Столкновения твердых сфер

Из полного числа столкновений исключались столкновения, обусловленные твердой сердцевиной, и оставшиеся назывались мягкими . Расчеты показали, что отношение числа мягких столкновений к числу столкновений твердых сфер 0,5. Таким образом, было поставлено под сомнение утверждение о том, что мягкие столкновения могут привести к очень сильному ослаблению корреляций, так как мягкое столкновение слабо меняет импульс частицы. [c.196]

Согласно рассматриваемой теории считается, что временная эволюция импульса частицы между столкновениями твердых сфер происходит согласно уравнению (4.3) [c.196]

Оператор iL[2 описывающий взаимодействие между двумя твердыми сферами, является сингулярным. Он действует на фазовые переменные частиц лишь в тех случаях, когда г 1 21 = ft, т. е. когда частицы оказываются в контакте друг с другом. Иначе говоря, интеграл столкновений в правой части уравнения (3.3.66) описывает мгновенные столкновения твердых сфер. Это означает, в частности, что можно полностью пренебречь эффектами запаздывания. Тогда кинетическое уравнение принимает вид [c.214]

Обсуждение некоторых характерных особенностей столкновений твердых сфер приводится в книге [138]. [c.214]

Уравнение Власова — это уравнение нулевого приближения. Система уравнений для Р, и корреляционной части Сг, обеспечивающая первый порядок по параметру г /гд, приведена в задаче 30. Это очень сложные уравнения. И дело не только в математических трудностях. Всякое улучшение уравнения Власова, связанное с учетом столкновений ионов, — это в физическом смысле объединение двух противоположных тенденций, дальнодействия (кулоновское взаимодействие) и близкодействия (столкновение твердых сфер), характеризующихся противоположными по отношению друг к другу малыми параметрами. Даже чистый кулоновский потенциал при этих улучшениях не всегда является удобной моделью, и, чтобы придать тем или иным выражениям разумное значение, его приходится модифицировать, обрезать (см. задачу 44) и т.д. [c.303]

Таким образом, во все три интеграла входит один и тот же интеграл по угловым переменным. Рассчитаем его для модели столкновения твердых сфер. Сделаем пояснения к рис. 253, на котором изображен момент столкновения и все векторные величины, фигурирующие в этой задаче двух тел С — центр инерции и точка столкновения сфер, d = 2го — [c.426]

При столкновениях твердых сфер передаваемая энергия определяется выражением [c.106]

Наряду с рассмотренной выше существует и другая модель жидкости, согласно которой жидкость представляет собой систему твердых сфер, движущихся между столкновениями по браунов-ским траекториям, возникающим в результате столкновений вс щд-ствие притягивающей части потенциала. Поскольку последние из отмеченных столкновений нарушают временную корреляцию движения частиц, это движение можно рассматривать как некоррелированное. На основе сделанных предположений можно написать кинетические уравнения для функций распределения и, решая их, найти кинетические коэффициенты. [c.195]

Рис. 1.3.1. Столкновение молекул (модель абсолютно твердых сфер)

Неаналитический по параметру плотности член с коэффициентом а 2 возникает вследствие учета затухания на длине свободного пробега в процессах, включающих четыре частицы. Интересно отметить, что коэффициент а 2 при аналитическом вкладе в разложении (3.1.77) определяется теперь процессами столкновений, в которых участвует произвольно большое число частиц. Оценка коэффициента а 2 была получена для газа твердых сфер [73], однако для других потенциалов о разложении коэффициентов переноса по плотности известно очень немного, в том числе и о наличии логарифмических членов в разложениях по плотности коэффициентов переноса реальных газов. В параграфе 3.3 мы вернемся к вопросу о роли коллективных эффектов в кинетической теории. В частности, мы покажем, что эта роль не сводится только к обрезанию многочастичных процессов на длине свободного пробега. [c.181]

Уравнение (3.3.74) представляет собой обобщение кинетического уравнения, предложенного в 1922 году Энскогом, который исходил из интуитивных физических аргументов. Идея Энскога очень проста. Как и в теории Больцмана для разреженных газов, микроскопическая динамика твердых сфер определяется парными столкновениями. Вследствие конечности размеров твердых сфер столкновения между ними являются нелокальными , в связи с чем в интеграле столкновений пространственные аргументы одночастичных функций распределения должны быть разнесены на расстояние, равное диаметру твердых сфер а. И, наконец, вероятность столкновения в плотных газах возрастает, благодаря эффектам исключенного объема . Для учета этих эффектов Энског ввел в интеграл столкновений дополнительный множитель. Его явную форму Энског выбрал, исходя из термодинамических соображений. Можно показать [138], что множитель Энскога близок к значению равновесной функции G2 (r ,r2) при г — Г2 = а. Это согласуется со структурой интеграла столкновений в уравнении (3.3.74), если состояние системы мало отличается от равновесного. Мы видели, однако, что в общем случае в интеграл столкновений Энскога входит квазиравновесная функция (3.3.70). [c.215]

