Формулы в естественных координатах

Формулы в естественных координатах. Чтобы получить выражения, более естественно связанные с траекторией, рассмотрим два соседних положения точки Я и Р и проведем в направлении движения соответствующие касательные РТ и Р Т (фиг. 36). Пусть 2s — дуга РР, Ы—соответствующий промежуток времени и 2а — угол между направлениями РТ и Р Т. Если мы проведем из неподвижной точки О векторы 0V и 0V, представляющие скорости в точках Р и Р, то вектор W представит приращение скорости за промежуток времени Ы, [c.88]

ФОРМУЛЫ в ЕСТЕСТВЕННЫХ КООРДИНАТАХ 89 [c.89]

Сравнивая формулы (1) и (2), замечаем, что прямолинейный график уравнения кривой линии в естественных координатах соответствует окружности (рис. 445). Радиус R этой окружности равен [c.318]

Уравнения движения в естественных координатах. Рассмотрим плоское установившееся движение. Пусть s и п обозначают длину дуги линий тока и их ортогональных траекторий. Поставим своей задачей найти вид уравнений движения, записанных в производных по переменным s и и. Удобно начать наши рассмотрения с формулы для дивергенции вектора скорости на этом примере станет ясным также обший метод, используемый в этом пункте. В декартовой системе координат х, у ) с началом в неподвижной относительно жидкости точке Р и осями, направленными по проходящим через Р линии тока и ортогональной траектории, [c.58]

Де( рмации каждого из слоев в системе координат (х, у) совпадают со средними деформациями пакета (8.23), а в естественных координатах (/, 2)(1 ) они могут быть определены из формул [c.239]

В отличие от формул (4 ), где координаты х, у, z меняются с течением времени, в уравнениях (о ) величины х , Уь — координаты точки тела в подвижных осях, связанных с твердым телом. Естественно, эти координаты остаются неизменными. [c.468]

Иногда бывает нужно выразить в естественной форме движение точки, заданное в прямоугольных координатах уравнениями (58), и, кроме уравнения траектории, дать также уравнение (51) движения точки по траектории. Чтобы его получить, надо продифференцировать уравнения (58) и полученные дифференциалы координат точки подставить в известную из курса высшей математики формулу, выражающую абсолютную величину элемента дуги [c.132]

Из этих формул следует, что в первой четверти (рис. 7.3, д) во всех точках, где у > х (левее биссектрисы координатного угла), будет Uj > О и С О, но в точках, где у <. х (правее биссектрисы), Uj. < О и Ыу < 0. Жидкость как бы вытекает из начала координат в сторону отрицательной оси х и, описав окружность, снова втекает в начало координат. Естественно, что реализовать в опыте точно такое движение невозможно, но это несколько абстрактное теоретическое течение играет важную роль в методах построения потоков, близких к действительным. [c.220]

Задачу изгиба круглой пластины естественно рассматривать в полярных координатах, определяя положение точки на срединной плоскости углом ф и радиусом г (рис. 2.16). Преобразуем основные зависимости, установленные в 5, к полярным координатам. При этом воспользуемся формулами (2.14), (2.15), связывающими производные функции w в неподвижных декартовых координатах и ее производные по дуге s и по нормаЛи к дуге. Взяв в качестве дуги окружность радиуса г, имеем [c.81]

На практике этот вид формулы Форхгеймера не употребляется, так как граничные условия 1-го рода в естественных условиях не реализуются. Ввиду отсутствия точного уравнения стационарного поля при граничных условиях 3-го рода на практике используется выражение (5), исправленное при помощи метода дополнительного слоя. Этот способ, как известно, заключается в том, что термическое сопротивление теплообмена на границе массив—воздух заменяется равным сопротивлением дополнительного слоя. Толщина дополнительного слоя 3 в этом случае оказывается равной 1/к = Х/а. Эту величину 3 добавляют ко всем вертикальным координатам, что приводит к формуле [c.7]

