий конфигурация С соответствует состоянию устойчивого равновесия. [c.398]

В задачу теории упругой устойчивости входит определение условий, при которых становятся возможными различные состояния равновесия системы, установление форм равновесных конфигураций и выяснение того, какие из этих конфигураций соответствуют устойчивым состояниям равновесия, а какие нет. [c.10]

Трудно дать строгое исчерпывающее определение устойчивости равновесия ввиду сложности и многогранности этого явления. Для наших целей вполне достаточна следующая формулировка равновесная конфигурация тела устойчива, коль скоро малые возмущения конфигурации вызывают и малые отклонения от положения равновесия. При этом, уменьшая возмущения, можно сделать эти отклонения сколь угодно малыми. И наоборот, конфигурация неустойчива, если сколь угодно малые возмущения могут вызывать немалые отклонения. [c.253]

Теперь рассмотрим промежуточное состояние, для которого Р равно наименьшему критическому значению Р . Тогда прямолинейная форма не будет ни конфигурацией устойчивого равновесия, ни конфигурацией неустойчивого равновесия. Она будет конфигурацией безразличного равновесия. Следовательно, для у можно найти такую форму ( первую форму продольного изгиба ), что определяемая ею изогнутая конфигурация также будет конфигурацией равновесия. Общая теорема механики требует, чтобы полная потенциальная энергия, соответствующая этой конфигурации, имела стационарное значение. Следовательно, левая часть выражения (45) должна обращаться в нуль, когда у дано любое бесконечно малое приращение. [c.599]

Отсюда мы замечаем, что в будет действительным или мнимым, т. е. конфигурация равновесия будет устойчивой или неустойчивой, смотря по тому, будет лн р положительно или отрицательно, или, что то же самое, смотря по тому, уменьшается или увеличивается плотность снизу вверх ). [c.474]

Нам остается рассмотреть еще случай отрицательного Действительные значения х имеют тогда противоположные знаки. Систему можно так вывести из смещенного положения, что она будет асимптотически приближаться к состоянию покоя в конфигурации равновесия но если только не удовлетворено специальное соотношение между смещением и скоростью, движение стремится беспредельно возрастать. При этих условиях равновесие должно рассматриваться как неустойчивое. В этом смысле устойчивость требует, чтобы обе величины и х были положительными. [c.95]

Мы можем ввести теперь условие, что движение системы имеет место в непосредственном соседстве с конфигурацией вполне устойчивого равновесия тогда Т и Р — однородные квадратичные функции скоростей с коэффициентами, которые следует рассматривать как постоянные, а V — аналогичная функция самих координат, при условии (которое мы предполагаем выполненным), что нулевое значение каждой координаты соответствует конфигурации равновесия. Кроме того, все три функции суще- [c.124]

Кроме того, как легко видеть, равновесие является устойчивым, если V достигает абсолютного минимума . В соответствии с интегралом энергии (2), если происходит малое отклонение от равновесия, то, поскольку Т не может стать отрицательной, V может измениться от своего равновесного значения также только на малую величину. Это означает, в свою очередь, что ни одна из координат не может отклоняться от положения равновесия более чем на малую величину, поэтому во время движения система должна оставаться в непосредственной близости от конфигурации равновесия, что и определяет устойчивость. [c.22]

III) Здесь для каждого значения л существуют две возможные конфигурации равновесия, причём если на А С они устойчивы, то на СА2 нет. Для значений в точке С теряется устойчивость, и за ней возможные формы равновесия отсутствуют. [c.25]

I) Если конфигурация равновесия обладает вековой устойчивостью, то она обладает и обыкновенной устойчивостью. [c.45]

Теперь, если допустить, что существует некоторая конфигурация равновесия системы, то поскольку целью является переход к линейным уравнениям, необходимо рассмотреть движения, при которых максимальное смещение любого данного элемента жидкости от своего среднего положения является величиной первого порядка малости. Результирующая неравновесная конфигурация в любой момент будет рассматриваться как возмущённая и будет отличаться в размерах от конфигурации равновесия только величинами первого порядка малости. Рассматривая обычным методом такие движения с целью изучения их устойчивости, при построении соответствующих уравнений предполагается, что каждый элемент жидкости совершает колебания около среднего положения, причём по найденным периодам выясняется, будет ли такое движение оставаться малым. Таким образом, если xq, уо, zq — среднее положение элемента жидкости, который в момент времени t имеет положение х, у, z, то мы полагаем [c.183]

