Система собственных векторов полная

Здесь /) ( ), q = 1,...,6 — полная ортонормированная система собственных вектор-функций уравнений (3.9). [c.298]

Действительно, любой вектор можно разложить по полной системе собственных векторов оператора поэтому, после применения к этому разложению левой части ( ), в каждом члене разложения хотя бы один из множителей в ( ) обратится в нуль. [c.349]

Т. е. каждая из компонент момента коммутирует с его квадратом и, следовательно, обладает общей с ним полной системой собственных векторов. (Эта система общих собственных векторов, конечно, своя для каждой компоненты — две разные компоненты момента в силу (91) не коммутируют, и, следовательно, полной системы общих собственных векторов иметь не могут.) Заметим, что равенство нулю коммутатора (93.2) можно было бы предсказать и до вычисления ведь квадрат момента — это скаляр в обычном 3-пространстве, поэтому при поворотах он должен оставаться неизменным, следовательно, —коммутировать с моментом. [c.430]

Если матрица А — простой структуры и имеет место приводимая ниже схема соответствия собственных векторов и, . ..,и полной системы соответствующим собственным числам [c.146]

Минимизация функционала осуществляется прямым методом — функция, от которой зависит функционал, представляется в виде конечной линейной комбинации координатных функций, удовлетворяющих граничным условиям и принадлежащих полной системе. В указанной линейной комбинации коэффициенты неизвестны. После подстановки этой линейной комбинации в функционал он превращается в функцию коэффициентов. Далее ищется минимум этой функции обычным путем, т. е. приравниваются нулю производные по коэффициентам. Получающиеся при этом уравнения, поскольку функционал является квадратичным, оказываются линейными алгебраическими и в случае свободных колебаний однородными. Условие ненулевого решения отмеченной системы уравнений — равенство нулю ее определителя и представляет собой уравнение частот корнями его являются собственные частоты системы. После отыскания частот обычным путем находятся собственные векторы матрицы системы уравнений. Эти векторы изображают собой формы свободных колебаний. [c.246]

Определение таких решений (собственных векторов и соответствующих им собственных значений матрицы коэффициентов этой системы) в общем случае требует обращения к численным методам. Вопросы численного решения алгебраической проблемы собственных значений к настоящему времени разработаны достаточно полно (см., например, [353]). Если эта проблема решена и [c.207]

Чтобы выразить вариацию собственных векторов через вариацию распределения массы, возьмем полную вариацию системы уравнений (1), умножим первое уравнение на Wj, второе — на Tj, проинтегрируем оба выражения по отрезку [0,1 суммируем и получим [c.516]

Может быть выделен полный набор перестановочных между собой наблюдаемых Мь. .. Му,. .. М . В смысле п. В2.12 все М/ могут быть одновременно измерены. Каждый набор собственных значений ши. .., т/,. ... .., Шп) определяет некоторый собственный вектор ть. .., т/,. .., т >. Ансамбль всех собственных векторов, возникающий в результате вариации по полному набору всех собственных значений, образует базис гильбертова пространства Ж для заданной физической системы. [c.80]

После описания операторов, собственных векторов и собственных значений отдельной моды вернемся снова к рассмотрению полной системы. Если обозначить оператор числа частиц для одной моды N = a +a , то для оператора числа частиц всей системы получим [c.144]

Из системы уравнений (107.1) в принципе можно определить полный набор ЗгМ частот. Для каждого численного значения квадрата частоты в (107.1) независимо от значений к и /р, можно рассчитать число различных собственных векторов. Так как каждый собственный вектор соответствует определенному колебательному состоянию, число таких собственных векторов, соответствующее данному численному значению со , является числом состояний с этой энергией. Хотя это вполне приемлемый и часто употребляемый способ численного расчета плотности состояний, он неудобен с точки зрения анализа по симметрии. Напомним [4], что при наличии вырождения удобно относить индекс / или к определенной ветви колебательного спектра решетки. Поэтому любой ветви (при фиксированном /) соответствует N состояний, по одному для каждого значения к в зоне Бриллюэна. В схеме приведенных зон, которой мы будем пользоваться, функция (й кЦ) многозначна каждому к соответствует Зг значений индекса ветви. [c.313]

