Пространство представлений

В связи с преобладанием плоскостного характера мышления соответствующий критерий удовлетворительности сразу доводится до сведения студентов, и им предлагается собрать две натурные модели, адекватные плоскому и объемно-пространственному характеру входящих деталей. Именно последний вариант вызывает у студентов повышенный интерес. Один из вариантов исходного задания, в котором размещена одна деталь в структуре базового объема, а вторая деталь может, произвольно располагаться в пространстве, представлен на рис. 4.6.12. После уяснения цели, средств, характера ограничений студенты приступают к работе. Сначала они пытаются решить задачу путем изображения второй детали в структуре сборки в том пространственном положении, которое задано. При этом выявляются признаки неудовлетворительности результата (рис. 4.6.13). Студент осознает необходимость предварительного анализа вариантов решения и представляет на эскизе некоторое количество наиболее предпочтительных сочетаний двух заданных деталей (рис. 4.6.14 здесь и далее цифрами обозначены варианты решения). На основе интуитивных соображений или мысленного представления он выбирает наиболее перспективный вариант и изображает возможное решение (рис. 4.6.15). [c.175]

Принимая (hi, h2, h ) за декартовы ортогональные координаты в пространстве представлений, мы видим, что установившиеся вращения соответствуют точкам [h, О, 0), (О, Л, 0), (О, О,/г). Изображающая точка движется по кривой, которая согласно уравнениям (55.13) является линией пересечения сферы и эллипсоида. Исследуя формы этих кривых, легко увидеть, что установившиеся вращения вокруг наибольшей и наименьшей осей инерции устойчивы, тогда как установившееся вращение вокруг промежуточной оси инерции неустойчиво ). [c.170]

В настоящей книге сделана попытка дать геометрической интуиции необходимое место в общей динамической теории, систематически употребляя пространства представлений, в которых движение изображающей точки соответствует движению динамической системы ). [c.199]

Пространства представлений. При изложении динамической теории мы будем пользоваться следующими пространствами представлений ) [c.200]

Пространства представлений в приведенной таблице перечислены в порядке возрастания размерностей. Мы будем рассматривать их в другом, несколько более удобном порядке. [c.200]

Распределение вероятностей Х ) получается как перекрытие между функцией Вигнера р интересующего нас состояния и бесконечно тонкой полосой фазового пространства, представленной -функцией. Отсюда каждая полоса, заданная собственным значением Х , определяет линию, вдоль которой нужно интегрировать функцию Вигнера. Процедура интегрирования приводит к распределению Х ) для фиксированного угла в фазовом пространстве, что схематически показано на рис. 4.21. Поэтому мы можем получить все распределения Хг ), если известна функция Вигнера. Это и не удивительно, поскольку р содержит всю информацию о квантовом состоянии. Но можно ли обратить процедуру [c.172]

Анализируя пространства, изображенные на рис. 2.15, с точки зрения структуры механизмов, можно прийти к вьшоду, что для полного синтеза механизмов из восьми рассмотренных пространств достаточно только четырех, например, приведенных на рис. 2.15, а, б, в, е соответственно. Пространства, представленные на рис. 2.15, г, д [c.66]

Вернемся теперь к (29.2) и к пространству представления 2( fe)(m) Рассмотрим подпространство представления (29.5), образованное первыми 1 функциями, каждая из которых служит базисом представления группы Z. Имеются две возмож- [c.85]

Как следствие этого уравнения Т (g- ) = Т (g) и 7( го)=1, где 1—тождественное преобразование в Пространство 3S и его размерность называются пространством и размерностью представления. Представления T g) и T g) эквивалентны, если существует линейный обратимый оператор В (сплетающий), отображающий пространство представления T(g) на пространство представления T g), такой, что [c.55]

Для унитарности представления T g) необходимо наличие билинейной положительно определенной инвариантной эрмитовой формы. С этой целью введем невырожденное скалярное произведение (/], 2) в пространстве представления и наложим на него условия [c.55]

Пространства представлений групп Ли могут иметь весьма сложную структуру, изучение которой требует введения понятия топологической приводимости представления. Будем называть подпространство пространства представления инвариантным, если все операторы представления T g) переводят каждый элемент в элемент этого же подпространства, т. е. T g)3S i для любого g из G. Тривиальные примеры инвариантных подпространств, естественно, дают нулевое подпространство и все пространство В соответствии с этим представление T g) называется неприводимым (приводимым), если его пространство не содержит (содержит) нетривиальных подпространств. Можно показать, что в пространстве любого представления содержится не менее одного неприводимого подпространства. Если инвариантное подпространство имеет инвариантное дополнение J ", Ж, то Т (g) однозначно определяется представлениями T (g) и T"(g) в и соответственно, т. е. сужениями T g) на эти подпространства. Тогда говорят, что представление T(g) есть прямая сумма Т g) и T" g), и является вполне приводимым, если оно представимо в виде прямой суммы неприводимых. Заметим, что все унитарные представления вполне приводимы. [c.56]

