Разреженные газы. Уравнение Больцмана

Кинетическое уравнение Больцмана (7.23) было получено им в 1872 г. и является исходным для исследования свойств разреженного неравновесного газа, атомы которого взаимодействуют [c.113]

Уравнение Больцмана (7.23) представляет собой очень сложное нелинейное интегродифференциальное уравнение, приближенное решение которого возможно только в некоторых частных случаях. Значение уравнения Больцмана далеко выходит за рамки физической кинетики разреженного газа. Оно позволяет получить ряд принципиально важных общих выводов. [c.114]

Таким образом, кинетическое уравнение Больцмана справедливо для разреженного газа ) малой плотности [c.115]

Кинетическое уравнение Власова для электронов разреженной плазмы, подобно кинетическому уравнению Больцмана для разреженного газа, может быть получено методом Боголюбова. По этому методу (см. 29) в случае плазмы функции распределения г,(чь Рь. .., qs, разлагаются по степеням малого [c.127]

Для режимов течения, при которых возмущающим влиянием поверхности на разреженный поток газа пренебречь нельзя, т. е. когда отлетающие от стенки молекулы соударяются с молекулами, подлетающими к стенке, функция распределения в настоящее время может быть найдена лишь на основе приближенного решения уравнения Больцмана. Это затрудняет решение задачи о теплоотдаче скользящего потока. [c.393]

Авторы исследования после тщательного анализа результатов своих опытов приходят к следующему выводу. При движении разреженного газа около поверхности твердого тела в случаях, когда на средней длине свободного пути молекул температура изменяется на 1—10° С, а скорость массового движения на то,й же длине меняется на 50—60 м сек вблизи поверхности тела, по-видимому, осуществляется закон распределения тепловых скоростей, соответствующий решению уравнения Больцмана в первом приближении. [c.56]

Покажем теперь, каким образом кинетическое уравнение Больцмана может быть выведено из системы уравнений (86.7) (этот вывод принадлежит Н. Н. Боголюбову). Будем считать газ разреженным настолько, что [c.480]

Легко видеть, что уравнения этой системы будут совместными только при условии отсутствия взаимодействия между частицами = 0. Следовательно, в случае разреженного газа корреляциями нельзя пренебрегать даже в нулевом приближении. Собственно говоря, этого следовало ожидать, так как для разреженного газа а 1 хорошим кинетическим уравнением является уравнение Больцмана, которое несовместимо с требованием факторизации. Мы видели, что вывод уравнения Больцмана по Боголюбову предполагает только факторизацию функции р2 в бесконечном прошлом . [c.494]

Это — знаменитое уравнение Больцмана, или кинетическое уравнение для разреженных газов. [c.29]

Этот результат точно совпадает с уравнением (11.4.21), что и завершает вывод уравнения Больцмана для разреженного однородного газа. [c.279]

I 357, 394 Разреженный газ, неравновесные свойства см. Больцмана уравнение [c.394]

Кинетическое уравнение Больцмана. В качестве простого применения цепочки уравнений (3.1.16) рассмотрим вывод кинетического уравнения Больцмана для разреженного газа. В этом случае безразмерный параметр плотности п = пгц предполагается настолько малым, чтобы можно было оборвать цепочку, используя некоторое приближение по этому параметру. [c.168]

Уравнение (3.3.74) представляет собой обобщение кинетического уравнения, предложенного в 1922 году Энскогом, который исходил из интуитивных физических аргументов. Идея Энскога очень проста. Как и в теории Больцмана для разреженных газов, микроскопическая динамика твердых сфер определяется парными столкновениями. Вследствие конечности размеров твердых сфер столкновения между ними являются нелокальными , в связи с чем в интеграле столкновений пространственные аргументы одночастичных функций распределения должны быть разнесены на расстояние, равное диаметру твердых сфер а. И, наконец, вероятность столкновения в плотных газах возрастает, благодаря эффектам исключенного объема . Для учета этих эффектов Энског ввел в интеграл столкновений дополнительный множитель. Его явную форму Энског выбрал, исходя из термодинамических соображений. Можно показать [138], что множитель Энскога близок к значению равновесной функции G2 (r ,r2) при г — Г2 = а. Это согласуется со структурой интеграла столкновений в уравнении (3.3.74), если состояние системы мало отличается от равновесного. Мы видели, однако, что в общем случае в интеграл столкновений Энскога входит квазиравновесная функция (3.3.70). [c.215]