Такое взаимное расположение упомянутых кривых не препятствует непрерывной зависимости решения автомодельной задачи в окрестности точки Жуге от параметров, задающих состояние за автомодельной системой волн, распространяющихся по заданному состоянию впереди. Упомянутая непрерывная зависимость очевидна в случае, когда разрыв с рассматриваемой точкой Жуге - самый быстрый в системе волн, дающих решение рассматриваемой задачи. При малом изменении состояния за системой волн в общем случае решение будет содержать либо эволюционный разрыв рассматриваемого быстрого типа, близкий к точке Жуге, либо быстрый разрыв Жуге со следующей за ним быстрой автомодельной неопрокидывающейся волной Римана. Если измененное состояние за системой волн не лежит на эволюционном отрезке ударной адиабаты или на продолжающей ее части интегральной кривой волны Римана, то это приводит к появлению других (отличных от быстрой) волн малой амплитуды. При этом задача всегда оказывается разрешимой, поскольку система векторов, касательных к кривым, задающим изменение величин в этих волнах, и касательная к ударной адиабате в точке Жуге обрадуют невырожденную систему векторов, представляющую полную систему собственных векторов, отвечающих малым возмущениям относительно состояния, задаваемого точкой Жуге. [c.66]

По этой причине можно утверждать, что в системе существует вырождение собственной частоте отвечают два собственных вектора [Х X. Следовательно полный спектр собственных частот таков [c.81]

I, -г + 1,..., I. Поэтому для того, чтобы провести разложение представления Д А (а) на неприводимые представления, достаточно установить кратности собственных значений оператора Щ в базисном пространстве представления К. В соответствии с законом преобразования (17.5) спинор, у которого (в данной системе координат) только одна компонента отлична от нуля, будет собственным вектором инфинитезимального оператора Яз, который в данном случае с точностью до множителя совпадает с оператором 5з проекции на ось Ог полного спина [c.193]

Когда Но = 4750 (6280) (С, -= Ае), происходит потеря гироскопической устойчивости и система движется под действием внешнего момента как некоторый шар, причем геометрическая осЬ собственного вращения ) вс больше уходит (это заключение справедливо в рамках малых отклонений). В этом случае при прекращении действия внешнего момента система не совершает нутационного движения. Геометрическая ось описывает правильную окружность около конечного положения вектора кинетического момента это означает, что тело вращается без нутации около положения вектора кинетического момента. Иначе говоря, вектор сй угловой скорости совмещается с вектором Н полного кинетического момента системы. Указанное состояние изображено на рис. [c.20]

Ж векторов состояний заданной физической системы, вектор ф> удовлетворяет условию < ф ф>>0. (При этом вектор <115 1 является дуальным относительно вектора ф>.) Для г15> справедливы все аксиомы и правила вычисления собственных элементов гильбертова пространства (в особенности линейность, сепарабельность, комплексность, эрмитовость метрики, полнота). Пространство Ж может быть натянуто на полный орто-нормированный базис /> со свойствами [c.72]

Важное практическое значение имеет возможность расщепления на подпространства Жа. Оно может быть реализовано при следующих условиях а-му подпространству должны быть сопоставлены операторы Мд ,.... .., Шаа, образующие в подпространстве Жа базис собственных значений, все операторы Жа а-го подпространства должны коммутировать со всеми операторами других подпространств. Тогда Ж можно представить в виде произведения подпространств Жа, а базисные векторы из Ж могут быть образованы как прямое произведение базисных векторов из отдельных подпространств. Пусть, например, оператор энергии полной системы строится аддитивно из операторов энергии На невзаимодействующих подсистем [c.80]

ШАРОВЫЕ ВЕКТОРЫ (векторные шаровые функции) — собственные функции оператора полного момента количества движения для системы с единичным спином. [c.418]

