Равновесие системы тел. Примеры решения задачи

Пример решения задач на равновесие системы тел (см. 18) дает расчет ферм. Фермой называется жесткая конструкция из прямолинейных стержней, соединенных на концах шарнирами. Если все стержни фермы лежат в одной плоскости, ферму называют плоской. Места соединения стержней фермы называют узлами. Все внешние нагрузки к ферме прикладываются только в узлах. При расчете фермы трением в узлах и весом стержней (по сравнению с внешними нагрузками) пренебрегают или распределяют веса стержней ио узлам. Тогда на каждый из стержней фермы будут действовать две силы, приложенные к его концам, которые при равновесии могут быть направлены только вдоль стержня. Следовательно, можно считать, что стержни фермы работают только на растяжение или на сжатие. Ограничимся рассмотрением жестких плоских ферм без лишних стержней, образованных из треугольников. В таких фер-мах число стержней k и число узлов п связаны соотношением [c.61]

Пространственные системы сил, приложенные к твердому телу, обычно включают в себя большое количество сил, и для определения неизвестных величин обычно приходится составлять много (до шести) уравнений равновесия. Поэтому при решении задач удобно пользоваться таблицей, как это сделано при решении следующего примера. [c.102]

Примеры решения задач на равновесие произвольной пространственной системы сил [c.250]

В настоящей работе описан численный метод решения задач плоского пластического течения с кинематическими граничными условиями. Напряжения исключаются из уравнений равновесия с помощью ассоциированного закона течения. В результате этого расчет пластического течения сводится к решению системы из двух нелинейных дифференциальных уравнений для функции тока и вихря. Применение метода иллюстрируется на примере решения задач прессо ания и прошивки прямоугольным гладким пуансоном. [c.54]

Из рассмотренного примера видно, что при решении задач не всегда обязательно пользоваться условиями равновесия (51). Для пространственной системы сил, как и, для плоской, существует несколько форм условий равновесия, из которых форма (51) является основной. [c.86]

Формальный смысл введения электрохимических и других полных потенциалов — исключение из фундаментальных уравнений зависимых переменных. В сложных системах целесообразнее, однако, пользоваться более общим методом решения, сводя расчет равновесия, как и ранее (см. 16), к задаче на условный экстремум какой-либо характеристической функции, а любые соотношения (уравнения и неравенства), существующие между термодинамическими величинами, рассматривать как дополнительные условия и ограничения, которым должны удовлетворять условно независимые переменные. Покажем еще раз возможности этого подхода на примере расчета электрохимических равновесий, хотя в данном случае он не является кратчайшим путем к решению задачи. [c.148]

Выяснив, какие силы действуют на дверь, напишем уравнения равновесия этой системы сил (42) или (43). В данном примере мы воспользуемся формулой (43), для чего составим таблицу, в которую впишем проекции сил и координаты точек приложения сил. Для облегчения этой части решения задачи полезно составить чертеж (рис. 69, в) проекций системы сил на плоскость ху. [c.103]

Статически определенные и статически неопределенные задачи. Переходя к примерам, укажем, что рекомендуемая последовательность в решении задач па равновесие плоской системы -б [c.67]

Условия совместности содержат только вторые производные от компонент напряжения. Следовательно, если внешние силы таковы, что уравнения равновесия (123) вместе с граничными условиями (124) могут удовлетворяться, когда компоненты напряжения принимаются или постоянными, или линейными функциями координат, то уравнения совместности в таком случае удовлетворяются тождественно и такая система напряжений представляет собой корректное решение задачи. Несколько примеров таких задач будут рассмотрены в главе 9. [c.249]

Если для решения задач используют геометрические условия равновесия, например, замкнутость силового многоугольника для сходящейся системы сил, первые три этапа сохраняются. Затем производят построения, которые более подробно рассмотрены выше в примере 2 и не вызывают затруднений. [c.21]

Решение задачи начнем с рассмотрения условий равновесия двухзвенной группы, образованной звеньями 2 и 3 (рис. 30, б). Подлежат определению реакции Р , Рго, Рп=—Ргч, т. е. три вектора или шесть скалярных величин. В данном примере система уравнений для определения неизвестных реакций разделяется на два скалярных уравнения, каждое из которых содержит одну неизвестную величину, и два векторных уравнения, решаемых независимо. Соответственно, все решение состоит из трех этапов. [c.61]