На рис. 68 приведены результаты расчета сопротивления в рамках теории первых столкновений для круглой ) и прямоугольных пластинок, а также для сферы з) и конуса ). Расчеты приведены для газа из твердых сфер [c.395]

В предыдущих разделах мы рассмотрели случай материальных точек, которые непрерывно взаимодействуют одна с другой согласно уравнениям движения (1.1). Часто бывает удобно рассматривать предельные случаи, в которых между точками происходят только дискретные взаимодействия с конечными импульсами (жесткие столкновения) при этом силы не могут быть описаны обычными функциями и с уравнением Лиувилля нужно обращаться иначе. Предельный случай жесткого столкновения полезен, так как он дает более наглядное представление об эволюции системы и служит хорошим приближением для интенсивных сил отталкивания, с которыми реальные молекулы взаимодействуют на близких расстояниях. Эти соображения приводят к концепции газа из твердых сфер, т. е. системы многих биллиардных шаров , которые не взаимодействуют на расстоянии и сталкиваются по законам упругого удара. Диаметр сфер о эквивалентен радиусу действия сил взаимодействия реальных молекул. Фактически газ из твердых сфер можно представлять как систему материальных точек, которые не взаимодействуют, если расстояние между ними больше а, и взаимодействуют с формально бесконечной центральной силой отталкивания, когда это расстояние становится в точности равным а, так что большее сближение невозможно. [c.23]

Другой пример мгновенного взаимодействия рассматривается в том случае, когда предполагается, что молекула упруго отражается жесткой стенкой. Эта модель менее реальна, чем модель твердых сфер, потому что жесткая стенка имеет макроскопические размеры и безусловно обладает весьма сложной структурой на микроскопическом уровне. В гл. III будет подробно показано, что эта структура не допускает упругого столкновения с регулярной геометрической поверхностью, изображающей стенку в макроскопическом описании. [c.23]

В случае столкновения между двумя одинаковыми твердыми сферами соотношения, которые связывают скорости после столкновения I] и 2 со скоростями до столкновения и 1 , имеют вид [c.24]

Заметим теперь, что в обоих случаях (взаимодействие со стенкой и столкновение двух твердых сфер) составляюш ие скоростей подвергаются линейному преобразованию, описываемому матрицей А (3 X 3 или 6Х6)> элементы которой зависят от п. В обоих случаях сравнение прямых и обратных преобразований (уравнения (4.1) и (4.10) (4.3) и (4.11)) показывает, что обратная матрица А равна А, т. е. А — единичная матрица. Следовательно, квадрат определителя матрицы А (который является просто якобианом /1 линейного преобразования) равен единице, так что /1 = +1. [c.26]

Чтобы показать, что 2 = —1, достаточно рассмотреть случай отражения точки от неподвижной стенки, так как столкновение между двумя твердыми сферами сведется к этому случаю преобразованием переменных х = 72(х + х ), г = х —Х2, = 7 (х[х ), г ==х —х, если заметить, что х —>х соответствует жесткому движению, а г ->г эквивалентно отражению от неподвижной стенки. [c.27]

Рассматривая твердые сферы, удобно ввести понятие длинЫ свободного пробега. Это расстояние, проходимое сферой 5] м жду двумя последовательными столкновениями. Оно, конечно-зависит от количества сфер в единице объема /г, скорости вЫ [c.28]

Простая оценка средней длины свободного пробега I твердой сферы получается в предположении, что другие сферы покоятся. Окружая каждую из них сферой радиуса, равного диаметру частиц а, движущуюся сферу можно представлять точкой (рис. 5). Тогда, если 5 проходит в среднем между двумя столкновениями расстояние /, это означает, что в цилиндре с основанием и высотой I находится только одна молекула, а именно 5ь т. е. [c.29]