Здесь мы дадим вывод уравнений гидродинамики разреженного газа путем построения так называемых нормальных решений кинетического уравнения Больцмана. Эти [c.233]

В принципе, уравпепие Больцмана описывает поведение разреженного газа при сколь угодно значительных отклонениях от равновесия с характерными пространственными и временными масштабами вплоть до средней длины свободного пробега и среднего времени пробега т . Однако здесь нас будут интересовать решения уравнения Больцмана, описывающие гидродинамическую стадию эволюции с пространственным и временным масштабами А/ и А , удовлетворяющими условиям А/ > и А > Гу>. В соответствии с идеей сокращенного описания неравновесных состояний, гидродинамическая стадия характеризуется лишь такими величинами, которые не меняются при столкновениях. В этом отношении важно, что для интеграла столкновений Больцмана выполняются равенства [78] [c.235]

Квантовое уравнение Больцмана. Рассмотрим разреженный газ частиц, взаимодействие между которыми описывается короткодействующими силами. В нервом приближении кинетические процессы в системе можно описать с помощью парных столкновений. В случае сильного взаимодействия требуется более точное описание рассеяния двух частиц, так как борновское приближение, рассмотренное в разделе 4.1.6, становится неприменимым. [c.269]

При выводе уравнения Больцмана мы сделали ряд существенных предположений ). Во-первых, мы ограничились учетом лишь парных столкновений, что оправдано разреженностью газа. [c.37]

Основной целью настоящего параграфа является сравнение различных методов решения уравнения Больцмана на простом примере течения Куэтта i). Следует, однако, иметь в виду, что при апробации какого-либо метода, предназначенного для реальных трехмерных течений, на течении Куэтта могут проявиться особенности, несвойственные реальным течениям. Эти особенности обусловлены тем, что в сколь угодно разреженном газе д.пя молекул, движущихся под малыми углами 0 к стенке, число столкновений пропорционально 1/0. дг [c.253]

Исследования течений разреженного газа при помощи уравнения Больцмана приобретают все большее значение в связи с новыми задачами космической и ракетной техники. Книга посвящена аналитическим решениям этого уравнения, его свойствам, вопросам построения модельных кинетических уравнений и т. д. В разработку этих проблем автор внес существенный вклад, и в книге дано наиболее полное освещение современного состояния соответствующих аспектов кинетической теории газов. [c.4]

Уравнение Больцмана — интегродифференциальное уравнение, описывающее поведение разреженного газа, — было выведено Людвигом Больцманом в 1872 г. Оно до сих пор остается основой кинетической теории газов и оказывается плодотворным не только для исследования классических газов, которые имел в виду Больцман, но — при соответствующем обобщении—и для изучения переноса электронов в твердых телах и плазме, переноса нейтронов в ядерных реакторах, переноса фононов в сверхтекучих жидкостях и переноса излучения в атмосферах звезд и планет. За последние двадцать лет эти исследования привели к значительным достижениям как в новых областях, так и в старой. [c.7]

Арсеньев A. A., О решении дисперсионного уравнения для линеаризованного уравнения Больцмана в кинетической теории разреженных газов, Ж. вычисл. мат. и мат. физики, 6, № 2, 375—380 (1966). [c.389]

Число Кнудсена характеризует степень разреженности газа. При больших числах Кнудсена столкновения оказывают малое влияние на изменение функции распределения и при Кп- оо интегралом столкновений можно пренебречь. При малых же числах Кнудсена функция распределения, наоборот, определяется в основном столкновениями. Чтобы подчеркнуть это и придать большее влияние столкновительному члену в состояниях, близких- к локально равновесному, его умножают на большую вели-записывая кинетическое уравнение Больцмана в ви- [c.143]

