Краевые условия к уравнению теплопроводности

Временные краевые условия к уравнению теплопроводности могут быть заданы функциями [c.12]

Аналогично зависимостям (2-34) и (2-35) безразмерные краевые условия к уравнению теплопроводности будут иметь вид [c.35]

Краевые условия к уравнению теплопроводности [c.42]

Краевые условия к уравнениям теплопроводности [c.48]

Краевые условия к уравнениям движения и теплопроводности [c.11]

Существующие методы расчета нагрева и охлаждения твердых тел в основном осуществляют с помощью аналитических формул, которые выводят из дифференциального уравнения теплопроводности с соответствующими краевыми условиями. К указанным методам расчета относятся методы Г. Гребера, Г. П. Иванцова [30, 33], А. В. Лыкова [53] и др. Все эти методы не получили широкого применения из-за сложности расчетных формул. Для тепловых расчетов заготовок этими методами пользоваться нельзя, так как большинство из них основано на граничном условии передачи тепла от заготовки в окружающую среду по закону Ньютона = —/с)] при принятом постоянном коэффициенте теплопередачи а. На самом же деле этот коэффициент в процессе нагрева и охлаждения заготовок значительно изменяется. [c.43]

Рассмотрим теперь уравнение теплопроводности (3.2). Обратимся к третьей краевой задаче н полуполосе а<.х<.Ь, O t T с начальным условием ы(0, x)=(f x) и граничными условиями [c.80]

Конкретные значения чисел подобия (и если необходимо — относительное распределение переменных величин в начальный момент и на границах системы), присоединенные к соответствующим дифференциальным уравнениям, описывающим класс явлений (например, явления теплопроводности в твердом теле), выделяют из него (класса) обобщенный индивидуальный случай и, следовательно, могут рассматриваться как обобщенная форма краевых условий. [c.34]

Основное уравнение (1-9) относится к бесконечно малому элементу температурного поля и, взятое само по себе, ничего не говорит о развитии теплопроводности во всем пространстве и за все время, в течение которого протекает процесс. Для получения полной картины, отражающей качественные и количественные признаки конкретного случая, нужно математически поставить эту задачу, после чего найти частное решение основного уравнения. При ее постановке необходимо фиксировать определенную геометрическую форму теплопроводящего тела, его физические свойства (коэффициенты теплопроводности и температуропроводности) и, кроме того, задать так называемые краевые условия. В состав краевых условий входят начальное распределение температуры (временное краевое условие) и условия на границах (пространственные краевые условия). Перечисленные условия в совокупности определяют только одно явление и в этом смысле могут быть также названы условиями единственности. Задача, решаемая с их помощью, называется краевой или предельной задачей. [c.21]

Присоединяя условия единственности к дифференциальному уравнению теплопроводности, можно решить его до конца, т. е. численно определить температуру в любой точке тела и в любой момент времени. На этом пути могут возникнуть лишь математические трудности, преодолению которых посвящены многочисленные специальные курсы. Здесь нужно подчеркнуть, что если каким-либо способом найдена функция от координат и времени, удовлетворяющая одновременно дифференциальному уравнению и краевым условиям, то функция эта дает единственное решение конкретной задачи. [c.23]

Для дальнейшего развития идеи о подобии целесообразно дать определение той общности явлений, которая позволяет объединить их в понятие одного рода. Явления принадлежат к одному роду, если они развиваются на основе взаимодействия одних и тех же физических факторов и, таким образом, описываются единообразными дифференциальными уравнениями, а также качественно одинаковыми краевыми условиями. Например, номограммы 3-7 и 3-8 обобщают один род явлений теплопроводности в плоских изотропных неограниченных пластинах, имеющих вначале равномерную температуру и внезапно внесенных в среду с другой, постоянной во времени температурой. Теплофизические свойства материала пластин и коэффициент теплоотдачи приняты за постоянные. [c.69]

Таким образом, уточнение физической модели процесса промерзания грунта сводит решение задачи теплопроводности с краевым условием на подвижной границе к решению системы дифференциальных уравнений тепло- и массопереноса с краевыми условиями на неподвижных границах, что значительно упрощает решение проблемы. [c.467]

На основании выражений (З.й ) - (3.//) преобразуем дифференциальное уравнение теплопроводности и краевые условия (3./ ) - (3.3 ), т.е. перейдем от оригиналов к изображениям частных производных избыточной температуры и других [c.17]

