Движение твердого в координатах декартовых

Поступательное движение твердого тела. Наиболее общим приемом составления уравнений динамики поступательного движения твердого тела является применение теоремы о движении центра инерции системы материальных точек. Теорема преимущественно используется в проекциях на оси декартовых координат. В число данных и искомых величин должны входить массы материальных точек, их уравнения движения, внешние силы системы. Решение обратных задач упрощается в случаях, когда главный вектор внешних сил, приложенных к твердому телу, постоянен либо зависит только от 1) времени, 2) положений точек системы, 3) скоростей точек системы. Труднее решать обратные задачи, в которых главный вектор внешних сил одновременно зависит от времени, положения и скоростей точек системы. [c.540]

Из сказанного очевидно, что поступательное движение твердого тела полностью описывается движением одной из его точек. Отсюда при поступательном движении тело обладает тремя степенями свободы и в качестве обобщенных координат его можно выбрать три декартовы координаты одной из его течек. [c.24]

Движение твердого тела во многом зависит от числа его степеней свободы тело с одним и тем же числом степеней свободы может совершать различные движения, не похожие друг на друга. Свободное твердое тело в общем случае имеет шесть степеней свободы. Действительно, положение тела в пространстве относительно какой-либо системы координат, например декартовой, определяется заданием трех его точек, не лежащих на одной прямой. Расстояния между точками в твердом теле должны оставаться неизменными при любых его движениях. Это накладывает на координаты фиксированных точек три условия. Девять координат должны удовлетворять трем уравнениям. [c.123]

Пусть в неограниченном объеме идеальной несжимаемой жидкости движется одно конечное твердое тело произвольной формы. Поставим задачу об определении непрерывного возму-ш,енного движения жидкости, возникающего из состояния покоя под действием заданного движения твердого тела. Для описания абсолютного движения жидкости относительно неподвижной системы координат, в которой жидкость в бесконечности покоится, выберем подвижную сопутствующую телу декартову систему координат х, у, х, через обозначим единичные век- [c.187]

Из сказанного ясно, что, пользуясь девятью направляющими косинусами как обобщенными координатами, нельзя получить лагранжиан и составить с его помощью уравнения движения. Для этой цели мы должны использовать не сами эти косинусы, а некоторую систему трех независимых функций этих косинусов. Некоторые такие системы независимых переменных, из которых наиболее важной является система углов Эйлера, будут описаны нами позже. Однако применение направляющих косинусов для описания связи между двумя декартовыми системами координат имеет ряд собственных важных преимуществ. Так, например, многие теоремы о движении твердых тел можно получить с их помощью весьма изящным и общим способом, притом в форме, встречающейся в специальной теории относительности и в квантовой механике. Поэтому этот метод заслуживает более подробного изложения. [c.113]

Кинетический момент н кинетическая энергия тела, имеющего неподвижную точку. Согласно теореме Шаля произвольное перемещение твердого тела можно разбить на поступательное и вращательное. Таким образом, эта теорема указывает на возможность разделения задачи о движении твердого тела на две отдельные части, одна из которых касается только поступательного движения, а другая — только вращательного. В том случае, когда одна точка тела неподвижна, такое разделение является очевидным, так как в этом случае имеется только одно вращательное движение вокруг неподвижной точки, а поступательное движение отсутствует. Однако и в более общих случаях движения такое разделение часто оказывается возможным. Шесть координат, описывающих движение тела в соответствии с таким разделением, уже были нами рассмотрены. Это —три декартовы координаты некоторой фиксированной точки твердого тела (они описывают посту-пательное движение) и, например, три угла Эйлера, служащие для описания движения тела вокруг этой точки. Если начало подвижной системы выбрать в центре масс тела, то согласно уравнению (1.26) полный кинетический момент его распадается на две части одну [c.163]

Известно, что свободное твердое тело обладает шестью степенями свободы тремя поступательными перемещениями в направлении декартовых осей координат и тремя вращательными около тех же осей. Однако движение элементов машин обычно бывает сильно ограничено жесткими связями и чаще всего они обладают только одной степенью свободы. [c.23]

Вся дальнейшая теория строится на основе классической ньютоновской механики в евклидовом пространстве с абсолютным временем. Это обусловлено тем, что размеры, массы и скорости движения твердых деформируемых тел при обработке металлов давлением много меньше, например, размеров и массы Земли и скорости света. Напомним, что евклидовым называется такое пространство, для всех точек которого можно применить единую декартову систему координат. [c.13]