Матричные элементы присоединенного представления группы Ли G играют важную роль во многих разделах теории представлений. Как будет видно из дальнейшего, они связывают между собой инфинитезимальные операторы левых и правых сдвигов на G, через них выражается весовая функция инвариантной меры Хаара на G. Для полупростых групп Ли с их помощью строятся старшие векторы неприводимых представлений, полностью определяющие структуру пространства представления G. [c.58]

Очевидно, что в приведенной конструкции в качестве первородного вектора с тем же успехом мог быть взят младший элемент, порождающий весь базис пространства представления.) [c.61]

Заметим, что если рассматривать действие этого соотношения на старший вектор в пространстве представления с весом /- группы Ж по отношению к правым сдвигам, то оно примет вид [c.77]

Матричные элементы конечных преобразований. В качестве базиса в пространстве -представления удобно выбрать матричные элементы (к) неприводимых унитарных пред- [c.93]

Как мы увидим в гл. VII, при квантовании системы (III. 2.8) в представлении Шредингера, содержащей конечную непериодическую цепочку Тода в качестве простейшего частного случая, роль базисных функций в пространстве представления [c.111]

Здесь для простоты мы воспользовались ортонормированным базисом в пространстве представления Со, 5р = ба , и [c.128]

Обычно квантовомеханический гамильтониан идентифицируется с радиальной частью квадратичного оператора Казимира полупростой группы Ли С в подходящей параметризации. При этом выбор базисных функций в пространстве представления О играет ту же роль, что и выбор начальных условий в фазовом пространстве функциональной группы для классической задачи (см. IV. 6). Скобки Пуассона, определяющие классическую систему, заменяются на коммутаторы динамических переменных соответствующей квантовой системы. Существует глубокая взаимосвязь между решением задачи квантования и теорией представлений групп, впервые установленная Костан-том для систем типа цепочки Тода, для которых получено интегральное представление однокомпонентных волновых функций [c.230]

Мы получили, что пространство состояний с заданной энергией— это пространство представления группы 0(4). [c.137]

Основной итог аксиоматизации, проведенной в гл. 1, 2, таков, что благодаря конструкции ГНС нам удалось достичь гибкости, недостававшей формализму пространства Фока (гл. 1, 1). Действительно, гильбертово пространство, в котором мы строим представления наблюдаемых (или, если рассматривать все в более общем плане, полей), не фиксировано. Оно зависит от рассматриваемой задачи и, в частности, от способа приготовления исследуемой системы, т. е. в конечном счете от интересующих нас состояний. В такой теории, например, пространство, построенное на вакууме асимптотических полей, может не совпадать с пространством, построенным на вакууме интерполирующих полей. Т0Ч 0 так же пространство представления физической системы, находящейся в термодинамическом равновесии, может зависеть от температуры. [c.105]

Пространство представления Ж , по определению, совпадает с [c.107]

Могут быть рассматриваемы также другие пространства представлений, такие как 3iV-MepHoe пространство с координатами [c.200]

Простейшим из всех пространств представлений является Q. Если система состоит из одной частицы, движущейся в обычном пространстве, то — обычное пространство а если частица под действием связей вынуждена двигаться но поверхности или по кривой, то пространство Q есть эта поверхность или кривая. Однако картина траекторий в целом несколько усложнена, потому что траектория не определяется точкой пространства и направлением в Q (т. е. отношениями dqi dq2 dqff). Для консервативной системы заданному направлению в точке соответствует оо множество траекторий (например, частица в гравитационном поле). Для неконсервативных систем имеется оо множество траекторий. [c.201]

Гидравлическая система состоит из сообщающихся сосудов. Каждый элемент изучаемого пространства представлен группой сосудов разных сечений — 0,5 5 10 20 см , сообщающихся с одной пьезотрубкой 0,5 см , причем рабочими могут быть любые из них и все вместе. [c.258]

Свободный газ занимает часть норового пространства, представленного относительно крупными, сообщающимися между собой пустотами. Пласты угля, имеющие такие пустоты (поры, каверны, трещины), проницаемы для флюидов. [c.99]

