Безразмерные краевые условия

Решение безразмерных уравнений процесса при заданных безразмерных краевых условиях имеет вид функциональных зависимостей между критериями подобия. Эти зависимости называются критериальными уравиениями. [c.115]

Аналогично зависимостям (2-34) и (2-35) безразмерные краевые условия к уравнению теплопроводности будут иметь вид [c.35]

Следовательно, для полного подобия модели образцу необходимо выполнить следующие требования а) процесс, воспроизводимый в модели, относится к тому же классу физических явлений, что и процесс, протекающий в образце оба процесса подчиняются одним и тем же уравнениям и характеризуются одинаковыми физическими величинами б) геометрически модель подобна образцу в) безразмерные краевые условия в образце и модели одинаковы качественно и численно г) безразмерные аргументы процесса (определяющие критерии подобия) в образце и модели имеют одинаковые численные значения. [c.47]

БЕЗРАЗМЕРНЫЕ КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ [c.115]

Перейдем в уравнении (6. 6. И) с краевыми условиями (6. 6. 12) (6. 6. 13), (6. 6. 15), (6. 6. 16) к безразмерным переменным Ф, I, с [c.268]

Краевые условия к уравнению (6. 6. 11) в новых безразмерных переменных (6. 6. 17)—(6. 6. 20) будут иметь вид [c.268]

Действуя по схеме, предложенной в разд. 6.3, приведем уравнение (6. 7. 4) с краевыми условиями (6. 7. 5)—(6. 7. 8) к безразмерному виду [c.273]

При получении приближенного решения использовалось выражение (4.183) с известными функциями Vi(s). Естественно возникает вопрос, как эти функции получить. Очень эффективными для получения приближенных решений являются степенные функции, удовлетворяющие краевым условиям и условиям ортогональности. Изложим метод получения таких функций на примере стержня, показанного на рис. 4.11,а. Чтобы получить отличное от нуля выражение для безразмерного прогиба v, надо взять число слагаемых степенного ряда на единицу больше числа граничных условий [c.171]

Алгоритм получения необходимого числа функций Vi для конкретной задачи (конкретных краевых условий) можно запрограммировать для расчета на ЭВМ. В результате получаем приближенное выражение для безразмерного прогиба в виде [c.172]

TO краевые условия при e=l принимают следующий вид (индекс тильды над безразмерной массой в дальнейшем опускается) [c.81]

Для численного счета рассмотрим более подробно элементы матриц Л и А, входящих в матрицу В, и элементы матрицы Лт, входящей в краевое условие (4.39). Элементы матриц Л и А (безразмерные) равны [c.85]

Безразмерная сила Р о находится из краевых условий для потока жидкости. Если на выходе из трубопровода поддерживается постоянное давление Р , то из (9-14) (при известной скорости хш) можно найти давление на входе [c.260]

Краевые условия задачи также должны быть приведены к безразмерному виду. При этом могут появиться новые безразмерные комплексы. Так из геометрических условий может появиться комплекс, представляющий собой соотношение двух геометрических размеров системы (например, отношение длины трубы к диаметру), из физических условий — соотношения физических параметров при двух значениях температуры (например, отношение динамических коэффициентов вязкости жидкости, взятых при температуре стенки и температуре потока) и т. д. [c.11]

Уравнение, записанное в безразмерной форме, определяет связь между относительными переменными. Форма этой связи, отражающая механизм изучаемого явления, зависит от безразмерных комплексов, составленных из краевых условий. Заданной совокупности численных значений этих комплексов будут соответствовать тождественные поля распределения относительных параметров, определяющих явление. [c.11]

При приведении уравнения к безразмерному виду искомую переменную не всегда удается представить в виде соотношения одноименных величин, так как иногда в краевых условиях не содержится масштаба ее величины. Например, при исследовании теплоотдачи коэффициент теплоотдачи не входит в краевые условия и неизвестен ни в одной точке системы. В этом случае зависимая переменная вместе с масштабами других величин образует безразмерный комплекс, который представляет собой число подобия, но не является критерием подобия, так как содержит величину, не входящую в краевые условия. В этом случае решение [c.12]

Числа подобия могут быть получены из уравнений и краевых условий, входящих в математическую формулировку задачи, путем приведения их к безразмерному виду или с помощью констант подобия. Здесь используется первый метод. [c.13]