Рассмотрим теперь другие типы проекций цепных молекул. Ортогональную проекцию цепной молекулы на плоскость, проходящую через ось z, естественно подсчитывать в декартовых координатах — формула (39). Одномерная проекция на ось z может быть найдена по (40). [c.138]

Естественными координатами для описания спиральных структур являются цилиндрические (41). Поэтому формулы дифракции от спиральных структур будут частными случаями общих формул предыдущего параграфа, многие из которых также выведены в работе [11,21]. [c.140]

Таким образом, в данном случае указанный выше метод нахождения обобщенных сил можно упростить если система голономна, а все заданные силы потенциальны, то обобщенная сила Qi, соответствующая обобщенной координате дг, равна взятой с обратным знаком частной производной потенциальной энергии по этой координате. Эта формула является естественным обобщением формулы [c.376]

Теперь исходную задачу 2.1 естественно решать как обратную задачу динамики. Принципиальная схема решения следующая. Результатами исследования вспомогательной задачи 2.2 являются соотношения для определения оптимальных обобщенных импульсов цилиндра, т. е. его угловой скорости вращения и и линейной скорости перемещения точки захвата V в терминах обобщенных координат. Эти соотношения, во-первых, позволяют найти оптимальные программы изменения обобщенных координат цилиндра ср, поскольку они есть ни что иное, как дифференциальные уравнения относительно текущих координат (р, С Во-вторых, дифференцирование обсуждаемых соотношений по времени приводит к формулам для обобщенных ускорений цилиндра а , V также в терминах координат ср, С Таким образом, ситуация уникальна — нет необходимости в применении некорректной операции численного дифференцирования, столь [c.120]

В (8.113) компоненты матрицы УДХ монослоя и компоненты матрицы жесткости монослоя в системе координат (х, у) связаны с компонентами соответствующих матриц в естественных осях монослоя формулами, приведенными в табл. 8.2, 8.6. [c.259]

В этой главе мы излагаем релятивистскую механику точки как геометрическую 5-оптику в конфигурационном пространстве Римана координат, времени и действия. Естественно, что мы не получим никаких новых результатов, выходящих за рамки классической релятивистской механики. Правда, общие формулы в пятимерной оптической формулировке приобретут более изящный и симметричный вид, чем в обычной четырехмерной. [c.32]

Обозначая вновь типичную степень свободы через г, выпишем формулу перехода к естественным координатам в виде следующей [c.237]

Применим метод обобщенных координат для получения дифференциальных уравнений движения из общего уравнения механики. Метод обобщенных координат приводит к исключительно важному результату. Он дает общий вид дифференциальных уравнений движения в обобщенных координатах, называемых уравнениями Лагранжа (второго рода). Эти уравнения позволяют для каждой задачи на несвободную систему пользоваться наиболее удобными и естественными величинами при описании движения системы, исключая из рассмотрения связи и силы реакции. Лагранжевы уравнения оказываются полезными и для свободных тел и точек, так как имеют инвариантную (скалярную) форму во всех системах координат, а это позволяет легко составить уравнения в наиболее удобной системе координат, не пользуясь громоздкими формулами перехода (например, от декартовых к сферическим). [c.180]

В приложениях преимущественно приходится иметь дело с такими фазовыми функциями, которые зависят от динамических координат какой-либо компоненты данной системы, причем энергия этой компоненты занимает среди таких функций по своей важности выдающееся место. Но как мы только что видели, в выражения законов распределения как для энергии данной компоненты, так и для составляющих ее динамических переменных существенным образом входят структурные функции II, iii и й,2 (общие формулы, определяющие средние значения любых фазовых функций на поверхности также содержат величину ii(a)). Естественно поэтому, что всякий аналитический метод, ставящий своей целью установление приближенных формул для средних значений употребительных в статистической механике фазовых функций, в первую очередь должен озаботиться созданием удобных приближенных формул для структурных функций. Этим путем мы и пойдем мы постараемся в широкой мере использовать тот факт, что системы, с которыми мы встречаемся в статистической механике, состоят, как правило, из очень большого числа в известном смысле подобных между собой компонент с помощью методов теории вероятностей это позволит нам установить для структурных функций таких систем приближенные формулы, в значительной степени не зависящие от индивидуальной природы составляющих данную систему компонент. [c.52]