Поскольку Gi — вектор, GjG — инвариант. Следовательно, теперь по аналогии с (4.51) можно определить полную собственную массу vWq системы уравнением [c.128]

Важно четко понимать, какой смысл для данного состояния имеют векторы и Раут- Мы ожидаем, что в экспериментах по рассеянию вектор Рин (О будет описывать так или иначе коллимированный пучок. Конечно, по математическим соображениям этот пучок не должен браться монохроматическим. В противном случае возникли бы трудности в вопросах сходимости. Весьма желательно, чтобы пучок представлял собой волновой пакет. Вместе с тем этот волновой пакет содержит всю информацию о том, каким образом был создан волновой пакет в далеком прошлом, т. е. о том, были ли частицы посланы в сторону мишени вдоль заданного направления, скажем с (приблизительно) заданным импульсом р и спином вдоль оси х, или же была создана схо-дяш,аяся сферическая волна с угловым моментом и т. п. Все эти характеристики должны содержаться в наборе квантовых чисел, или собственных значений динамических переменных, которые коммутируют с гамильтонианом //о и, таким образом, могут быть точно определены в состоянии системы свободных частиц о- Соответствующее состояние полной системы взаимодействующих частиц обозначают посредством 4 + (а, 1) и снабжают теми же квантовыми числами, что и ин- Другими словами (а, /) представляет собой состояние полной системы взаимодействующих частиц, которое в далеком прошлом совпадало с состоянием системы свободных частиц ин (а, t), причем а — полный набор собственных значений динамических переменных, которые коммутируют с Яо (но не обязательно с Я). Вектор состояния (а, 1) является решением уравнения [c.150]

Физический смысл соотношений (18.23) и (18.26) состоит в следующем для данного вектора к О функция (18.23) минимизирует энергию, причем энергия определяется соотношением (18.26). Имеет смысл рассматривать к как квантовое число, поскольку соотношение (18.23) определяет собственную функцию оператора полного импульса системы с собственным значением йк. Действительно, воспользовавшись (18.23), [c.430]

Система (1.3.8) еще не дает полной формулировки теории возбуждения, так как имеет неоднозначное решение. Эта неоднозначность связана с тем, что в (1.3.8) никак не учтено условие на бесконечности (1.3.3). Систему (1.3. необходимо решать при некоторых дополнительных условиях на искомый вектор е. Однако аналитический вид этих условий в терминах связанных волн довольно сложен, поэтому мы отложим их формулировку до следующего параграфа, где будет осуществлен переход от (1.3.8) к системе, описывающей разложение искомого поля по собственным волнам рассматриваемого волновода. [c.45]

ЗАМЕЧАНИЕ Разобранные примеры указывают на естественную иерархию, существующую среди объектов — которые мы называем наблюдаемыми или линейными эрмитовыми операторами с полной системой собственных векторов—, призванных описывать в квантовой механике физические величины. Низшую — простейшую — ступень в ней занимают вещественные числа, которые можно, как мы видели, рассматривать как эрмитовы операторы, все (образующие полную систему) собственные векторы которых относятся к единственному EW-y. Вторую ступень занимают проекторы — наблюдаемые, обладающие двумя собственными значениями можно сказать, что это — простейший квантовый объект, выходящий за рамки классики, где все динамические переменные изображались числами. На третьей ступени мы находим объекты, изучавшиеся в лемме 2 эрмитовы операторы, удовлетворяющие целому алгебраическому уравнению конечной степени. Согласно лемме они всегда обладают [c.349]

ПОЛНОЙ системой собственных векторов, распределяющихся по точно п собственным значениям. Отметим, что объекты первых трех ступеней можно реализовать как эрмитовы операторы в пространстве конечного числа измерений, поэтому для обраще ния с ними было бы достаточно привлечь средства обычной век торной и тензорной алгебры. Естественным — и необходимым для физики — обобщением объектов третьей ступени являютс Г наблюдаемые, обладающие счетной последовательностью EW-oBj" т. е. наблюдаемые с чисто дискретным спектром. Для реализа-т ции этих, занимающих четвертую ступень иерархии, объектов, приходится прибегать к построению гильбертова пространства. Однако и этого оказывается недостаточно — поскольку в природе существуют физические величины, при измерении которых может] быть, найдено любое вещественное число из некоторого интер-i вала, то нашу иерархическую лестницу приходится дополнить пятой ступенью, наблюдаемыми с непрерывным спектром, обла-j дающими континуумом собственных значений. [c.350]