Решение задачи начнем с рассмотрения условий равновесия двухзвенной группы, образованной звеньями 2 н 3 (рис. 46,6). Подлежат определению реакции Fqi, F30, 2з = — 32, т. е. 3 вектора или б скалярных величин. Шесть скалярных уравнений, из которых можно определить неизвестные реакции, могут использоваться в различной последовательности. В данном примере общая система шести уравнений разделяется на два скалярных уравнения, каждое из которых содержит одну неизвестную величину, и два векторных уравнения, решаемых независимо. Соответственно, все решение состоит из трех этапов. [c.127]

Первые решения задач о приспособляемости сплошных тел содержатся в работах [174, 218]. iB обоих случаях определялось условие знакопеременного течения, которое затем сопоставлялось с условием предельного равновесия. Что касается одностороннего нарастания деформаций (прогрессирующее разрушение), то известные здесь примеры (при изотермическом нагружении) ограничивались до последнего времени несколькими стержневыми системами, причем обнаружены они были в значительной степени интуитивным путем [110, 173, 176]. [c.9]

Иногда в задачах статики приходится рассматривать равновесие не одного, а нескольких тел, связанных между собой и образующих неизменяемую систему. Силы, действующие на такую систему со стороны других тел, не входящих в нее, называются внешними, силы взаимодействия между сочлененными телами системы — внутренними. В этом случае для плоской системы сил число уравнений, которые можно составить, больше трех. Соответственно может быть больше и количество неизвестных, которое нужно определить. Для каждого тела, входящего в систему, можно составить три уравнения равновесия, если действующая на него система сил является плоской. Каждое тело или группу тел системы можно выделить и рассматривать в состоянии равновесия под действием приложенных к этой части системы внешних и внутренних сил. Такой прием решения задач на равновесие системы тел называется методом расчленения. Иногда при рассмотрении равновесия системы сочлененных тел удобно составлять уравнения равновесия не только для отдельных частей системы, но и для всей системы в целом. Ниже приводим пример, поясняющий применение метода расчленения. [c.33]

Под действием всех этих сил механизм будет находиться в равновесии. Теперь будем иметь задачу дана система сил, удерживающих в равновесии все звенья механизма определить давления в кинематических парах. Порядок решения такой задачи удобнее всего рассмотреть на примере. [c.221]

При решении задач на исследование малых колебаний системы с несколькими степенями свободы около положения устойчивого равновесия можно, конечно, пользоваться получен- ными формулами. Однако значительно полезнее для каждого примера производить все преобразования с самого начала. Это объясняется тем, что метод запомнить значительно проще, чем формулы. [c.483]

Однако в тех задачах, где в силу недостаточного числа управляющих моментов возможна только частичная стабилизация положения равновесия твердого тела, требуется рассмотрение более общей системы (2.4.5), в которой Y2 = з(х). В этом случае (при некотором уточнении условий теоремы 2.4.2) предложенный подход к решению задачи 2.4.1 сохраняется см. пример 2.4.1. [c.130]

На одной горизонтальной прямой укреплены два зажима Л и 5 на расстоянии I между ними. В зажимах закреплены концы гибкой нити, длина которой между зажимами А В равна 2Л По нити может перекатываться без трения подвижной блок, к которому привешен груз вес груза и блока равен Р. Найти положение равновесия блока с грузом и натяжение нити при этом равновесии. Вес нити настолько незначителен по сравнению с весом Р, что весом нити можно пренебречь. Подобное условие, состоящее в том, что при решении средствами теоретической механики вопросов касающихся какой-нибудь материальной системы, некоторые части этой системы принимаются за невесомые, вводится довольно часто благодаря такому условию могут получиться значительные упрощения с выделением наиболее существенного в решении задач. Так, в только что изложенном примере натяжение нити, конечно, зависит и от веса самой нити, ко расчёт части натяжения, зависящей от веса нити, достаточно сложен и даже недоступен для читателя этой книги, так как теория равновесия нити в ней не излагается. Однако без всякого расчёта ясно, что если вес Р значительно превосходит вес нити, то главная часть натяжения нити зависит от веса Р, а не от веса нити. Таким образом, не учитывая веса нити, мы не вносим в расчёт заметной относительной ошибки, а в то же время в высокой степени упрощаем задачу. В 3 при изложении способа опытной поверки правила параллелограмма мы уже сделали аналогичное упрощение в дальнейшем изложении мы будем иногда прибегать к подобным упрощениям. [c.37]