Во всем рассмотренном до сих пор мы не исключали того случая, когда энергии молекул данной физической системы, кроме динамических координат этих молекул, зависят еще от известного числа параметров, физически характеризующих собой положение или состояние внешних тел, действующих на изучаемую систему Так, в предыдущем параграфе величина g характеризовала собой поле тяготения и естественным образом входила во все получаемые формулы. В других случаях в качестве таких параметров могут фигурировать, например, координаты каких-либо притягивающих или отталкивающих центров. Такого рода параметры мы во всем дальнейшем будем называть внешними параметрами. С математической стороны внешний параметр характеризуется тем, что величина его в выражении энергий всех молекул имеет одно и то же значение. [c.87]

Именно потому, что проекция ускорения на бинормаль всегда равна нулю, в формуле (75) величина полного ускорения определяется по двум проекциям, а не по трем, как это имеет место в формуле (66). Приравнивая выражение (66) модуля полного ускорения точки через проекции на неподвижные оси координат его же выражению (75) через проекции на естественные оси, получим для движения точки по любой траектории соотношение [c.154]

Компоненты вектора перемещения щ (перемещения) и компоненты тензора деформации etj связаны между собой дифференциальными зависимостями Коши (1.44) или, что то же самое, формулой (1.40). Эти зависимости позволяют вычислить компоненты тензора деформации stj непосредственным дифференцированием перемещений мг, которые в соответствии с предположением о сплошности тела являются непрерывными и однозначными функциями координат л ,, произвольной точки тела (1.3). Естественно, что компоненты тензора деформации должны быть также однозначными функциями л ,, и иметь непрерывные производные. [c.22]

Найденные нами в Статике дифференциальные формулы для выражения вариаций, которые могут получить координаты любой системы точек, расстояния между которыми предполагаются неизменными, могут быть естественно применены к тому исследованию, о котором здесь идет речь действительно, указанное предположение приводит лишь к исчезновению тех членов, которые явились бы результатом варьирования расстояний между различными точками. Таким образом, остающиеся члены выражают то, что имеется общего и свойственного всем членам при движении системы, если отвлечься от их относительных движений как раз это общее абсолютное движение мы и собираемся здесь исследовать. [c.229]

Эти формулы естественным образом выражают три вида движений, которые система может совершать. Переменные х, у, 2 являются координатами некоторой точки системы, которую можно рассматривать в качестве ее центра, и они определяют общее движение всей системы. Девять переменных [c.418]

Проекции угловой скорости на неподвижные оси координат и на оси координат, неизменно связанные с телом. Наиболее прямой путь для получения выражений проекций угловой скорости через эйлеровы углы заключался бы в использовании формул (9.6) на стр. 85, единичные векторы Г , здесь следовало бы выразить через направляющие косинусы по формулам (8.10) на стр. 74, а направляющие косинусы — через эйлеровы углы по формулам (8.15) на стр. 77. Однако, во избежание длинных вычислений мы выведем требуемые выражения иным путём. А именно, мы определим со , из каких-либо трёх уравнений (9.22). Естественнее выбрать такие уравнения, чтобы косинусы, стоящие в левых частях, проще выражались через эйлеровы углы по формулам (8.15) на стр. 77. Возьмём, например, следующие три уравнения [c.91]

Легко подсчитать координаты вершин сети, которые представляют собой вершины этого прямоугольника. При этом используются формулы (7) и естественные соображения выбора тех границ ячеек сети, которые совпадают со сторонами прямоугольника. Свободными в рассматриваемом прямоугольнике могут быть ячейки, которые полностью расположены внутри треугольников со сторонами [c.69]

Рассмотрим некоторые конкретные случаи. Ламинарная естественная конвекция у вертикальной пластины без изменения температуры и скорости вдоль продольной координаты анализировалась еще в прошлом веке. Позднее использовали аппарат пограничного слоя, в частности, для жидких металлов — интегральные уравнения пограничного слоя. Таким способом была получена формула для ламинарного течения жидкого металла у вертикальной стенки при естественной конвекции [c.138]