По разделу Кинематика точки и простейших движений твердого тела проводится одно занятие. На нем преподаватель обычно решает комплексную задачу типа домашнего задания (по заданным уравнениям движения точки в декартовых координатах определить все кинематические характеристики). Усвоения этого раздела мы добиваемся за счет домашнего задания и решения задач при защите домашнего задания. [c.10]

Заметим, что задание шести декартовых координат, например, XI, г/1, гь Хг, г/2. Хз, не является наилучшим способом задания движения твердого тела. Как будет позднее выяснено, существуют более удобные параметры, определяющие положение тела в пространстве. В каждом отдельном случае мы будем стараться выбирать независимые параметры, определяющие движение твердого [c.184]

При изучении движения твердых тел и в других аналогичных случаях удобнее вместо декартовых координат, определяющих положение точек системы, ввести в рассмотрение обобщенные координаты, число которых равно числу степеней свободы. Так как число степеней свободы тем меньше, чем больше наложено на систему связей, то число обобщенных координат уменьшается с увеличением числа налагаемых связей. [c.490]

Сани Чаплыгина на наклонной плоскости. Рассмотрим движение твердого тела параллельно наклонной плоскости. Пусть тело опирается на наклонную плоскость тремя ножками, две из которых являются абсолютно гладкими, а третья снабжена полукруглым лезвием, вследствие чего третья ножка не может перемещаться в направле нии, перпендикулярном к плоскости лезвия. Рассмотрим случай, когда проекция центра тяжести С тела на наклонную плоскость лежит на прямой, перпендикулярной к лезвию и проходящей через точку К соприкосновения лезвия с плоскостью (рис. 5.7). Обобщенными координатами являются декартовы координаты х, у точки К на наклонной плоскости и угол ф поворота тела вокруг прямой, перпендикулярной к наклонной плоскости. [c.277]

Общие уравнения. Рассмотрим случай, когда в идеальной несжимаемой жидкости имеются лишь несколько прямолинейных цилиндрических вихревых трубок конечного поперечного сечения, причем образующие всех трубок параллельны оси г декартовой системы координат. Покоящаяся на бесконечности жидкость либо заполняет все безграничное пространство, либо ограничена двумя перпендикулярными оси щ. твердыми поверхностями. В обоих случаях движения, происходящие в любой из плоскостей, перпендикулярной оси 2, совершенно одинаковы, т.е. компоненты скорости и и о не зависят от координаты г, а шгО. [c.46]

Переносное ускорение рассматривалось при изучении движения свободного твердого тела. Относительное ускорение изучалось в кинематике точки. Его можно выразить в двух фюрмах в зависимости от способа задания относительного движения. При координатном способе задания в декартовых координатах [c.199]

В этом параграфе будет начато рассмотрение движения одной системы отсчета относительно другой (рис. 1.1,6). О системе отсчета, относительно которой рассматривается движение, как и ранее, предполагается, что соответствующая геометрическая твердая среда содержит континуум геометрических точек, заполняющих пространство, и поэтому в любой момент времени каждая точка второй системы отсчета обязательно совпадает с какой-либо точкой первой ). В этой первой системе отсчета по-прежнему будем рассматривать прямоугольную декартову систему координат л , у, г и условимся называть эту систему отсчета латинской средою ). [c.20]

Первые два уравнения (теорема о движении центра инерции системы материальных точек, записанная в проекциях на оси декартовых координат лг и у) описывают переносное поступательное движение вместе с поступательно движущимися осями координат, начало которых расположено в центре инерции С твердого тела. [c.252]

Движение материального объекта всегда следует рассматривать относительно какого-либо твердого тела — тела отсчета, т. е. движение является относительным. С телом отсчета скрепляют систему осей координат, например декартовых, принимая ее за систему отсчета, относительно которой рассматривается движение материального объекта. Системой отсчета для трехмерного эвклидова пространства не может служить одна точка, линия, или плоскость, а должны быть три оси, не обязательно прямолинейные, но не лежащие в одной плоскости. [c.97]

Уравнения (I. 40) также являются дифференциальными уравнениями поступательного движения абсолютно твердого тела в декартовой системе координат. [c.44]

Возьмем две системы осей в плоскости движения фигуры одну систему Ох —неподвижную, другую— О х у, неизменно связанную с движущейся фигурой (рис. 143). Положение точки М фигуры в неподвижной плоскости будем определять вектор-радиусом г, проведенным из начала О неподвижной системы осей выбор рассматриваемой точки фигуры определяется указанием вектора г, проведенного из начала О подвижной системы. Вектор-радиус начала О относительно О обозначим через Го. Проекциями вектора г на оси хну будут декартовы координаты X и у в неподвижной системе осей при движении фигуры координаты хну изменяются со временем в противоположность этому проекции вектора г на подвижные оси, т. с. декартовы координаты х и у точки М в системе подвижных осей, остаются постоянными, как расстояния точек твердой фигуры до проведенных на ней прямых. [c.228]