Система собственных векторов неэрмитова оператора а является также и полной. Проще всего убедиться в этом, продемонстрировав, что из операторов проектирования в когерентные [c.416]

Чем отличаются физически два состояния, входящие в комбинацию (120.3) Чтобы получить тут наиболее наглядное истолкование, включим зависимость от времени , причем воспользуемся гайзенберговой картиной, и посмотрим, как зависят от времени матричные элементы оператора координаты (0, вибирая в качестве полной системы собственные векторы р ) импульса. [c.478]

Специфической особенностью испытаний с многоточечным возбужлением является необходимость управления многими силами с целью отыскания "вектора Рл с такими действительными компонентами, чтобы вынужденные колебания представлялись одним собственным вектором [5, 15, 20, 21]. При полной компенсации сил демпфирования силами возбуждения F os (at на собственной частоте консервативной системы справедливы соотношения [c.337]

На основе изложенного метода теоретического исследования была составлена программа для вычислительной машины системы FA OM 230-75, на которой вначале была исследована сходимость решений, а собственные значения и собственные векторы задачи определялись энергетическим методом. Для сплошной цилиндрической оболочки частоты колебаний удовлетворительно сходились при использовании трех членов (р = О, 1, 2) в ряде для перемещений (7). Однако для оболочки с большими вырезами Для получения сходимости. результатов требовалось большее число членов, и представленные здесь результаты были получены при использовании 9 членов ряда. Как показано на рис. 4, 5 и 12, между теоретическими и экспериментальными данными для сплошных цилиндрических оболочек было достигнуто хорошее совпадение. На этих же трех рисунках нанесены результаты, полученные с помощью метода конечных элементов и расчетов на вычис. лительной машине по программе, основанной на книге Зенкевича [10]. В конечно-элементном представлении оболочка разбивалась на десять осесимметричных оболочечных элементов, включающих четыре узловых параметра. Полное описание этой конечно-элементной схемы дано в работе [II]. [c.284]

В п-мерном евклидовом пространстве для тех систем из п + + 1 вектора, в которых каждая собственная подсистема линейно независима и выполнено условие (4.7), имеется полная классификация [202] (см. также [177]). Такие системы являются системами простых корней градуированных алгебр Каца—Муди. Полные диагрг1ммы Дынкина а)-л), перечисленные в теореме 2, получены из известных диаграмм систем корней алгебр Каца—Муди с учетом возможности существования в спектре интегрируемой системы сонаправленных векторов (относящиеся сюда простые рассуждения опущены). Пусть теперь Д содержит п линейно независимых максимальных векторов, удовлетворяющих условию (4.7). Такая система не будет полной в смысле нашего определения к этим п векторам можно так добавить еще один, чтобы сохранилось условие (4.7) и любая подсистема из п векторов была линейно независима. Это вытекает, например, из того факта, что диаграмма Дынкина системы простых корней получается из диаграммы системы корней некоторой алгебры Каца — Муди отбрасыванием одной вершины [202]. [c.392]

Собственные ЗГД являются необходимыми в границе при данных ее параметрах с точки зрения граничной кристаллогеоме-трии, например для обеспечения отклонения разориентировки от специальной, поэтому они не являются дефектами структуры границы в прямом смысле этого слова. Согласно анализу [173], отклонение поверхности большеугловой специальной границы от плоскости хорошего сопряжения также может осуществляться с помощью системы ЗГД. Структурные ЗГД имеют векторы Бюргерса, соответствующие полной решетке наложения (ПРН) [160, 174], возможны также частичные ЗГД [175-180]. Упругие поля собственных ЗГД взаимно скомпенсированы, поэтому они не создают у границ дальнодействующих напряжений. [c.91]