Подставляя в функции, приведенные на рис. 7,9, выражения (7.51), можно выразить их через однородные координаты. Далее необходимо воспользоваться формулой (7.50). Описанный подход является естественным, однако при его реализации получаются громоздкие и трудно обозримые выражения, все более усложняю- [c.238]

Если выполнено условие (15.22.6) и если исходные данные задачи, т. е. величины Xj, Х2, Z, Е, h, v, T j, Г1,2, представляют собой достаточно гладкие функции точек поперечного сечения оболочки, то усилия и перемещения, отмеченные индексом (б), определяются формулами (13.1.8), (13.1.11), так же как достаточно гладкие функции точе поперечного контура, и будут зависеть от константы j. Последнюю надо выбрать так, чтобы при интегрировании первого равенства (15.22.5) для функции Е ( 2) выполнились условия возврата (иначе Uj, как функция точек поперечного сечения, будет иметь скачок). Константа j, получающаяся при интегрировании первого равенства (15.22.5), останется неопределенной. Это естественно, так как шарнирная опора не препятствует смещению оболочки как жесткого целого в направлении оси X декартовой системы координат. [c.225]

Уравнения (20.2) и (20.4) образуют систему уравнений установившегося плоского течения в естественных координатах. Рассуждения, аналогичньш использованным при выводе формулы (20.1), позволяют найти для определения завихренности формулу [c.59]

Ре тогда из очевидного соотношения Рег =РСх(бт/ с) получаем Рег =0,3707Ре и, подставляя это в формулу (14.77), имеем формулу связи между универсальной и естественной координатами по нормали в турбулентном пограничном слое [c.372]

Имеющиеся данные о сравнительной оценке эффективности всех трех способов основаны на практике расчетов и имеют предварительный характер. Расчет в естественной системе координат ( 45 и 48) и.меет вполне, общий характер, но практически удобен только в задачах течения в относительно узких каналах с плавными границами, в которых кривизна линий тока сразу может быть указана с достаточной точностью. В этом способе расчета применяются предельно простые уравнения, но зато требуется большой объем подготовительной работы. В особенности это относится к расчету широких каналов, и в том числе к случаю осевых турбомашин с лопатками большой длины, в котором проверено применение уравнения вихрей в фиксированной системе координат, не содержащих кривизны линий тока ( 46 и настоящий раздел). Расчеты в фиксированных сетках связаны с более сложными формулами, однако они проводятся однообразнее и наиболее пригодны для программирования при возможности использования вычислительных машин, поскольку интегрирование во всех приближениях ведется вдоль фиксированных сечений. Наконец, последний из указанных способов расчета в полуфиксированной сетке с уравнением вихрей, содержащими кривизну линий тока, занимает по своим вычислительным свойствам промежуточное положение. [c.359]

Частные производные эйконала волнового поля, заданного на криволинейной поверхности, уже не имеют смысла направляющих косинусов светового луча, поскольку не совпадают с компонентами градиента эйконала в принятой системе координат. Развернем в данной точке ДОЭ систему координат таким образом, чтобы новая ось 2 совпала с нормалью к поверхности элемента. Эту систему координат назовем системой нормали и обозначим ее оси х, т)х, 2х. Теперь в окрестности рассматриваемой точки эйконалы всех волновых полей оказываются заданными в плоскости, касательной к поверхности элемента (в плоскости х х), следовательно, их производные по координатам Ех, Лх опять имеют смысл направляющих косинусов лучей, но уже в системе координат нормали. Найти производные функций Ф(Е, т)) по Ех и т)х достаточно легко, так как координаты , т] и х, rix связаны известными формулами для поворота системы координат [8] (естественно, при этом необходимо знать конкретное уравнение поверхности ДОЭ). В общем виде можно записать [c.16]