Приступим к анализу выражений (2.22) — (2.24) (выражения для остальных компонент имеют аналогичную структуру). Заметим прежде всего, что полученные формулы дают основание для исследования совокупности краевых задач, когда сама нагрузка и участок ее приложения остаются неизменными, а рассматриваемая точка стремится в бесконечность. Эти же формулы дают решение и такой эквивалентной задачи, когда фиксируется точка в области, а уменьшается участок приложения нагрузки, причем сохраняется вид краевого условия в безразмерной форме, [c.467]

Решая совместно уравнение (2.169) с краевыми условиями, получим безразмерную температуру в виде следующей зависимости [c.154]

Анализируя полученные безразмерные уравнения сложного теплообмена совместно с безразмерными характеристическими функциями и краевыми условиями, приходим следующим выводам относительно осуществления подобия исследуемых процессов. [c.350]

Необходимым и достаточным условием подобия процессов сложного теплообмена, так же как и для процессов радиационного теплообмена, анализируемых ранее, является тождественность безразмерной системы основных уравнений, уравнений краевых условий и безразмерных характеристических функций. Такая тождественность безразмерных уравнений для модели и образца будет иметь место, как видно из представленных выше зависимостей, при выполнении следующих конкретных условий. [c.350]

Конкретный вид критериев устанавливается путем непосредственного приведения уравнений процесса и краевых условий к безразмерному виду (см. [23 27 ) или с помощью я-теоремы (см. [1 31]). [c.115]

Поэтому при численном счете задаются неизвестными компонентами Vi (0), каждый раз решая систему уравнений, пока не найдут значения и,- (0), при которых вектор v (1) удовлетворяет краевым условиям на правом конце. Несмотря на кажущуюся сложность этих методов, их решение на ЭВМ довольно эффективно. Для сокращения времени счета используют методы целенаправленного поиска начальных значений Vi (0), дающих решение задачи. Если используют уравнения в безразмерной форме, то полученное решение [охватывает целый класс родственных задач. [c.47]

Отличие между решениями (2.9) и (6.15) заключается в том, что в статике элементы матрицы А известны, а при исследовании малых колебаний матрица А имеет элемент, зависящий от неизвестного параметра %. Поэтому при численном определении матрицы К (е) приходится задаваться параметром Я (безразмерной частотой) и искать такие значения Х/с, при которых вектор Uq удовлетворяет краевым условиям задачи. Например, для консольно закрепленного стержня компоненты вектора должны удовлетворять следующим краевым условиям 1) е = 0 = 20 = О (следовательно, j = j = 0) 2) е = 1 Ugo = U40 = 0. Это приводит к системе уравнений [c.136]

Методы численного решения линейных уравнений, аналогичных уравнению (8.62), подробно изложены в гл. 2, но в гл. 2 рассматривались уравнения четвертого порядка, а уравнение (8.62) — двенадцатого порядка. Основная особенность уравнения (8.62) заключается в том, что элементы матрицы В содержат неизвестный параметр к (безразмерную частоту). Последний находят из условия, что решение уравнения (8.62) должно удовлетворять краевым условиям задачи (шесть условий при е = 0 и шесть при е = 1). Точное решение уравнения (8.62) даже для случая, когда элементы матрицы В — постоянные числа, получить очень сложно, поэтому используют численный метод определения частот. [c.185]

При составлении таблиц обязателен переход к безразмерной форме математической модели процесса теплопередачи. Преимущества безразмерной формы математической модели процесса теплопередачи очевидны, так как [Л. 38] решение уравнений, представленных в безразмерной форме менее трудоемко, чем решение тех же уравнений в размерном виде, поскольку число переменных сокращается. По этой же причине объем расчетной работы по безразмерным решениям будет минимальным. Использование безразмерной формы записи дифференциальных уравнений и краевых условий позволяет обобщить явления различной физической природы, поскольку для большой группы взаимосвязанных явлений переноса системы дифференциальных уравнений оказываются тождественными, а физический смысл соответствующих безразмерных коэффициентов аналогичным. Следовательно, создается возможность не только научно обосновать моделирование нестационарных взаимосвязанных процессов, но и путем моделирования исследовать, отрабатывать сложные процессы, составлять таблицы, графики и т. д. Нестационарный тепловой режим твердого тела представляет несомненный интерес для конструктора, занимающегося проектированием тепловых машин и теплообменных устройств различного назначения. В связи с отмеченным рассмотрим тепловой режим твердого тела в условиях несимметричного нагревания для граничных условий третьего рода. [c.153]