Уравнения движения в подвижных осях, не связанных с телом. Рассмотрим некоторую систему декартовых прямоугольных осей координат х, у, z с началом в неподвижной точке О твердого тела (рис. 133). Пусть оси эти как-то движутся и пусть вектор й с проекциями Р, Q, R на рассматриваемые оси изображает вектор мгновенной абсолютной угловой скорости вращения подвижной системы координат. Пусть вектор о) абсолютной угловой скорости вращения твердого тела имеет проекциями на рассматриваемые подвижные оси х, у, z соответственно величины р, q, г. [c.184]

Преимущество обобщенных систем координат состоит в том, что в больщинстве случаев связи учитываются самим выбором этих систем. В силу этого устраняется необходимость написания отдельно ЗУ уравнений движения и т уравнений связи. Эти соображения могут быть хорошо пояснены рассмотрением твердого тела, движение которого определяется тремя координатами (возможно, все еще декартовыми) центра масс в совокупности с тремя углами. [c.19]

Если в декартовой прямоугольной системе координат точка Pk твердого тела имеет радиус-вектор г/., то по определению при любых г, j величины г — rj = Vij постоянны во все время движения. Если помимо связей, обеспечивающих постоянство расстояний на твердое тело не наложено никаких других связей, то его называют свободным твердым телом. Иными словами свободным называют твердое тело, на перемещение которого не наложено никаких ограничений. Свободное твердое тело является голономной склерономной системой. [c.48]

Уравнения движения свободного твердого тела, имеющего замкнутую полость произвольной формы, целиком или частично заполненную однородной несжимаемой идеальной или вязкой жидкостью плотности р. С телом жестко свяжем прямоугольную декартову систему координат 0х х2х . Обозначим через т область пространства xix x , занятую жидкостью в данный момент времени, через S — границу области т, а через сг — поверхность стенок полости. Если жидкость полностью заполняет полость, то S совпадает с <т, при частичном наполнении поверхность S состоит из свободной поверхности жидкости S и части поверхности сг, с которой жидкость соприкасается в данный момент времени, т. е. S = 5 + а = (Т где 02 — часть поверхности сг, не соприкасающаяся в данный момент с жидкостью остальная часть полости или заполнена воздухом, ограниченным поверхностью [c.281]

Замечание о выводе уравнений Эйлера при помощи уравнений Лагранжа второго рода. При выводе уравнений движения с помощью уравнений Лагранжа второго рода необходимо сначала выбрать обобщенные координаты, определяющие положение твердого тела. В качестве таких координат можно, например, принять углы Эйлера, через которые могут быть выражены декартовы координаты всех точек твердого тела. В главных осях живая сила твердого тела имеет вид [c.398]

Перемещения системы, совместимые со связями, носят название возможных перемещений. Если тело расположено в пространстве и его движения не ограничены никакими дополнительными связями, то число его возможных перемещений равно шести. Например, в декартовой системе координат это три координаты перемещения центра тяжести этого тела и три Эйлеровых угла его поворотов [2]. Все шесть координат являются обобщенными и число степеней свободы твердого тела тоже равно шести. Вместо Эйлеровых углов (прецессии, нутации и ротации) в качестве обобщенных координат могут быть выбраны корабельные либо самолетные (рысканья, тангажа, крена) углы [2]. [c.837]

Механическая интерпретация особых точек (8.9) и (8.10) следующая тело совершает движение в среде с постоянным углом атаки, не равным О или я, с постоянной угловой скоростью. При этом, очевидно, центр пластины твердого тела движется по окружности, поскольку его декартовы координаты х,у представляются следующим образом [c.290]

Опираясь на теорему Эйлера (см. выше), движение свободного твердого тела можно представить в виде суперпозиции поступательного движения, при котором все точки движутся, как произвольно выбранный полюс (начало системы х у г ), и вращательного движения вокруг мгновенной оси, проходящей через этот полюс. Этому рассмотрению соответствуют 6 независимых координат 3 декартовы координаты X, , X точки, принятой за полюс, и 3 угла Эйлера ф, /, 0 (см. рис. 1.3). [c.18]