Условия совместности содержат лишь вторые производные составляющих напряжения. Следовательно, если внешние силы таковы, что уравнения равновесия [116] вместе с условиями на поверхности [117] могут быть удовлетворены, когда мы возьмем составляющие напряжения либо постоянными, либо линейными функциями координат, то уравнения совместности обращаются в тождества. Эта система напряжений явится правильным решением задачи. Несколько примеров таких задач будет рассмотрено в восьмой главе. [c.224]

Полное решение первой проблемы устойчивости — определение числа форм равновесия системы можно представить себе на примере задачи х следующим образом [6, 7, 10, 11]. В 16 были уста- [c.257]

Решение задач неустановившейся ползучести по теории упрочнения связано со значительно большими трудностями, чем по другим теориям. Эффективным методом расчета с использованием электронных вычислительных машин является предложенный Ю. Н. Работновым [15] метод расчета шагами во времени. Проиллюстрируем этот метод на примере расчета стержневой системы, рассмотренной в 81 (см. рис. 12.26). Примем аналитическую формулировку теории упрочнения (12.28) и (12.29). Задача решается на основе уравнения равновесия (12.79), условия совместности деформаций (12.80) и зависимостей между скоростями деформаций ползучести, деформациями ползучести и напряжениями, записанными для первого и второго стержней. [c.355]

Конечно, есть и в этом методе свои трудности, которые состоят прежде всего в том, что необходимо заранее задаваться аппроксимирующими функциями (ф, 11 , /). В качестве первого приближения эти функции можно выбирать в виде линейных соотношений. В поисках более точного решения задачи требуются другие формы задания функций ф, т) , 1, определяемые из условия равновесия на поверхности или внутри объема тела. Например, для получения уточненных решений могут быть использованы степенные или тригонометрические функции, как это было показано на примере расчета траверсы гидравлического пресса и др. Отметим также, что при выборе указанных функций нужно стремиться к тому, чтобы не получалась сложная система дифференциальных уравнений. Так, например, при расчете станины станка 7540 система уравнений (9Я) оказалась весьма простой благодаря элементарному определению функций ф, т] , I. При другом выборе этих функций можно получить более точные результаты, решив сложную систему дифференциальных уравнений. Из анализа табл. 1 основных типов корпусных деталей машин видно, что большинство из них представляет собой коробчатые пустотелые конструкции с различными перегородками, выступами, окнами, а также рамные или стержневые системы. Все они могут быть успешно рассчитаны при помощи уравнений (23) с некоторыми обобщениями, упрощениями и схематизацией. [c.126]

Для равновесия деформируемого тела кроме уравнений статики должны удовлетворяться дополнительные уравнения совместности. деформаций элементов системы. Общее число уравнений статики и уравнений деформации должно быть равно числу искомых величин. Методику решения статически неопределенных задач рассмотрим на простых примерах. [c.124]

Для решения статически неопределимых задач помимо применения метода сечений и, следовательно, использования уравнений равновесия, известных из статики, приходится составлять дополнительные уравнения, основанные на рассмотрении условий и характера деформации системы. Эти уравнения называют уравнениями перемещений. Их количество зависит от того, насколько число неизвестных усилий больше числа независимых уравнений статики или, как говорят, от степени статической неопределимости системы. Здесь ограничимся рассмотрением систем, в которых число неизвестных лишь на единицу больше числа уравнений статики (один раз статически неопределимые системы). Методику их расчета рассмотрим на примерах, [c.208]

