Переход к трехмерной задаче

Переход к трехмерной задаче. Приведенные выше решения можно распространить на случай двухмерной или трехмерной передачи тепла (например, в теле параллелепипеда). [c.129]

Пункт 17.2 посвящен так называемым вытекающим волнам, существование которых связано с комплексными корнями дисперсионного уравнения, аналогичного (16.3). Появление этих волн представляет собой основное отличие поля над слоем от поля над импедансной плоскостью. В последнем пункте описаны некоторые особенности аппарата, возникающие при переходе к трехмерной задаче. [c.171]

Кроме того, Вейль [29] показал, что распределение этих частот не зависит от формы тела, а возникающая при этом ошибка имеет порядок отношения числа атомов на поверхности к числу атомов в кристалле. Это позволяет сделать переход от трехмерной задачи к двумерной. [c.48]

Рассмотренные выше примеры ясно показывают качество результатов и диапазон применимости МГЭ к трехмерным задачам. Хотя дискретизация поверхности тела проводилась с использованием треугольных элементов, алгоритм остается совершенно неизменным при переходе к четырехугольным элементам, в некоторых случаях приводящим к более точным и эффективным решениям. [c.159]

Переход от трехмерных задач к двумерным в указанных выше уравнениях может быть также осуществлен путем усреднения. Рассмотрим, например, частную задачу о течении в прямоугольном канале постоянного сечения, когда, как в п. 4, V = (г ,0,0), на стенках выполнено условие прилипания и магнитное поле имеет только компоненты Вх, В , зависящие от х, z. После усреднения вместо уравнения (5.4) получим двумерное уравнение Пуассона, а вместо двух условий (5.7) - одно [c.533]

Интегрирование здесь производится по сфере et радиуса et. Формулы (23) и (24) можно получить также и переходом от трехмерной задачи к двумерной. [c.630]

И здесь естественно было бы ожидать, что главный член разложения 00 должен определяться на базе гипотез Кирхгофа — Лява. Однако подробное исследование предельного перехода от трехмерной задачи теории упругости к двумерным, построенным на базе гипо тез Кирхгофа — Лява, показало, что это далеко не всегда так, и в [c.27]

Во многих физических задачах геометрия и свойства материала не зависят от одной из координат. Однако нагрузка в этом направлении может быть переменной, что мешает непосредственному переходу от трехмерной задачи к двумерной задаче о плоском деформированном состоянии. В таких случаях все же можно рассматривать упрощенную задачу меньшей размерности (без координаты, вдоль которой свойства не изменяются) и полное решение составить из набора упрощенных решений. [c.274]

Для практических целей используется множество приемов триангуляции областей. В большей степени нас интересует возможность автоматизации либо всего алгоритма триангуляции, либо его наиболее трудоемких этапов. В ряде пакетов программ метода конечных злементов автоматически построенная триангуляция затем просматривается на дисплее и корректируется вручную. В трехмерном случае организация такого просмотра — задача весьма непростая как для разработчика пакета, так и для пользователя. Поэтому для безболезненного перехода к трехмерным за- [c.67]

Обобщения на случай трехмерных задач ограничены лишь возможностями оперативной памяти ЭВМ, так как в соответствующих элементах число степеней свободы резко возрастает. При переходе от плоской задачи к трехмерной аналогом треугольника будет тетраэдр линейные аппроксимации перемещений приобретают вид [c.145]

При решении задач теории упругости для общего случая трехмерных тел встречаются большие математические затруднения это обстоятельство вынуждает переходить к решению более или менее широких классов частных задач, одним из которых является плоская задача теории упругости. В плоской задаче теории упругости рассматриваются три случая упругого равновесия тела, имеющих большое значение для практики плоская деформация, плоское напряженное состояние и обобщенное плоское напряженное состояние. [c.99]