Проследим за поведением при этом сепаратрис седла. Для структуры разбиения фазового пространства, представленной на рис. 178,1, на прямой ф = фо, проходящей через точку 0, отметим ближайшие к седлу точки пересечения с а- и со-сепаратри-сами Рх на а-сепаратрисе на нижнем полуцилиндре, Рг на ю-сепаратрисе на нижнем полуцилиндре, Ръ на а-сепаратрисе [c.350]

На этой стадии мы прерываем изложение теории групп и обращаемся к обсуждению классической теории колебаний решетки. После получения уравнений движения в гармоническом приближении в гл. 8 мы применяем теоретико-групповой анализ для того, чтобы продемонстрировать следующее положение собственные векторы образуют линейное векторное пространство представления накрывающей группы, т. е. группы симметрии . Затем, в гл. 9, мы излагаем теорию влияния антиунитарной симметрии. Вследствие сравнительно малой известности этого вопроса мы довольно подробно останавливаемся на анализе пространственно-временной группы симметрии которая содержит обычные унитарные операторы пространственной симметрии плюс антиунитарные операторы, включающие опера- [c.19]

Представляется полезным в качестве простого введения в теорию копредставлений обсудить неприводимые копредставления группы используя метод индукции из группы г. Пусть вектор ф ) образует неприводимое пространство для 5 . Чтобы получить неприводимое пространство для мы должны включить еще пространство Рассмотрим теперь пространство представления, образованное двумя функциями [c.265]

Здe ь для обозначения элементов базиса в пространстве представления используются символы бра <а и кет ЬУ (первая и вторая части английского слова скобка — bra ket ) с базисными индексами а , Ь эти символы были введены Дираком для квантовомеханических векторов состояния, нумеруемых набором а и Ь собственных значений взаимокомму-тирующих операторов, отвечающих одновременно измеримым наблюдаемым. Бра-вектор определяется как дуальный (или сопряженный) кет-вектору независимо от того, заданы ли они в пространстве конечного или бесконечного числа измерений, и единственно тем условием, что их скалярное произведение (а ЬУ дает заданное число. При этом <а 6> линейно по 6> и антилинейно по а>, <а 16> = <61 а , т. е. <а а> 0 бра-вектор, сопряженный Х Ьу есть где Я — некий оператор. [c.58]

Под функцией на группе Ли f g) понимается функция, зависящая от набора групповых параметров, через которые выражается элемент g из G. Можно показать, что любое неприводимое представление G эквивалентно представлению операторами сдвига в некотором пространстве функций на G. В зависимости от условий, накладываемых на функции из пространства представления, возникают те или иные их типы, конкретизация которых требует введения инвариантной меры на группе G. Реализация G как группы сдвигов пргиводит к следующему определению лево-и правоинвариантных мер d[i g) [c.58]

Базис в пространстве представления. Неприводимые представления (не обязательно конечномерные) комплексных полупростых алгебр Ли ранга г удается полностью описать и классифицировать путем наложения требования существования в базисе пространства представления элемента удовле- [c.60]

Исследование вопроса об эквивалентности представлений с весами Л и (Л сводится к установлению условия изоморф-ности отображения пространства представления на про- [c.96]

Г0 фундаментального представления О. Очевидно также, что б-образная неоднородность в (6.2д) порождается членами в 1пф4., полученными из п (/с) действием понижающих операторов, отвечающих корневым векторам отрицательных простых корней. (Как нетрудно убедиться непосредственной проверкой, элементы пространства представления Л , возникающие при действии на понижающих операторов большой длины по [c.111]

Рассмотрим два представления компактной или редуктивной группы Ли О, на п- и о-мерных линейных пространствах. Возьмем в качестве функционального пространства множество (т л)° О-эквивариантных ростков отображений из одного пространства представления в другое, переводящих О в О (для редуктивной группы рассматривается только аналитический случай). [c.179]

Помимо самих алгебр aT, , важными примерами ОЛ-алгебр служат алгебры инвариантов. Рассмотрим два линейных представления компактной или редуктивной группы Ли G. Пусть fix y — G-эквивариантное отображение одного пространства представления в другое. [c.182]

Предложение 5.2. Пространство представления V = разлагается в прямую сумму инвариантых подпространств V = Vi V2, где Vi = задается уравнением z + Z2 +. .. +г = О, а одномерное подпространство V2 = С натянуто на вектор zq = 1,1,. .., 1). [c.109]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...