Пока взаимное смещение и (рис. 116, б), возрастая, остается меньше половины расстояния между атомами (а/2), силы взаимодействия между ними препятствуют сдвигу. Как только это смещение превысит расстояние а/2, силы взаимодействия начинают способствовать смещению решетки в новое устойчивое положение равновесия. Пластическая деформация произойдет в результате смещения части решетки на расстояния, кратные а (рис. 116, в). Наименьшая пластическая деформация соответствует смещению на а. В результате таких смещений каждый предыдущий атом занимает место последующего, все атомы оказываются на местах, присущих данной кристаллической решетке. Кристалл сохраняет свои свойства, меняя лишь конфигурацию. [c.115]

Дислокация, созданная в неограниченной упругой среде, может в ней свободно перемещаться, если выполнено условие (14.9.1). Действительно, энергия дислокации не зависит от ее положения, следовательно, движение линии дислокации с сохранением конфигурации не требует затраты дополнительной работы. В теле конечных размеров дислокация уже не свободна, упругая энергия тела зависит от положения дислокации и естественным направлением ее движения будет то, которое приводит к уменьшению энергии. Так, в примере 14.8 дислокация, находящаяся на расстоянии от оси цилиндра р < 0,541, будет двигаться к оси, стремясь занять положение устойчивого равновесия. Дислокация, удаленная от оси на расстояние, превышающее р = 0,541, будет двигаться от оси, стремясь выйти па поверхность. [c.472]

Для удержания жидкого металла магнитным полем недостаточно реализовать условия его равновесия. Нужно обеспечить устойчивость этого равновесия (т.е. возврат конфигурации к исходной по окончании действия возмущающего фактора), что предъявляет более строгие требования к конструкции объекта. [c.28]

Равновесие называют устойчивым, если движение, получающееся в результате небольшого возмущения, не выходит из небольшой окрестности первоначальной конфигурации системы. Если же при бесконечно малом возмущении система начинает неограниченно удаляться от первоначальной конфигурации, то равновесие называют неустойчивым. Покоящийся маятник может служить примером системы, находящейся в устойчивом равновесии, а яйцо, поставленное на один из своих концов, — примером системы, находящейся в неустойчивом равновесии. Легко видеть, что если экстремум функции V будет минимумом, то равновесие будет устойчивым. Для доказательства предположим, что система отклоняется от положения равновесия и энергия ее увеличивается при этом на dE. Но так как в положении равновесия V имеет минимум, то любое отклонение от этого положения вызывает увеличение V. Поэтому на основании закона о сохранении энергии можно сделать вывод, что если бы эта система продолжала отклоняться от равновесия, то скорости ее уменьшались бы и в конце концов обратились бы в нуль. Это указывает на ограниченность движения такой системы. [c.348]

Обсудим связь между материалом, изложенным в данном пункте, где речь шла об описании механических явлений вблизи положения равновесия, и макроскопической картиной пространства конфигураций. Мы оперировали с координатами, имевшими значение локальных координат. Они отражали малые локальные вариации bqi координат I вблизи положения равновесия Р. Потенциальная энергия V вследствие разложения в ряд Тейлора также отражала локальные вариации потенциальной энергии V в окрестности точки Я. Линейные члены выпадали, поскольку мы разлагали функцию вблизи точки равновесия. Разложение начиналось с членов второго порядка и давало то, что в общем случае называется второй вариацией функции (см. гл. II, п. 3). Теперь мы видим, что та же самая вторая вариация, которая была существенна при определении экстремальных свойств стационарной точки, существенна и в вопросе об устойчивости либо неустойчивости состояния равновесия. Если все X положительны, то вторая вариация является положительно определенной формой это означает, что потенциальная энергия увеличивается в любом направлении от Р. Следовательно, потенциальная энергия имеет локальный минимум в точке Р. Утверждения о наличии минимума потенциальной энергии и существовании устойчивого положения равновесия эквивалентны. Если по крайней мере один из корней отрицателен, то вторая вариация меняет знак и стационарное значение потенциальной энергии не является уже истинным экстремумом. В то же время соответствующее положение равновесия неустойчиво. [c.188]