Нелинейная задача теплопроводности (8.201)-(8.204) может быть реализована как приведенным выше ступенчатым методом, так и методом теории возмущений (методом малого параметра) [185], на основании которого определяемую температурную функцию представляют в виде ряда этих функций, члены которого содержат малый параметр с возрастающей от члена к члену степенью. Если такой ряд подставить в уравнение тенлонроводности и краевые условия, продифференцировать и приравнять выражения при одинаковых степенях малого параметра, то получим ряд систем линейных дифференциальных уравнений для нахождения нулевого, первого, второго и последующих приближений. Как показывают расчеты, при этом методе достаточно сделать два приближения, чтобы получить практически достоверный результат. [c.320]

Одним из эффективных методов составления исходных дифференциальных уравнений и решения соответствующих краевых задач теплопроводности и термоупругости для кусочно-однородных тел (многослойных, армированных, со сквозными и с несквозными включениями) в случае выполнения на поверхностях сопряжения их однородных элементов условий идеального термомеханического контакта, для многоступенчатых тонкостенных элементов, локально нагреваемых путем конвективного теплообмена тел, тел е зависящими от температуры свойствами, с непрерывной неоднородностью является метод [52], основанный на применении обобщенных функций [7, 18,22, 50,87] и позволяющий получать единые решения для всей области их определения. В этих случаях физико-механические характеристики и их комбинации кусочно-однородных тел, толщина (диаметр) многоступенчатых оболочек, пластин, стержней, коэффициент теплоотдачи с поверхности тела могут быть описаны для всего тела (поверхности) как единого целого с помощью единичных, характеристических функций, а физико-механические характеристики тел с непрерывной неоднородностью с зависящими от температуры физико-механическими характеристиками могут быть аппроксимированы с помощью единичных функций. В результате подстановки представленных таким образом характеристик в дифференциальные уравнения второго порядка теплопроводности и термоупругости неоднородных тел, дифференциальные уравнения оболочек, пластин, стержней переменной толщины (диаметра), дифференциальные уравнения теплопроводности или условие теплообмена третьего рода с переменными коэффициентами теплоотдачи приходим к дифференциальным уравнениям или граничным условиям, содержащим коэффициентами ступенчатые функции, дельта-функцию Дирака и ее производную [52]. При получении дифференциальных ура,внений термоупругости для тел одномерной кусочно-однородной структуры наряду с вышеописанным методом эффективным является метод [67, 128], основанный на постановке обобщенной задачи сопряжения для соответствующих дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Здесь за исход- [c.7]

Показана возможность приведения такой нелинейной задачи для уравнений термоупругости и теплопроводности со смешанными граничными условиями к рекуррентной последовательности линейных краевых задач, сводящихся к интегро-дифференциальным или интегральным уравнениям. [c.476]

Начнем с простейшего случая таких течений неравномерно нагретой жидкости, при которых температура может рассматриваться как пассивная примесь. В этом случае течение будет описываться обычными уравнениями (1.5) — (1.6) гидродинамики несжимаемой жидкости (с постоянным р), к которым надо добавить уравнение теплопроводности (1.72). Будем для простоты рассматривать только стационарные движения, т. е. считать, что все поля м,, р и не зависят от времени. В уравнения входят два постоянных коэффициента V и х. имеющие одинаковую размерность где Ь и Т — размерности длины и времени. Кроме того, краевые условия при сохранении геометрического подобия будут характеризоваться некоторой длиной Ь, типичной скоростью V и типичной разностью температур Ач — до (например, типичной разностью температур между твердыми границами и жидкостью). Поскольку, однако, температура рассматривается как пассивная примесь, единица для измерения температуры может быть выбрана произвольным образом поэтому мы должны считать, что [c.54]

Пусть на поверхность полупространства действует некоторая сила р (т) и уменьшение толщины происходит вследствие выгорания материала по данной поверхности. При этом температура на движущейся поверхности намного превышает начальную температуру /д, что приводит к возникновению нестационарного температурного поля, для определения которого имеем уравнения теплопроводности (4.20), начальные условия (4.22), первое краевое условие (4.21) и краевое условие [c.127]

Тепловая задача трения сводится к решению дифференциального уравнения теплопроводности при соответствующих каждому конкретному случаю краевых условиях. Как указывал В. С. Щед-ров, сложность задачи определяется необходимостью иметь дело с дифференциальными уравнениями, когда граничные условия содержат такие трудно определяемые величины, как коэффициент теплоотдачи в окружающую среду и интенсивность теплового источника трения. Трудно определить коэффициент распределения тепловых потоков между манжетой и валом. [c.52]