Для количественной оценки взаимодействия разреженного потока газа с поверхностью необходимо знать динамические характеристики каждой молекулы или групп молекул перед соударением их со стенкой. Для оценки этих характеристик в молекулярно-кинетической еории используется функция распределения молекул по скоростям, которая описывается уравнением Больцмана. Для случая, когда молекулы взаимодействуют между собой в форме парных столкновений и нет других факторов, возмущающих движение молекул, а газ находится в стационарном состоянии, функция распределения найдена и известна под названием функции распределения Максвелла. Она используется при расчетной оценке теплоотдачи поверхности в свободно-молекулярном потоке газа. [c.393]

Чтобы при помощи преобраловапия Л получить функцию Ляпунова (уравнение (36)), необходимо тщательно исследовать сингулярности резольвенты, соответствующей оператору Лиувилля (21). Можно показать, как это недавно сделали Теодосопулу и др. [24], что при небольших отклонениях от термодинамического равновесия функционал Ляпунова И (уравнение (36)) сводится к макроскопической величине S" S (уравнение (9)). Кроме того, при этом во времени эволюционируют только величины, удовлетворяющие закону сохранения. Это означает, что нам удалось в самой общей форме, по крайней мере для онзагеров-ской области, установить взаимосвязь между термодинамикой необратимых процессов и статистической механикой. Следует подчеркнуть, что, по существу, это означает дальнейшее расширение применимости результатов, давно полученных в рамках теории Больцмана, справедливой для разреженных газов (25). [c.152]

Описание сильно неравновесных состояний, а также вычисление кинетич. коэф. производятся с помощью кинетического уравнения Больцмана. Это ур-ние представляет собой интегродифференц. ур-ние для одночастичной ф-ции распределения (в квантовом случае — для одночастичной матрицы плотности, или статистич. оператора). Оно содержит члены двух типов. Одни описывают изменение ф-ции распределения при движении частиц во внеш. полях, другие — при столкновениях частиц. Именно столкновения приводят к возрастанию энтропии неравновесной системы, т, е. к релаксации. Замкнутое, т. е. не содержащее др. величин кинетич. ур-ние, невозможно получить в общем виде. При его выводе необходимо использовать малые параметры, имеющиеся в данной конкретной задаче. Важнейшим примером является кинетич. ур-ние, описывающее установление равновесия в газе за счёт столкновений между молекулами. Оно справедливо для достаточно разреженных газов, когда длина свободного пробега велика по сравнению с расстояниями между молекулами. Конкретный вид этого ур-ния зависит от эфф. сечения рассеяния молекул друг на друге. Если это сечение известно, ур-ние можно решать, разлагая искомую ф-цию по ортогональным полиномам. Таким способом можно вычислить кинетич. коэф. газа, исходя из известных законов взаимодействия между молекулами. Кинетич. ур-ние учитывает только парные столкновения между молекулами и описывает только первый неисчезающий член разложения этих коэф. по плотности газа. Удалось найти и более точное ур-ние, учитывающее также тройные столкновения, что позволило вычислить следующий член разложения. [c.672]

В 1990-х гг. термин броуновское движение применяют в гораздо более широком смысле— в кинетике физической, в статистич. гидродинамике, матем. теории стохастич. процессов в этих областях также используют Ф. — П. у. (в теории стохастич. процессов оно наз. ур-нием Колмогорова). В физ. кинетике Ф. — П. у. получается из цепочки Боголюбова уравнений в приближении малости взаимодействия (малого параметра при потенциале взаимодействия) или малости отношения массы молекулы жидкости или газа к массе примесной частицы. Для достаточно разреженных систем, описываемых уравнением Больцмана, приведённое приближение также даёт Ф. — П. у, В этом случае интеграл столкновения Больцмана разлагается по параметру малости взаимодействия, что в низшем приближении даёт столкновительный оператор Фоккера — Планка. Такой подход используется в кинетике гравитирующих систем и плазмы, а также для описания разл. релаксационных процессов (внутр. степеней свободы молекул газа, электронов в твёрдом теле и др.). [c.332]

Классическая теория темиературного скачка и скольжения газа у стенки построена на основании решения кинетического уравнения Больцмана в первом приближении, т. е. когда изменение темлературы и макроскопической скорости газа на средней длине овободного пути молекул пренебрежимо малы. Молекулярно-кинетические расчеты тангенциального импульса, передаваемого от движущейся стенки разреженному газу, привели Максвелла [Л. 1] к выражению для коэффициента скольжения [c.514]