Разберем это определение на примере деформации стержня, нагруженного через серьгу силой Р (рис. 1.14, а). Прочностной расчет стержня следует начать с замены действия на него серьги системой сил, распределенной по поверхности контакта, след которой АА, образующейся в результате их взаимной деформации. На рис. 1.14,6 схематически показана такая замена. Значение поверхностной интенсивности в каждой точке поверхности контакта может быть получено только методами теории упругости как результат решения сложной математической задачи. Такую задачу следует решать, если представляют интерес напряженное и деформированное состояния в заштрихованной области стержня. Для их определения за пределами этой области следует заменить распределенную нагрузку равнодействующей (рис. 1.14, в), величина которой элементарно находится из условия равновесия серьги (рис. 1.14, г). По принципу Сен-Венана, деформированное и напряженное состояние бруса за пределами заштрихованных областей в схемах нагружения бив будут практически одинаковы. [c.22]

В рассмотренных выше простейших примерах легко составить и точно решить полные нелинейные уравнения при произвольных значениях перемещений системы. Проведенный анализ дает исчерпывающую информацию о всех возможных устойчивых и неустойчивых положениях равновесия. Но подавляющее большинство практически важных задач значительно сложнее приведенных и получение таких полных точных решений для них не представляется возможным. Это заставляет искать приближенные, упрощенные пути исследования поведения сложных упругих систем под действием приложенных к ним нагрузок. [c.21]

Для замкнутой в окружном направлении цилиндрической оболочки в соответствии с порядком полученной системы уравнений на каждом из торцов должно быть задано по четыре граничных условия два граничных условия относительно нормального прогиба w и его производных и два граничных условия относительно тангенциальных перемещений и и и их производных. Следует подчеркнуть, что входящие в систему уравнений (8.11) бифуркационные перемещения и, V, w описывают отклонения срединной поверхности оболочки от начальной до-критической формы равновесия. Поэтому однородные граничные условия для этих перемещений непосредственно не связаны с граничными условиями начального докритического состояния и должны формулироваться независимо от.них (примеры формулировки граничных условий будут рассмотрены в следующих параграфах при решении конкретных задач устойчивости оболочек). [c.223]

Итак, при сколь угодно малом, отличном от нуля, значении М и сколь угодно большой силе Р стержень не имеет форм равновесия, отличных от прямолинейной. Точно такой же результат получается и в случае, если плоскость момента М при изгибе стержня поворачивается вместе с торцовым сечением. В случае полуследящего момента, создаваемого двумя грузами, система, как мы уже видели на примере решения задачи 133, имеет формы равновесия, отличные от исходной. Таким образом, обнаруживается аналогия с поведением системы, рассмотренной в предыдущей задаче. Там, однако, мы имели один внешний силовой фактор момент М. В предложенной же задаче у нас два силовых фактора сила Р и момент М. Если приложена только сила Р, то при ее возрастании происходит переход к новой форме равновесия. Для момента же (за исключением полуследящего ) характерен переход к новым формам движения. Поэтому интересно проследить за поведением системы в области совместного действия двух факторов и определить, где раньще возникает форма движения, а где — форма равновесия. [c.318]

Рассмотрим, как находятся условия равно(весия механической системы на таком примере равноплечные весы с длиной коромысла 21, массой коромысла т и центром тяжести, расположенным на расстоянии а ниже точки опоры весов, нагружены массами т, и (рис. 3). Точки подвеса грузов и опора весов считаются лежащими на одной прямой. Надо найти условия равновесия весов. В данном случае система имеет одну степень свободы — вращение вокруг точки опоры в одной плоскости и решением задачи будет равновесное аначение угла 0. [c.104]

Задача ставится Jreдyющим образом как определить характер устойчивости равновесия системы по структуре действующих сил Примером решения такой задачи может служить теорема Лагранжа и ее обращение, на основании которой вопрос об устойчивости равновесия консервативной системы решается исследованием одной потенциальной энергии без привлечения анализа левых частей уравнений (см. 3.1 и 3.2). [c.164]

Система уравнений Бельтрами — Митчела — это система 12-го порядка. Произведя дифференцирование при их выводе, мы искусственно повысили порядок исходной системы. В результате оказывается, что возможные решения системы (8.5.8) порождают класс функций более широкий, чем возможные решения задачи теории упругости. Решения системы (8.5.8) не обязательно удот влетворяют уравнениям равновесия. Это ясно хотя бы из следующего примера. Пусть напряжения — произвольные линейные функции координат Оц = Поскольку уравнения (8.5.8) [c.250]