Методика исследования заключалась в следующем. Значения критериев Qi и координаты центра тяжести диаграммы рассеяния ДУо вычисляли сначала в нормированном виде с использованием различного числа точек, равномерно распределенных по площади зрачка. После этого все нормированные величины переводили в естественные единицы (апертурный и полевой углы ортической системы, в выборе которых был определенный произвол, принимались равными 20° каждый), а все критерии и центр тяжести вычисляли снова по параметрам реальной лучевой диаграммы с помощью формул (3.14) при тех же числах лучей, что и в нормированном виде. Значения искомых величин, полученные при 500 точках в зрачке или лучах, принимали за истинные для данного способа вычисления. [c.97]

Здесь С — матрица, связывающая естественные координаты с ггоор-динатами симметрии типа х, остальные обозначения те же, что и в работе р]. В отличие от работы р] формула (1) записана в координатах симметрии. [c.298]

На рис. 5.15 представлены результаты итерационных расчетов на ЭВМ по рекуррентным формулам (5.76) при t = 0,52 и при различных начальных условиях. Выбор этого значения t обусловлен следуюгци-ми причинами. Согласно [148] величина резонансной зоны тем больше, чем меньше период движения по п того периодического решения, около которого расположена резонансная зона. Поэтому резонансную зону естественно искать вблизи решения с периодом по п, равным 3. Нри I = 0,5 решение с периодом по п, равным 3, имеет место уже в линейном нриближении. Следовательно, можно полагать, что при t = 0,52 резопапспая зона лежит пе слишком далеко от начала координат и вместе с тем достаточно велика. Результаты, представленные на рис. 5.15, показывают, что это действительно так. Овалы, центры которых в начале координат, соответствуют решениям, близким к решениям линеаризованной системы (5.77). Малые овалы неправильной формы соответствуют как раз резонансным зонам. Движение изоб-ражаюш,их точек но малым овалам происходит с частотами, сильно отличаюш имися от частот движения по овалам с центром в начале координат. [c.294]

Так, например, при решении задачи о дифракции относительно отверстия в экране поступают обычно так - совмеш ают гюйгенсову поверхность с экраном (включая и плоскость отверстия), замыкают эту поверхность на бесконечности и предполагают, что в плоскости отверстия возмущение такое же, как при свободном распространении волны, а на задней поверхности экрана возмущение вообще отсутствует. Выполнив вычисления по формуле (6. 1), мы найдем потенциал как функцию координат, причем его значения на гюйгенсовой поверхности будут отличаться от первоначально предположенных. Можно было бы воспользоваться найденными значениями и действовать далее методом последовательных приближений. Однако при решении оптических задач обычно ограничиваются первым приближением, которое, как оказывается, не только схватывает все существенные детали дифракционного явления, но и дает достаточное для практических надобностей количественное приближение. Естественно, конечно, стремиться к получению точных решений различных дифракционных задач. Такие решения известны для небольшого числа специальных случаев. Так, например, существует точное решение для дифракции относительно шара. Здесь задача, сформулированная в сферических координатах, решается при помощи довольно хорошо разработанной теории шаровых функций. Вообще пересматривая известные решения дифракционных задач, можно отметить, что все эти решения получаются специализированными, а не общими методами. [c.276]

Естественные уравнения движения. Введем вместо декартовых осей координат естественные оси (см. рис. 7.9) МхпЬ (Л/т — касательная, Мп — главная нормаль и МЬ — бинормаль к траектории в точке Л/ — см. п. 3.3 гл. VII). По формулам (7.25а) и (7.26) проекции вектора ускорения на эти оси равны соответственно [c.243]