Приведенный в этом разделе вывод уравнений баланса, основанный на кинетических уравнениях Больцмана и Ландау, справедлив лишь для доста-тотао разреженного газа, в котором давление, внутренняя энергия, энтропия и т. д. совпадают с термодинамическими функциями идеального газа. (См. книгу Ю. Л. Климонтовича, цитироваш1ую на стр. 33.) — Прим. ред. [c.69]

Задачи, отобранные для этой главы, представляют собой неравновесные аналоги задач, рассмотренных в гл. 6 и 9 в равновесном случае разреженный и не слишком плотный газы, плазма, жидкость Ван-дер-Ваальса ). Сложилось так, что большая часть задач, решенных в равновесной теории, со временем была решена и в неравновесной теории. Разумеется, это не случайно. Дело-в том, что в физике существует весьма ограниченное количество задач, лоддаюпщхся решению, поэтому в обоих случаях, равновес> ном и неравновесном, были использованы некоторые простыв свойства этих задач. Однако многих поразит тот факт, что неравновесные задачи во много раз сложнее равновесных. Приведем лишь один пример с помощью диаграммной техники Майера можно получить аналитическое выражение любого вириальнога коэффициента. Ничего подобного не существз> ет для коэффициентов переноса — явное аналитическое выражение получено лишь для первой поправки по плотности к результату, найденному из уравнения Больцмана. Что касается численных результатов, то здесь положение еще хуже. Если в равновесии для системы твердых сфер известны шесть первых вириальных коэффициентов, то в неравновесном случае второй вириальный коэффициент вычислен лишь для двумерной системы твердых дисков. [c.270]

Напомним, что основы классической кинетической теории были заложены Максвеллом [123] и Больцманом [60] более 100 лет назад. Нри выводе своего знаменитого кинетического уравнения для разреженного газа Больцман выделил два механизма изменения одночастичной функции распределения со временем динамический процесс инерционного движения молекул и стохастический процесс парных столкновений. Больцман привлек гипотезу молекулярного хаоса (Stofizahlansatz), согласно которой перед каждым столкновением между молекулами, участвующими в столкновении, отсутствуют корреляции. Если плотность газа мала, то это интуитивное допущение Больцмана кажется вполне разумным, но оно явно не выполняется для более плотных систем, когда необходимо учитывать многочастичные столкновения. Более общий метод вывода кинетических уравнений был разработан Боголюбовым в его монографии [7], существенно повлиявшей на все последующее развитие кинетической теории. В методе Боголюбова кинетическое уравнение выводится из уравнения Лиу-вилля с граничным условием ослабления начальных корреляций между частицами. Это условие, налагаемое лишь один раз в отдаленном прошлом, заменяет больцманов-ский Stofizahlansatz. Главным достоинством метода Боголюбова является то, что он указал путь к выводу более общих кинетических уравнений, чем уравнение Больцмана или его простейшие модификации. [c.163]

Имеет смысл кратко остановиться на различиях между квантовыми интегралами столкновений Больцмана (4.2.50) и Улинга-Уленбека (4.1.86). Наиболее важная особенность последнего заключается в том, что он содержит комбинации функций распределения, вид которых зависит от типа статистики. С другой стороны, в интеграле столкновений Больцмана квантовые статистические эффекты не включены. Физический смысл различия состоит в том, что эти интегралы столкновений фактически используются для описания разных систем. Выражение (4.1.86) применимо для квантовых газов произвольной плотности со слабо взаимодействующими элементарными возбуждениями (квазичастицами), когда статистические эффекты являются существенными. Квантовый интеграл столкновений Больцмана (4.2.50) применяется для разреженных газов, когда квантовые эффекты важны только при вычислении сечения рассеяния ). Чтобы включить квантовые статистические эффекты в интеграл столкновений Больцмана, необходимо учесть последнее слагаемое в левой части уравнения (4.2.14), описывающее трехчастичное взаимодействие. Этот вопрос будет обсуждаться в параграфе 4.3. [c.274]