Наиболее часто для двумерных задач применяется прямоугольная сетка, узлы которой лежат на пересечении прямых, парал-дельных координатным осям (рис. 3.4), а для трехмерных — сетка из прямоугольных параллелепипедов, узлы которой лежат на пересечении плоскостей, параллельных координатным осям (рис. 3.5). Если область исследования является кругом, цилиндром или шаром, то обычно переходят к полярной, цилиндрической или сферической системе координат соответственно меняется и вид сетки. Для областей сложной формы иногда используют треугольную, шестиугольную сетки (для трехмерных задач соответственно сетки [c.60]

В теории изгиба балок для сведения трехмерной задачи о деформированном состоянии бруса к одномерной (в функции осевой координаты) принята гипотеза плоских сечений. В теории изгиба пластин для упрощения задач приняты следующие гипотезы. Гипотеза неизменной нормали — первая кинематическая гипотеза Кирхгофа, которая состоит в том, что материальные точки пластины, расположенные на одной нормали к срединной плоскости So, после деформирования остаются на нормали к поверхности SS, в которую переходит, плоскость So. Следовательно, материальные точки при деформировании перемещаются так, что все время остаются на одной прямой, перпендикулярной So. Вторая кинематическая гипотеза Кирхгофа состоит в том, что все точки, лежащие на одной нормали, получают одинаковое перемещение в направлении оси Oz, т. е. если [c.366]

Рассмотрены ламинарные течения вязкой несжимаемой жидкости и теплообмен в каналах при произвольном малом отклонении их поверхности от цилиндрической. Приведена линейная система уравнений и граничных условий для возмущенных динамических и тепловых полей, полученная путем линеаризации полной системы уравнений Навье-Стокса около решения для развитых течений в цилиндрических трубах произвольного сечения. Для практически важного случая, когда возмущения поверхности каналов сосредоточены на участке конечной длины, показано, что интегральные динамические и тепловые характеристики каналов находятся без решения трехмерных уравнений путем перехода к эффективным двумерным краевым задачам, сложность решения которых не выше, чем для развитых течений. Дано обобщение развитой теории на течения с силовыми источниками малой эффективности. Рассмотрены приложения к плоским каналам и круглым трубам с возмущенными поверхностями. [c.374]

Переходя к более интересным задачам обтекания твердых тел, естественно сначала исследовать случай малых чисел Маха. Здесь мы встречаемся с аналогом парадокса Стокса (см. разд. 13 гл. VI), который не позволяет применять простейшую линеаризацию для двумерных течений. Можно, однако, рассмотреть обтекание трехмерных тел. Течение около осесимметричного тела при малых числах Маха рассчитывалось [134] вариационным методом, примененным к интегральной форме БГК-уравнения. В явном виде вариационные расчеты были сделаны для случая сферы [135]. [c.420]

Необходимо, тем не менее, отметить, что при решении ряда задач практически оказывается неудобно определять геометрическое положение некоторой точки в деформируемом напряженном теле ее прямоугольными (декартовыми) координатами, поскольку имеется возможность путем перехода к криволинейной ортогональной системе координат привести задачу трехмерную (пространственную) к задаче двухмерной. [c.115]

Пути возникновения временного хаоса могут быть прослежены на моделях, в которых движение совершается в ограниченной области, когда спектр возмущений дискретен, и хаотизация наступает поэтапно. Бифуркационные переходы на классе периодических функций изучались в работах [31, 32] в [33] задача решалась с граничным условием ЪA ЬZ = О на концах расчетной области. В [31] указаны два пути появления хаоса в системе разрушение трехмерного тора и субгармоническая бифуркация двумерного тора. В [33] обнаружен новый механизм возникновения хаоса, детальный анализ которого в применении к другой задаче дан в работе [34]. Упомянем здесь также исследования бифуркационных переходов (в том числе между странными аттракторами различной размерности), проведенные для конечно-разностного аналога уравнения [c.249]