Безразмерным основным уравнениям должна соответствовать и безразмерная форма краевых условий. [c.34]

Приводя пространственное краевое условие к безразмерному виду, получаем [c.105]

Во-вторых, использование безразмерной формы записи дифференциальных уравнений и краевых условий позволяет сделать следующий шаг по пути обобщения явлений переноса для большой группы взаимосвязанных явлений переноса системы дифференциальных уравнений оказываются тождественными, а физический смысл соответствующих безразмерных коэффициентов аналогичным. Следовательно, создается возможность научно обосновать моделирование нестационарных взаимосвязанных процессов, т. е. исследовать и отрабатывать режимы сложных и дорогих процессов на основе изучения относительно более простых и дешевых аналогов. [c.113]

Найдем нестационарное распределение безразмерных потенциалов переноса в дисперсной среде для неограниченной пластины. Примем задачу симметричной, а начальное распределение потенциалов по сечению материала постоянным. Краевые условия тогда запишутся в следующем виде [c.392]

Решение системы уравнений (9-1-1) — (9-1-3) при краевых условиях (9-2-1)-1г (9-2-5) можно получить, пользуясь методом совместного применения интегральных преобразований Фурье и Лапласа подобно тому, как это детально было показано в гл. 6, 6-4. Повторим основные этапы метода решения на примере нахождения полей потенциалов молярно-молекулярного переноса в неограниченной пластине. Для удобства последующих выкладок безразмерные потенциалы переноса обозначим через 0г (1=1, 2, 3) Т = 0 -, 0 = 2 Р = 0з. [c.431]

Система уравнений (30) представляет собой линейные дифференциальные уравнения относительно Г и 8. Краевые условия для этих уравнений (рис. 40) в безразмерном выражении имеют следующий вид [c.71]

Решение задачи находится с помощью соответствующего приближенного метода, причем краевые условия должны быть подобраны значительно лучше, чем это было до настоящего времени. Показывается, что изменения средних температур и вязкости, так же как и важный для практики коэффициент трения, можно объединить безразмерным критерием. При дальнейшем упрощении, помимо числа Зоммерфельда, получена зависимость коэффициента трения от термического состояния неподвижной граничной поверхности. [c.199]

Аналогичным образом и с теми же критериями подобия можно записать безразмерные уравнения ЕК в других системах координат. Выбор характерных масштабов для построения новых переменных определяется спецификой решаемой задачи. Так, если для температуры приняты краевые условия 1-го рода, в качестве характерного градиента выбирают у=АТ11, где АТ Т —Го Го и Г[ — минимальное и максимальное значения температуры в жидкости, включая границу. Если при этом положить Г = (Г—Го)/ДГ, то безразмерная температура Т х, у, ( ) станет изменяться в постоянном диапазоне [О, 1] и уменьшится количество параметров в безразмерных краевых условиях. [c.14]

Давление ро обычно не входит в краевые условия задачи, поэтому безразмерный комплекс ро1р о введем под знак дифференциального оператора и с учетом того, что [c.14]

Появление дополнительных безразмерных комплексов, не содержащихся в краевых условиях, вносит неопределенность в задачу о турбулентных течениях. Поэтому, следуя Карману, предполагают, что при изменении осредненных скоростей пульсационные скорости изменяются подобным образом, т. е. комплексы типа (1.28) остаются неизменными. Это позволяет не вводить их в уравнения подобия, предполагая, что их количественные характеристики отразятся на числовых коэффициентах этого уравнения. Таким образом, уравнения подобия для турбулентных потоков содержат те же числа подобия, что и уравнения для ламинарных потоков, только эти числа включают осредненные параметры потока. Опыт использования такой концепции при анализе подобия в условиях турбулентного течения подтверждает ее справедливость. Так формула Блазиуса, отражающая выявленную опытным путем связь коэффициента сопротивления трения трубы с критерием Рейнольдса в условиях турбулентного течения жидкости, оказалась справедливой в щироком диапазоне изменения числа Ке. [c.18]

Расчеты проводились при удержании одного, двух и трех слагаемых в (5.12). В таблице 10 для двух значений Н/а приведены коэффициенты ао, а и аг, безразмерное смещение штампа со (и — (лаЕfр) и величина максимальной погрешности в выполнении краевого условия (в смещениях). [c.600]