При отражении от искривленной поверхности возникают дополнительные эффекты рассеяния, особенно если поверхность выпуклая и имеет малый радиус кривизны. Этот случай особенно важен, так как он соответствует столкновению между двумя твердыми сферами как было указано в конце разд. 4, рассматриваемую сферу можно заменить точкой, сталкивающейся со сферической поверхностью радиуса а, равного диаметру твердых сфер (которые считаются одинаковыми). [c.33]

В частности, для твердых сфер с одинаковыми диаметрами а и массами т имеем Sij = 2o m Величина представляет собой плотность вероятности столкновения, при котором скорости молекул I и / изменяются от до [c.78]

Поскольку fo( J пропорциональна ехр(—где а>0 и + (I — 1 2 — 2 (I — I ), вклад в этот интеграл от полупространства - (I — 1 ) <0 по абсолютной величине меньше, чем от полупространства -( —1 )>0. Так как первый вклад отрицателен, а второй положителен, весь интеграл положителен и ду/д больше или меньше нуля одновременно с величиной у Далее, у = п — 5)/(п—1) для потенциалов с обрезанием по углу и у = I для твердых сфер и потенциалов конечного радиуса. Следовательно, частота столкновений монотонно возрастает для твердых сфер и потенциалов конечного радиуса. Для степенных потенциалов с обрезанием по углу она монотонно возрастает при /2 > 5 и монотонно убывает при /2 < 5. Таким образом, в последнем случае п < 5) частота ограничена сверху, [c.204]

Рис. 19. Спектр оператора столкновений для твердых сфер и степенных законов взаимодействия с обрезанием по углу и показателем, большим пяти.

Отметим снова, что операторы столкновений для твердых сфер и жестких потенциалов с обрезанием по углу являются неограниченными и имеют непрерывный спектр операторы для жестких потенциалов без обрезания такл е неограниченны. Если [c.234]

Можно получить полезное интегральное уравнение, когда оператор столкновений представляется в виде Иг = КН — v/г, где К — интегральный оператор. Это, как известно, возможно для твердых сфер, обрезанных потенциалов и модельных уравнений. [c.250]

Взаимодействие при соударении характеризуется эффективным сечением, которое имеет размерность площади. Рассмотрим классическое соударение, где А и В идеально твердые сферы, радиусы которых равны Гд и гв (см. фиг. 4.17). Определим параметр столкновения Ъ как кратчайшее расстояние, на которое сблизились бы центры сфер А и В при отсутствии взаимодействия между ними ). [c.134]

Фиг. 4.17. Схема столкновения между двумя твердыми сферами А В. В, ъ результате которого выходят частицы С л В. Ударный параметр Ь показан (а) как смещение входящих траекторий в системе центра масс. Угол д между векторами Уа и Ус в системе центра масс показан на фиг. (б). В лабораторной системе координат (в), в которой В покоится до столкновения, угол между Уа и ус изменяется на 1 0, см. равенство (4.80). В (б) относительная скорость выражается как у = 1уа I + в (в) относительная скорость равна у = 1 уа I

Даже несмотря на то что могут быть использованы статические потенциалы взаимодействия, при расчете упругих столкновений необходимо вводить в рассмотрение два эффекта волновой механики. Рассмотрим столкновение двух твердых сфер с радиусами е/2. Потенциал взаимодействия приведен на фиг. 4.24. Классически рассеяние будет изотропно в системе центра масс (см. 4.13) [c.166]

Поскольку t (V X для атомов, рассеивающихся при столкновениях на большие углы, и г л (Я/т) , это выражение по сути дела совпадает с предыдущим, однако последнее выражение является более ценным, так как при его выводе принимается во внимание распределение атомов по скоростям и так как t в общем случае является хорошо определенной величиной, тогда как величина X может быть определена точно только для атомов, взаимодействующих, как твердые сферы. [c.454]

Рассматривая столкновение между идеально упругими твердыми сферами диаметром а, [c.81]

Расчеты, проведенные по методу молекулярной динамики, показали, что в системе есть значительные корреляции. Кроме того, чтобы операторы столкновений удовлетворяли СДеланНЫМ ВЫШ6 предположениям, надо, чтобы спектры их собственных значений не перекрывались, а в.этом случае времена релаксации в системе твердых сфер и в системе частиц, взаимодействие между которыми описывается вандерваальсовским потенциалом, были бы сущест- [c.196]