Если V имеет минимум для рассматриваемой конфигурации, то равновесие будет устойчивым. Так как при движении под действием незначительного возмущения полная энергия ТV постоянна и так как Т представляет существенно положительную величину, то V никогда не может превосходить своего значения для состояния равновесия более, чем на незначительную величину, зависящую от энергии возмущения. При этом подразумевается, что существует верхний предел отклонения каждой координаты от ее значения в положении равновесия кроме того, этот предел неограниченно убывает вместе с энергией первоначального возмущения ). [c.215]

Если, далее, мы распространим на равновесие голономных систем качественный критерий устойчивости, указанный в п. 18 гл. IX, то увидим, что также и для этих систем конфигурациями устойчивого равновесия являются те, которым соответствует максимальное значение потенциала. Мы вернемся к этому заключению в динамике, где дадим ему более строгое обоснование. [c.268]

Таким образом, на основании динамического критерия предыдущего пункта подтверждается устойчивость состояния равновесия в М, т. е. в конфигурации С . [c.357]

Таким образом, мы пришли к следующей теореме состояние равновесия, принимаемое системой вблизи ее конфигурации минимума внутренней энергии, при одновременном действии почти однородного силового поля и линейных связей, будет всегда устойчивым. [c.365]

Малые колебания голономной системы в окрестности одной из ее конфигураций устойчивого равновесия [c.367]

Таким образом, мы видим, что во всяком движении голономной системы (со связями без трения) в непосредственной близости от конфигурации устойчивого равновесия (общего типа) каждая из нормальных координат Xi изменяется по гармоническому закону. [c.370]

Теоремы Рэлея. Рэлей ) исследовал, как изменяются главные частоты в материальной системе, колеблющейся вокруг одной из своих конфигураций устойчивого равновесия, и, в частности, как изменяется основная частота, когда [c.372]

В материальной, системе с п степенями свободы, колеблющейся около конфигурации устойчивого равновесия, добавление р< п голономных связей, не будучи в состоянии понизить основной [c.375]

Нормальные координаты. Главные колебания и главные ча-стоты. После этого отступления обратимся, как в п. 4, к голоном-ной системе Sen степенями свободы, находящейся под действием консервативных сил с потенциалом U, и рассмотрим конфигурацию С устойчивого равновесия, предполагая, что действительный мак-симум функции t/ в С будет общего типа, т. е. о его существовании можно судить на основании рассмотрения местных значений одних только вторых производных функций и. [c.368]

Молекулы минеральных масел состоят в основном йз смеси алифатических углеводорЬдов (парафина) или их конечных производных (спирты, сложные эфиры, метолы, кислоты). При температурах ниже точки плавления цепи углеводородов группируются в пакеты, фактически являющиеся кристаллами. Когда кристаллы из жидкой смеси или раствора вырастают на поверхности твердого тела, они ориентируются. Формирование мономолекул проходит согласно основному принципу статической устойчивости, молекулы-диполи должны ориентироваться на поверхности таким образом, чтобы их конфигурация соответствовала устойчивому равновесию. Опыт показывает, что возможна как нормальная, так и касательная ориентация. Нормальная ориентация характерна для полярных молекул, несущих на концах разные группы атомов (например, жирные кислоты). Однако жирные кислоты отличаются тем, что у них ориентация первого молекулярного слоя отличается от ориентации последующих слоев. Касательная ориентация свойственна молекулам, имеющим на концах одинаковые группы атомов (например, эфиры). [c.238]

Вернемся к вопросу, поднятому в главе II (стр. 51) и покажем, как для определённых возмущений или деформаций свободно вращающейся э.ллипсоидальпой жидкой массы можно изучить устойчивость при постоянной и). Для этого необходимо составить уравнения в системе отсчёта, вращающейся с постоянной и, равной её значению для конфигурации равновесия. [c.135]