Приступая к рассмотрению простейших видов движения абсолютно твердого тела, покажем, что свободное твердое тело имеет только шесть степеней свободы. Действительно, положение твердого тела К относительно неподвижной системы декартовых координат Оху (рис. 2.9) будет однозначно определено, если известны положения трех его точек Л, 5 и С, не лежащих на одной прямой. Таким образом, задание положения тела К можно осуществить с помощью девяти декартовых координат точек А, В, С. Однако между этими координатами существуют три соотношения, выражающие постоянство расстояний между точками А, В н С [c.20]

Особенно просто введение лагранжевых координат в плоском случае, когда движение зависит только от одной декартовой координаты х. Обозначим текущую эйлерову координату рассматриваемой частицы через х, а координату какой-то фиксированной частицы — через х (в качестве фиксированной может быть, например, выбрана частица около твердой стенки или около границы газа с пустотой, если таковые имеются в задаче). Тогда масса столба единичного сечения между рассматриваемой частицей и фиксированной равна [c.16]

Во многих задачах динамики обнаружено, что оси системы координат, удобные для описания начального состояния движения, мало пригодны для прослеживания всего движения рассматриваемого тела. Поэтому иногда бывает удобно использовать оси, которые сами движутся в пространстве так, что они неизменно сохраняют такие положения, которые более всего соответствуют мгновенному положению тела. Так, например, в динамике материальной точки мы иногда раскладываем снлы вдоль касательной и нормали к траектории. Это практически то же самое, что и использование системы декартовых осей, движущихся таким образом, что они всегда параллельны касательной и нормали. Эта теория была обобщена в т. I гл. IV, где движение было отнесено к двум произвольным прямым, перемещающимся в одной плоскости. Теперь мы намереваемся развить теорию еще дальше. Мы рассмотрим общие уравнения движения материальной точки, а затем и твердого тела по отношению к произвольным прямоугольным осям, которым будет придано такое движение, какое мы сочтем удобным. [c.11]

Формулы для вычисления проекций угловой скорости тела на иеподг.ижиые и подвижные оси декартовых координат ио уравнениям сферического движения твердого тела получены в 118. [c.279]

Тензор инерции принимает наиболее простой вид, когда оси координат совпадают с главными осями тензора инерции. Главные оси тензора инерции перпендикулярны друг другу. В главных осях тензор инерции диаго-нален. Диагональные элементы называются главными моментами инерции молекулы относительно соответствующих осей. Они имеют смысл момента инерции при вращении вокруг соответствующей оси. Нумеруя оси декартовой системы координат, совпадающие с главными осями тензора инерции, индексами / = 1, 2, 3, обозначим момент инерции относительно оси /. Главные моменты инерции и направление главных осей инерции раз гачны для разных точек молекул (как в твердом теле). Если главные оси проходят через центр масс молекулы, они называются центральными главными осями. В этом случае начало декартовой системы координат, оси которой совпадают с главными осями тензора инерции, совпадает с центром масс молекулы. При анализе вращательного движения молекул, так же как и при анализе вращательного движения твердых тел, целесообразно рассматривать вращение в главных центральных осях, что и подразумевается в последующем. [c.318]

Для описания движения сплошной среды, моделирующей твердое деформируемое тело в процессе его обработки давлением, применяются скалярные, векторные и тензорные поля. Например, распределение температур в объеме деформируемого тела описывается скалярным полем. Распределение скоростей точек деформируемого тела описывается векторным полем. Напряженное состояние деформируемого тела описывается полем тензора второго ранга. С теорией скалярного и векторного полей в прямоугольных декартовых и некоторых ортогональных криволинейных (например, цилиндрических) координатах читатель знаком из курса математики. Вектор является тензором первого ранга, и нам предстоит сделать некоторые обобш,ения на случай тензорных полей более высокого, в первую очередь второго ранга, чтобы иметь возможность описать напряженное и деформированное состояния тела. [c.14]

Фс рмулы для вычисления тфоекций угло-вой скорости тела на неподвижные н подвижные оси декартовых координат по уравнениям сферического движения твердого теаа получены в 118. [c.217]

Рассмотрим сначала простейшее представление электрический ток — это движение электронов под воздействием приложенного электрического поля. В металлах число электронов, участвующих в электропроводности, зависит от структуры кристалла, а для одновалентных металлов —это один электрон на атом Поведение электрона, находящегося в твердом теле, удобнее всего описывать в трехмерной системе координат, для которой три декартовы координаты кх, ку и кг являются компонентами волнового числа к. Электрону с энергией Е и импульсом р соответствует волновое число к. Согласно уравнению де Бройля, р=Ьк (где Й—постоянная Планка, деленная на 2л) и Е р 12т. Положение электрона в -пространстве характеризуется вектором к, пропорциональным импульсу электрона. В ыеталле, содержащем N свободных электронов, при абсолютном нуле температуры электроны займут N 2 низших энергети- [c.187]