Модель Лоренца и ее странный аттрактор уже рассматривались в 1.5 и выше в этой главе. Здесь же нас интересует вопрос в какой мере эта модель представляет поведение жидкости в задаче Рэлея—Бенара На первый взгляд обе системы очень далеки друг от друга, поскольку модель Лоренца является чрезвычайно упрощенной с ее всего лишь тремя людами для двух функций состояния жидкости 1 ) и 0. Увеличение числа мод до пяти, семи и даже четырнадцати сохраняет некоторые черты поведения модели, включая и образование странного аттрактора. Однако переход к хаотическому движению может происходить при этом через разные последовательности бифуркаций [98 [ (дополнительную библиографию см. в работе [180]). Более того, численное моделирование двумерной конвекции, согласно (7.4.7), показывает отсутствие турбулентного движения ). В этом состоит существенное отличие от трехмерной конвекции Рэлея—Бенара, в которой турбулентность наблюдается экспериментально. [c.477]

В настоящем параграфе такой переход от трехмерной постановки задачи к ее упрощенной модификации будет [c.143]

Для оболочек возникают некоторые новые и более трудные задачи. Теория оболочек обычно строится как предельный случай трехмерной задачи упругости, когда область й становится очень тонкой в одном направлении (в направлении нормали к поверхности оболочки). В результате предельного перехода в функционал потенциальной энергии вводится вторая производная от поперечного перемещения ш. Поэтому дифференциальные уравнения имеют четвертый порядок по ш и второй порядок по перемещениям в плоскости. Эта диспропорция служит платой за снижение трехмерной задачи до двумерной. [c.152]

Переход к трехмерным задачам может быть осуществлен на основе 5.5. И, наконец, различные случаи нелинейной зависимости коэффициентов и правых частей могут быть изучены на ошове 6.2. [c.258]

Переход от трехмерной задачи к функционалу (5.2 требует также определенных предположений относительна диссипативного потенциала ф [е). В частности, он, вообщ говоря, не имеет места для произвольной однородно и даже изотропной вязконластической среды. К обсуЖ дению этого вопроса мы еще вернемся в конце параграф [c.62]

Заметим, что в аналогичной упругой задаче в обо-лочечном приближении экстремальная функция w ( ) такова, что w %) = с при О < где с — постоянная, и, следовательно, при переходе от трехмерной задачи к оболочечному приближению возникает пограничный слой на торцах оболочки g = О, = Z, если с 0. [c.158]

Смешанный метод для бигармонического уравн ия. Сопоставляя три предыдущих пункта, можно увидеть, что при переходе от трехмерной задачи теории упругости к задаче о пластине интегрирование по толщине привело к более простой математической задаче с двумя независимыми переменными. За пониижние размерности мы расплачиваемся увеличением порядка уравнения, позтому в билинейной форме появляются вторые производные. В итоге практическая реализация метода конечных элементов, как мы увидим дальше, значительно усложняется из-за поиска решения в существенно более узком классе функций, что на-кладьшает ижсткие ограничения на использование различных конечных элементов. [c.35]

Если следовать обозначениям относительного геометрического расхождения = ЬII для осесимметричных задач в работах группы Петрашеня (Вопросы, 1959), то при переходе от трехмерной задачи к двумерной расхождение лучевой трубки в плоскости падения 11 остается, естественно, неизменным, а расхождение ее в направлении, перпендикулярном плоскости падения пропорциональное в общем случае становится независимым от г (1/х= = 1). Это указывает на отсутствие расхождения в направлениях, перпендикулярных двумерной модели, что и характерно для двумерной задачи. Такое уменьшение геометрического расхождения волн в двумерных моделях снижает требования, предъявляемые к мощности излучения ультразвука в модель, а это очень важно в двумерном моделировании. [c.157]