Однако поскольку все подобные конфигурации уже обладают вековой неустойчивостью при смещениях, соответствующих Ь п = 2, р = 2), они пе имеют физического применения и не могут появиться в результате естественной эволюции жидкой массы. Если бы система обладала количеством углового момента, отвечающим условиям (равновесия) любой такой сфероидальной формы, то через внутреннее трение опа нришла бы к соответствующей конфигурации равновесия па последовательности Якоби при условии, что такая конфигурация с заданным угловым моментом сама обладает вековой устойчивостью . Теперь перейдём к рассмотрению вековой устойчивости эллипсоидальных форм. [c.163]

Г. Николис и И. Пригожин понятие о диссипативных структурах сформулировали следующим образом [5] "...как удаленность от равновесия, так и нелинейность могут служить причиной возникновения упорядоченности в системе. Между упорядоченностью, устойчивостью и диссипацией возникает в высшей степени нетривиальная связь. Чтобы четче выяснить эту связь, мы будем называть упорядоченные конфигурации, появляющееся вне области термодинамической ветви, диссипативными структурами. Такие структуры могут существовать вдали от равновесия лишь за счет достаточно большого потока вещества. Диссипативные структуры являют собой поразительный пример, демонстрирующий способность неравновесности служить источником упорядоченности . [c.60]

Чтобы исследовать устойчивость равновесия, мы можем вообразить импульсные возмущения, за которыми следуют действительные вариации равновесных перемещений. Поскольку диссипации энергии нет, сумма потенциальной и кинетической энергий остается постоянной. Если при отклонении от равновесной конфигурации потенциальная энергия должна увеличиваться, то кинетическая энергия должна уменьшаться. Однако если потенциальная энергия должна уменьшаться, то кинетичеткая энергия будет возрастать. Эти два случая описываются соответственно как устойчивый и неустойчивый по отношению к малым возмз/-щениям. Устойчивость, очевидно, требует, чтобы потенциальная энергия в положении равновесия достигала минимума, а неустойчивость—чтобы она была максимальной. При таком использовании потенциальной энергии подразумевается, что в движении, следующем за возмущением 1) объемные и поверхностные силы двигаются вместе с элементами материала, на которые они действуют в равновесной конфигурации, и 2) эти силы не меняют ни величины, ни направления. [c.262]

В случае если конструкция является двух- или трехмерной и к ней приложена система нагрузок, понятие устойчивости не является столь ясным, как при простом растяжении и сжатии. Строгое определение поведения, не зависящего от времени, дается в [9, 10]. Оно гласит, что в любой квазиста-тической системе перемещений от равновесной конфигурации работа, проделанная системой сил, поддерживающей равновесие, должна быть положительной. Следует заметить, что речь идет о работе второго порядка, т. е. работе, выполняемой системой дополнительных сил на дополнительных перемещениях, в которую не включается работа первого порядка, выполненная ранее приложенной системой сил. Другими словами, нагруженная равновесная конфигурация устойчива, если приложенная к конструкции система сил не производит работу. [c.19]

Периодическая форма решения (15) показывает, что, так как С, С, С, . .. по предположению малы, конфигурация системы никогда не будет значительно отличаться от конфигурации в положении равновесия. Следовательно, обращение значения V в минимум указывает на устойчивость, что находится в согласии с аргументацией Дирихле. [c.223]

Для того чтобы равновесие, смещенное к конфигурации С, определяемой уравнениями (8), (Ю), было устойчивым, достаточно, чтобы функция Q — и имела в С действительный минимум по отношению к другим конфигурациям, совместимым со связями это будет обеспечено, если будет существенно положительным второй дифференциал от Q — U, вычисленный, принимая во внимание урак-иения (8). Если продифференцируем первый дефференциал (9) примем во внимание, что нельзя прямо положить = так как [c.364]

Мы знаем, что если это состояние равновесия возмущено достаточно мало, то система благодаря устойчивости равновесия в С будет двигаться неопределенно долго в непосредственной близости от этой конфигурации изучим здесь характер этогб движения. [c.368]

Вынужденные колебания. Как и в случае системы с одной степенью свободы (гл. I, п. 59), обычно называют вынужденными колебаниями какой-нибудь голономной системы в окрестности конфигурации устойчивого равновесия колебания, определяющиеся совместным деНствие.м консервативных сил, к которым относится состояние равновесия, и добавочных сил, например периодических. [c.372]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...