При обсуждении квантового уравнения Больцмана в предыдущем параграфе мы уже отмечали, что оно применимо только для разреженных газов. Преимущество этого уравнения по сравнению с классическим уравнением Больцмана состоит в том, что сечение двухчастичного рассеяния выражается через точную квантовомеханическую Т-матрицу. С другой стороны, в квантовом интеграле столкновений Больцмана не учитываются статистические эффекты, присущие ферми- и бозе-системам. Хотя эти эффекты учитываются в интеграле столкновений Улинга-Уленбека, который был выведен в разделе 4.1.6, соответствующая вероятность перехода была получена там лишь в борновском приближении. [c.282]

Динамика разреженных газов или, как ее иногда называют, супераэродинамика изучает явления, имеющие место при произвольном отношении длины пробега (времени между столкновениями) молекул к характерному размеру (времени) явления. Изучаемые явления могут быть сколь угодно далекими от равновесных. Исследование таких явлений требует в общем случае учета молекулярной структуры газа, кинетического Описания, применения уравнения Больцмана. В круг задач динамики разреженных газов входят, например, задачи об обтекании летательных аппаратов, движущихся на больших высотах, о движении газов в вакуумных аппаратах, ультразвуковых колебаниях в газах, структуре ударных волн, неравновесных течениях и т. д. [c.5]

В предельном случае малых длин пробега мы приходим к задачам, которые могут быть решены в рамках теории сплошной среды или, точнее, с применением уравнений Навье — Стокса. По существу, это задачи обычной газовой динамики. Однако по установившейся традиции некоторые из них изучаются динамикой разреженных газов. В число таких задач входят, например, некоторые задачи о вязких течениях при малых числах Рейнольдса, о течениях с взаимодействием пограничного слоя с невязким потоком, о близких к равновесным течениях с релаксацией возбуждения внутренних степеней свободы, о течениях со скольжением и температурным скачком на стенке и т. д. К решению этих задач могут быть привлечены методы газовой динамики. В то же время эти задачи, решаемые в рамках теории сплошной среды, тесно связаны с кинетической теорией, так как только с помощью кинетической теории, из анализа уравнения Больцмана, можно обоснованно вывести уравнения Эйлера и Навье—Стокса и их аг алоги для рела-ксирующих сред, установить область их применимости и снабдить их правильными начальными и граничными условиями и коэффициентами переноса. [c.5]

Число Кнудсена характеризует степень разреженности газа. При очень больших числах Кнудсена роль столкновений молекул становится пренебрежимо малой и в пределе при Кп->оо интегралом столкновений можно пренебречь. Течения, в которых можно пренебречь столкновениями молекул, называются свободномолекулярными. Для свободномолекулярных течений уравнение Больцмана принимает вид [c.92]

В 2.11 показано, что в уравнение Больцмана входит число Кнудсена, характеризующее степень разреженности газа. В предельных случаях при Кп 1 и Кп 1 в уравнении Больцмана появляется малый параметр, равный соответственно =Кп и ё=Кп. Естественно при больших и малых числах Кнудсена искать решение уравнения Больцмана в виде разложения по малому параметру [c.126]

Одной из простейших задач, для которой, однако, до сих пор не получено точное решение уравненит Больцмана, является задача Куэтта о течении и теплопередаче между параллельными бесконечными пластинками, движущимися друг относительно друга. На этом сравнительно простом течении опробованы почти все известные методы решения уравнения Больцмана. С другой стороны, задача имеет и самостоятельный интерес, так как позволяет прояснить характер течения вблизи поверхностей тел, обтекаемых разреженным газом. [c.252]

Когда плотность газа становится достаточно низкой, так что средняя длина свободного пробега больше ие является- пренебрежимо малой по сравнению с характерным размером течения, результаты, полученные методами механики сплошной среды, требуют поправок, которые становятся все более и более значительными по мере увеличения степени разреженности. Если разреженность достаточно велика, то вместо механики сплошной среды необходимо пользоваться кинетической теорией газов, а вместо уравнений Навье — Стокса — уравнением Больцмана. Последнее представляет собой весьма сложное нелинейное интегро-дифференциальное уравнение, решение которого для практических задач осуш ествимо, по-видимому, только при помощи соответствующих приближенных математических методов. [c.8]