Сближение различных разделов механики сплошной среды и даже стирание граней между ними привело к выработке общих методов решения задач (и, в свою очередь, стимулировалось этим процессом). Ярким примером служит теория распространения разрывов в сплошных средах, математические основы которой разрабатывал в начале XX в, Ж. Адамар. В настоящее время теория ударных волн охватывает многие модели сплошных сред (см., например, монографию Я. Б. Зельдовича и Ю. П. Райзера ). С. А. Христиановичем и другими была установлена близкая аналогия между задачами о плоском установившемся течении в газовой динамике, задачами о распространении упруго-пластических волн в стержнях, задачами о неустановившемся течении воды в каналах и реках, задачами о предельном равновесии идеально-пластической или сыпучей среды (во всех случаях приходится иметь дело с некоторыми системами квазилинейных уравнений гиперболического типа). Общими для всей механики становятся методы подобия и размерностей, асимптотические методы и методы линеаризаций. [c.279]

Применение упрощенной системы уравнений типа Кармана в рассмотренных на практике случаях достаточно удовлетворительно обосновано и целесообразно. Однако интегрирование даже этой системы представляет большие трудности. В настоящее время естественной предпосылкой для решения задач нелинейной теории оболочек является использование вычислительной техники, инициаторами чего у нас были А. Ю. Биркган и А. С. Вольмир (1959). Вместе с тем прогресс в этом направлении не столь велик, как можно было ожидать. В качестве примера можно указать на задачу об осесимметричных формах равновесия сферического купола, привлекающую до сих пор внимание многих видных исследователей (В. И. Феодосьев, 1963 М. С. Корнишин, 1966 И. И. Ворович и В. Ф. Зипалова, 1966). Если общее математическое обеспечение вычислительной техники в ближайшее время значительно улучшится, на что можно надеяться, то многие трудности решения нелинейных задач теории оболочек будут устранены с помощью создания универсальных программ (как это имеет место в настоящее время в линейной алгебре). Однако на исключено, что в некоторых случаях будет целесообразно разработать специфические для задач теории оболочек расчетные алгоритмы. Одна из таких процедур предложена М. С. Корнишиным и X. М. Муштари (1959). Небольшой обзор применения вычислительных методов в теории оболочек дан И. В. Свирским (1966). [c.234]

Таким образом, для любой пары (v, Я), удовлетворяющей этому условию при некотором /и, мы имеем однопараметрическое семейство решений, так как вся задача, очевидно, инвариантна относительно поворота вокруг оси ез. Эта система решений, как показано, демонстрирует классическое явление бифуркации. [Wolfe, 1983], причем X играет роль бифуркационного параметра. Путем рассмотрения собственных значений задачи, полученной линеаризацией уравнения равновесия около тривиального-решения, показано, что происходит бифуркация, сопровождающаяся переходом к нетривиальным решениям эта ситуация полностью аналогична классической задаче об изгибе балки. Рассмотренная здесь задача является примером задачи об устойчивости токонесущих структур, очень простой и не учитывающей индуцированные поля. [c.328]

Пример 9.1. Решенную ранее с привлечением уравнений равновесия, закона Гука и условий совместности деформации задачу о трехстержневой статически неопределимой ферме решим с использованием принципа возможных перемещений. При этом обратим внимание на то, что ныполнеггие условий принципа возможных перемещений сводится к априорному выполнению условий совместности деформаций, а выполнение уравнений статики при этом является естественным следствием выполнения условия (9.5). Условия совместности деформаций для трехстержневой системы, показанной на рис. 3.19, запишется в виде уравнения (3.39). При этом [c.192]

Метод начальных параметров удобен для решения статически неопределимых задач, если условно свес1и задачу к статически определимой путем замены лишних связей их реакциями, с последующим выполнением условий опирания для получения дополнительных уравнений. Рассмотрим этот прием на примере статически неопределимой задачи изгиба двухпролетной балки, загруженной равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q, как показано на рис. 12.22. Так как система сил параллельная, то для нее можно составить лишь два условия равновесия, тогда как неизвестных реак- [c.260]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...