Действительно, ясно, что члены SZ, Sm, Sn, являющиеся общими для всех точек тела, представляют собою малые пути, пробегаемые телом по направлениям координат X, у, z при наличии какого-либо поступательного движения из формул пункта 8 того же отдела можно также увидеть, что члены z ЬМ—у S7V, xbN — zbL, у 8L — х8М представляют собою малые пути, проходимые по тем же направлениям каждой точкой тела вследствие вращательных движений SL, 8М, 87V вокруг трех осей х, у, z эти величины SL, SM, S7V соответствуют величинам с ф, rfw, d( упомя-. нутого выше пункта. Таким образом приведенные выше выражения можно было бы получить и непосредственно, исходя только из рассмотрения этих движений, что, правда, было бы проще, но представляло бы собою менее прямой путь. Изложенный же выше анализ приводит естественно к этим выражениям и этим доказывает более прямым путем и в более общем виде, чем это было сделано в пункте 10 отдела III, что, когда различные точки системы постоянно сохраняют неизменным свое взаимное положение, система в любое мгновение может иметь только поступательное движение в пространстве и вращательное движение вокруг трех взаимно перпендикулярных осей [1 ]. [c.233]

Полюс, радиус-вектор которого численно и по направлению равен Гд, всего естественнее назвать производным полюсом от полюса А, определяемого радиусом-вектором Тогда формулу (4.32) словами можно будет выразить так главный вектор производной системы равен Производной от главного вектора основной системч главный момент производной системы равен сумме производной от главного момента основной системы (относительно полюса А) и момента относительно начала координат главного вектора системы, приложенного к производному полюсу от полюса А. Указанный поправочный член обращается в нуль, если производный полюс для данного значения независимой переменной [c.39]

График сопряженной функции Грина, описываемой формулами (2.63), показан на рис, 2.4. Как видно из рисунка, сопряженная функция Грина, в отличие от основной функции Грина, является постояиной в области 0<х<хо и переменной, спадающей до нуля, в полубес-конечном канале при х хо. По смыслу +(х-,Хо) характеризует собой единичного теплового источника в точке с текущей координатой X по отношению к значению самой температуры в точке х=д о. Очевидно, что эта ценность в теплоизолированном канале постоянна вплоть до точки х=Хо, куда тепло от источника без потерь переносится посредством теплопроводности и конвекции с потоком самого теплоносителя. Естественно, что ценность теплового источника все больше падает по мере удаления координаты х вправо от точки Хо, куда тепло передается только теплопроводностью навстречу движущемуся теплоносителю. [c.49]

Схема переходного процесс а. Допустим, что мы имеем дело с устойчивым ламинарным состоянием течения, которому отвечают вполне упорядоченные закономерности. Как известно, при увеличении характерной координаты состояния — числа Рейнольдса — и достижении нижнего критического значения R kp.h ламинарное движение теряет свою устойчивость. При дальнейшем росте числа Re происходит постепенное упорядочение режима течения и система переходит в новое устойчивое состояние — развитого турбулентного течения. Для последнего характерны свои закономерности (трения, теплообмена и др.). В этой картине переходного процесса основным является смена одного порядка другим, происходящая при неограниченном росте координаты состояния числа Re, отражающего борьбу двух тенденций, двух взаимоисключающих режимов — вязкостного и инерционного. Естественно, что отсчет числа Re как координаты состояния в переходной области следует вести не от нуля, а от нижнего критического значения Rskp.h при прочих данных условиях. Известно, например, что для обычных условий течения жидкости в трубе нижнее значение Некр.н 2 300 но при тщательном устранении возмущений оно может быть доведено до и более. Это обстоятельство, равно как и учет других побочных факторов, влияющих на переходный процесс (геометрия канала, начальные возмущения и пр.), должно отразиться при выборе эмпирических констант в интерполяционной формуле. [c.150]

Эллиптическая пластинка, имеющая верх (г > 0) и низ (г<0), ограниченная фокальным эллипсом о, представляет одну из координатных поверхностей р = 1 семейства эллипсоидов р = onst в системе эллиптических координат р, [х, v [см. п. III. 11, в частности формулу (III. 11.16)]. Поэтому естественно ввести в рассмотрение потенциал простого слоя со (х, г ро) на поверхности эллипсоида Q (р = ро>1), определив эту непрерывную гармоническую функцию ее значением (и х,у,г рс) на Q. Можно для задачи о плоском штампе по (6.2.6) принять [c.312]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...