Боголюбов наметил общую схему разложения и вывел уравнение Больцмана. Программа вычисления в явном виде поправок высшего порядка к этому уравнению осталась нереализованной. Первый шаг, сделанный в таком направлении в 1958 г. Чо и Улен-беком, оказался весьма успешным. Они получили кинетическое уравнение, превышающее по точности уравнение Больцмана на один порядок по плотности. Их уравнение учитывает вклад трехчастичных столкновений, а также вклад модифицированных парных столкновений. Второй вклад в случае твердых сфер точно соответствует интегралу столкновений Энскога. [c.281]

Поправка к больцмановскому значению состоит из двух явно разделяющихся друг от друга вкладов один из них обусловлен собственно тройными столкновениями, а другой — делокали-зованными парными столкновениями последний точно совпадает (в случае твердых сфер) с результатами, полученными на базе уравнения Энскога (20.4.1). Однако лишь в 1966 г. Сенджерсу удалось довести расчеты этих поправок для твердых сфер до численного результата мы еще вернемся к его работе. [c.283]

Как показано в 6.5, основную роль в течениях, близких к свободномолекулярным, особенно при гиперзвуковых скоростях, играют столкновения набегающих и отраженных молекул. Следовательно, диаметры твердых сфер или другие параметры теоретических моделей молекул должны выбираться так, чтобы наилучшим образом аппро- [c.412]

Как экспериментальные, так и теоретические результаты в конечном счете необходимо выразить через параметры набегающего потока. При переходе от параметров взаимодействия молекул, соответствующих набегающему потоку, к параметрам взанмодейстиия при столкновении молекул необходимо учитывать, что этот переход у вибрянной математической модели может отличаться от действителыюго изменения взаимодействия реальных молекул. Так, например, если в расчетах принята модель твердых сфер, то, по самому определению модели, сечение столкновения остается одним и тем же как в набегающем потоке, так и при столкновениях набегающих молекул с отраженными. [c.413]

Интеграл (5.4), определяющрп1[ частоту столкновений v( ), МОЖНО легко вычислить для любого потенциала конечного радиуса (в частности, для твердых сфер). В самом деле, вспомнив, что Б(0, V) связана с прицельным параметром г формулой (II. 4.14), а г меняется от О до а (радиус потенциала или диаметр сфер), получим [c.203]

Обнхим свойством частоты столкновений для твердых сфер, потенциалов конечного радиуса и потенциалов с обрезанием по углу является монотонная зависимость v(g) от Действительно, из (5.4) и (II. 5.21) находим [c.204]

Согласно оценкам Дорнинга и Тёрбера [26], существует область, где этот вклад является достаточным для представления решения нужно лишь исключить области, очень близкие к границе и очень далекие от нее В первой области доминируют однократные столкновения свободных частиц, во второй — высокоскоростные молекулы, т ак что функция распределения зависит от хвоста максвеллиана стенки (см. разд. 7 и работы [35, 33, 24, 53]). Последнее происходит на нескольких длинах свободного пробега от стенки и не относится к области порядка средней длины свободного пробега это не имеет места и в случае частоты столкновений, растущей линейно при высоких скоростях, как для твердых сфер и потенциалов конечного радиуса действия. [c.374]

В последнее время задачу о сферическом истечении в вакуум рассматривал Берд, который, используя свой вариант метода Монте-Карло [89], изучил поведение как максвелловских молекул, так и твердых сфер. Продольная температура Гц и по его расчетам имеет тенденцию к постепенному замораживанию, что хорошо согласуется с результатами предыдущих авторов. Однако результаты для не обнаруживают определенного асимптотического поведения, не согласуясь с зависимостью вида г предсказываемой формулой (8.12). Неудачу метода в этом случае Берд объясняет вычислительными огоаничениями на моделирование столкновений в дальнем поле. Очень слабьте столкновения для экономии вычислений не учитывались. Кроме того, случайная выборка, возможно, недостаточно представляет [c.427]

Полная постановка задачи рассеяния атома на кристаллической решетке содержит большое число параметров. Возмолчиые аналитические решения, конечно, будут различными в отдельных характерных областях пространства этих параметров. В каждой области целесообразно найти простейшую модель и строить асимптотическое решение в окрестности такой модели. При энергиях падения Е 100 эВ для легких газов эффективное взаимодействие исчерпывается одним-двумя парными столкновениями, причем главную роль играет отталкивающая ветвь потенциала. Аппроксимируя ее вертикальным барьером, в качестве простейшей атомной модели поверхности имеем решетку твердых сфер. Теория рассеяния на такой решетке содерл<ит три основных параметра угол падения 0ь отношение масс х и радусов атомов. [c.454]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...