Расчет поля температур в кольцах и температуры в зоне контакта колец пары трения торцового герметизатора. В большинстве случаев расчетной моделью, наиболее близкой к натурной конструкции колец пары трения торцового герметизатора [18, 20], является полый цилиндр конечной длины с граничными условиями второго рода на рабочем торце пары трения (тепловыделение от трения скольжения) и граничными условиями третьего рода на остальных поверхностях (рис. 96). В некоторых случаях на нерабочем торце кольца соблюдаются граничные условия четвертого рода, например при контактировании этого торца с теплопроводным корпусом, или условия теплоизоляции — нри контактировании с теплоизолирующей прокладкой. Расчет поля температур в кольцах пары трения в общем случае заключается в решении (при заданных краевых условиях) нелинейного дифференциального уравнения теплопроводности, которое для четырехмерного пространства имеет вид [23] [c.149]

Все многообразие режимов нагрева и охлаждения металла можно свести к режимам разобранных типовых участков. Для расчетов нагрева и охлаждения металла необходимо иметь решение дифференциального, уравнения теплопроводности для краевых условий всех типовых участков. [c.42]

Для дифференциального уравнения теплопроводности с данными краевыми условиями имеется классическое решение применительно к одно-, двух- и трехмерному температурному полю. Так, в случае одномерного температурного поля для неограниченной пластины, когда решение имеет вид (см., например, [53]) [c.46]

Методы математической физики, в частности методы интегральных преобразований, позволяют эффективно решать сравнительно узкий круг задач теории переноса. При рассмотрении систем дифференциальных уравнений с весьма общими краевыми условиями точные методы решения наталкиваются на большие трудности, которые становятся непреодолимыми при рассмотрении нелинейных задач. В этих случаях приходится обращаться к тем или иным численным методам решения. Важно отметить, что использование численных методов зачастую позволяет отказаться от упрощенной трактовки математической модели процесса. В настоящее время практически наиболее ценным методом приближенного решения уравнений теплопроводности является метод конечных разностей, или, как его еще называют, метод сеток. [c.59]

При решении задачи термоупругости необходимо знать распределение температурного поля. Следовательно, решению задачи термоупругости, как правило, предшествует решение соответствующей задачи теории теплопроводности. Задача теории стационарной теплопроводности является краевой задачей математической физики, которая сводится к решению дифференциального уравнения теплового баланса в области V, занятой телом, при соответствующих краевых условиях на границе С. В последующем будем [c.56]

Это дифференциальное уравнение описывает класс явлений теплопроводности. Для выделения из целого класса единичного явления необходимо к дифференциальному уравнению присоединить дополнительные условия, специфические для данного конкретного случая. В эти дополнительные частные данные, характеризующие рассматриваемое единичное явление, входят форма и размеры рассматриваемого тела, его теплофизические свойства и краевые условия. Совокупность перечисленных данных называется условиями однозначности. Таким образом, условия однозначности подразделяются на геометрические, характеризующие форму и размеры тела, в котором протекает процесс на физические, характеризующие физические свойства тела, и на краевые, характеризующие особенности протекания процесса в начальный момент времени (начальные условия) и на границах тела (граничные условия). [c.25]

Для установления безразмерных величин, специфических для краевой задачи того или иного рода, нет необходимости в наличии завершенного аналитического решения достаточно располагать дифференциальными уравнениями процесса и формулировками конкретных условий единственности. Обратимся в связи с этим к основной цели — к построению тех безразмерных величин, которые отвечают случаю нестационарной теплопроводности при наличии внутренних источников тепла. С этой целью, прежде всего, необходимо привести к безразмерному виду дифференциальное уравнение (1-9), закладываемое в основу анализа. [c.47]

Итак, однородная задача (24), (26) имеет счетное множество решений, обладающее, по-видимому, полнотой в классе 2 ([—1, 1]). Полагая, что система т является полной системой линейно независимых собственных функций, приходим к выводу о том, что решение однородного уравнения конвективной теплопроводности (4) существует и единственно для краевой задачи вне шара радиуса Во, если на его поверхности о задана температура как функция сферического угла 9. На бесконечности температура предполагается постоянной и равной нулю. Очевидно, что можно получить решение и в том случае, если на поверхности 8о задать тепловые граничные условия второго или третьего рода, поскольку неизвестные произвольные коэффициенты Сп, содержащиеся в т , и здесь однозначно определяются. Каждый коэффициент взаимно однозначно связан с интенсивностью 2 -польного теплового источника. [c.267]

Теоретическое исследование процессов тепло- и массообмена в природе и современной технике, в том числе в условиях развития пожара в замкнутых объемах, сводится к решению краевых задач для дифференциальных уравнений, описывающих развитие и протекание этих процессов. Возможности строгого аналитического решения этих задач сильно ограничены и дают практический результат в сравнительно простых случаях переноса тепла и массы, в частности для случаев теплопроводности и диффузий в неподвиж.чой среде для сравнительно простых граничных условий. [c.58]

