Система уравнений в вариациях

Примером эффективного использования системы уравнений в вариациях служит теория движения в окрестности положения равновесия ( 8.7). Там линейная система и есть система уравнений в вариациях относительно нулевого решения. [c.699]

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ (УРАВНЕНИЯ В ВАРИАЦИЯХ). [c.230]

Таким образом, фундаментальная матрица F (t) представляется в виде произведения периодической матрицы и фундаментальной матрицы для системы уравнений в вариациях с постоянными коэффициентами. [c.466]

Совместное рассмотрение (6.95), (6.96), (6.91), (6.98)—(6.100) приводит к следующей системе уравнений в вариациях и [c.289]

Исследование устойчивости периодических решении, найденных методом малою параметра Пуанкаре, имеет ряд особенностей. Согласно теории А. М. Ляпунова (35J, решение вопроса об устойчивости зависит от характера решении системы уравнений в вариациях для уравнений (40) и решения (42) [c.54]

Результат решения задачи существенно зависит от характера порождающей системы, а также от свойств системы уравнений в вариациях [c.220]

Пусть Г — интеграл уравнений (5.1), голоморфный в окрестности комплексной кривой Г. Разложим эту функцию в ряд по степеням переменных 1,..., -1 его коэффициенты — голоморфные функции от I е X. Ясно, что первая нетривиальная однородная форма этого ряда является интегралом приведенной линейной системы уравнений в вариациях. Следовательно, найдется однородная форма от 71 — 1 переменных, инвариантная относительно действия приведенной группы монодромии. [c.361]

Приходим к системе уравнений в вариациях [c.623]

Имея решения (15) и пользуясь их свойствами (16), легко записать интеграл Коши системы уравнений в вариациях [c.655]

Но это — та же система уравнений в вариациях (9), если сделать замену и на 8 7 и 8/ . Отсюда следует вывод, который ранее был получен из геометрических соображений, — окольные пути, на которых 8 5 делается нулем, принадлежат к числу истинных, бесконечно близких к истинному пути (14). [c.655]

Зависимость уо от t указана в (1.2). Видим, что уравнение для Ьх отделилось и поэтому его можно изучать отдельно от полной системы уравнений в вариациях. По поведению решений уравнения (1.8) можно судить об устойчивости периодических колебаний, (1.2) по отношению к смещениям в горизонтальном направлении. [c.86]

Система (26) представляет собой систему линейных диференциальных уравнений, которую можно получить из системы (22), просто отбрасывая в уравнениях (22) все члены выше первого порядка относительно x , X, ...,х,,. Система (26) определяет первое приближение функций х,,. V, ,. .., и называется иногда системой, уравнений в вариациях для систем . (22). [c.456]

Уравнения в вариациях. Для приложений наиболее важным случаем является тот, когда все коэфициенты р , Р, (" 1. . ) в разложениях (21) функций X, (см. 3) суть постоянные числа. В этом случае в решении вопроса об устойчивости данного невозмущенного движения играет исключительную важность первое приближение, определяемое системой однородных линейных уравнений (26) (см. 4), которые мы назвали системой уравнений в вариациях. [c.468]

В двух следующих леммах мы будем рассматривать величины х,, х ,, х как функции /, удовлетворяющие системе уравнений в вариациях (53). [c.474]

В итоге проведенных операций, как и при исследовании влияния жидкого заполнения, уже знакомая нам система уравнений в вариациях (8.6) и (8.7) дополняется одним или двумя уравнениями для первой и второй форм упругих колебаний корпуса, а в сами уравнения вводятся дополнительные слагаемые, связанные с упругими деформациями корпуса. Эта обобщенная система опять же выносится на моделирующую установку для пол- [c.422]

Система уравнений в вариациях будет иметь такой вид [c.96]

Система (7.35) есть система уравнений в вариациях Пуанкаре [c.450]

Пуанкаре система уравнений в вариациях 450 Пуансо теоремы 391, 392 Пуассона система кинематических диф-ференциальных уравнений 382 [c.493]

Равенства (11.388) подтверждают правильность теоремы. В равенствах (11.388) 6р] и — решения уравнений в вариациях, соответствующие канонической системе уравнений (е). [c.388]

Уравнениями возмущенных движений материальной системы вблизи ее положения равновесия в первом приближении будут уравнения в вариациях Пуанкаре с постоянными коэффициента- [c.236]

В консервативной системе с одной степенью свободы билинейная форма может быть понимаема как инвариант Пуанкаре, спинор — как некоторое частное решение уравнений в вариациях Пуанкаре для некоторого возмущенного движения. Группа преобразований движения, как это хорошо известно, будет бинарной группой. [c.358]