В геометрической твердой среде второй системы отсчета также введем декартову систему координат, но ее оси обозначим греческими буквами t. Г), С (векторы /, J, / —орты этих осей) и будем называть условно вторую систему отсчета греческой средот. Интересующая нас задача состоит в изучении движения греческой среды относительно латинской. [c.20]

Чтобы получить уравнения твердого движения в декартовых координатах, предположим, что в начальный момент оси подвижного триэдра были взяты параллельными неподвижным осям и были обращены каждая соответственно в ту же сторону. Тогда векторы 1, у, к, которые в яаше.м поступательном движении остаются постоянными, будут во все время двинтения иметь компопенты [c.161]

Три материальные точки Р, Р,, Р с массами т, т , движутся по плоскости точки Р и Р связаны с точкой Р двумя твердыми стержнями,. могущими свободно вращаться вокруг Р, длиной 1 . Мы имеем здесь, очевидно, голономную систему с четырьмя степенями свободы. Определить жквую силу системы Т, пренебрегая массой стержней и принимая за параметры Лагранжа координаты х, у точки Р относительно какой-нибудь декартовой системы Оху в плоскости движения и углы 01. 02. образованные прямыми PPi и РР с осью Ох. [c.251]

В начале развития динамики неголономных систем дифференциальные 93 уравнения движения были выведены в различном виде Остроградским, Феррерсом и Раусом. Общая методика интегрирования этих уравнений не была разработана, а их структура, связанная с наличием декартовых координат или множителей неголономных связей, создавала значительные трудности при решении конйретных задач (о качении твердых тел). Таким образом,в конце XIX в. проблема составления динамических уравнений неголономной механики в лагранжевых координатах без множителей связей типа уравнений Лагранжа второго рода была вполне актуальной. [c.93]

Проиллюстрируем вывод одномерного эволюционного уравнения на примере двумерного возмущенного течения в плоской струе несжимаемой жидкости, граничащей с твердой стенкой [21, 276]. Будем считать время декартовы координаты х, у, компоненты вектора скорости м, у и давление р обезразмеренными соответственно по величинам , и, р и (Ь, и - характерная длина и скорость струи, р - плотность несжимаемой жидкости). При больших Ке = и 1 V (V - кинематическая вязкость) пристеночная струя аналогична пограничному слою, а невозмущенный профиль (/о продольной компоненты скорости в струе зависит от переменной = Ке . Дальнейший анализ основывается на свойствах функции и , вытекающих из вида изучаемого движения, а именно на выходе из струи (при [c.90]

Рассмотрим,-как делается выбор этих шести независимых координат, определяющих положение твердого тела в пространстве. Прежде всего скрепим с телом систему координат. Пусть это будет декартова система О х у г. Положение любой точки твердого тела определяется здесь координатами х, у, г. Заметим, что эти координаты при движении тела остаются постоянными. Поэтому для определения положения твердого тела достаточно знать положение движущейся вместе с телом (подвижной) системы координат О х у г относительно неподвижной Охуг. На рисунке 2.1. изображены подвижная и неподвижная системы координат, которые в дальнейшем будем называть подвижная — штрихованная система координат, неподвижная — нештрихованная система координат. Далее решается вопрос [c.45]

Прежде чем рассматривать законы, которым подчиняется движение материальной точки (динамика), необходимо научиться описывать ее движение, введя соответствующие понятия и физические величины (кинематика). При описании конкретного движения точки необходимо четко условиться, относительно какой системы отсчета (СО) оно рассматривается. Под системой отсчета в ньютоновской механике понимается тело отсчета - твердое тело, мысленно распространенное на все пространство, точки которого пронумерованы, т,е, на котором введена та или иная система координат. Простейшей системой координат является декартова прямоугольная система координат на теле отсчета выбирается точка О -начало координат и в трех взаимно перпендикулярных направлениях проводятся координатные оси ОхОр.Ог (рис 1), [c.18]

Рассмотрим задачу об установившемся термокапиллярном движении в слое жидкости толщиной Н. Движение считается двумерным. Зависимость поверхностного натяжения от температуры принимается квадратичной в соответствии с выражением (6.1.19). Термогравитационный эффект не учитывается. Предполагается, что на твердой нижней поверхности поддерживается линейное распределение температуры, а плоская поверхность слоя теплоизолирована. Начало декартовой системы координат X, помещается на твердой поверхности. [c.236]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...