На макроуровне используют математические модели, описывающие физическое состояние и процессы в сплошных средах. Для моделирования применяют аппарат уравнений математической физики. Примерами таких уравнений служат дифференциальные уравнения в частных производных—уравнения электродинамики, теплопроводности, упругости, газовой динамики. Эти уравнения описывают поля электрического потенциала и температуры в полупроводниковых кристаллах интегральных схем, напряженно-деформированное состояние деталей механических конструкций и т. п. К типичным фазовым переменным на микроуровне относятся электрические потенциалы, давления, температуры, концентрадии частиц, плотности токов, механические напряжения и деформации. Независимыми переменными являются время и пространственные координаты. В качестве операторов F и У в уравнениях (4.2) фигурируют дифференциальные и интегральные операторы. Уравнения (4.2), дополненные краевыми условиями, составляют ММ объектов на микроуровне. Анализ таких моделей сводится к решению краевых задач математической физики. [c.146]

Полученное дифференциальное уравнение Фурье описывает явления передачи теплоты теплопроводностью в самом общем виде. Для того чтобы применить его к конкретному случаю, необходимо знать распределение температур в теле в начальный момент времени или начальные условия. Кроме того, должны быть известны гео-метрическая форма и размеры тела, физические ларамехры-среды, и тела и граничные условия, характеризующие распределение температур на поверхности тела, или взаимодействие изучаемого тела с окружающей средой. Все эти частные особенности совместно с дифференциальным уравнением дают полное описание конкретного процесса теплопроводности и называются условиями однозначности, или краевыми условиями. [c.355]

В общем случае найти аналитическое решение системы весьма аатруднительно. Применение численных методов расширяет воз-мол ности аналитических способов решения. Однако те и другие требуют одинаковых краевых условий, которые в реальных процессах тепло- и массообмена, как правило, представлены не полностью. Физический процесс полностью описывается некоторой системой уравнений и присоединенных к ним краевых условий только в том случае, когда эта система замкнута. Считают, что урав ( ения движения и сплошности допускают автономное решение, так как в совокупности со своими краевыми условиями они составляют замкнутую систему. Система уравнений теплопроводности и диффузии незамкнута. Если, например, известны начальные временные и начальные пространственные краевые условия (параметры сред на входе в аппарат), то, как правило, неизвестны конечные пространственные краевые условия — параметры [c.38]

Для решения системы нелинейных уравнений параболического типа (1.8). .. (1.11) с краевыми условиями (1.12). ... .. (1.14) может быть применен метод сеток с использованием явной схемы, согласно которому система уравнений приводится к безразмерному виду и записывается в конечных разностях. Вид конечно-разностных аналогов исходных уравнений и метод их решения применительно к рассматриваемой задаче представлены в [9]. Алгоритм решения этой задачи бьш реализован в виде программы расчета на БЭСМ-4М. При расчете задаются геометрические размеры пучка, параметры потока теплоносителя на входе в пучок, распределение тепловыделения (теплоподвода) у по длине и радиусу пучка и физические свойства теплоносителя. Для замыкания системы уравнений из эксперимента определяются эффективные коэффициенты турбулентной теплопроводности Хдфф, вязкости эфф п коэффициент гидравлического сопротивления % в виде зависимотей от критериев подобия, характеризующих процесс [39]. [c.16]

В теории дифференциальных уравнений параболического типа известно, что решение уравнения теплопроводности корректно, т. е. малым изменениям краевых условий и коэффициента температуропроводности соответствует малое изменение в решениях. Можно предположить, что решение системы (9-6-1) также корректно. Значит, функция 6,(jf, у, Z, х), определяемая формулой (9-6-9) при 1=1, стремится к функции 6у(х, у, Z, х) при Сц- 0 для всех >1. Последнее означает, что формула (9-6-11) представляет решение неоднородного уравнения теплопроводности для полуограни-ченной среды трех измерений при краевых условиях первого рода. Наличие ядер вида [c.460]