Таким образом, в случае плоской деформации решение задачи теории упругости существенно упрощается, так как от трехмерной задачи мы переходим к двумерной. В самом деле, поскольку Ег = Цхг = Ууг = О, а следовательно, и Ххг = = Хуг — д z/дz = 0, а таклге 2 = 0, то из трех уравнений равновесия Навье (1.16) остаются только первые два, а из шести условий совместности деформаций Сен-Венана (1.29) — только одно первое. Все остальные уравнения удовлетворяются тождественно. Задача сводится к отысканию напряжений щ, Оу, Хху, деформаций Ех, Еу, Уху из уравнений теории упругости, удовлетворяющих граничным условиям. Затем во вторую очередь определяется напряжение Ог = = р(о1 + щ). [c.64]

Со временем явно наметились две различные школы. Первая школа утверждала, что ламинарный поток является неустойчивым в классическом понимании, согласно которому даже бесконечно малые возмущения способны вызвать переход к турбулентному потоку. Тот факт, что переход никогда не наблюдался при ожидаемом числе Рейнольдса, объяснялся этой школой некоторым несовершенством теории. Возмущения, описываемые теорией малых колебаний Орра—Зоммерфельда— Толлмина (позднее распространенной на случай теплообмена), не связывались с вопросами перехода, а поэтому данная школа не могла установить какой-либо определенной,зависимости. Более того, утверждалось, что вообще невозможно установить какие-либо соотношения в этой задаче. Вторая школа считала, что переход вызывается только конечными возмущениями. Например, удалось экспериментально установить, что при особых условиях ламинарное течение может существовать и при высоких числах Рейнольдса. Указанный факт находится в явном противоречии с любым допущением о неустойчивости в обычном ее понимании. Автор считает, что этот спор может быть разрешен приводимыми ниже данными. Поток существенно устойчив относительно двух- и трехмерных возмущений лишь при условии, что трехмерные возмущения имеют место при значении числа Рейнольдса ниже критического, но отнесенного не к основному потоку, а к самим возмущениям. Согласно настоящей теории двухмерные возмущения в идеальном случае затухают. [c.57]

Приведенные результаты показывают, что задача о течении пленок в спутном газовом потоке не является однопараметрической. Характер изменения всех условных толщин и формпараметра отражает прежде всего изменения механизма взаимодействия на поверхности раздела и тур-булизации пленки. Вблизи значения 1 епл==100- 150 веяние Rej ,ir практически вырождается. Резкое снижение б пл, б пл при 0 Кепл<100 объясняется переходом от трехмерных волн к шквальным, а последующий рост этих величин свидетельствует о турбулизации пленки и интенсификации уноса (срыва влаги). [c.340]

В то время как инженерное сообщество в целом, как правило, занимается двумерными, т. е. плоски.ми, задача.ми, требования технологии достигли такого уровня, что нам необходимо рутинное решение трехмерных задач. Это обстоятельство представляет отход от сложившейся практики в том плане, что затраты будут выше, возможностей сделать ошибку много больше, а объе.м полученной информации значительно превзойдет тот, к которо.му -МЫ привыкли. Следует только посмотреть на работу Тауерса [28], чтобы осознать значение трех.мерности в задачах о трещинах. Форма фронта трещины заставляет повысить размерность. Заметим, однако, что нет необходимости сразу же переходить на полностью трехмерный анализ. Схема, обрисованная в 4, может служить в качестве промежуточного подхода и обеспечить требуемую информацию без существенного увеличения стои.мости, повышения воз.можности ошибок и увеличения информации. Но даже если это будет сделано, все равно придет вре.мя, когда нам нужно будет признать реальную размерность окружающего мира и развить наши возможности до такой степени, чтобы мы были в состоянии удовлетворить практическим запросам. [c.341]

Третье измерение. Если вы работаете с декартовой или полярноцилиндрической системой координат, то расширение ONDU T на три измерения не вызовет сложностей. При построении численного метода мы не использовали каких-либо предположений, которые ограничивались бы только двумерным случаем. В ONDU T реализован метод для двумерного случая, но трехмерная реализация возможна с использованием тех же принципов. Конечно, переходя к решению трехмерных задач нужно быть готовым к значительным увеличениям компьютерной памяти и времени счета. Но это не является существенным ограничением для написания трехмерной версии. [c.284]