Эти уравнения, позволяющие исследовать решения, бесконечно близкие к заданному решению, были введены Пуанкаре, который назвал их уравнениями в вариациях решений системы (33). [c.410]

Во всяком случае, как это всегда имеет место в случае линейной неоднородной дифференциальной системы, интегрирование уравнений (41) и (42) сводится только к квадратурам всякий раз, когда удается каким-либо способом определить общий интеграл соответствующей однородной системы. В настоящем случае член Ф уравнения (42), делающий уравнение неоднородным, объединяет в себе все, что относится к возмущающей силе. С другой стороны, однородная система, зависящая исключительно от уравнения (28") основной задачи, дает в силу этого последнего уравнения так называемые уравнения в вариациях, которыми мы будем заниматься в общем случае в 5 гл. VI. Мы увидим тогда, что если известен общий интеграл какой-нибудь дифференциальной системы, то из него можно получить посредством одного только дифференцирования общий интеграл соответствующих уравнений в вариациях. Применяя к нашему случаю это замечание и вспоминая сказан- [c.114]

Чтобы проверить это, заметим прежде всего, что если обозначить через значения, которые принимают Сд для статического решения, и при этом воспользоваться обычными обозначениями, то уравнения в вариациях системы (26) примут вид [c.388]

Зафиксируем значение интеграла энергии, отвечающее частному решению zo(-), и ограничим уравнения Гамильтона (5.15) на (2п — 1)-мерную энергетическую поверхность H z) = H zo -)) = = onst, в результате получим автономную систему дифференциальных уравнений с тем же частным решением. Этому решению отвечают приведенные уравнения в вариациях (порядка 2п — 2) и приведенная группа монодромии. Из теоремы Уиттекера о понижении с помощью интеграла энергии порядка уравнений Гамильтона вытекает гамильтоновость приведенной системы уравнений в вариациях. Следовательно, матрицы из приведенной группы монодромии также являются симплектическими. [c.364]

Так как все коэфициенты суть числа действительные, то или все X, суть действительные числа, или среди них есть комплексные сопряженные. Каждому корню X, соответствует по уравнениям (55) система постоянных А",,, а следовательно, одно частное решение вида (54). Итак, мы получаем систему п различных решений уравнений в вариациях. Можно доказать, на чем мы останавливаться не будем, что эти п частных решений образуют фундаментальную систему, а тогда общее решение системы уравнений в вариациях напишется в виде [c.469]

Рассмотрим теперь случай, когда характеристическая функция Я системы уравнений в вариациях (61) есть знакоопределенная форма переменных дг у,. Тогда все корни характеристического уравнения (62) чисто мнимые, т. е. имеют равные нулю действительные части и не равные нулю коэфициенты при — 1. Действительно, система имеет интеграл [c.471]

Система из s линейных уравнений (9.34) называется уравнениями возмущенного движения или уравнениями в вариациях. Если невозмущенное движение таково, что коэффициенты уравнений (9.34) постоянны, то это движение называется стацяонардым. Для стационарного движения справедливо [c.262]

Рассмотрим структуру разбиения фазового пространства на траектории в окрестности периодического движения на примере трехмерного фазового пространства. Пусть х = = X (О, у = У (0. 2 = 2 (t) — периодическое решение периода т системы дифференциальных уравнений (1.1). Линзаризуя эти уравнения в окрестности рассматриваемого периодического движения, мы придем к уравнениям в вариациях вида (1.2), в которых теперь частные производные [c.17]

Вариации бх удовлетворяют некоторой системе линейных дифференциальных уравнений, которая встречалась раньше при рассмотрении проблемы устойчивости движения в первом приближении. Эти уравнения называются уравнениями в вариациях ). Уравнения в вариациях составляются аналогично дифференциальным уравнениям (П.326Ь). [c.381]

Соотношение (с)—первый интеграл системы уравнений, состоящей из системы уравнений (II. 379) и уравнений в вариациях (И.381Ь). [c.391]

Вывод ОБЩЕГО ИНТЕГРАЛА УРАВНЕНИЙ В ВАРИАЦИЯХ НЗ ИНТЕГРАЛА КОНЕЧНЫХ УРАВНЕНИЙ. Ограничимся здесь замечанием, что исякий раз, когда известно общее решение уравнений (16), из него можно непосредственно вывести одним только дифференцированием общее решение системы в вариациях (18). [c.383]

Предполагая, что для системы (24) известно статическое решение = onst = лгд, будем иметь для системы (24 ) решение, тоже статическое, х, = х%, х — 0, поэтому можно образовать соответствующие этому решению уравнения в вариациях системы (24 ) и дальше поступать так, как указано в предыдущем пункте. [c.387]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...