В первой главе рассматриваются общие закономерности колебания упруговязких систем. Выводятся условия, при которых решение может быть разложено в ряды по собственным функциям недемпфированной системы. С помощью методов возмущений анализируется влияние ошибок исходных параметров на точность вычисления собственных частот и векторов. Введение комплексных модулей упругости позволило использовать единую методологию при рассмотрении собственных и вынужденных колебаний, а также систем с сосредоточенными и распределенными параметрами. На конкретных примерах показывается, что эквивалентная масса, которую Е. Скучик полагал постоянной, оказывается зависящей от вида формы колебаний и для каждого из них сохраняет стабильные значения в широком диапазоне частот. Наиболее полными характеристиками виброизолирующих свойств механических структур являются комплексные переходные податливости. Рассмотрена эффективность виброизоляции конкретных конструкций. Приводится решение задачи о распространении продольных колебаний по стержню при наличии сухого трения и даются конкретные примеры приложения этой задачи. [c.5]

Как уже отмечалось ( 7 гл. 6), метод разделения переменных можно применить не только для решения одномерных задач, ио и в более общем случае. Основная трудность состоит ие в разделении переменных и нахождении возможных собственных решений, а в выделении полной системы и в доказательстве ее полноты. Ситуация станет простой, если при разыскании плоских волновых решений ввести единичный действительный вектор е так, чтобы волновой вектор к равнялся /се, как мы это делали в 6. Действи-тельно, если это сделать, можно повторить процедуру одномерного случая при условии, что -е подставляется вместо и (е X I) X е вместо - - зк (з и к — единичные векторы вдоль осей у и z). [c.213]

Перечисленные и другие простые следствия непрерывной диф-ференцируемости закона движения х=<р(х, t) при внимательном их анализе оказываются очень полными и содержательными для исследования физических свойств, термодинамики и уравнений состояния тела. Выбранная в начальный момент в лагранжевых координатах частица, скажем, в виде кубика фиксированных малых размеров, движется и деформируется так стенки кубика остаются плоскими непроницаемыми для внутренних частиц, относительное движение которых однородно (аффинно) и полностью определяется удлинениями ребер и изменениями относительных углов наклона граней косоугольного параллелепипеда, в форме которого кубик пребывает в любой момент 1>и. Следовательно, содержимое частицы представляет как бы замкнутую равновесную систему в смысле статистической механики (гл. I). Состояние такой системы зависит от внешних параметров и температуры, т. е. от положения и движения границ частицы, т. е. от эво-люции во времени векторов лагранжева репера Эг(1) ( =1, 2, 3) или эволюции аффинора A(t). Но ясно, что Эг(0 и Л(t), кроме собственно деформации частицы (параллелепипеда), включают и переносное движение, что собственно деформация определяется метрическим тензором лагранжева репера Э1(1) ( ==1, 2, 3) с симметричной квадратной матрицей [c.71]

Одновременно с появлением дебаевской теории Макс Борн и фон Карман (М. Вогл, Th. von Karman, 1912) предложили строить теорию твердого тела на основе непосредственного расчета дисперсионной зависимости частоты собственных колебаний от волнового вектора, и> = ш(к), и плотности числа собственных колебаний для упорядоченных пространственных структур из упруго связанных материальных точек. Уже на примере линейной цепочки упруго связанных масс (см. задачи 51 и 52) удалось выявить многие характерные Черты спектра собственных колебаний системы, прежде всего образование акустической ветви колебаний из смещений узлов, образование оптической ветви в многоатомной цепочке, структуры плотности числа собственных колебаний, ограниченной сверху и имеющей запрещенные зоны внутри, и т. д. К сожалению, полное аналитическое исследование аналогичной задачи для двух- и трехмерных решеток провести не удается. Приближенный расчет собственных частот трехмерной решетки достаточно сложен. Впервые такой расчет для простой кубической решетки был выполнен лишь в 1937 г., теперь же это делает ЭВМ для различных кристаллических структур. [c.206]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...