Корни уравнения (2.8.9) соответствуют скорости распространения сдвиговых волн A i 2 =/сз 4 = И /р, скорости распространения объемных волн растяжения — сжатия ks-,e — кт-,8 = = У(2ц-ЬЯ)/р и нулевой скорости распространения кд = О, отвечающей характеристическим линиям 0i = onst, направленным перпендикулярно плоскости деформирования по условию постановки задачи. Таким образом, линеаризованная система уравнений, отвечающая обобщенной модели Тимошенко, имеет скорости распространения, совпадающие со скоростями распространения волн в трехмерной линейной упругой среде [28, 194]. Это свидетельствует о том, что осуществленный переход от трехмерной теории к приближенной оболочечной сохраняет без искажений основные волновые свойства модели по скоростям их распространения. [c.53]

При переходе от трехмерного физического пространства к одномерным структурам (канал, трубопровод и т. п.) естественно использовать для описания течения РГ ряд гидродинамических характеристик. Важнейшими из них для решения задач вакуумной техники являются понятия молекулярного потока через канал и проводимости (сопротивления) канала. В исторической ретроспективе поиски корректных методов вычисления этих величин, стимулируемые техническими потребностями, дали, по-видимому, решающий толчок серии классических исследований Кнудсена, Смолу-ховского и Клаузинга. Не удивительно поэтому, что рассмотрению процессов молекулярного течения в каналах и трубах посвящена едва ли не большая часть публикаций по вакуумной технике. Начиная с основополагающей книги Г. А. Тягунова [108], этим вопросам уделялось значительное внимание во всех монографиях по расчету и проектированию ВС. Очень подробно оии освещены, в частности, в работах [17, 32]. Поэтому ограничимся только перечислением важнейших формул и приведем необходимые табличные данные по проводимости трубопроводов, каналов и отверстий, причем <цеит будет сделан на методику Клаузинга. Его подход, реализованный еще в 30-е годы, можно рассматривать в контексте о пого из универсал ,ных методов [c.27]

Здесь функция Ф отождествляется с горизонтальной составляющей Нх или Ех, в то время как в 57 мы считали Ф = Еу что позволило решить и трехмерную задачу о береговой рефракции [формула (57.48) и следующие]. Однако переход от граничных условий (56.04) к условию (56.06) возможен, строго говоря,, только при Z = onst, а при переменном Z условие (56.06) требует дополнительного обоснования (см. [47] 40), которое можно дать только при медленном изменении Z (ср. 59). Граничные условия (56.04) также нельзя считать применимыми вблизи прямой г= 0, где Z переходит в Zo, поэтому строгое решение в этой области ненадежно. Однако судя по результатам работы [48] (см. конец 59), это обстоятельство не должно приводить к ошибкам для поля, вычисленного вдали от линии раздела импедансов, которая аналогична острому ребру при диффракции на клине. [c.341]

Приближенное моделирование напряженно-деформирован-ного состояния слоистых пластин и оболочек при переходе от трехмерной к двумерной задаче изгиба, как показано в работе [99], приводит к множеству различных вариантов. Известные оценки в теоретическом анализе точности моделей могут быть дополнены предлагаемым Гуртовым и Пискуновым вариационным сопоставлением, которое позволяет аналитически установить относительную общность и точность близких по содержанию моделей. [c.14]