При наличии в теле трещины для суждения о характере ее распространения и тем самым для суждения о прочности также необходимо знание напряженного состояния. Задача онределения нанряжешюго состояния около конца трещины отличается от обычных задач онределения концентрации напряжений тем, что геометрически линеаризованная постановка краевых условий и физически линейная теория упругости приводят к бесконечным напряжениям и бесконечным градиентам напряжений в конце тонкого разреза. При этом понятие коэффициента концентрации напряжений теряет смысл. Разумеется, мол<ио было бы пытаться сохранить числовое безразмерное выражение коэффициента концентрации напряжений посредством учета сложных детальных особенностей деформации материала у конца разреза. Однако для решения задач о трещине совсем не обязательно интересоваться, детальными процессами, идущими в весьма малой окрестности конца разреза [155, 168]. Достаточно знать характер и интенсивность напряженного состояния в области, окружающей конец разреза вместе с малым объемом, где сосредоточен механизм разрушения (рис. 12.1). Это означает отказ от использования коэффициента концентрации напряжений в пользу a HMntoTH4e Koro [c.79]

Рассмотренные числа представляют собой безразмерные параметры задачи, задаваемые краевыми условиями. Явления, у кото-рых безразмерные параметры имеют одинаковые значения, физи-ч( ски подобны. Следовательно, количественным признаком подобия я1зляется одинаковость чисел, составленных из параметров математического описания процесса поэтому их и называют критериями подобия. Подобны те явления, у которых одноименные критерии подобия одинаковы такова формулировка третьей теоремы подобия. [c.161]

Уравнения процесса и краевые условия, будучи приведены к безразмерному виду, содержат безразмерные величины, называемые критериями подобия. Критерии подобия. могут быть комплексами, т. е. произведениями размерных величии в некоторых степенях (положительных пли отрицательных) или симплексами, т. е. отношениями двух однородных величии. Однородными называются величины, имеющие одинаковую размерность, одинаковый физический смысл и отличающиеся только числовыми значениями. Критерии могут рассматриваться как новые безразмерные переменные и новые безразмерные постоянные. Критерии, составленные из независимых перемен ных и постоянных величин или толь из иостоя1И1ЫХ величин, называв определяюш,ими. Критерии, содерг [c.114]

Для решения системы нелинейных уравнений параболического типа (1.8). .. (1.11) с краевыми условиями (1.12). ... .. (1.14) может быть применен метод сеток с использованием явной схемы, согласно которому система уравнений приводится к безразмерному виду и записывается в конечных разностях. Вид конечно-разностных аналогов исходных уравнений и метод их решения применительно к рассматриваемой задаче представлены в [9]. Алгоритм решения этой задачи бьш реализован в виде программы расчета на БЭСМ-4М. При расчете задаются геометрические размеры пучка, параметры потока теплоносителя на входе в пучок, распределение тепловыделения (теплоподвода) у по длине и радиусу пучка и физические свойства теплоносителя. Для замыкания системы уравнений из эксперимента определяются эффективные коэффициенты турбулентной теплопроводности Хдфф, вязкости эфф п коэффициент гидравлического сопротивления % в виде зависимотей от критериев подобия, характеризующих процесс [39]. [c.16]

Постановка задачи требует также формулировки краевых условий. Если начальное распределение температур неравномерно, то это должно быть отражено безразмерными параметрами, которые конструируются на основе соответствующей аналитической зависимости. Если при граничных условиях первого рода задаваемая температура на поверхностях тела является функцией места и времени, то также возникнут новые безразмерные аргументы, которые надо будет приобщить к полученным ранее из уравнения Фурье. Однако и при отсутствии такого типа усложений, но при задании граничных условий третьего рода, возникает новый безразмерный аргумент, специфический для этой, практически важнейшей, постановки задачи. [c.49]

Базируясь на теории динамического слоя конечной толщины. Карман и Польгаузен предложили заменить неизвестный профиль продольной скорости в пограничном слое некоторой интерполяцией (в частности, полиномиальной), удовлетворяющей определенным, наперед заданным краевым условиям на стенке и на внешней границе пограничного слоя. Уравнение профиля записывается в безразмерных координатах yjb, так что после подстановки его в интегральное соотношение импульсов оно превращается в обыкновенное дифференциальное нелинейное уравнение относительно одного неизвестного S (д ). Решив это уравнение любым приближенным способом, определяют S (л), а затем и все искомые характеристики. [c.208]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...