Проблемы течений газов при произвольной разреженности стали интересовать аэродинамиков с практической точки зрения в последние двадцать лет, и решение уравнения Больцмана больше не является академической задачей. С другой стороны, математический характер этого уравнения таков, что для успешного применения классических методов математической физики в кинетической теории газов требуется их существенное развитие. Поэтому назрела необходимость специального рассмотрения математических методов, используемых в кинетической теории. [c.8]

Цель этого — современного — аспекта кинетической теории, который будет представлять для нас основной интерес, состоит вовсе не в выводе макроскопической (в обычном смысле) теории, хотя конечные результаты и будут выражены через измеряемые. и практически нужные величины, такие, например, как сопротивление объекта, движуш егося в разреженной атмосфере. Действительно, современная кинетическая теория рассматривает ситуации, где газ настолько разрежен, что средняя частота столкновений молекул оказывается равной (или меньше) по порядку величины частоте столкновений молекул со стенками, ограничи-ваюш ими исследуемую область, или частоте звукоподобных возмуш ений, распространяюш ихся через газ. Ясно, что в таких условиях нельзя ожидать макроскопического поведения , описываемого просто в терминах таких величин, как плотность, давление, температура, массовая скорость и т. п., хотя все эти понятия сохраняют свое значение (в статистическом смысле). При этом оправдано использование одночастичной функции распределения, а уравнение Больцмана становится очень важным как уравнение, пригодное для описания всего спектра разрежений и, следовательно, поведения газа на режимах от континуального (для умеренно плотного газа) до свободномолекулярного (когда межмолекулярные столкновения практически несуш ественны). [c.35]

Третья глава посвящена граничным условиям. В связи с этим обсуждаются явления, происходящие при взаимодействии газа с поверхностью, и роль, которую они играют при доказательстве Я-теоремы Больцмана. В четвертой главе расс1иатриБаются линейные уравнения переноса, в особенности линеаризованное уравнение Больцмана, уравнения переноса нейтронов и излучения, а также линейные модельные уравнения. Основное внимание уделяется общим аспектам этих задач и их решения. В пятой главе обсул<даются предельные случаи бесстолкновитель-ного и почти континуального течений. Шестая глава посвящена аналитическому решению линейных кинетических модельных уравнений с приложением к ряду задач о течениях газа и распространении звука в разреженных газах. [c.8]

Приложения второго рода связаны не с построением макроскопической теории в обычном смысле, а скорее с изучением поведения газа в тех случаях, когда средняя длина свободного пробега уже не является пренебрежимо малой по сравнению с характерным размером геометрии потока. В таких случаях, очевидно, нельзя ожидать, что макроскопическое поведение можно легко описать с помощью таких величин, как плотность, массовая скорость, температура, давление и т. д., хотя все эти понятия сохраняют смысл и конечные результаты выражаются в виде измеряемых и практически важных величин, таких, как лобовое сопротивление движущихся в разреженной атмосфере объектов. При этом оказывается полезной одночастичная функция распределения и уравнение Больцмана приобретает особое значение как уравнение, охватывающее весь диапазон разрежений и соответствующее этому диапазону поведение, начиная от жидкостноподобного режима умеренно плотного газа и кончая свободномолекулярным режимом, при котором молекулярными столкновениями практически можно пренебречь. [c.52]

Уравнение (4.4)—это замечательное уравнение, называемое уравнением Власова. Оно совернленно отлично от уравнения Больцмана и полезно для описания системы слабо взаимодействующих материальных точек в течение короткого промежутка времени это случай разреженного газа, частицы которого взаимодействуют посредством сравнительно слабых дальподей-ствующих сил, например электроны в ионизованном газе (кулоновская сила) или звезды в звездной системе (гравитационная сила). Однако в обычном газе, когда частицы находятся близко одна от другой, межмолекулярная сила довольно велика следовательно, модель жестких столкновений, хотя и весьма грубая, при описании существенных особенностей системы оказывается точнее модели непрерывно распределенной слабой силы. [c.73]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...