Переходя к обзору результатов исследований поведения многосвязных оболочек, остановимся прежде всего на работах, посвященных изучению влияния трещин различного типа на напряженно-деформированное состояние цилиндрических труб. Димарогонас [78] рассмотрел задачу об устойчивости длинной трубы (кольца), находящейся под действием внешнего давления. Считалось, что труба имеет продольную щель с глубиной,, не пр-ёвышающей толщину стенки. В работе получено трансцендентное уравнение для критического давления, решение которого представлено в функции от глубины трещины. Автором получены также формы потери устойчивости трубы с внутренними и наружными трещинами. На основе проведенной работы делается вывод о том, что трещины приводят к значительному понижению устойчивости труб. Следует отметить, что сегодня весьма актуальной является пробл ема влияния трещин на динамические параметры элементов несущих конструкций. Исследованию такой задачи посвящена работа Дитриха [79]. В ней приведены результаты исследования изменения собственных частот и форм колебаний труб при появлении различных трещин в сварных щвах. Теоретический анализ выполнен с помощью метода конечных элементов. В работе приведены полученные с помощью ЭВМ графики изменения частот восьми низших тонов изгибных колебаний трубы в зависимости от длины трещины. Соответствующие этим частотам формы колебаний представ- лены в трехмерной форме. [c.301]

Рис. 83, получеипый на основе формулы, данной Гельмгольцем в другой связи, относится к двумерной задаче. В трехмерном случае переход в равномерный радиальный поток, вытекающий из трубы снаружи, будет еще более быстрым. [c.332]

О некоторых методах моделирования турбулентности. Помимо статистического подхода к моделированию турбулентности в настоящее время все более широкое применение находит феноменологический (полуэмпириче-ский) подход и методы прямого численного моделирования турбулентности на основе решения специальных кинетических уравнений или нестационарной системы трехмерных уравнений Навье-Стокса, хотя в силу стохастичности данного явления в реальности удается получать лишь осредненные характеристики движения. Это позволяет, тем не менее, иногда проследить не только эволюцию образований различных пространственных структур с течением времени, но также изучать общую динамику и природу развития турбулентности. Например, результаты численного моделирования явления перебросов в гидродинамической системе (сконструированной в виде многоярусной модели зацепления простейших элементов - триплетов) иллюстрируют каскадный процесс передачи энергии в развитом турбулентном потоке, соответствующий известному закону Колмогорова-Обухова Гледзер и др., 1961) и подкрепляют представления об общих свойствах в поведении динамических систем. Интересно также отметить, что исследование процесса стохастизации динамических систем и сценариев перехода к хаосу при численном моделировании турбулентности служит аналогом решения некорректных задач с использованием оператора осреднения и параметрического расширения Тихонов и Арсенин, 1986). При таком подходе упорядоченная структура турбулентного течения, которая определяется как аттрактор асимптотически устойчивого решения для осредненных величин, представляет собой его регуляризованное описание Белоцерковский, 1997). Следует однако заметить, что использование методов прямого численного моделирования турбулентности для решения практически важных задач (особенно задач, связанных с расчетами турбулентного тепло-и массопереноса в многокомпонентных химически активных смесях) часто затруднительно или является слишком громоздким. Поэтому подобные задачи целесообразнее решать с помощью более простых, полуэмпирических теорий. [c.16]

Подобная формула впервые была предложена Гриффитсом [162]. Впоследствии рядом авторов было показано, что, за исключением некоторых различий в числовом коэффициенте, результат остается тем же при самых разнообразных постановках задачи и для тонкой, и для толстой пластины (двумерная задача), и в случае трехмерной задачи (трещина в форме эллипсоида) [163], а также при переходе от вычисления энергии к непосредственному определению перенапряжений на краю трещины [164—166], в частности, при анализе межатомных сил и расположения атомов [167—169]. Экспериментальное исследование в этом направлении — известные опыты с расщеплением листочков слюды—было проведено И. В. Обреимовым [170]. [c.170]

Вначале вычислим вторую вариацию для общей трехмерной задачи теории упругости. Пусть — прямоугольные декартовы координаты, — возмущения компонентов вектора смещения, — компоненты тензора упругих постоянных, 5 — компоненты тензора напряжений для невозмущенного состояния (/, к, I, т=, 2, 3). Допустим, что можно пренебречь перемещениями, связанными с переходом из педеформирован-ного состояния в невозмущенное деформированное состояние. Допустим также, что при переходе к возмущенному состоянию внещние силы не варьируются ( мертвые силы, см. [4]). Для вариации получаем формулу [4] [c.63]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...