Нас будет интересовать квазистацнонарный тепловой режим, установившийся в системе образец I и краевые иластины II и III и соответствующий частоте тока < . В этом случае условие, ири котором можно пренебречь отдачей с боковых ирверхностей и, следовательно, считать задачу одномерной, принимает вид ш а ра/1 S, где /. и а — соответственно теплопроводность и температуропроводность исследуемого образца р — периметр S — площадь поперечного сечения. Отсюда определяется ширина образца. Математически задача сводится к решению одномерного уравнения теплопроводности для трехслойной системы. Имеется несколько вариантов опыта. В первом варианте между центральным образцом и краевыми пластинами существует как тепловой, так и электрический контакт. Во втором варианте опыта контакт центрального образца с периферийным только тепловой. В том и в другом случае приходится учитывать при формулировке краевых условий теплоемкость тонкого металлического контактного покрытия между краевым и центральным образцом. Такое покрытие, очевидно, совершенно необходимо во втором варианте опыта, где в качестве теплоты Пельтье используется теплота, выделяющаяся на границе между металлом и центральным образцом. В нервом варианте опыта металлическая прослойка применяется для улучшения свойств контакта. Симметричное расположение центрального образца и периферийных полупроводниковых образцов обусловлено возможностью при таком расположении измерять разностную температуру между границами 1—1 и 2—2 и, следовательно, исключить из рассмотрения влияние джоулевой теилоты, с которой связано изменение температуры, не сказывающееся на разностной температуре. Система уравнений теплопроводности для трехслойной задачи принимает вид [c.15]

На основании выражений Ъ.З ). 0 46) - (,Ъ.50) преобразуем дифференциальное уравнение теплопроводности и краевые условия i3,42) - т.е. перейден к изображенияи частных производных избыточной теипературы и других функций [c.40]

Из решений дифференциального уравнения теплопроводности Фурье при различных краевых условиях теплообмена и из критериальных уравнений обобщенных характеристик видно, что температурные поля в стенке образца и его предельные нагрузки являются функциями одних и тех же определяющих критериев теплового подобия — Pd, Bi, Ki и др. Например, если в одномерной задаче в = в е, Fo, Hj), то и Кр = iiirp(Fo, itj). От вида граничных условий теплообмена зависит распределение температур в стенке образца и, следовательно, его предельные нагрузки. Изменение граничных условий ведет, в свою очередь, к получению решений уравнений теплопроводности и критериальных уравнений обобщенных характеристик с другими определяющими критериями теплового подобия. Представляет значительный интерес исследование возможностей нахождения аналитических выражений обобщенных характеристик для режимов нагревания, определяемых критерием Xlj, если известно изменение предельных нагрузок образца при режимах нагревания, определяемых критерием Ilj. [c.47]

Понятие подобия применимо к таким физическим явлениям, которые качественно одинаковы как по форме, так и по содержанию, т. е. имеют одну физическую природу, развиваются под действием одинаковых сил и описываются одинаковыми по форме дифференциальными уравнениями и краевыми условиями. В пpoтиЪнo f случае явления будут называться аналогичными. Примером их могут служить теплопроводность и диффузия. Обязательной предпосылкой подобия физических явлений должно быть геометрическое подобие систем, где эти явления протекают. Иначе говоря, два физических явления будут подобны лишь в том случае, если будут подобны все величины, их характеризующие. Это значит, что в сходственных точках пространства, для которых характерны одинаковые относительные значения аргументов, т. е. соблюдается равенство (а), и в сходственные моменты времени, когда интервалы т и т" связаны равенством т" = кхх и имеют одинаковое начало отсчета, любая> величина ф первого явления пропорциональна однородной величине ф" второго явления, т. е. ф" = фф. Под однородными величинами понимаются такие, которые имеют одинаковую размерность и одинаковый физический смысл. [c.235]

Получены две однопараметрические серии действительных решений, описывающие процесс торможения и разгона вязкопластичной среды под действием переменного во времени градиента давления. Задача осесимметричного нестационарного вязкопластичного течения сведена к решению краевой задачи типа Стефана для уравнения теплопроводности с нелинейным условием на границе квазитвердого ядра. Использована автомодельная замена переменных, с помощью которой указанная задача приведена к обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка. Решения последнего выражены через Бесселевы и элементарные функции. В результате получены две однопараметрические серии решений. Первая описывает процесс разгона вязкопластичной среды в трубе, а вторая - процесс торможения ее под действием переменного во времени градиента давления. [c.13]

Для задач термоупругости слоистых элементов конструкций наиболее распространенной постановкой является несвязанная, то есть взаимным влиянием деформаций и температур пренебрегают. Первый этап подобных задач — определение температурного поля. Допущение о возможности применения аппроксимации температуры полиномами для всего пакета в целом позволяет свести трехмерную задачу теплопроводности к двумерной. Коэффициенты разложений определяют из систем уравнений, получаемых из соответствующей начально-краевой задачи теплопроводности. Кроме этого, необходимо удовлетворять условиям теплового контакта на границах сопряжения слоев. Например, условие идеального теплового контакта сводится к равенству температур и тепловых потоков в направлении общей нормали к поверхности спс1я слоев. [c.11]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...